微积分习题集带参考答案
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微积分习题集带参考答案
2（2），求圆的面积为1时，面积变量S 相对于周长l 的变化率。
解 此时S 是l 的函数 πππ4222
l l S =
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=。于是S 对周长l 的变化率为 π2l dl dS =。 当1=S 时π2=l ，此时π
π
1
2
=
=l dl dS 。
5(2). 设a
x y ||=，在0=x 点可导，求α的取值范围。
解 设a
x x f ||)(=。当0≤α时，0=x 是函数的间断点，此时函数不可导。只讨论0>α。
考虑左导数 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>=<∞===---+
→1,0111
,0)0()(lim
1
0αααα
a x x x
x
x f x f ， 考虑右导数 ⎪⎩⎪⎨⎧>=-<∞=--=-=----→1
,0111,)()(0)0()(lim
1
0ααααa x x x x x f x f ， 因此该函数当1>α时在0=x 点可导，导数为0.
6. 设⎪⎩⎪
⎨⎧≥+-<≤+<-=1
,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 。求b a ,使得)(x f 在1,0=x 可导。
解法1 因可导必连续，则 a f x f x ===-
→)0(0)(lim 0，则0=a 。这样在1=x 处)(x f 也连续。
此时 110)0()(lim )0(0=-=--='-→-x e x f x f f x x ，1lim 0)0()(lim )0(00==--='+→+→+x
x
x f x f f x x ，
。 1111)1()(lim
)1(1=--=--='-
→-x x x f x f f x ，b x x b x f x f f x x =--=--='+→+→+1
)
1sin(lim 1)1()(lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。 解法2 同理可得0=a 。
1lim )'1(lim )0(00==-='-
→-
→-x x x x e e f ，11lim )'(lim )0(00==+='+
→+→+x x a x f ，则1)0('=f 。
11lim )'(lim )1(11==+='-
→-
→-x x a x f ，b x b x b f x x =-=+-='+
→+
→+)1cos(lim ]'1)1sin([lim )1(11。
若)1('f 存在，则应有b =1。此时1)1('=f 。
7. 设)(x f 在点0=x 连续，且11
)(lim
-=-→x
x f x 。 （1）求)0(f ，（2）问)(x f 在点0=x 处是否可导。
解 （1）由连续性可知 []1)0(1)(lim 0
-=-→f x f x 。若01)0(≠-f ，则∞=-→x
x f x 1
)(lim
， 与题设矛盾。必有01)0(=-f ，即1)0(=f 。
（2）10
)
0()(lim 1)(lim
00
-=--=-→→x f x f x x f x x ， 由导数定义可知)(x f 在点0=x 处可导，1)0('-=f 。
8. 设)(x g 在点0=x 连续，求x x g x f 2sin )()(=在0=x 处的导数。 解 由导数的定义)0(22sin )(lim 2sin )(lim 0)0()(lim
)0('000
g x
x
x g x x x g x f x f f x x x ===--=→→→ 注：不能x x g x x g x f 2cos )(22sin )(')('+=，故)0(2)0('g f =。
9. 设1)0(=f ，2)1(=g ，1)0('-=f ，2)0('-=g 。
求 （1）x
x f x x )
(cos lim 0-→， （2）x x f x x 1)(2lim 0-→， （3）1
2
)(lim
1--→x x g x x
解 （1）原极限[][]0
)0()(lim
11
cos lim 1)(1cos lim
000-----==---=→→→x f x f x x x x f x x x x 1)0(')'(cos 0=-==f x x
（2）原极限 0
1
2]1)([2lim 122)(2lim 00--+-=-+-=→→x x f x x f x x x x x x x
12ln 2ln 21)'2(2)0('022lim 20
)0()(lim 000000-=+-=+⋅=--+⋅--==→→x x x x x x f x x f x f
（3）原极限1
)
1(2lim 1]2)([lim 12
22)(lim
111
--+--=--+-=→→→x x x x g x x x x x g x x x x 112)'(21)0('1
)
1(2lim 1)0()(lim
111
-=+-=+⋅=--+⋅--==→→x x x x g x x x x g x g
10. 设1)0(=f ，1)0('-=f ，求极限 x
x f x --→11
)(ln lim
1
。