高一数学必修2经典习题与答案
高一数学必修2期末试题及答案doc
高一数学必修2期末试题及答案doc一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 若a > 0，b > 0，则a + b的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：D4. 函数y = 2^x的图象在点(1, 2)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D5. 已知等差数列{a_n}的首项a_1 = 3，公差d = 2，则a_5的值为：A. 7B. 9C. 11D. 13答案：C6. 已知函数y = x^3 - 3x + 1，则y' =：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^2 + 3答案：A7. 已知圆C的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，则圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)答案：A8. 若直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交，则交点的个数为：A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B9. 已知向量a = (2, 3)，b = (-1, 2)，则a·b的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C10. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)：A. 3x^2 - 12x + 11B. x^2 - 4x + 11C. 3x^2 - 12x + 5D. 3x^2 - 6x + 11答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列{a_n}的首项a_1 = 2，公比q = 3，则a_3的值为______。
答案：182. 已知函数y = x^2 - 6x + 8，求函数的对称轴方程为______。
人教版高一数学必修2 空间直线的垂直关系练习题(含答案详解)
必修2 空间中的垂直关系基础知识点一、选择题：1.若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是( ).A.60°B.45°C.30°D.120°2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则( ).A.l⊥mB.l∥mC.l，m异面D.l，m相交而不垂直3.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有( ).A.1条B.2条C.3条D.4条4.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ).A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能5.已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( ).A.ME⊥平面ACB.ME ⊂平面ACC.ME∥平面ACD.以上都有可能6.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( ).A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直二、填空题：7.在正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________.8.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.9.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________.10.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为________.三、解答题：11.如图所示，在Rt △AOB 中，∠ABO=π6，斜边AB=4，Rt △AOC 可以通过Rt △AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角BAOC 是直二面角，D 是AB 的中点.求证：平面COD ⊥平面AOB.12.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F.(1)求证：PA ∥平面EDB ；(2)求证：PB ⊥平面EFD.综合提高1.已知l ，m ，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α的关系是( ).A.n ∥αB.n ∥α或n ⊂αC.n ⊂α或n 与α不平行D.n ⊂α2.已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ).A.AB ∥mB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AC ⊥β3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( ).A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定4.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF 把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有( ).A.①②B.①③C.②③D.③④5.如果三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则顶点在底面的正投影是底面三角形的________心.6.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，若A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与ABC底面所成的角的正弦值等于________.7.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD 所成的角为60°.其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号).8.如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=________.9.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PO⊥面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.(1)求证：PC⊥BC.(2)求点A到平面PBC的距离.11.如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.12.(创新拓展)已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1). (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；(2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD?参考答案基础篇1.答案 A ；解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形.如图所示，∠ABO即是斜线AB 与平面α所成的角，又AB=2BO ，所以cos ∠ABO=OB AB =12.所以∠ABO=60°.故选A.2.答案 A ；解析 无论l 与m 是异面，还是相交，都有l ⊥m ，考查线面垂直的定义，故选A.3.答案 D ；解析 ∵PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BO ，∴AC ⊥平面PBD ， ∴平面PBD 中的4条线段PB ，PD ，PO ，BD 与AC 垂直.4.答案 D ；解析 以正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.5.答案 A ；解析 由于ME ⊂平面AB 1，平面AB 1∩平面AC=AB ，且平面AB 1⊥平面AC ，ME ⊥AB ，则ME ⊥平面AC.6.答案A；解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD ⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.7.答案垂直；解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC 的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，∴EF⊥平面BB1O.8.答案2；解析由线面垂直的性质定理知①④正确.9.答案①③④⇒②或②③④⇒①；解析如图，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，α∩β=l，l∩平面PAB=O，连接OA、OB，可证明∠AOB为二面角αlβ的平面角，则∠AOB=90°⇔PA⊥PB.10.答案45°；解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为45°.11.证明：由题意：CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角BAOC的平面角，又∵二面角BAOC是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，∵CO⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.12.证明：(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD.∴PD⊥DC.∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD.综合提高1.答案A；解析∵l⊂α，且l与n异面，∴n⊄α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n ∥α.2.答案D；解析如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β.故选D.3.答案D；解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF 的大小不确定.4.答案B；解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE=S矛盾，排除A，故选B.5.答案垂；解析三棱锥的三个侧面两两相互垂直，则三条交线两两互相垂直，可证投影是底面三角形的垂心.6.答案：23；解析由题意知，三棱锥A1ABC为正四面体(各棱长都相等的三棱锥)，设棱长为a ，则AB 1=3a ，棱柱的高A 1O=63a(即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值为A 1O AB 1=23.' 7.答案 ①②④；解析 本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面的夹角.8.答案 2；解析 取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB.当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC=AB ，所以DE ⊥平面ABC.又CE ⊂平面ABC 可知DE ⊥CE. 由已知可得DE=3，EC=1，在Rt △DEC 中，CD=DE 2＋CE 2=2.9.