【文献综述】关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比
工程数学(线、概、统)(高本)复习思考题
工程数学（线、概、统）（高本）复习思考题一一、单选题（共40题，每题1.5分）1.如果=M，则=( )1A. 8MB. 2MC. MD. 6M2.已知可逆方阵则A=( )2A. B. C. D.3. 如果n阶方阵A的行列式|A|=0则下列正确的是( )2A. A=OB. r(A)>0C. r(A)<nD. r(A)=04.设，则取值为( )2A. λ=0或λ=-1/3B. λ=3C. λ≠0且λ≠-3D. λ≠05.在下列矩阵中可逆的是( )2A. B. C. D.6. 若齐次线性方程组有非零解,则常数λ=( )3A. 1B. 4C. 2D. 17.n阶方阵A可对角化的充分条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A的不同特征值的个数小于nC. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性相关的特征向量8.设二次型的标准形为，则二次型的正惯性指标为( )3A. 2B. -1C. 1D. 39.设A是4阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=( )3A. 16B. -4C. -32D. 3210.行列式中元素k的余子式和代数余子式值分别为( )2A. 20，-20B. 20，20C. -20，20D. -20，-2011.已知矩阵A4×4的四个特征值为4，2，3，1，则=( )3A. 2B. 3C. 4D. 2412.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是( )2A. A有n个不同的特征值B. A为实对称矩阵C. A有n个不同的特征向量D. A有n个线性无关的特征向量13.行列式中元素y的余子式和代数余子式值分别为( )3A. 2，-2B. –2，2C. 2，2D. -2，-214.矩阵的秩为( )3A. 1B. 3C. 2D. 415.n阶实方阵A的n个行向量构成一组标准正交向量组，则A是( )3A. 对称矩阵B. 正交矩阵C. 反对称矩阵D. |A|=n16.n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是( )2A. A的秩小于nB. A的特征值至少有一个等于零C. A的特征值都等于零D. A的特征值都不等于零17.设二次型的标准形为，则二次型的秩为( )4A. 2B. -1C. 1D. 318．如果总体服从正态分布，总体的期望和方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用的检验方法是( )检验。
非齐次线性方程组解判定
非齐次线性方程组解判定
非齐次线性方程组解的判定：当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么非齐次线性方程组有解。
当r（A）=r（A|b）=n时有唯一解，当r（A）=r （A|b）<n时有无穷多解。
当r（A）不等于r（A|b）时方程组无解。
题目中的线性方程组根据解的判定定理判定为：r（A）=r（A|b）=4。
所以线性方程组有唯一解。
扩展资料：
解的存在性
非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A 的秩）
非齐次线性方程组解的结构：
非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*）。
齐次线性方程组解法：
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1、c2、c3……c（n-r），即可写出含n-r个参数的通解。
关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比
对 于 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ａｘ ＝ｂ（ ｂ≠ ０）， 由
Ｋｒ ｎ ｃ ｅ ｏ ｅ ｋ ｒ定 理 知 ： Ａｘ ＝ ｂ 有 解 的 充 要 条 件 为 ，
ｘ
１ ＿ｌ＿ ｌＩ Ｊ
证 明 了两种 方法通 解 的等价 性 ， 过 实例 给 出了惟 一 的极 小 范数 解 。对 于不相 客 的非 齐次 线性 方程 组 ， 通
用 广 义 逆 矩 阵 法 由 实例 给 出 了惟 一 的 极 小 范数 最 小 二 乘 解 。
关 键 词 ： 齐 次 线 性 方 程 组 ； 等 变 换 法 ； 义 逆 矩 阵 法 ； 小 范 数 解 ； 小 范 数 最 小 二 乘 解 非 初 广 极 极
其 中 ， 后 ， ， ｎＲ 任 意 常 数 ． ，： Ｋ ｋ ＿为
例 １： 解 非 齐 次 线 性 方 程 组 求
（ ）＝， Ａ ） 若 Ａｘ ＝ｂ有 解 ， 称 之 为 相 容 线 性 方 Ａ （ ． 则
程 组 ； 无 解 ， 称 之 为 不 相 容 线 性 方 程 组 或 矛 盾 若 则 线 性 方 程 组 ． 于 相 容 线 性 方 程 组 主要 有 两 种 有 效 对 的解 法 ， 矩 阵 的初 等 变换 法 及 广 义 逆 矩 阵 法 ， 即 它 们 的 具 体 作 法 虽 有 不 同 ， 达 式 不 一 ， 最 终 果 是 表 但
． —— —
７９ ・— ・ —
一
的 极 小 范 数 解 ，。ｃ ， ， 为 任 意 常 数 ． ｃ ，： Ｋ ｃ
