大学物理 第19章 光的衍射习题思考题的解答

习题

19-1．波长为nm 546的平行光垂直照射在缝宽为mm 437.0的单缝上，缝后有焦距为cm 40的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。

解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离

a

λϕϕϕ2210=-=∆

f

x 20=

∆ϕ

利用两者相等，所以：m a

f x 3

3

9

10

0.110

437.04

.010

546222---⨯=⨯⨯⨯⨯=

=

λ

19-2．波长为nm 500和nm 520的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为cm 002.0的光栅上，紧靠光栅后用焦距为m 2的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。

解：两种波长的第三谱线的位置分别为x 1,x 2

λϕk a ±=sin f

x =

=ϕϕtan sin

a

f x 113λ=

a

f x 223λ=

所以： Δx= ︳x 1-x 2︱=6.0×10-7m

19-3．在通常的环境中，人眼的瞳孔直径为mm 3。设人眼最敏感的光波长为nm 550=λ，人眼最小分辨角为多大？如果窗纱上两根细丝之间的距离为mm 0.2，人在多远处恰能分辨。

解：最小分辨角为：rad D

4

3

9

10

2.210

31055022.122

.1---⨯=⨯⨯⨯

==λθ

如果窗纱上两根细丝之间的距离为mm 0.2，人在多远处恰能分辨。 m s mm l rad s

l 1.9210

2.24

==⨯==

-，可得：，当θ

19-4．已知氯化钠晶体的晶面距离nm 282.0=d ，现用波长nm 154.0=λ的X 射线射向晶体表面，观察到第一级反射极大，求X 射线与晶体所成的掠射角. 解： 2

12sin λ

ϕ）（+±

=k d 第一级即k=0。 r a d d

273.02s i n ===λ

ϕϕ

19-5. 如能用一光栅在第一级光谱中分辨在波长间隔nm 18.0=∆λ，发射中心波长为nm 3.656=λ的红双线，则该光栅的总缝数至少为多少？

解：根据瑞利判据：）

（λλλ∆+-=

N

kN k 1

）

（18.06.6531

6.653+-=

N

N 所以N=3647。

19-6．一缝间距d=0.1mm ，缝宽a=0.02mm 的双缝，用波长 nm 600=λ的平行单色光垂直入射，双缝后放一焦距为f=2.0m 的透镜，求：（1）单缝衍射中央亮条纹的宽度内有几条干涉主极大条纹；（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，中央亮条纹的宽度内又有几条干涉主极大？

解： λϕk a ±=sin 所以中央亮条纹位置为：m a

f x 12.010

2106002225

9

=⨯⨯⨯=

=--λ

中央明条纹位于：中心位置的上下方各0.06m 处。

而干涉条纹的条纹间距为：m d f x 012.010

11060024

9

=⨯⨯⨯==∆--λ

中央明条纹在中心位置的上下方各0.006m 的位置上，第K 级明条纹的位置为：

06.0012.0006.0 ⨯+=k x 所以对应的k=4，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有9条干涉主极大条纹（两边各四条+中央明纹）。

（2）在这双缝的中间再开一条相同的单缝，

干涉条纹的条纹间距将变为：m d

f x 024.010

5.01060022

1

4

9

=⨯⨯⨯==∆--λ

中央明条纹在中心位置的上下方各0.012m 的位置上，第K 级明条纹的位置为：

06.0024.0012.0 ⨯+=k x 所以对应的k=2，

即在单缝衍射中央亮条纹的宽度内有5条干涉主极大条纹（两边各两条+中央明纹）。

19-7 一个平面透射光栅，当用光垂直入射时，能在30度角的衍射方向上得到600nm 的第二级主极大，并且第二级主极大能分辨nm 05.0=∆λ的两条光谱线，但不能得到400nm 的第三级主极大，求：（1）此光栅的透光部分的宽度a 和不透光部分的宽度b ；（2）此光栅的总缝数N 。

解：（1）利用： λϕk b a ±=+s i n ）（

根据题意：30度角的衍射方向上得到600nm 的第二级主极大，所以：

nm b a 24002

16002sin 2

=⨯

==+ϕ

λ

不能得到400nm 的第三级主极大：说明第三级条纹缺级。 由缺级的定义可得到：

3=+a

b a

所以：a=800nm ，b=1600nm 。 （2）根据瑞利判据：）（λλλ∆+-=

N

kN k 1

）

（05.06001

26002+-=

⨯N

N 所以：N=6000。

19-8 波长400nm 到750nm 的白光垂直照射到某光栅上，在离光栅0.50m 处的光屏上测得第一级彩带离中央明条纹中心最近的距离为4.0cm ，求：（1）第一级彩带的宽度；（2）第三级的哪些波长的光与第二级光谱重合。

解：（1）衍射光栅中a

k x 212λ

）

（+=

波长越小，则离中央明纹就越近，所以：a

210

400304.07

-⨯⨯=

那么750nm 的波长的第一级条纹位置在：m a

x 075.0210

75037

=⨯⨯

=-

第一级彩带的宽度：cm m x 5.3035.004.0075.0==-=∆ （2）第二级的750nm 的波长对应的光的位置：m a

x 125.0210

75057

2=⨯⨯=-

第三级中有一部分和它将重合：m a

x 125.0103

7273

3≤⨯=

⨯=λλ

对应的波长为400~500nm 的波

19-9 如要用衍射光谱区别氢原子巴尔末系第11条和第12条谱线，光栅的分辨本领应为多大？如光栅常数为每毫米200条的光栅，要想在第2级中能分辨这两条谱线，这光栅的宽度至少多宽？（提示：巴尔末系第11条和第12条谱线由量子数n 分别为13和14到n=2的跃迁所产生。）

解：（1）根据瑞利判据：光栅的分辩本领为λ

λ

∆=R ，只要知道它们的波长就可以了。

n 从13→2：v ~

=R ［1/22-1/13２］=(3/4)R ， λ２

=676/(165R)=3734A n 从14→2：v ~ =R ［1/2２

-1/14２

］=(5/36)R ，λ

３

=(49)/(12R)= 3722A

所以：3103722

37343722=-=

∆=

λ

λ

R

（2） 根据瑞利判据： ）（λλλ∆+-=N

kN k 1

k=2，所以：37341237222⨯-=

⨯N

N 得出： N=156条，

如光栅常数为每毫米200条的光栅，那么只要光栅的宽度为：mm 76.0200

156=就可以

满足要求了。

19-10 用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光光谱（

A 5900=λ）。问：（1）光线垂直