2015年中考专题训练之平行四边形的存在性问题
平行四边形的存在性问题
如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),
C(0,2),则符合条件的点D的坐标为
D1(4, 2)D2(4, 2)D3(2, 2)
y
(-4,2)
D2
C(0,2)
(4,2)
D1
(-1,0) A O
E
x
B(3,0)
D3 (2,-2)
第Ⅱ类型：两个动点平行四边形存在性问题
例2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线过A(-1,0)， B(3,0)C(0,-1)三点. （1）求该抛物线的表达式； （2）点Q在y轴上，在抛物线上是否存在一点P， 使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）
y
1 3
x2
2 3
x
1
（-1,0）
（3,0）
探索性问题
——平行四边形存在性问题的探索
平行四边形的存在性问题是近几年中考热点题 目，题目灵活，难度高。本节侧重讲面对此类压 轴题如何找点、如何利用几何特征求点的坐标的 解题套路，提高解题的效率和准确性。
平行四边形存在性问题
分两种类型 第一类型：一个动点平行四边形存在性问题 第二类型：两个动点平行四边形存在性问题
方法小结
平行四边形中一个动点的存在性问题.
方法步骤：
通常选坐标轴上或与 坐标轴平行的线段
ห้องสมุดไป่ตู้
三步曲—— 1.先分类
2.再画图 3.后计算(全等、平移）
方法小结
平行四边形中两个动点的存在性问题.
分类方法及画图：
对边平行 且相等
(1)以已知的线段为边；
(2)以已知的线段为对角线
专题6二次函数与平行四边形存在性问题(解析版)
专题6 二次函数与平行四边形存在性问题以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解.解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1. 平面直角坐标系中，点 A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,)22x x y y ++. 2. 平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A CB D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）求出AB ，OA ，AC ，利用相似三角形的性质求解即可．（3）分两种情形：①P A 为平行四边形的边时，点M 的横坐标可以为±2，求出点M 的坐标即可解决问题．②当AP 为平行四边形的对角线时，点M ″的横坐标为﹣4，求出点M ″的坐标即可解决问题．【解析】（1）∵直线y ＝kx +3分别交y 轴于B ，令x ＝0，得到y ＝3，∴B （0，3）由题意抛物线经过B （0，3），C （1，0），∴{c =3−1+b +c =0， 解得，{b =−2c =3， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）对于抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3，令y ＝0，解得x ＝﹣3或1，∴A （﹣3，0），∵B （0，3），C （1，0），∴OA ＝OB ＝3，OC ＝1，AB ＝3√2，∵∠APO ＝∠ACB ，∠P AO ＝∠CAB ，∴△P AO ∽△CAB ，∴AP AC =AO AB ， ∴AP 4=3√2， ∴AP ＝2√2．（3）由（2）可知，P （﹣1，2），AP ＝2√2，①当AP 为平行四边形的边时，点N 的横坐标为2或﹣2，∴N （﹣2，3），N ′（2，﹣5），②当AP 为平行四边形的对角线时，点N ″的横坐标为﹣4，∴N ″（﹣4，﹣5），综上所述，满足条件的点N 的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．【点评】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例2】（2020•天水）如图所示，拋物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为A （﹣2，0），点C 的坐标为C （0，6），对称轴为直线x ＝1．点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得出方程组，解方程组即可；（2）过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，求出点B 的坐标为（4，0），由待定系数法求出直线BC 的函数表达式为y =−32x +6，则点D 的坐标为（m ，−34m 2+32m +6），点G 的坐标为（m ，−32m +6），求出S △BCD =−32m 2+6m =92，解方程即可；（3）求出点D 的坐标为（3，154），分三种情况，①当DB 为对角线时，证出DN ∥x 轴，则点D 与点N关于直线x ＝1对称，得出N （﹣1，154）求出BM ＝4，即可得出答案；②当DM 为对角线时，由①得N （﹣1，154），DN ＝4，由平行四边形的性质得出DN ＝BM ＝4，进而得出答案； ③当DN 为对角线时，点D 与点N 的纵坐标互为相反数，N （1+√14，−154）或N （1−√14，−154），再分两种情况解答即可．【解析】（1）由题意得：{−b 2a =14a −2b +c =0c =6， 解得：{ a =−34b =32c =6， ∴抛物线的函数表达式为：y =−34x 2+32x +6； （2）过点D 作DE ⊥x 轴于E ，交BC 于G ，过点C 作CF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，如图1所示： ∵点A 的坐标为（﹣2，0），点C 的坐标为（0，6），∴OA ＝2，OC ＝6，∴S △AOC =12OA •OC =12×2×6＝6，∴S △BCD =34S △AOC =34×6=92，当y ＝0时，−34x 2+32x +6＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝4，∴点B 的坐标为（4，0），设直线BC 的函数表达式为：y ＝kx +n ，则{0=4k +n 6=n， 解得：{k =−32n =6， ∴直线BC 的函数表达式为：y =−32x +6，∵点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），∴点D 的坐标为：（m ，−34m 2+32m +6），点G 的坐标为：（m ，−32m +6），∴DG =−34m 2+32m +6﹣（−32m +6）=−34m 2+3m ，CF ＝m ，BE ＝4﹣m ，∴S △BCD ＝S △CDG +S △BDG =12DG •CF +12DG •BE =12DG ×（CF +BE ）=12×（−34m 2+3m ）×（m +4﹣m ）=−32m 2+6m ，∴−32m 2+6m =92，解得：m 1＝1（不合题意舍去），m 2＝3，∴m 的值为3；（3）由（2）得：m ＝3，−34m 2+32m +6=−34×32+32×3+6=154， ∴点D 的坐标为：（3，154）， 分三种情况讨论：①当DB 为对角线时，如图2所示：∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DN ∥BM ，∴DN ∥x 轴，∴点D 与点N 关于直线x ＝1对称，∴N （﹣1，154），∴DN ＝3﹣（﹣1）＝4，∴BM ＝4，∵B （4，0），∴M （8，0）；②当DM 为对角线时，如图3所示：由①得：N （﹣1，154），DN ＝4，∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DN ＝BM ＝4，∵B （4，0），∴M （0，0）；③当DN 为对角线时，∵四边形BDNM 是平行四边形，∴DM ＝BN ，DM ∥BN ，∴∠DMB ＝∠MBN ，∴点D 与点N 的纵坐标互为相反数，∵点D （3，154），∴点N 的纵坐标为：−154， 将y =−154代入y =−34x 2+32x +6中， 得：−34x 2+32x +6=−154， 解得：x 1＝1+√14，x 2＝1−√14，当x ＝1+√14时，如图4所示：则N （1+√14，−154）， 分别过点D 、N 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、Q ，在Rt △DEM 和Rt △NQB 中，{DM =BN DE =NQ， ∴Rt △DEM ≌Rt △NQB （HL ），∴BQ ＝EM ，∵BQ ＝1+√14−4=√14−3，∴EM=√14−3，∵E（3，0），∴M（√14，0）；当x＝1−√14时，如图5所示：则N（1−√14，−15 4），同理得点M（−√14，0）；综上所述，点M的坐标为（8，0）或（0，0）或（√14，0）或（−√14，0）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式、坐标与图形性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．【例3】（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）【分析】（1）用待定系数法解答便可；（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、C坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．【解析】（1）把B （3，0）和D （﹣2，−52）代入抛物线的解析式得， {−92+3b +c =0−2−2b +c =−52， 解得，{b =1c =32， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+x +32；（2）令x ＝0，得y =−12x 2+x +32=32， ∴C(0，32)，令y ＝0，得y =−12x 2+x +32=0， 解得，x ＝﹣1，或x ＝3，∴A （﹣1，0），∵y =−12x 2+x +32=−12(x −1)2+2， ∴M （1，2），∴S 四边形ABMC ＝S △AOC +S △COM +S △MOB=12OA ⋅OC +12OC ⋅x M +12OB ⋅y M=12×1×32+12×32×1+12×3×2=92；（3）设Q （0，n ），①当AB 为平行四边形的边时，有AB ∥PQ ，AB ＝PQ ， a ）．P 点在Q 点左边时，则P （﹣4，n ），把P （﹣4，n ）代入y =−12x 2+x +32，得n =−212，∴P （﹣4，−212）； ②当AB 为平行四边形的边时，有AB ∥PQ ，AB ＝PQ ， 当P 点在Q 点右边时，则P （4，n ）， 把P （4，n ）代入y =−12x 2+x +32，得 n =−52， ∴P （4，−52）；③当AB 为平行四边形的对角线时，如图2，AB 与PQ 交于点E ， 则E （1，0）， ∵PE ＝QE ， ∴P （2，﹣n ），把P （2，﹣n ）代入y =−12x 2+x +32，得 ﹣n =32， ∴n =−32， ∴P （2，32）．综上，满足条件的P 点坐标为：（﹣4，−212）或（4，−52）或（2，32）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，四边形的面积计算，平行四边形的性质，第（2）题关键是把四边形分割成三角形进行解答，第（3）题关键是分情况讨论．【例4】（2020•玉林）如图，已知抛物线：y 1＝﹣x 2﹣2x +3与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）令x＝0或y1＝0，解方程可得结论．（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H．，连接BD′，B′D′．构建方程组解决问题即可．（3）观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．分别令y1和y2等于3或﹣3，解方程即可解决问题．【解析】（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得到y1＝3，∴C（0，3）．（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b，如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．∵D′是抛物线的顶点，∴D′B＝D′B′，D′（a，b），∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′，∴BH＝HB′，∴D′H＝BH＝HB′＝b，∴a＝1+b，又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），∴b＝（1﹣a）2，解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（3）如图2中，观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形．对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3），令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1±√7，可得P2（﹣1−√7，﹣3），P3（﹣1+√7，﹣3），对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1−√7，﹣3）或（﹣1+√7，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【例5】（2020•绵阳）如图，抛物线过点A （0，1）和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B （√3，0），平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为4√33，四边形BDEF 为平行四边形．（1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标及△P AB 面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【分析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为y =−√33x +1，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣（−13），求出a 的值，则可得出答案； （2）设P （n ，﹣n 2+2√3n +1），作PP '⊥x 轴交AC 于点P '，则P '（n ，−√33n +1），得出PP '＝﹣n 2+73√3n ，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出C （73√3，−43），设Q （√3，m ），分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可． 【解析】（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， ∵A （0，1），B （√3，0）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +m ， ∴{√3k +m =0m =1，解得{k =−√33m =1，∴直线AB 的解析式为y =−√33x +1，∵点F 的横坐标为4√33，∴F 点纵坐标为−√33×4√33+1=−13， ∴F 点的坐标为（43√3，−13）， 又∵点A 在抛物线上， ∴c ＝1，对称轴为：x =−b2a =√3， ∴b ＝﹣2√3a ，∴解析式化为：y ＝ax 2﹣2√3ax +1， ∵四边形DBFE 为平行四边形． ∴BD ＝EF ， ∴﹣3a +1=163a ﹣8a +1﹣（−13）， 解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2√3x +1；（2）设P （n ，﹣n 2+2√3n +1），作PP '⊥x 轴交AC 于点P '，则P '（n ，−√33n +1）， ∴PP '＝﹣n 2+73√3n ，S △ABP =12OB •PP '=−√32n 2+72n =−√32(n −76√3)2+4924√3， ∴当n =76√3时，△ABP 的面积最大为4924√3，此时P （76√3，4712）． （3）∵{y =−√33x +1y =−x 2+2√3x +1，∴x ＝0或x =73√3， ∴C （73√3，−43）， 设Q （√3，m ）， ①当AQ 为对角线时， ∴R （−43√3，m +73），∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上， ∴m +73=−(−43√3−√3)2+4，解得m =−443，∴Q (√3，−443)，R (−43√3，−373)； ②当AR 为对角线时， ∴R （103√3，m −73）， ∵R 在抛物线y =−(x −√3)2+4上， ∴m −73=−(103√3−√3)2+4， 解得m ＝﹣10， ∴Q （√3，﹣10），R （103√3，−373）．综上所述，Q (√3，−443)，R (−43√3，−373)；或Q （√3，﹣10），R （103√3，−373）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键． 【例6】（2020•雅安）已知二次函数y ＝ax 2+2x +c （a ≠0）的图象与x 轴交于A 、B （1，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标； （3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ，使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中连接AD ，CD ．由题意点D 到直线AC 的距离取得最大，推出此时△DAC 的面积最大．过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），推出DG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ，利用二次函数的性质求解即可． （3）分两种情形：OB 是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【解析】（1）把B （1，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+2x +c 则有{c =−3a +2+c =0，解得{a =1c =−3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3，令y ＝0，得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1， ∴A （﹣3，0）．（2）如图1中连接AD ，CD ． ∵点D 到直线AC 的距离取得最大， ∴此时△DAC 的面积最大， 设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ， ∵A （﹣3，0），C （0，﹣3）， ∴{b =−3−3k +b =0， 解得，{k =−1b =−3，∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD=12•DG•OA=12（﹣x2﹣3x）×3=−32x2−92x=−32（x+32）2+278，∴当x=−32时，S最大=278，点D（−32，−154），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（−32，−154）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．1．（2020•齐齐哈尔）综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为y＝x+4，点M的坐标为（﹣2，﹣2），cos∠ABO＝√22；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），即可求出AB 的表达式；OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP =13AC 或23AC ，即可求解；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小，即可求解； （4）分AC 是边、AC 是对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：{12×16−4b +c =012×4+2b +c =6，解得{b =2c =0，故抛物线的表达式为：y =12x 2+2x ；（2）点A （﹣4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4）， 设直线AB 的解析式为y ＝kx +4， 将点A 坐标代入得，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x +4； 则∠ABO ＝45°，故cos ∠ABO =√22；对于y =12x 2+2x ，函数的对称轴为x ＝﹣2，故点M （﹣2，﹣2）； OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则AP =13AC 或23AC ，则y P y C=13或23，即y P 6=13或23，解得：y P ＝2或4，故点P （﹣2，2）或（0，4）； 故答案为：y ＝x +4；（﹣2，﹣2）；√22；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ 的周长＝AM +AQ +MQ ＝AM +A ′M 最小， 点A ′（4，0），设直线A ′M 的表达式为：y ＝kx +b ，则{4k +b =0−2k +b =−2，解得{k =13b =−43， 故直线A ′M 的表达式为：y =13x −43，令x＝0，则y=−43，故点Q（0，−43）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．2．（2020•平顶山二模）如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由直线AB 的解析式可求出点A ，B 的坐标，将A ，B 两点的坐标代入y =−38x 2+bx +c 可得出答案；（2）设点P （m ，−38m 2−34m +3），则D （m ，34m +3），可得出PD =−38m 2−32m ，由二次函数的性质可得出答案；（3）分类讨论，一是当CD 为平行四边形对角线时，二是当CD 为平行四边形一边时，利用中点坐标公式及平移规律即可求出点G 的坐标．【解析】（1）∵直线y =34x +3经过A 、B 两点． ∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4，∴直线y =34x +3与坐标轴的交点坐标为A （﹣4，0），B （0，3）．分别将x ＝0，y ＝3，x ＝﹣4，y ＝0代入y =−38x 2+bx +c 得，{c =30=−38×(−4)2−4b +c ， 解得，b =−34，c ＝3，（2）由（1）得y =−38x 2−34x +3，设点P （m ，−38m 2−34m +3），则D （m ，34m +3），∴PD =−38m 2−34m +3−(34m +3)=−38m 2−32m =−38(m +2)2+32， ∴当m ＝﹣2时，PD 最大，最大值是32．（3）存在点G ，使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，G 点的坐标为(1，158)或(3，−218)或(−5，−218)； ∵y =−38x 2−34x +3， ∴y ＝0时，x ＝﹣4或x ＝2， ∴C （2，0），由（2）可知D （﹣2，32），抛物线的对称轴为x ＝﹣1，设G （n ，−38n 2−34n +3），Q （﹣1，p ），CD 与y 轴交于点E ，E 为CD 的中点， ①当CD 为对角线时， n +（﹣1）＝0， ∴n ＝1， 此时G （1，158）．②当CD 为边时，若点G 在点Q 上边，则n +4＝﹣1，则n ＝﹣5，此时点G 的坐标为（﹣5，−218）． 若点G 在点Q 上边，则﹣1+4＝n ，则n ＝3，此时点G 的坐标为（3，−218）．综合以上可得使得以C 、D 、G 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的G 点的坐标为(1，158)或(3，−218)或(−5，−218)；【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的有关性质、一次函数的性质、平行四边形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2020•菏泽）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ． （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是92时，求△ABD 的面积；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OA ＝2，OB ＝4确定点A 和B 的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可； （2）如图1，过D 作DG ⊥x 轴于G ，交BC 于H ，利用待定系数法求直线BC 的解析式，设D （x ，34x 2−32x﹣6），则H （x ，32x ﹣6），表示DH 的长，根据△BCD 的面积是92，列方程可得x 的值，因为D 在对称轴的右侧，所以x ＝1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论； （3）分两种情况：N 在x 轴的上方和下方，根据y =±154确定N 的坐标，并正确画图． 【解析】（1）∵OA ＝2，OB ＝4， ∴A （﹣2，0），B （4，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6中得：{4a −2b −6=016a +4b −6=0，∴抛物线的解析式为：y =34x 2−32x ﹣6；（2）如图1，过D 作DG ⊥x 轴于G ，交BC 于H ，当x ＝0时，y ＝﹣6， ∴C （0，﹣6），设BC 的解析式为：y ＝kx +n ，则{n =−64k +n =0，解得：{k =32n =−6， ∴BC 的解析式为：y =32x ﹣6，设D （x ，34x 2−32x ﹣6），则H （x ，32x ﹣6），∴DH =32x ﹣6﹣（34x 2−32x ﹣6）=−34x 2+3x ，∵△BCD 的面积是92，∴12DH ⋅OB =92，∴12×4×(−34x 2+3x)=92，解得：x ＝1或3，∵点D 在直线l 右侧的抛物线上， ∴D （3，−154），∴△ABD 的面积=12AB ⋅DG =12×6×154=454；（3）分两种情况：①如图2，N 在x 轴的上方时，四边形MNBD 是平行四边形，∵B （4，0），D （3，−154），且M 在x 轴上， ∴N 的纵坐标为154，当y =154时，即34x 2−32x ﹣6=154，解得：x ＝1+√14或1−√14， ∴N （1−√14，154）或（1+√14，154）；②如图3，点N 在x 轴的下方时，四边形BDNM 是平行四边形，此时M 与O 重合，∴N（﹣1，−15 4）；综上，点N的坐标为：（1−√14，154）或（1+√14，154）或（﹣1，−154）．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴的交点，会利用待定系数法求函数解析式，会利用数形结合的思想解决平行四边形的问题，并结合方程思想解决问题．4．（2020•东莞市校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+m+2，进而求解；（3）分CD 为边、CD 为对角线两种情况，利用图象平移和中点公式求解即可． 【解析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得{1−b +c =0c =−3，解得：{b =−2c =−3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3①，将点A 的坐标代入直线L 的表达式得：0＝﹣k ﹣1，解得：k ＝﹣1， 故直线L 的表达式为：y ＝﹣x ﹣1②；（2）设点M 的坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3）， 点N 的纵坐标与点M 的纵坐标相同，将点N 的纵坐标代入y ＝﹣x ﹣1得：m 2﹣2m ﹣3＝﹣x ﹣1， 解得：x ＝﹣m 2+2m +2，故点N （﹣m 2+2m +2，m 2﹣2m ﹣3）， 则MN ＝﹣m 2+2m +2﹣m ＝﹣m 2+m +2，∵﹣1＜0，故MN 有最大值，当m =−b2a =12时，MN 的最大值为94；（3）设点M （m ，n ），则n ＝m 2﹣2m ﹣3③，点M ′（s ，﹣s ﹣1）， ①当CD 为边时，点C 向右平移2个单位得到D ，同样点M （M ′）向右平移2个单位得到M ′（M ）， 即m ±2＝s 且n ＝﹣s ﹣1④，联立③④并解得：m ＝0（舍去）或1或1±√172， 故点M 的坐标为（1，﹣4）或（1+√172，1−√172）或（1−√172，1+√172）； ②当CD 为对角线时，由中点公式得：12（0+2）=12（m +s ）且12（﹣3﹣3）=12（n ﹣s ﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m ＝0（舍去）或﹣1，故点M （1，﹣4）； 综上，点M 的坐标为（1，﹣4）或（1+√172，1−√172）或（1−√172，1+√172）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【题组二】5．（2020•雁塔区校级二模）已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′，点A 的对应点为点A ′． （1）求抛物线L 和L ′的表达式；（2）是否在抛物线L 上存在一点P ，抛物线L ′上存在一点Q ，使得以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线L 解析式，由中心对称的性质可求抛物线L ′的表达式； （2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．【解析】（1）∵抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和（1，﹣2）两点， ∴{0=1−b +c −2=1+b +c ， 解得：{b =−1c =−2，∴抛物线L 的解析式为：y ＝x 2﹣x ﹣2， ∵y ＝x 2﹣x ﹣2＝（x −12）2−94， ∴顶点坐标为（12，−94），∵抛物线L 关于原点O 的对称的为抛物线L ′， ∴抛物线L ′的解析式为：y ＝﹣（x +12）2+94； （2）∵点A 关于原点O 对应点为点A ′， ∴点A '（1，0）， ∴AA '＝2，∵以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形， ∴PQ ＝AA '＝2，PQ ∥AA '， 设点P （x ，x 2﹣x ﹣2）， 当点P 在点Q 的左侧， ∴点Q 的横坐标为x +2， ∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x +2+12）2+94， ∴x ＝﹣1，∴点P （﹣1，0）（不合题意舍去）；当点P在点Q的右侧，∴点Q的横坐标为x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣（x﹣2+12）2+94，∴x1=√2+1，x2=−√2+1，∴点P1（√2+1，√2），P2（−√2+1，−√2）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，中心对称的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．6．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；（4）连接AC ，由CE ＝CB 可知∠EBC ＝∠E ，求出MC 的解析式，设P （x ，﹣x ