北京交通大学信号与系统第三章典型例题

小结：由此可见，复杂系统可以由简单系统通过级联或并联等构成，根据简单系统之间的联结关系，就可以确定复杂系统的单位脉冲响应。值得注意的是，全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列 。
【例3-2-4】已知 ， ，计算 。
分析：按照教材中所列的图形法卷积步骤，计算卷积积分
解：
(1)将信号的自变量由t改为，如图（a）(b)所示；
(2)将h()翻转得h()，如图（c）所示；
(3)将h()平移t，根据x()与h(t)的重叠情况，分段讨论：
当t0时，x()与h(t)图形没有相遇，如图（d）所示，此时x()与h(t)的乘积结果为零，故
例3-4-2图
分析：根据离散时间LTI系统单位脉冲响应关系－两个离散时间LTI子系统级联所构成系统的单位脉冲响应等于两个子系统单位脉冲响应的卷积，两个离散时间LTI子系统并联所构成系统的单位脉冲响应等于两个子系统单位脉冲响应之和，扩展至多个子系统，可以得出结论。
解：从图3-4-2可见子系统h1[k]与]h2[k]是级联关系，h3[k]支路与全通支路并联后再与h1[k]、h2[k]级联。与全通连续系统相似，全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列 。因此图3-4-2所示系统的单位脉冲响应为
当0kN1时，RN[n]与RN[kn]图形相遇，而且随着k的增加，其重合区间增大，重合区间为[0，k]，如图（d）所示，故
当N1k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形仍相遇，而且随着k的增加，其重合区间减小，重合区间为[(N1)+k，N1]，如图（e）所示，故
当k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇，故y[k] =0。
(a)(b)(c)
图二例3-4-5
结论：在一些情况下，合理利用信号的卷积特性能够大大降低运算复杂度。
【例3-3-1】若描述某离散LTI系统的差分方程为
，
已知初始状态y[-1]=0，y[-2]=1/2，求系统的零输入响应yzi[k]。
分析：系统的零输入响应取决于系统差分方程的齐次解和系统的初始状态。首先求得系统的齐次解，在利用给定的初始状态求得待定系数。
式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有
即
解得A=2。因此可得系统的冲激响应为
结论：题中利用了阶跃信号u(t)与冲激信号 的微积分关系。即只要h(t)中含有u(t)，则h′(t)中必含有 ，h″(t)中必含有 如此类推。此外，在对 进行求导时，必须按两个函数乘积的导数公式进行。即
求导后，对含有 的项利用冲激信号的筛选特性进行化简，即
利用卷积和的位移特性，可得
由于 ，故
结论：对于一些题型，合理利用卷积和的特性可以简化解题。
【例3-4-1】已知某LTI连续系统如图3-4-1所示，求系统的单位冲激响应。其中 。
例3-4-1图
分析：根据连续时间LTI系统冲激响应关系－两个连续时间LTI子系统级联所构成系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积，两个连续时间LTI子系统并联所构成系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和，扩展至多个子系统，可以得出结论。
分析：
根据微分方程的理论和零输入响应的定义，零输入响应对应齐次微分方程的齐次解，所以可以利用初始状态条件及特征方程求得系统的齐次解，即得 。
解：系统的特征方程为
s2+6s+8 = 0
解特征方程，得特征根为
s1=2,s2=4（两不等实根）
故设系统的零输入响应 为
,
代入初始状态y(0)和y'(0)的值，有
y(0)=K1+K2=1
= =2
解得K1=3，K2=2。因此零输入响应为
，
结论：系统零输入响应与输入无关，系统微分方程对应的特征根决定系统零输入响应的形式，系统初始状态只影响系统零输入响应的系数。
【例3-2-2】已知某连续时间LTI系统的冲激响应 ，激励信号 ，试求系统的零状态响应 。
分析：LTI系统的零状态响应等于系统冲激响应与激励信号的卷积积分。
解：
根据信号x(t)、g(t)的波形可以确定出g(t)与x(t)的关系为
利用线性非时变系统的特性，可得系统响应yg(t)与y(t)的关系为
由此可得
结论：
通过分析比较，发现原输入信号与新输入信号之间的关系是关键。
【例3-2-1】已知某二阶连续时间LTI系统的微分方程
初始状态y(0)=1,y'(0)=2，求系统的零输入响应 。
卷积结果如图(f)所示。
结论：图形法求序列的卷积，要正确确定结果序列的k，同时计算不同k下所有两序列重和点的乘积并相加后的值。
【例3-3-5】计算 ，与 的卷积和。
分析：h[k]可以表示成单位脉冲序列的线性组合，x[k]为单位阶跃序列的延时，所以可以运用卷积和计算的位移特性解题。
解：
h[k]可用单位脉冲序列及其位移表示为