对 于 上 述Байду номын сангаас例 １则 有
线性方程组AX_b几种解法的比较研究
比较： 对分法是重复应用零点存在性定 理，每次将区间压缩一半且其中至少包含一个 根，直至最终区间长度（根的精度）满足要求为 止． 黄金分割法与对分法本质上一致， 只不过 每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例
为０．６１８＝
，（黄金分割比例）和简单跌代
法、单点割线法、两点割线法、三点抛物 线法比较对于正定二次函数，牛顿法一步即可 达到最优解。
（１）如果系数矩阵 Ａ 的行数 ｍ 等于列数 ｎ，
（下转 １０１ 页）
科技咨询导报 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｃｏｎｓｕｌｔｉｎｇ Ｈｅｒａｌｄ
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学 术 论 坛
本模型着在重解决此题出版社的资源分 配，通过对书号的分配来使其生产最优使其利 润达到最大。
为了能更深入地了解它的特性，有必要先对它的几种解法研究一下。解可能出现三种情况：无解、有唯一解和有无穷多组解。求解方法
大概可以划分为两类：直接消去方法、迭代数值解法。
关键词：线性方程组 解法 比较
中图分类号：Ｇ４
文献标识码： Ａ
文章编号：０６７３－０５３４（２００７）０５（ａ）－００９９－０２
１ 方程组的解法概要
比较： 如果 ｗ ＝ １ ，就是标准的高斯 － 塞德 尔迭代法；如果 ｗ＞１，就称为 ＳＯＲ（Ｓｕｃｃｅｓｓｉｖｅ Ｏｖｅｒ－Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）方法。 ２．３ 数值方法 － 迭代逼近
利用图形的方法或连续函数的零点存在 性定理，可以推知 ｆ（ｘ）在某一区间内有根，下 面就基于此来讨论求根的数值方法。
求ｘ ， 使
这两种方法推荐用第二种， 它不但速度 快， 而且精度高。
比较：逆阵法和左除法的所用的时间和误 差
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
践性方程组解的结构(解法)一、齐sail方程纽的解法【定义】r<n,若从=0 (A为加x川矩阵)的一组解为询,$，…,爲―，且満足：(1) …境"线性无关;(2) 如GO的)任一解部可由这组解找性表示.H称盒，益，…，仏t为从=0的基硏解系.祢X = +心疋2 +…+心心为从=0的逋解。
其中危危…,怎冷任«»»).齐®att方程组的关键冋题就是来通解，而求通解的关键阿题是求基•解系.【定理】若齐次线性方程组从=0有解，!!(1) 若齐次裁性方程组以=O(A为〃以〃拒阵)葫足HA) = ", K只有零解；(2) 齐次拔性方程组有非零解的充嬰条件是r(A)<n.(注：当〃匸”时，齐ftStt方程组有非零解的充要条件是它的系数行列3|A|=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它0所含解向最的个数相同，且基碣解系所含解旬量曲个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐ftSft方程组AX=O^对应的同解方程组。
由上述定理可知，若加是系数矩阵的打数(也即方程的个效)，”是未知量的个数，II有：(1) 当加<"时，r(A)<m<n t ft时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数旅一定有非零解；(2) 当〃匸"时，齐次拔性方程组有非零解的充要条件是它的系数行则衣国=0；(3) 当m = n且r(A) = “时，若泵数拒阵的行列刻A|H O, H齐次线U方程组只有零解；(4) 当m > H时，若r(A)<//r IS存在齐次城性方程组的同解方程组；若心)>”,则齐次拔性方程组无解。
1、来从=O(A为〃7X"矩阵)通解的三步U(1) A^-^C (行最简形)；写出同解方程组CX=Q.(2) 来岀的基硏解系询爲，•••，&・『；(3) 耳出i解X = + «$ +…+ Vr^-r其中东，忽・・・，紿为任显热有r （A ） = 4 = //,则方程组仅有零解.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m “）（注ih 方程组的个数不等于未知量的个数（即m 知i ）,不可以用行列衣的方法来判Bi h 从而可廿算系数矩l?A 的行列式:23-15:: ：=327工0,知方程组仅有零解，即x 1=x 2=x 3=x 4=0.41—3 o1 -2 4 -7注：ft 法仅对n 较小时方便令 x 3 = 1 , x 4 = 0 , x 5=0 9 II x, =l,x 2 =-2； 令 x 3 = 0 , x 4= \ f x 5 = 0 F 得 X] = h 忑=一2 ; 令七=0 , 兀=0, X 5= \ 9 x } =5,X 2 =-6 , 于是得到原方程组的一个基碣解系为+3X 2 ~X 3 +5X 4 =0, +x 2 +2® ~X4=0, +x 2 _3兀 +6X 4 =0,—2X 2 +4X 3 一 7q =0.2xl 3x [«R1】解线性方程组「+Xy +£ +X5=0, 3x }+2x ? +九 +q—3*5 =0,X 2+2X 3 +2X 4 +6X 5 =0,5zV)+4x ) +3X 3 +3X 4 "X 5=0.