证明 因为SA ⊥平面ABCD ，所以SA ⊥BC.又BC ⊥AB ，SA ∩AB=A ，所以BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AE.因为SC ⊥平面AEFG ，所以SC ⊥AE.又BC ∩SC=C ，所以AE ⊥平面SBC ，所以AE ⊥SB.同理可证AG ⊥SD.10.(1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC.因为∠BCD=90°，所以BC ⊥CD.又PD ∩CD=D ，所以BC ⊥平面PCD.而PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC.(2)解 如图，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于E ，过点E 作PC 的垂线，垂足为F ，则有AE ∥平面PBC ，所以点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离.又EF ⊥PC ，BC ⊥平面PCD ，则EF ⊥BC.BC ∩PC=C ，所以EF ⊥平面PBC.EF 即为E 到平面PBC 的距离.又因为AE ∥BC ，AB ∥CD ，所以四边形ABCE 为平行四边形.所以CE=AB=2. 又PD=CD=1，PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD.所以PD ⊥CD ，∠PCD=45°. 所以EF= 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.11.证明 (1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F ，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC.又∵PA ⊂平面PAC ，∴DF ⊥PA.作DG ⊥AB 于G ，同理可证DG ⊥PA.∵DG ∩DF=D ，∴PA ⊥平面ABC.(2)连接BE 并延长交PC 于H.∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH ，又AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥PC ，且AE ∩BE=E ，∴PC ⊥平面ABE.∴PC ⊥AB.又∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，且PA ∩PC=P ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥AC ，即△ABC 是直角三角形. 12.(1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD.∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ，∴CD ⊥平面ABC.又∵AE AC =AF AD=λ(0＜λ＜1)，∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC. 又EF ⊂平面BEF ，∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC.(2)解 由(1)知，EF ⊥BE ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，AB ⊥平面BCD ，∴BD=2，AB=2tan 60°= 6.AC=AB 2＋BC 2=7， 由AB 2=AE ·AC 得AE=67，∴λ=AE AC =67，故当λ=67时，平面BEF ⊥平面ACD.。
高一数学必修2经典习题与答案
（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A. 3B. 23C. 33D. 433．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:35．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ）A. 92πB. 72πC. 52πD. 32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是主视图 左视图 俯视图C ___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
高一数学必修2习题(答案详解)
高一数学必修2习题(答案详解)高一数学必修2习题(答案详解)一、选择题1. 题目：已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B的最小值是（）选项：A. 0B. 1C. 2D. 3解析：集合A和集合B的交集即为A∩B。
在这里，A和B的交集为{3, 4}，共有两个元素。
因此，答案为C. 2。
2. 题目：若sinθ=1/2，θ∈（0, π），则cosθ的值为（）选项：A. 1/2B. -1/2C. √3/2D. -√3/2解析：根据三角函数的定义，sinθ=对边/斜边。
在这里，sinθ=1/2，代表一个直角三角形中，对边的长度是斜边长度的一半。
根据勾股定理，可知另外一个边的长度为√3/2。
因此，cosθ=邻边/斜边=√3/2。
答案为C. √3/2。
二、填空题1. 题目：已知事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，事件A 和事件B同时发生的概率为0.3，则事件A和事件B互不独立。
事件A的补事件的概率是（）。
解析：事件A的概率为0.6，补事件即为事件A不发生的概率，即1-0.6=0.4。
2. 题目：已知函数y=2x-1，若x=3，则y的值为（）。
解析：将x=3代入函数中，得到y=2*3-1=5。
三、计算题1. 题目：已知函数y=2x+3，求当x=1时，y的值。
解析：将x=1代入函数中，得到y=2*1+3=5。
2. 题目：已知函数y=3x^2-2x+1，求当x=2时，y的值。
解析：将x=2代入函数中，得到y=3*2^2-2*2+1=13。
四、解答题1. 题目：求解方程2x-5=7。
解析：将方程两边都加上5，得到2x=12。
再将方程两边都除以2，得到x=6。
因此，方程的解为x=6。
2. 题目：求解方程3x^2-5=0。
解析：将方程两边都加上5，得到3x^2=5。
再将方程两边都除以3，得到x^2=5/3。
对方程两边取平方根，得到x=±√(5/3)。
因此，方程的解为x=±√(5/3)。
数学必修二试题及答案
数学必修二试题及答案# 数学必修二试题及答案## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 题目：若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
选项：A. 0B. 4C. 8D. 12答案：B2. 题目：下列哪个选项不是二次函数的图像？A. 抛物线B. 直线C. 圆D. 椭圆答案：B3. 题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且\( a^2 + b^2 =c^2 \)，下列哪个选项是正确的？A. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等差数列B. \( a \)，\( b \)，\( c \)成等比数列C. \( a \)，\( b \)，\( c \)成勾股数D. \( a \)，\( b \)，\( c \)成几何数列答案：C4. 题目：若\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。
选项：A. \(\frac{4}{5}\)B. \(\frac{12}{13}\)C. \(\frac{16}{25}\)D. \(\frac{24}{25}\)答案：A5. 题目：下列哪个不等式是正确的？A. \( 2 > 3 \)B. \( 3 < 3 \)C. \( 2 \leq 2 \)D. \( 1 \geq 2 \)答案：C## 二、填空题（每题3分，共15分）6. 若\( x \)的平方根是\( \pm 4 \)，则\( x \)的值为______。
答案：167. 函数\( y = \log_2 x \)的定义域是______。
答案：\( (0, +\infty) \)8. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）。
(人教版新课标)高中数学必修2所有课时练习(含答案可编辑)
第一章空间几何体课时作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E，F，G，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥答案： B2．下列说法中正确的是()①一个棱柱至少有五个面；②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；③棱台的侧面是等腰梯形；④棱柱的侧面是平行四边形．A．①④B．②③C．①③D．②④解析：因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故选A.答案： A3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有()A．20 B．15C．12 D．10解析：正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D.答案： D4.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体．答案：三棱锥(也可答四面体)6．下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有四个面．解析：棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.答案：①②④⑤三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)如图所示的几何体是不是棱台？为什么？(2)如图所示的几何体是不是锥体？为什么？解析：(1)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台；虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台．只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．(2)都不是．棱锥定义中要求各侧面有一个公共顶点．图①中侧面ABC与CDE没有公共顶点，故该几何体不是锥体；图②中侧面ABE与面CDF没有公共点，故该几何体不是锥体．8．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱柱ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.课时作业（二）圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列四种说法①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．故选D.答案： D2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析：该组合体上部是圆锥，下部是圆台，由旋转体定义知，上部由直角三角形的直角边为轴旋转形成，下部由直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成．故选A.答案： A3.如图所示为一个空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是()A．梯形、正方形B．圆台、正方形C．圆台、圆柱D．梯形、圆柱解析：空间几何体不是平面几何图形，所以应该排除A、B、D.