【文献综述】关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比

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关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。

广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为

x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。若A 是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A^g、A^-或A^(1)等符号表示，有时简称广义逆。

线性方程组的逆矩阵解法一般只适用于一种特殊情况,即适用于系数矩阵为方阵的时候，用于一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统本文探讨了线性方程组的广义逆矩阵解法。

对一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统。本文通过运用相关定理，进行线性方程组的广义逆矩阵解法和初等矩阵法的对比。这对于我们理解相关广义逆矩阵的应用会有帮助。

白素英（2010）在《关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比》一文中给出相容的非齐次线性方程组的两种不同的解法，即矩阵的初等变换法及广义逆矩阵法，并证明了两种方法通解的等价性，通过实例给出了惟一的极小范数解。对于不相客的非齐次线性方程组，用广义逆矩阵法由实例给出了惟一的极小范数最小二乘解。

侯双根（1992）在《广义分块对角矩阵的广义逆矩阵》一文中对广义分块对角矩阵的广义逆矩阵给出了一个运算规则，并且利用它可以简化求广义分块对角矩阵的广义逆矩阵。

伊崇信，戴洪才（1990）在《一种求布尔矩阵全体广义逆的新算法》一文从布尔矩阵广义逆的定义出发，给出一个通过较少运算步骤就能判定一个布尔矩阵是否有广义逆，以及当有广义逆时，快速求出其全部广义逆的算法。

肖桂荣（2002）在《任意矩阵的逆矩阵的刻划定理及其应用》一文中针对矩阵在实际问题中的应用，认为它一般不是方阵或不是可逆矩阵的情况，给出并证明了常用的

一类广义逆矩阵---A{1}的刻划定理及其应用。

周立仁（2010）在《矩阵加权Moore￿Penr ose 逆的通式》一文中讨论了矩阵的15 种Moore- Penrose 逆的通式, 同时矩阵的15 种Moore- Pen rose 广义逆作为其特殊情形而导出。指出在一些科学研究领域, 矩阵广义逆更是不可缺少的研究工具，一个矩阵的Penro se 型广义逆有15 种类。

宋小力（2010）在《AX = B型矩阵方程解集的结构》一文中指出线性矩阵方程是矩阵论中的重要研究方向之一, 其作为处理工具在系统控制等工程领域中有着广泛的应用. 给出了AX = B 型矩阵方程有解的另一些充分必要条件, 讨论了AX = 0型和AX = B 型矩阵方程解集的结构, 并利用矩阵的初等变换给出了AX = B 型矩阵方程通解的具体求解方法.

邵俊倩（2009）在《关于Moore-Penrose 逆的若干性质》一文中给出了Moore-Penrose 逆的定义及Moore-Penrose 逆的几个特殊性质，认为Moore矩阵当中一类更为特殊的广义逆，也就是Moore- Penrose 逆，不仅在应用上特别重要，而且有很多有趣的性质。

罗成林（2007）在《求广义逆矩阵的方法》一文中认为广义逆矩阵的理论是代数学中的一个重要方面．在测量学、统计学、经济学以及线性规划等许多领域中有着重要

的应用．为此，本文从广义逆矩阵的常规的求法中，总结出一个简单易行的求广义逆

矩阵的方法．

贺永会（2009）在《矩阵方程

C

B

X

A

i

i

i

=

∑

在特定条件下的解》一文中矩阵方程是线性

代数的核心组成部分, 其在各个领域都有广泛应用。他对这一类矩阵方程进行了研究, 区别于通常的解法, 利用矩阵的广义逆矩阵和分块矩阵对这一类方程进行了简化计算, 通过对AXB =C进行求解得出了其解存在条件及在特定条件下的解, 并对其进行了推广, 使其能更广泛的利用。

王俊青，张丽珍在《斜域中块反循环矩阵及其性质》一文中进行了关于矩阵在斜域上的研究,在非交换代数理论中是一个基本的方面，分块反循环矩阵理论被广泛的应用于编码理论、数理统计等。分块反循环矩阵的概念已经被推广到斜域中去。她们研究了分块反循环矩阵及其特性。

Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt（2002）在《关于柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵标准形式的界限问题》一文中建立起对于一般的柯西托普利茨矩阵的特殊形式的下限和上限，这儿

g=1/k并且h=1.此外他们已经得知对于柯西汉克尔矩阵的特殊形式，这儿有g=1/k并且有h=1.另外，他们已经建立了对于阿达玛的作品柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵的欧几里得形式的上下限。

总结以上的参考文献，可以看出国内外对于广义逆矩阵的研究都很是重视，主要由于广义逆矩阵的作用广泛。本文将首先从广义逆矩阵和一般线性方程组的数学背景入手，阐述论文意义。然后，穿插有关定理，结合广义逆矩阵在矛盾线性方程组的求解方法。然后进行非齐次线性方程组的两种解法对比，最后补充相关知识。

主要参考文献：

[1]白素英关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比哈尔滨金融高等专科学校学报 2010年7月第3期

[2]侯双根广义分块对角矩阵的广义逆矩阵郑州工学院学报 1992年6月第l3卷第2期

[3]伊崇信戴洪才一种求布尔矩阵全体广义逆的新算法齐齐哈尔轻工学院学报1990年6月第6卷第2期

[4]周立仁矩阵加权MoorePenr ose 逆的通式青海师范大学学报(自然科学版) 2010年第2期

[5]宋小力 AX = B型矩阵方程解集的结构曲阜师范大学学报 2010年7月第36卷第3期

[6]邵俊倩关于Moore-Penrose 逆的若干性质巢湖学院学报 2009年第11卷第6期总第99期

[7]贺永会矩阵方程 AiX iBi = C在特定条件下的解山东轻工业学院学报 2009年11月

[8]郭玲, 付敏, 向庆线性方程组AX= B的识别反问题及其应用内江师范学院学报第23卷(增)( 2008)

[9]罗成林求广义逆矩阵的方法高师理科学刊 2007年5月第27卷第3期

[10]Ramazan Turkmen,Durmus Bozkurt 关于柯西托普利茨矩阵和柯西汉克尔矩阵标准形式的界限问题数学系，艺术科学学院，赛尔库克大学 2002年第132期 633-642页

[11] 王俊青，张丽珍斜域中块反循环矩阵及其性质数学系. 天津理工大学. 天津