[flH2]解找性方程组解法一: 将系数矩阵A 化为阶梯形矩薛2 3 4 13 11 -2-1 2 -3 45 -16 -7-274 -10 43 'T-7 14 16即 x\ =x 2=x 3=x 4=0.ri 1 1 1r"1 1 1 1■ 132 1 1 a 斤x(-5)+、 0 -1 -2 - 2 -6 1 1 一/|X (-3)+G0 1 2 2 61 2 2 6.5 4 3 3 一 L_0 _1 -2 -2 -610-1-1 0 12 2 0 0 0 0 00 0一5 6 0 0可得 r(A) = 2<n 9 解：将系数矩阵A 化为筒化阶U 站矩阵A = ；2^(-1)+?4舅方程组有无穷多解・其同解方程组为x } = x 3 +x 4 x 2 = -2X 3 -2X 4（其中X- x 4f x 5为自由未知量）所以，原方程组的通解为X=k^+k^2+k^ (k lt k2f k3eR).二、非齐次线性方程组的解狀AX=b { A mxn r(A) = r )用初等行变换*解，不ffiSSir列践性无关(1) 〃冲工0时，原方程组无解.(2) <+1=0,r = n时,泉方程纽有唯一解.(3) 為=O,r<HW,g方程组有无穷多解.其通解为X =班 +出f +••• + «—$_ , k、、％、•••,匕”为任其中：盲疋2,…疋…为从=力导出组AX=0的基碣解系，久为AX=b^特解,【定理1】如果〃是非齐次拔性方程组AX=b的解，◎是其导出组AX=0ffl-个解，»a +〃是非齐次缆性方程组AX=b的解。
【文献综述】线性方程组解法的研究
文献综述信息与计算科学线性方程组解法的研究线性代数不仅是大学数学专业的一门重要的基础课程，也是本专科高校中各类专业的一门公共基础课，对后续知识的学习及学生的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养等都起着非常重要的作用。
线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。
近年来随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一。
线性代数的应用已经深入到自然科学、社会科学、工程技术、经济和管理等各个领域。
而求解线性方程组是线性代数的核心内容之一，也是它的最重要的应用领域之一。
线性方程组理论及其求解无论在工程计算和理论研究中都占有非常重要的地位，许多实际问题最终都可以化为一个线性方程组的求解问题。
线性方程组是指由一次方程所组成的方程组，对于它的研究主要是在解法问题上的探究，它有很多非常有效的解法，如高斯消元法、约当消元法、迭代法等，对一些特殊的线性方程组还有更有效的算法。
通常情况下，对于二元一次及三元一次方程组，采用的是加减消元法或带入消元法来求解。
至于多元线性方程组，大多采用的是高斯消元法、迭代法、主元素消去法等。
著名的克莱姆法则一般用在未知数个数和方程个数相等的情况下，用它求解方程组有个缺点，就是计算量比较大。
最初的线性方程组来源于生活，产生在实践中，正是一些实际问题刺激了这门学科的诞生和发展。
因此，线性方程组和我们的生活息息相关，人们对线性方程组的研究也在不断的深入，线性方程组理论及其解法更是不断的被应用在实际问题中。
对于线性方程组的解法，中国古代就有比较完整的论述。
在《九章算术方程》中，描述了相当于现在的高斯消元法，就是利用方程组的增广矩阵实行初等变换从而消去未知量的方法。
在印度，于梵藏的著作中最早出现一次方程组。
而西方，法国数学家彪特于1559年提出了三元一次方程组的解法，这也是欧洲最早出现的关于三元一次方程组的解法。
此后直到17世纪后期，由莱布尼茨开创了对线性方程组的研究，他当时研究的是含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组，而且通过对线性方程组的研究还导致了他发明了行列式。
考研数学三线性代数(线性方程组)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学三线性代数（线性方程组）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为，则自由变量可取为(1)x4，x5 (2)x3，x5 (3)x1，x5 (4)x2，x3那么正确的共有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：B解析：因为系数矩阵的秩r(A)=3，有n-r(A)=5-3=2，故应当有2个自由变量．由于去掉x4，x5两列之后，所剩三阶矩阵为，因为其秩与r(A)不相等，故x4，x5不是自由变量．同理，x4，x5不能是自由变量．而x1，x5与x2，x3均可以是自由变量，因为行列式都不为0．所以应选B．知识模块：线性方程组2．已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，那么下列向量α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3中能导出方程组Ax=0解的向量共有( )A．4个．B．3个．C．2个．D．1个．正确答案：A解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，A(α1-3α2+2α3)=Aα1-3Aα2+2Aα3=b-3b+2b=0，那么，α1-α2，α1+α2-2α3，(α2-α1)，α1-3α2+2α3均是齐次方程组Ax=0的解．所以应选A．知识模块：线性方程组3．已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )A．(1，-1，3)TB．(2，1，-3)TC．(2，2，-5)TD．(2，-2，6)T正确答案：B解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解．