答案： C4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列说法：①与定点的距离等于定长的点的集合是球面；②球面上三个不同的点，一定都能确定一个圆；③一个平面与球相交，其截面是一个圆面．其中正确说法的个数为________．解析：命题①②都对，命题③中一个平面与球相交，其截面是一个圆面，③对．答案： 36．下面几何体的截面一定是圆面的是________．(填正确序号)①圆柱②圆锥③球④圆台答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解析：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：8．如图所示的几何体是否为台体？为什么？尖子生题库☆☆☆9．(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解析：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底一半O1A＝2 cm，下底一半OB＝5 cm.又因为腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.课时作业（三） 中心投影与平行投影空间几何体的三视图姓名______________ 班级_________学号__________一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列说法正确的是( ) A ．矩形的平行投影一定是矩形 B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．两条相交直线的平行投影可能平行D ．若一条线段的平行投影是一条线段，则中点的平行投影仍为这条线段投影的中点 解析： 对于A ，矩形的平行投影可以是线段、矩形、平行四边形，主要与矩形的放置及投影面的位置有关；同理，对于B ，梯形的平行投影可以是梯形或线段；对于C ，平行投影把两条相交直线投射成两条相交直线或一条直线；D 正确。
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第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 （第1题） A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ）．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( ）． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中,AB ＝2，BC ＝1。
5，∠ABC ＝120°,若使△ABC 绕直线BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ）．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ）．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是（ )．(第8题)（第10题）二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中,O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a,则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．［提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中,∠DAB＝90°，∠ADC＝135°,AB＝5，CD＝22,AD ＝2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．（第20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐,现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变）；二是高度增加4 m（底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;（3)哪个方案更经济些？第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析:从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样,可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21（1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52,R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析:V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
高一数学必修2经典习题答案
高一数学必修2经典习题答案数学2（必修）第一章空间几何体[基础训练A组]一、选择题1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台2.A因为四个面是全等的正三角形，则44S S===表面积底面积3.B 长方体的对角线是球的直径，2450l R R S Rππ======4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a222aa r r r r r r=====内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：5.D213(1 1.51)32V V V rππ=-=+-=大圆锥小圆锥6.D 设底面边长是a，底面的两条对角线分别为12,l l，而22222212155,95,l l=-=-而222124,l l a+=即22222155954,8,485160a a S ch-+-====⨯⨯=侧面积二、填空题1.5,4,3符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台2.1:333333123123::::11:r r r r r r===3.316a画出正方体，平面11AB D与对角线1AC的交点是对角线的三等分点，三棱锥11O AB D-的高23111,2336h V Sh a a====或：三棱锥11O AB D-也可以看成三棱锥11A OB D-，显然它的高为AO，等腰三角形11OB D 为底面。
4. 平行四边形或线段5设ab bc ac===则1abc c a c===l==15设3,5,15ab bc ac===则2()225,15abc V abc===三、解答题1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,则仓库的体积23111162564()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积23211122888()3323V Sh M ππ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M ,半径为8M .棱锥的母线长为l ==则仓库的表面积218()S M π=⨯⨯= 如果按方案二，仓库的高变成8M .棱锥的母线长为10l == 则仓库的表面积 2261060()S M ππ=⨯⨯=（3）21V V > ，21S S < ∴方案二比方案一更加经济2. 解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则21203,3360l l ππ==；232,13r r ππ⨯==；24,S S S rl r πππ=+=+=侧面表面积底面2111333V Sh π==⨯⨯⨯=第一章 空间几何体 [综合训练B 组]一、选择题1.A恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+2.A2312,,23R r R r h V r h R πππ=====3.B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R =，2412R S R ππ=== 4.A(3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积5.C 中截面的面积为4个单位， 12124746919V V ++==++6.D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=二、填空题1.6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2.16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，2211431633V r h πππ==⨯⨯=3.<设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==5.（1）4 （2）圆锥6． 设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =，而22S r r r aππ=+⋅=圆锥表，即23,3r a r ππ===，即直径为三、解答题解：'1(),3V S S h h ==319000075360024001600h ⨯==++2. 解：2229(25)(25),7l l ππ+=+=空间几何体 [提高训练C 组] 一、选择题1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥，123123::1:2:3,::1:2:3,r r r l l l ==12312132::1:4:9,:():()1:3:5S S S S S S S S =--=3.D111115818322226V V -=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 4.D 121:():()3:13V V Sh Sh ==5.C121212:8:27,:2:3,:4:9V V r r S S ===6.A 此几何体是个圆锥，23,5,4,33524r l h S πππ====⨯+⨯⨯=表面2134123V ππ=⨯⨯=二、填空题1．设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则123r l ππ=，得6l r =，226715S r r r r ππππ=+⋅==，得r =h =211153377V r h ππ==⨯= 2.109Q22223,S R R R Q R πππ=+===全32222221010,,2233339V R R h h R S R R R R Qπππππ==⋅==+⋅== 3.821212,8r r V V ==4.12234,123V Sh r h R R ππ=====5.28'11()(416)32833V S S h =+=⨯⨯=三、解答题1.解：圆锥的高h =1r =，22(2S S S πππ=+=+=+侧面表面底面 解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面25(25)2πππ=⨯+⨯+⨯⨯⨯1)π=V V V =-圆台圆锥222112211()331483r r r r h r h πππ=++-=第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练A 组]一、选择题1. A ⑴两条直线都和同一个平面平行，这两条直线三种位置关系都有可能 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可在这个平面内2. D 对于前三个，可以想象出仅有一个直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；对角为直角的平面四边形沿着非直角所在的对角线翻折；在翻折的过程中，某个瞬间出现了有三个直角的空间四边形3.D 垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系4.B 连接,VF BF ，则AC 垂直于平面VBF ，即AC PF ⊥，而//DE AC ，DE PF ∴⊥5.D 八卦图 可以想象为两个平面垂直相交，第三个平面与它们的交线再垂直相交6.C 当三棱锥D ABC -体积最大时，平面DAC ABC ⊥，取AC 的中点O ， 则△DBO 是等要直角三角形，即045DBO ∠= 二、填空题1.