可见，全通连续系统的冲激响应为冲激信号 。因此图3-4-1所示系统的单位冲激响应为
小结：复杂系统可以由简单系统通过级联或并联等构成，根据简单系统之间的联结关系，就可以确定复杂系统的冲激响应。值得注意的是，全通连续系统的冲激响应为冲激信号 。
【例3-4-2】写出图3-4-2所示LTI离散系统的单位脉冲响应h[k]。其中 。
分析：将 、 分别根据冲激响应定义用 及 替换，得到动态方程。先求解动态方程的齐次解，将含有待定系数的结果作为动态方程解带入方程，观察方程两端系数情况，得到系统的冲激响应。
解：根据系统冲激响应h(t)的定义，当 时， 即为h(t)，即原动态方程式为
，
由于动态方程式的特征根 ，且 ，因此冲激响应h(t)的形式为
分析：系统的零状态响应可以写为系统输入与系统单位脉冲响应的卷积和。本题给出了两者，只要根据卷积和定义求解即可。
解：利用卷积和定义式可求出系统的零状态响应yzs[k]为
结论：在求解离散系统的零状态响应时，需要知道系统的单位脉冲响应h[k]，并能进行两序列的卷积和运算。
【例3-3-3】若描述某离散LTI系统的差分方程为
，
求系统的单位脉冲响应h[k]。
分析：求系统单位脉冲响应的解析解，可以利用“等效初始条件法”。首先利用迭代法计算系统的等效初始条件，再求解系统差分方程的齐次解。
解：
根据单位脉冲响应h[k]的定义，它应满足方程
1)求等效初始条件
对于因果系统有， ， ，代入上面方程，可以推出等效初始条件
求解该系统需要两个初始条件，可以选择h[0]和h[1]作为初始条件。选择初始条件的基本原则是必须将 的作用体现在初始条件中。
(a)(b)
图一
分析：图一(a)的导数为冲激信号形式，图一(b)的积分容易求得，可以考虑利用卷积的等效特性，将问题转化为一个信号与冲激信号的卷积，简化运算。
解：
由卷积的等效特性，有
因为x'(t) =(t)(t1)，波形如图二(a)所示， ，波形如图二(b)所示，故由卷积积分的延时特性，有
y(t)的波形如图二(c)所示。
解：当多个子系统通过级联、并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。
从图3-4-1可见，子系统 与全通连续系统组成并联系统，子系统 与子系统 也组成并联系统，将两并联系统再进行级联。对于全通连续系统，若输入为x(t)，输出为y(t)，则输入输出满足下面关系
第三章典型例题共计13题
【例3-1-1】已知 通过一个连续时间LTI系统的响应为
试求图3-1-1所示信号 通过该系统的响应 ，并画出其波形。
题3-1-1图
分析：
连续时间LTI系统的特点是“对输入信号进行线性变换、延时，相应的输出信号也为原输出信号的相应线性变换和延时”。利用系统特点，找到 与 的线性和时间关系，从而得到相应的系统响应。
解：
差分方程的特征方程为
解得特征根 ，零输入响应的形式为
代入初始状态，有
解得 ，故系统的零输入响应为
结论：按照差分方程齐次解求解方法求解即可，注意当齐次方程特征根为不同形式时与之相对应的齐次解的形式。
【例3-3-2】已知某离散时间LTI系统的单位脉冲响应 ，输入序列 ，试求系统的零状态响应yzs[k]。
解：系统的零状态响应 为
结论：在利用卷积法求解LTI系统的零状态响应时，首先需要分析出系统的冲激响应h(t)，然后经过卷积积分方法得到系统的零状态响应。下面要学习到的系统冲激响应求解以及卷积积分计算是求解系统响应的关键内容。
【例3-2-3】已知某连续LTI系统的微分方程式为
，
试求系统的冲激响应h(t)。
分析：u(t)函数向右趋向无穷，用图形法不容易直观表达，可以考虑按照卷积积分数学定义，采用解析的方法
解：根据卷积积分的定义，可得
结论：利用解析法求卷积积分，可以参考教材中一些常用信号卷积积分的公式列表
【例3-2-5】已知x(t)和h(t)的波形分别如图一(a)(b)所示，利用卷积的等效特性，计算y(t) =x(t)h(t)。
2)求差分方程的齐次解
差分方程的特征方程为
解得特征根 ，单位脉冲响应的形式为
代入初始条件，有百度文库
解得 ，故系统的单位脉冲响应为
结论：系统假定为因果系统是设定单位脉冲响应在k小于零时为零的前提，同时选择等效初始条件时，要将单位脉冲响应的作用体现出来。
【例3-3-4】 ，计算 。
分析：求两个序列的卷积和，可以按照图形法的步骤计算。
解：
(1)将序列的自变量由k改为n，如图（a）所示；
(2)将RN[n]翻转成RN[n]，如图（b）所示；
(3)将RN[n]位移k，根据RN[n]与RN[kn]的重叠情况，分段讨论：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
方波序列卷积和的图解
当k0时，RN[n]与RN[kn]图形没有相遇，如图（c）所示，故y[k]=0
当t0时，x()与h()图形相遇，而且随着t的增加，其重合区间增大，重合区间为（0，t），如图（e）所示，故
，
卷积结果如图(f)所示。
(a)(b)
(c) (d)
(e) (f)
指数信号与阶跃信号的卷积
结论：图形法计算卷积要严格根据步骤，同时注意翻转其中一个信号后，卷积结果中t时刻的参照点。
【例3-2-5】已知 ， ,试计算卷积 。