因此选项A、D均不是Ax=0的解．由于α1，α2是Ax=0的基础解系，那么α1，α2可表示Ax=0的任何一个解η，亦即方程组x，α1+x2α2=η必有解，因为可见第二个方程组无解，即(2，2，-5)T不能由α1，α2线性表示．所以应选B．知识模块：线性方程组4．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是( )A．r=nB．r≥n．C．r＜n．D．r＞n．正确答案：C解析：将矩阵A按列分块，A=(α1，α2，…，αn)，则Ax=0的向量形式为x1a1+x2a2+…+xnan=0，而Ax=0有非零解甘α1，α2，…，αn线性相关r(α1，α2，…，αn)＜nr(A)＜n．所以应选C．知识模块：线性方程组5．已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α1，α2线性无关，若α1+2α2-α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2为任意常数，那么Ax=β的通解为( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：由α1+2α2-α3=β知即γ1=(1，2，-1，0)T是Ax=β的解．同理γ2=(1，1，1，1)T，γ3=(2，3，1，2)T也均是Ax=β的解，那么η1=γ1-γ2=(0，1，-2，-1)T，η2=γ3-γ2=(1，2，0，1)T是导出组Ax=0的解，并且它们线性无关．于是Ax=0至少有两个线性无关的解向量，有n-r(A)≥2，即r(A)≤2，又因为α1，α2线性无关，有r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2．所以必有r(A)=2，从而n-r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基础解系，根据解的结构，所以应选B．知识模块：线性方程组6．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的齐次线性方程Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：对于A、C选项，因为所以选项A、C中不含有非齐次线性方程组Ax=b的特解，故均不正确．对于选项D，虽然(β1-β2)是齐次线性方程组Ax=0的解，但它与α1不一定线性无关，故D也不正确，所以应选B．事实上，对于选项B，由于α1，(α1-α2)与α1，α2等价(显然它们能够互相线性表示)，故α1，(α1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知，是齐次线性方程组Ax=b的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B选项正确. 知识模块：线性方程组7．三元一次方程组，所代表的三个平面的位置关系为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：设方程组的系数矩阵为A，对增广矩阵A作初等行变换，有因为r(A)=2，而r(A)=3，方程组无解，即三个平面没有公共交点．又因平面的法向量n1=(1，2，1)，n2=(2，3，1)，n3=(1，-1，-2)互不平行．所以三个平面两两相交，围成一个三棱柱．所以应选C．知识模块：线性方程组8．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：D解析：因为不论齐次线性方程组Ax=0的解的情况如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A：b)，所以选项A、B均不正确．而由Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A：b)＜b．根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时Ax=0必有非零解．所以应选D．知识模块：线性方程组填空题9．设A为3×3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则r(A)=_____正确答案：1解析：由线性方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为3×3阶，因此r(A)=n-r=3-2=1．知识模块：线性方程组10．设A是一个五阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解，则r(A*)=_______正确答案：0解析：η1，η2是齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解．因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，因此有n-r(A)≥2，即r(A)≤3．又因为A是五阶矩阵，而r(A)≤3，因此｜A｜4阶子式一定全部为0，因此代数余子式Aij恒为零，即A*=O，所以r(A*)=0．知识模块：线性方程组11．设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______正确答案：k(1，1，…，1)T，k是任意常数．解析：由题干可知r(A)=n-1，则线性方程组Ax=0的基础解系由1个解向量组成，即任意的一个非零解都可以成为基础解系．