异面或相交 就是不可能平行2.0030,90⎡⎤⎣⎦ 直线l 与平面α所成的030的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在α内适当旋转就可以得到l m ⊥，即m 与l 所成角的的最大值为0903.作等积变换：123411(),33d d d d h +++=而h =4.060或0120 不妨固定AB ，则AC 有两种可能5.2 对于（1）、平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间； （2）是对的；（3）是错的；（4）是对的 三、解答题1.证明：//,////EH BCD FG BCD EH BCD BD BCD EH BD EH FG ⊄⎫⎪⊂⇒⊂⇒⎬⎪⎭2.略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [综合训练B 组] 一、选择题1.C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为即2R =2424R S R ππ===球2.D 取BC 的中点G ，则1,2,,EG FG EF FG ==⊥则EF 与CD 所成的角030EFG ∠=3.C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线4.C 利用三棱锥111A AB D -的体积变换：111111A AB D A A B D V V --=，则1124633h ⨯⨯=⨯⨯5.B11211332A A BD D A BAa V V Sh --===⨯=6. D 一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题1．27 分上、中、下三个部分，每个部分分空间为9个部分，共27部分 2．异面直线；平行四边形；BD AC =；BD AC ⊥；BD AC =且BD AC ⊥3．0604．060 注意P 在底面的射影是斜边的中点5．三、解答题 1．证明：//b c ，∴不妨设,b c 共面于平面α，设,a b A a c B ==,,,A a B a A B αα∴∈∈∈∈，即a α⊂，所以三线共面 2．提示：反证法 3．略第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练C 组] 一、选择题1． A ③若m//α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则222222222,,x y a y z b x z c +=+=+=得2222221()2x y z a b c ++=++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影 5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F，1,22EF BE BF ===cos EF BF θ==7．C 取SB 的中点G ，则2a GE GF ==，在△SFC中，EF =，045EFG ∠=二、填空题1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个3.090 垂直时最大4.030底面边长为1，tan θ=5.11 沿着PA 将正三棱锥P ABC -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC 三、解答题：略第三章 直线和方程 [基础训练A 组] 一、选择题1.Dtan 1,1,1,,0ak a b a b b α=-=--=-=-=2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-=3.B42,82m k m m -==-=-+ 4.C ,0,0a c a cy x k b b b b =-+=-><5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为090，而斜率不存在6.C2223,m m m m +--不能同时为0 二、填空题1.22d ==2.234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+3.250x y --='101,2,(1)2(2)202k k y x --==-=--=--4.8 22x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d ==5.23y x=平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2)三、解答题解：（1）把原点(0,0)代入A x B yC ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：()00P x y ，在直线A x B yC ++=0上00000,Ax By C C Ax By ∴++==--()()000A x xB y y ∴-+-=。
高中数学必修2测试题附答案
高中数学必修2测试题附答案数学必修2一、选择题1、下列命题为真命题的是（）A.平行于同一平面的两条直线平行；解析：平行于同一平面的两条直线一定平行，为真命题，选A。
2、下列命题中错误的是：（）A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；解析：如果直线α垂直于平面β，则α内不存在直线平行于平面β，选A。
3、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，异面直线AA’与BC所成的角是（）解析：异面直线AA’与BC所成的角为直角，选D。
4、右图的正方体ABCD-A’B’C’D’中，AB二面角D’-AB-D的大小是（）解析：AB二面角D’-AB-D为60度，选C。
5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）解析：将y=0代入5x-2y-10=0，得到x=2，即直线在x轴上的截距为2；将x=0代入5x-2y-10=0，得到y=-5，即直线在y轴上的截距为-5，选B。
6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）解析：将2x-y=7和3x+2y-7=0联立，解得交点为(3,-1)，选A。
7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）解析：3x-4y+6=0的斜率为3/4，与其垂直的直线斜率为-4/3，过点P(4,-1)，代入点斜式方程y+1=-4/3(x-4)，化简得到4x+3y-13=0，选A。
8、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）解析：正方体的全面积为6a，每个面积为a，每个面的对角线长为正方体的对角线长，即球的直径。
因此球的直径为正方体的对角线长，即a的开根号乘以根号3.球的表面积为4πr^2，即4π(0.5a√3)^2=3πa^2，选C。
9、圆x^2+y^2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）解析：将x^2-4x和y^2-2y分别配方得到(x-2)^2-4+(y-1)^2-1=0，即(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心坐标为(2,1)，选B。
高中数学必修二好题解答题精选(附答案)
一．解答题（共22小题）1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝，点M在线段EC上．（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明理由；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．4．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．5．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，M是PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．7．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD ＝λPC．（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．9．已知直线2x+y﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝ON|（O为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小值及求得最小值时的点P坐标．10．已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．①求圆C的方程．②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．12．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1＝0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．14．已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的最小值及此时直线l的方程．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y ﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．16．已知三条直线l1：x+y﹣3＝0，l2：3x﹣y﹣1＝0，l3：2x+my﹣8＝0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．17．已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．（I）求圆C1的方程；（I）若圆C1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．18．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B．（1）若a＝4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝，求圆M的方程．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，（1）P为直线l：x＝上一点．①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD ＝，点M在线段EC上．（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明理由；（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M﹣BDE的体积．【解答】解：（1）不存在点M，使得FM⊥平面BDM．证明如下：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，∴DA，DC，DE所在直线两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），F（2，0，2），B（2，2，0），设M（0，b，c），则，，．设平面DBM的一个法向量为，由，取y＝﹣1，则．若与共线，则，即c2﹣2c+2＝0，此方程无解．∴不存在点M，使得FM⊥平面BDM；（2）由（1）知，是平面BDM的一个法向量，而ABF的一个法向量为．由|cos＜＞|＝＝，得，即b＝2c．再由与共线，可得b＝2c＝2．即点M为EC中点，此时，S△DEM＝2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，∴．2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．【解答】解：（1）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为线段DD1、BD的中点，∴EF为中位线，∴EF∥D1B，∵D1B?面ABC1D1，EF?面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）由（1）知EF∥D1B，故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R＝2，设AA1＝a，则，解得a＝，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC⊥平面CDD1C1，CD1?平面CD﹣D1C1，∴BC⊥CD1，在RT△CC1D1中，BC＝2，CD1＝，D1C⊥BC，∴tan∠D1BC＝，则∠D1BC＝60°，∴异面直线EF与BC所成的角为60°．3．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又∵PA＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AF?平面PAB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE?平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）4．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）连接AB1交A1B于点M，连接MD．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴四边形BAA1B1是矩形，∴M为AB1的中点．∵D是AC的中点，∴MD∥B1C．又MD?平面A1BD，B1C?平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（II）作CO⊥AB于点O，则CO⊥平面ABB1A1，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，假设存在点E，设E（1，a，0）．∵AB＝2，AA1＝，D是AC的中点，∴A（1，0，0），B（﹣1，0，0），C（0，0，），A1（1，，0），B1（﹣1，，0），C1（0，，）．∴D（，0，），＝（，0，），＝（2，，0）．设是平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），∴，，∴，令x＝﹣，得＝（﹣，2，3）．∵E（1，a，0），则＝（1，a﹣，﹣），＝（﹣1，0，﹣）．设平面B1C1E的法向量为＝（x，y，z），∴，．∴，令z＝﹣，得＝（3，，﹣）．∵平面B1C1E⊥平面A1BD，∴＝0，即﹣3+﹣3＝0，解得a＝．∴存在点E，使得平面B1C1E⊥平面A1BD，且AE＝．5．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．（1）求证：FM∥平面ABCD；（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．∵F是BB1的中点，∴F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（2）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A＝A，AC，A1A?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又∵NA?平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，M是PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接OM，∵M为PC的中点，则OM∥PA，∵OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，∵PA?平面GPA，平面GPA∩平面MDB＝GH，∴PA∥GH，而PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥面PAD；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），设＝（0，λ，λ），则，＝（0，λ，λ﹣2），设平面PAG的一个法向量为．由，取z＝1，得．，由PD与面GAP所成的角的正弦值为，得|cos＜＞|＝，解得：或λ＝﹣1（舍）．∴G为DM的中点，则H为OD的中点，此时，PA＝，GH＝＝，．D到平面PCAH的距离d＝＝．由，，得cos＜＞＝＝＝．∴sincos＜＞＝．则GH与PA间的距离为h＝．∴四棱锥D﹣PAHG的体积V＝＝．7．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连接BM，可得四边形BMDE是正方形．BC2＝BM2+MC2＝2．∵BD2+BC2＝DE2+BE2+BC2＝DC2，∴∠CBD＝90°，∴BD⊥BC．又AC⊥平面CDE，BD?平面BCDE，∴BD⊥AC，故BD⊥平面ABC．∵BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：过点D作DH⊥CE．∵AC⊥DH，∴DH⊥平面ACE．∴∠DAH即为AD与平面ACE所成的角．AB＝DC＝2．在Rt△DCE中，DE＝1，CD＝2，∴CE＝，∴DH＝＝＝．∵AC＝＝，∴AD＝＝，在Rt△AHD中，sin∠DAH＝＝．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD ＝λPC．（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，又∵CD⊥PC，AD∩CD＝D，∴PC⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，设AB＝AD＝1，则CD＝2，由题意知在梯形ABCD中，有BD＝BC＝，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，又PC∩BC＝C，∴BD⊥平面BCP．∵BD?平面BDP，∴平面BPD⊥平面BCP．（2）解：以点D为原点，DA、DC、DQ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AB＝1，PC＝a，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，2，a），＝（1，0，0），＝（0，2，a），设＝（x，y，z）为平面ADP的一个法向量，则＝＝0，可得，令z＝﹣2，则y＝a，∴＝（0，a，﹣2）．同理可得平面ABP的一个法向量＝（a，0，1）．∴|cos|＝＝＝，解得：a＝，∴λ＝．9．已知直线2x+y﹣4＝0与圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝ON|（O为坐标原点）．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小值及求得最小值时的点P坐标．【解答】解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣2mx﹣y＝0（m＞0）为．则圆心坐标为C（m，），∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝，∴m＝2或m＝﹣2．∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5或（x+2）2+（y+1）2＝5，由于当圆方程为（x+2）2+（y+1）2＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5；（Ⅱ）点A（0，2）关于直线x+y+2＝0的对称点为A′（﹣4，﹣2），则|PA|+|PQ|＝|PA′|+|PQ|≥|A′Q|，又A′到圆上点Q的最短距离为|A′C|﹣r＝﹣＝3﹣＝2．∴|PA|+|PQ|的最小值为2，直线A′C的方程为y＝x，则直线A′C与直线x+y+2＝0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．10．已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣6，6）关于直线x﹣y+6＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由且，解得：m＝0，n＝0．故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r＝．故圆的方程为：x2+y2＝8；（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．由，得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）2﹣8＝0，∵P的横坐标x＝2一定是该方程的解，∴，同理，x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），∴直线AB和OP一定平行．11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．①求圆C的方程．②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：①由题意可知，设圆心为（a，a+1），则圆C为：（x﹣a）2+[y﹣（a+1）]2＝2，∵圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6），∴，解得：a＝4．则圆C的方程为：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k＝0，∵过点（3，0）的直线l截圆所得弦长为2，∴，则．∴直线l的方程为12x﹣5y﹣36＝0，当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝3，此时弦长为2符合题意，综上，直线l的方程为x＝3或12x﹣5y﹣36＝0．12．已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），则圆心C（1，1）到直线x+y﹣1＝0的距离为：，…（2分）则，∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；…（5分）（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：x＝2，此时满足直线与圆相切；…（6分）②当切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣3＝k（x﹣2），即y＝kx﹣2k+3；则圆心C（1，1）到直线kx﹣y﹣2k+3＝0的距离为：，…（8分）化简得：4k＝3，解得，∴切线方程为：3x﹣4y+6＝0；…（11分）综上，切线的方程为：x＝2和3x﹣4y+6＝0．…（12分）13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1＝0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1＝0垂直的直线方程为x﹣y﹣3＝0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r＝，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d＝＝，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，由d＝＝，…（11分）整理得k2+8k+7＝0，解得k＝﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y＝0或7x+y＝0．…（14分）14．已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长|AB|的最小值及此时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题可设圆心C（a，a），半径r，∵．∴a＝±1．又∵圆C与x轴正半轴相切，∴a＝1，r＝1．∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，此时弦长|AB|＝2．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：点C到直线l的距离，弦长，当k＝0时，弦长|AB|取最小值，此时直线l的方程为．由①②知当直线l的方程为时，弦长|AB|取最小值为．15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y ﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）AD边所在直线的方程；（2）矩形ABCD外接圆的方程．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），3x+y+2＝0．（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|2＝（2﹣0）2+（0+2）2＝8，∴．从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+y2＝8．16．已知三条直线l1：x+y﹣3＝0，l2：3x﹣y﹣1＝0，l3：2x+my﹣8＝0经过同一点M．（1）求实数m的值；（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．【解答】解：（1）解方程组，得交点M（1，2）．……………………………（3分）将点M（1，2）的坐标代入直线l3：2x+my﹣8＝0的方程，得m＝3．…………（6分）（2）法一：设点N的坐标为（m，n），则由题意可………（9分）解得…………………………………………………………………………（12分）所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14分）法二：由（1）知M（1，2），所以，过M且与x﹣3y﹣5＝0垂直的直线方程为：y﹣2＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣5＝0．…………………………………………………………………（8分）解方程组得交点为H（2，﹣1）………………………………………（10分）因为M，N的中点为H，所以，x N＝2×2﹣1＝3，y N＝2×（﹣1）﹣2＝﹣4．……（13分）所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14分）17．已知圆C1与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l上．（I）求圆C1的方程；（I）若圆C1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．【解答】解：（Ⅰ）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，即y＝x﹣1．由题意可得，圆心在直线y＝3上，联立，解得圆心坐标为（4，3），故圆C1的半径为4．则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16；（Ⅱ）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16，即x2+y2﹣8x﹣6y+9＝0，圆C2：x2+y2﹣6x﹣3y+5＝0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为2x+3y﹣4＝0．圆C1的圆心到直线2x+3y﹣4＝0的距离d＝．∴两圆的公共弦MN的长为2＝2．18．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a2）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段MN的中点．（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两点，求证：直线AB恒过定点；（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u．【解答】（Ⅰ）解：由题意，，即2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1（a＞0）．∴圆心坐标为（0，1），半径为1，由圆心到直线2x+y+m＝0的距离d＝＝，可得m＝0或m＝﹣2，∵点F（，）在直线2x+y+m＝0上，∴m＝﹣2．故m＝﹣2，圆C的方程为x2+（y﹣1）2＝1；（Ⅱ）证明：设Q（t，﹣2），则QC的中点坐标为（），以QC为直径的圆的方程为，即x2+y2﹣tx+y﹣2＝0．联立，可得AB所在直线方程为：tx﹣3y+2＝0．∴直线AB恒过定点（0，）；（Ⅲ）解：由题意可设直线l的方程为y＝kx+t，△ABC的面积为S，则S＝|CA|?|CB|?sin∠ACB＝sin∠ACB，∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．要使sin∠ACB＝，只需点C到直线l的距离等于，即＝，整理得：k2＝2（t﹣1）2﹣1≥0，解得t≤1﹣．①当t∈[0，1﹣]时，sin∠ACB最大值是1，此时k2＝2t2﹣4t+1，即u＝2t2﹣4t+1．②当t∈（1﹣，1）时，∠ACB∈（，π）．∵y＝sin x是（，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．综上所述，u＝．19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y2+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且直线l与圆M相交于不同的两点A，B．（1）若a＝4，求弦AB的长；（2）设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝，求圆M的方程．【解答】解：（1）由题意知，a＝4时圆心M坐标为（0，﹣2），半径为2，圆心到直线距离d＝，∴弦|AB|＝；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得50y2+（28+a）y+4＝0．∵△＝（28+a）2﹣16×50＞0，∴．，则，．于是＝＝．∴a＝2．∴圆的方程为x2+y2+2y＝0．20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝1，（1）P为直线l：x＝上一点．①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．【解答】解：（1）①设点P的坐标为（，y0），∵OP＝，∴+y02＝，解得y0＝±1．又点P在第一象限，∴y0＝1，即P的坐标为（，1）．易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，则切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，于是有＝1，解得k＝0或k＝．因此过点P的圆O的切线方程为：y＝1或24x﹣7y﹣25＝0；②设A（x，y），则B（，），∵点A、B均在圆O上，∴有圆x2+y2＝1与圆（x+）2+（y+y0）2＝4有公共点．于是1≤≤3，解得﹣≤y0≤，即点P纵坐标的取值范围是[﹣，]；（2）设M（x，y），假设存在点D（m，n），使为定值t（t＞0），则MC2＝t2MD2，即（x﹣2）2+y2＝t2（x﹣m）2+t2（y﹣n）2，∴，∵M在圆O：x2+y2＝1上，∴，解得t＝，m＝，n＝0．∴存在定点D（），使为定值．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1﹣ADB1的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AD?平面ABC，所以CC1⊥AD因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）因为CC1∩BC＝C，所以AD⊥平面B1BCC1．…（5分）（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，…（8分）因为A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1；（10分）（Ⅲ）解：V C1﹣ADB1＝V A﹣C1DB1＝＝．…（14分）22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB＝2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC 所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN＝1，异面直线PM与AC所成的角为。
人教版高中数学必修二教材课后习题答案及解析
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数学必修二试题全(附答案)
第一章空间几何体4. A, 〃为球面上相异两点，则通过4 8两点可作球的大圆（圆心与球心重合的截面圆） 有（ ）.B. 无穷多个6.下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有（ A. 1块 B. 2块 C. 3块 D. 4块 7.关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）.一、选择题1.右面的三视图所示的几何体是（A.六棱台B.六棱锥C.六棱柱D.六边形则这两个球的半径之比为（). 2. 已知两个球的表面积之比为1 : 9,A. 1 ： 3B. 1 ： V3C. 1 ： 9 3. 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正 （主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯 视图为（ ）.D. 1 : 81（第3题）A. 一个 C.零个D. 一个或无穷多个5.右图是一个几何体的三视图，则此几何体的直观图是（（第5题）).ABCD正视图 侧视图俯视正视图A.在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B.平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C.平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D.斜二测坐标系取的角可能是135°8.如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥（第8题）A. ®@B. ®®C.①④D.②④9.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）.10.如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是（）.A.原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心B.原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心C.原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心D.原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心二、填空题11.一圆球形气球，体积是8 cm3,再打入一些空气后，气球仍然保持为球形，体积是27 cm3.则气球半径增加的百分率为_______________ .12.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的体对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是 _______________ .13.右图是一多面体的展开图，每个面内都给了字母, AB C D请根据要求回答问题:① 如果力是多面体的下底面，那么上面的面是 _____ ;② 如果面尸在前面，从左边看是面方，那么上面的面是 ________ 14. 一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体枳是（第14题）三、解答題15. 圆柱内有一个四棱柱，四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形.已知圆柱表面积为 6 ,且底面圆直径与母线长相等，求四棱柱的体积.16. 下图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）;侧视图俯视图(2)求这个几何体的表面积及体积.A'俯视图(第16题)17.如图，在四边形宓9中，ZDAB=90° , ZADC=135<> , AB=5,切=2迈，AD=2,求四边形磁9绕直线血?旋转一周所成几何体的表面积及体积.18.已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，试比较它们的体积卩正方体，f球，孑何柱的大小.19.如图，一个圆锥形容器的高为a,内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为即求原来水面的高度.20.如图，四棱柱的底面是菱形，各侧面都是长方形.两个对角面也是长方形，面积分别为Q, 求四棱柱的侧面积.参考答案一、选择题1.B解析：由正视图和侧视图可知几何体为锥体，由俯视图可知几何体为六棱锥.2.A解析：由设两个球的半径分别为r，R,则4 F ：4兀用=1 ： 9.・•・/ : #=1 : 9, 即r ：R=1 : 3.3.C解析：在根据得到三视图的投影关系，•・•正视图中小长方形位于左侧，.••小长方形也位于俯视图的左侧；•・•小长方形位于侧视图的右侧，.••小长方形一定位于俯视图的下侧，・•・图C正确.4.D解析：A, 8不在同一直径的两端点时，过月，方两点的大圆只有一个；A,方在同一直径的端点时大圆有无数个.5.D解析：由几何体的正视图和侧视图可知，几何体上部分为圆锥体，由三个视图可知几何体下部分为圆柱体，・•・几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体.6.D解析：由三视图可知几何体为右图所示，显然组成几何体的长方体木| U __________ 块有4块.（第6题）解析：由平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中是原来的一半，・•・C不对.8. D解析：①的三个视图均相同；②的正视图和侧视图相同；③的三个视图均不相同；④的正视图和侧视图相同.・••有且仅有两个视图相同的是②④.9. A解析：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面：D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面.10. B解析：在平行投影中线段中点在投影后仍为中点，故选B.二、填空题11.50%.解析：设最初球的半径为r,则8=芈打入空气后的半径为斤，则27=- R.3 3・•・: r =27 : 8. A R'. r=3 : 2.二气球半径增加的百分率为50%.12.160.解析：依条件得菱形底面对角线的长分别是口7 = V200和5? = 456 .・・・菱形的边长为J 響' +年、=浮=8.・••棱柱的侧面积是5X4X8 = 160.13.F, C.解析：将多面体看成长方体，A,尸为相对侧面.如果川是多面体的下底面，那么上面的面是尺如果面尸在前面，从左边看是面8则右面看必是刀，于是根据展开图，上面的面应该是C14.80.解析：由三视图可知，几何体是由棱长为4的正方体和底面边长为4,高为3的四棱锥组成，因此它的体积是卩=4'+丄X4‘X3=64 + 16 = 80.3三、解答题15.参考答案：设圆柱底面圆半径为r,则母线长为2_r.•・•圆柱表面积为6 ,:.6 =2 f+4 y. :. r=l.I四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形，・•・正方形边长为血.・•・四棱柱的体积K=(V2)：X2 = 2X2 = 4.16.⑴略.(2)解：这个几何体是三棱柱.由于底面△磁的％边上的高为1, BC=2, :. AB=41 .故所求全面积S=2S4S 露c c+2S 如* =8+6血(cm 2). 几何体的体积V=Sg ・BB'=丄X2XlX3 = 3(cm 3).217. 解：S 绅=S 下底而+S 台開而+ S mwA- =X5‘+X(2 + 5)X5+ X2X2V2 =(60+4V2)则 6a 2=4 n Z=6 n R=S. :. a 2= — ,— , R=——6 4兀6兀:.v 正方体v 卩冈柱v y 球.19.解：设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为r, R,高为力，则.R a 则依条件得三• h • {f+rR+R) = — • — • f—-1 ,化简得{h —a)z=— — a.332 \2)820.解：设底面边长为a,侧棱长为厶底面的两对角线长分cl = Q\ ① dl = Q 2②+%)"③18.解：设正方体的边长为a,球的半径为r,圆柱的底面直径为2R 、(K MW )2=(兀 kX2Q'=4 H 2(/T)3=4 H别为c, d.(卩正方体)'=&)'=(£)'=16 ~9162(第20题)由①得尸辛，由②得d=牛, 代入③得齒+傷卜乳：・ ef + Q } =4 柑, ・・・2』a=J@+@ . 故 S 制=4a2=2jQ 汁Q].第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）. A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能2. 正四棱柱ABCD-A^C.D,中，AA^AB ,则异面直线人3与㈣所成角的余弦值为 （ ）. A.丄B. ?C. 35553. 经过平面外两点与这个平面平行的平面（ ）. A.可能没有 B.至少有一个 C.只有一个4. 点、E, F, G,力分别为空间四边形如?中也BC, CD, S6•与劭所成角的大小为90° ,则四边形曰创是（）. A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形5. 己知m, n 为异面直线，MU 平面 ，mu 平面， D =],则（ ）. A. 2与加，刀都相交B. 1与m, m 中至少一*条相交C. 2与加，"都不相交D. /只与也，m 中一条相交6. 在长方体ABC —A'&CA 中，AB=AD=2百,CG=近，则二面角C 「BD~C 的大小为 （ ）. A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 如果平面 外有两点仏B,它们到平面 的距离都是a,则直线M 和平面D. D. 〃的中点, 的位置关系一定是（ ）.有无数个 若AC=BD,且12. 正三棱柱AB&ABG 的各棱长均为2, E,尸分别是必4G 的中点，则朋的长A.平行B.相交C.平行或相交D. ABu 8.设皿是两条不同的直线，， 是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ ）. A. 丄，也丄 ，n// =>也丄刀B. // ,也丄，n// => m-Ln D. 丄， 门 =m,"丄a=> n 丄9.平面 〃平面 ,AB, G?是夹在 和 之间的两条线段，E,尸分别为 切的中点，则疔与 的关系是（ ）. A.平行B.相交C.垂直D.不能确定 10.平面 丄平面 ,JG a, BE B,曲与两平面 ,0所成的角分别为兰和分别作两平面交线的垂线，垂足为才 4 6则 AB ： A f B'等于（ ）.A. 2 ： 1B. 3 ： 1C. 3 ： 2D. 4 ： 3 二、填空题 11.下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线肋，G?所成角的大小（第12题）13.如图，SC是平面的斜线，且AO=a,"与成60°角，OC , AA'丄于才，Z店心45°,则点虫到直线兀的距离是___________________ .A14.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为石，则侧面与底面所成二面角的大小为_____ •15.已知a, b为直线，为平面，&〃，/＞〃，对于a, b的位置关系有下面五个结论：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有_____________ 个.三、解答题16.正方体的棱长为a.(1)求证：勿丄平面ACCxAv.(2)设尸为A刀中点，求点尸到平面ACQA,的距离.17.如图，個刀是正方形，0是该正方形的中心，尸是平面個刀外一点，丹丄底面個力, £是的中点.求证：⑴刃〃平面宓：(2)別丄平面PAC.A1 (第17题)18.如图，在四棱锥产曲8中，FD丄平面ABC0, PD=DC=BC=\, AB=2, AB//DC. Z应P=90。
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（数学2必修）第一章空间几何体［基础训练A 组］ 一、选择题1 .有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应疋A. 棱台B.A. 、3:1 B . 3:2 C . 2: , 3 D .则所形成的几何体的体积是（2. 3. 4. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（A. 3B. 2 3C. 3 3长方体的一个顶点上三条棱长分别是 同一球面上，则这个球的表面积是（ A. 25 B . 50 C . 125 正方体的内切球和外接球的半径之比为） D.3,4,5，且它的8个顶点都在）.都不对）4.35. 在△ ABC 中, AB 2,BC 1.5,ABC 1200,若使绕直线BC 旋转一周,B.C.2D.6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ A. 130 B . 140 C . 150 D . 160 二、填空题1 .一个棱柱至少有5，它的对角线的长个面，面数最少的一个棱锥有个顶点,顶点最少的一个棱台有条侧棱。
2 .若三个球的表面积之比是1: 2:3，则它们的体积之比是3. 正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱 长为a ，则三棱锥O AB 1D 1的体积为 _______________ 。
4 .如图，E, F 分别为正方体的面ADDd 、面BCC 1B 1的中心，贝U 四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 ______________ 。
5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 .2、、3、.6，这个 长方体的对角线长是____________ 若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 3,5,15，贝U 它的体积为 ____________ . 三、解答题1 .养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为()3. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm ， 则球的表面积是（）A. 8 cm 2B. 12 cm 22 2C. 16 cmD. 20 cm4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为3， 圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）A. 7B. 6C. 5D. 35. 棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A. 1: 7B. 2: 7C. 7:19D. 5:166. 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF // AB , EF 9A. -B. 5 215 C. 6 D.152、填空题1. 圆台的较小底面半径为1,母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成 60°, 则圆台的侧面积为 _____________ 。
2. Rt ABC 中，AB 3,BC 4, AC 5 ,将三角形绕直角边 AB 旋转一周所成的几何体的体积为 _____________ 。
12M ，高4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案: 库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M （底面直径不变）。
是新建的仓（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; （3） 哪个方案更经济些？2•将圆心角为1200，面积为3 的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积3. 一个球的外切正方体的全面积等于6 cm 2，求该球的体积（数学2必修）第一章 ［综合训练B 组］ -、选择题空间几何体 1 .如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 45°， 腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ） A. 22 BC .2— D .1222.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A.三 R 3 B .三 R 3248C .乂 R 324D .乜3-,且EF 与2平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（3. 等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S 球S正方体236.若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的 直径为 。
三、解答题1.有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190L ，假如它的两底面边长分别等于 60cm 和40cm ，求它 的深度为多少cm ?2.已知圆台的上下底面半径分别是 2,5 ,且侧面面积等于两底面面积之和 求该圆台的母线长•（数学2必修）第一章空间几何体［提高训练C 组］ 一、选择题1.下图是由哪个平面图形旋转得到的（A B C D2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ） A. 1:2:3 B. 1:3:5 C. 1: 2:4 D. 1:3:93.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形,则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（ ） A.B.4.若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为 3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是 ________________ 。
5. _______________________________________________________________ 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由 ____________________________________ 木块堆成；图（2）中的三视图表示的实物为 _______________ 。
图（2）)4 5C.4. 已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 和V 2，则V i ：V 2 （）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15. 如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A. 8: 27B. 2:3C. 4:9D. 2:96 .有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ）,则该几何体的表面积及体积为:A. 24 cm 2, 12 cm 2B.15 cm 2 , 12 cm 2C. 24cm 2, 36 cm 2 D.以上都不正确二、 填空题1. 若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是600，则圆锥的体积是 __________ 。
2. 一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 _.3. ______________________________________________________ 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 ______________________________________________ 倍.4. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9厘米则此球的半径为 _________ 米.5. __________________________________________________________________ 已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为 _________________________________ 。
三、 解答题1. （如图）在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为「3的圆柱， 求圆柱的表面积2 .如图，在四边形 ABCD 中， DAB 90°， ADC 135°， AB 5，CD 2 2，AD 2，求四边 形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.D.（数学2必修）第二章点、直线、平面之间的位置关系［基础训练A组］一、选择题1. 下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（）A. 0 B . 1 C . 2 D . 32. 下面列举的图形一定是平面图形的是（）A.有一个角是直角的四边形 B .有两个角是直角的四边形C•有三个角是直角的四边形 D .有四个角是直角的四边形3. 垂直于同一条直线的两条直线一定（）A.平行 B .相交C .异面D .以上都有可能4. 如右图所示，正三棱锥V ABC （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D,E,F分别是VC,VA, AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A. 300B . 900C . 600D .随P点的变化而变化。
5. 互不重合的三个平面最多可以把空间分成（）个部分A. 4 B . 5 C . 7 D . 86 .把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以代B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A . 90B . 60C . 45D . 30二、填空题1 .已知a,b是两条异面直线，c//a，那么c与b的位置关系________________________ 。
2. __________________________________________________________________________________ 直线I与平面所成角为300，丨1 Rm ,A m，则m与I所成角的取值范围是 ____________________________3. 棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d!,d2,d3,d4，则d i d2 d3 d4 的值为_______________ 。
4 .直二面角—I—的棱I上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC 与I 成45°，AB , AC ，贝U BAC ___________________ 。
5.下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_____________ 。
三、解答题1. 已知E,F,G, H 为空间四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 上的点，且EH // FG .求证:⑴E 、F 、G H 四点共面.（2） AC//平面EFGH.2. 自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
（数学2必修）第二章点、直线、平面之间的位置关系［综合训练B 组］ 一、选择题1. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱 （其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4 ,体积为16 , 则这个球的表面积是（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 322. 已知在四面体 ABCD 中，E,F 分别是AC,BD 的中点，若AB 2,CD 4,EF AB ,则EF 与CD 所成的角的度数为（ ）A. 90B. 45C. 60D. 30 3. 三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 1条或2条4. 在长方体ABCD ABC 1D 1，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 到截面AB 1D 1的距离为（） A. C.-3A B 1C 1中，各侧棱和底面的边长均为a ，点D 是CC 1上任意一点,连接AB, BD,AD,AD ，则三棱锥 A A 1BD 的体积为（）A. 1 33 3 aB a 6 12 C. 3 3aD1 3 a6126. 下列说法不正确的是（ ）A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B. 同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内;3 8 345.直三棱柱ABCD. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.二、填空题1 •正方体各面所在的平面将空间分成______________ E分。