又已知矩阵每行的元素之和都为0，因此有Ai1+Ai2+…+Ain=1×Ai1+1×Ai2+…+1×Ain=0，故(1，1，…，1)T满足每一个方程，是Ax=0的解，所以通解为k(1，1，…，1)T，k 是任意常数．知识模块：线性方程组12．方程组有非零解，则k=_______正确答案：-1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12(K+1)=0，因此得k=-1．知识模块：线性方程组13．设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是_____正确答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T解析：A是一个3阶矩阵，由已知得｜A｜=0，且r(A)=2，因此r(A*)=1，那么可知n-r(A*)=3-1=2，因此A*x=0有两个基础解系，其通解形式为k1η1+k2η2．又因为A*A=｜A｜E=0，因此矩阵A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T 知识模块：线性方程组14．已知方程组总有解，则λ应满足的条件是______正确答案：解析：对于任意的b1，b2，b3，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩为3，即｜A｜≠0，由可知λ≠1且λ≠知识模块：线性方程组解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种科学、工程和社会问题。
例如，在经济学中，可以用它来分析市场竞争；在工程学中，可以用它来设计机器人；在社会学中，可以用它来研究社会结构。
此外，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理还可以用来解决数学问题，例如求解线性规划问题、求解最优化问题等。
总之，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解，并且在科学、工程和社会等领域有着广泛的应用。
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文献综述
信息与计算科学
关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。
特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。
广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。
若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为
x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。
若A 是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。
若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A^g、A^-或A^(1)等符号表示，有时简称广义逆。
线性方程组的逆矩阵解法一般只适用于一种特殊情况,即适用于系数矩阵为方阵的时候，用于一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统本文探讨了线性方程组的广义逆矩阵解法。
对一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统。
本文通过运用相关定理，进行线性方程组的广义逆矩阵解法和初等矩阵法的对比。
这对于我们理解相关广义逆矩阵的应用会有帮助。
白素英（2010）在《关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比》一文中给出相容的非齐次线性方程组的两种不同的解法，即矩阵的初等变换法及广义逆矩阵法，并证明了两种方法通解的等价性，通过实例给出了惟一的极小范数解。
对于不相客的非齐次线性方程组，用广义逆矩阵法由实例给出了惟一的极小范数最小二乘解。
侯双根（1992）在《广义分块对角矩阵的广义逆矩阵》一文中对广义分块对角矩阵的广义逆矩阵给出了一个运算规则，并且利用它可以简化求广义分块对角矩阵的广义逆矩阵。
伊崇信，戴洪才（1990）在《一种求布尔矩阵全体广义逆的新算法》一文从布尔矩阵广义逆的定义出发，给出一个通过较少运算步骤就能判定一个布尔矩阵是否有广义逆，以及当有广义逆时，快速求出其全部广义逆的算法。
肖桂荣（2002）在《任意矩阵的逆矩阵的刻划定理及其应用》一文中针对矩阵在实际问题中的应用，认为它一般不是方阵或不是可逆矩阵的情况，给出并证明了常用的
一类广义逆矩阵---A{1}的刻划定理及其应用。
周立仁（2010）在《矩阵加权MoorePenr ose 逆的通式》一文中讨论了矩阵的15 种Moore- Penrose 逆的通式, 同时矩阵的15 种Moore- Pen rose 广义逆作为其特殊情形而导出。
指出在一些科学研究领域, 矩阵广义逆更是不可缺少的研究工具，一个矩阵的Penro se 型广义逆有15 种类。
宋小力（2010）在《AX = B型矩阵方程解集的结构》一文中指出线性矩阵方程是矩阵论中的重要研究方向之一, 其作为处理工具在系统控制等工程领域中有着广泛的应用. 给出了AX = B 型矩阵方程有解的另一些充分必要条件, 讨论了AX = 0型和AX = B 型矩阵方程解集的结构, 并利用矩阵的初等变换给出了AX = B 型矩阵方程通解的具体求解方法.
邵俊倩（2009）在《关于Moore-Penrose 逆的若干性质》一文中给出了Moore-Penrose 逆的定义及Moore-Penrose 逆的几个特殊性质，认为Moore矩阵当中一类更为特殊的广义逆，也就是Moore- Penrose 逆，不仅在应用上特别重要，而且有很多有趣的性质。
罗成林（2007）在《求广义逆矩阵的方法》一文中认为广义逆矩阵的理论是代数学中的一个重要方面．在测量学、统计学、经济学以及线性规划等许多领域中有着重要
的应用．为此，本文从广义逆矩阵的常规的求法中，总结出一个简单易行的求广义逆
矩阵的方法．
贺永会（2009）在《矩阵方程
C
B
X
A
i
i
i
=
∑
在特定条件下的解》一文中矩阵方程是线性
代数的核心组成部分, 其在各个领域都有广泛应用。
他对这一类矩阵方程进行了研究, 区别于通常的解法, 利用矩阵的广义逆矩阵和分块矩阵对这一类方程进行了简化计算, 通过对AXB =C进行求解得出了其解存在条件及在特定条件下的解, 并对其进行了推广, 使其能更广泛的利用。
王俊青，张丽珍在《斜域中块反循环矩阵及其性质》一文中进行了关于矩阵在斜域上的研究,在非交换代数理论中是一个基本的方面，分块反循环矩阵理论被广泛的应用于编码理论、数理统计等。
分块反循环矩阵的概念已经被推广到斜域中去。
她们研究了分块反循环矩阵及其特性。
Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt（2002）在《关于柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵标准形式的界限问题》一文中建立起对于一般的柯西托普利茨矩阵的特殊形式的下限和上限，这儿
g=1/k并且h=1.此外他们已经得知对于柯西汉克尔矩阵的特殊形式，这儿有g=1/k并且有h=1.另外，他们已经建立了对于阿达玛的作品柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵的欧几里得形式的上下限。
总结以上的参考文献，可以看出国内外对于广义逆矩阵的研究都很是重视，主要由于广义逆矩阵的作用广泛。
本文将首先从广义逆矩阵和一般线性方程组的数学背景入手，阐述论文意义。
然后，穿插有关定理，结合广义逆矩阵在矛盾线性方程组的求解方法。
然后进行非齐次线性方程组的两种解法对比，最后补充相关知识。
主要参考文献：
[1]白素英关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比哈尔滨金融高等专科学校学报 2010年7月第3期
[2]侯双根广义分块对角矩阵的广义逆矩阵郑州工学院学报 1992年6月第l3卷第2期
[3]伊崇信戴洪才一种求布尔矩阵全体广义逆的新算法齐齐哈尔轻工学院学报1990年6月第6卷第2期
[4]周立仁矩阵加权MoorePenr ose 逆的通式青海师范大学学报(自然科学版) 2010年第2期
[5]宋小力 AX = B型矩阵方程解集的结构曲阜师范大学学报 2010年7月第36卷第3期
[6]邵俊倩关于Moore-Penrose 逆的若干性质巢湖学院学报 2009年第11卷第6期总第99期
[7]贺永会矩阵方程 AiX iBi = C在特定条件下的解山东轻工业学院学报 2009年11月
[8]郭玲, 付敏, 向庆线性方程组AX= B的识别反问题及其应用内江师范学院学报第23卷(增)( 2008)
[9]罗成林求广义逆矩阵的方法高师理科学刊 2007年5月第27卷第3期
[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 关于柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵标准形式的界限问题数学系，艺术科学学院，赛尔库克大学 2002年第132期 633-642页
[11] 王俊青，张丽珍斜域中块反循环矩阵及其性质数学系. 天津理工大学. 天津。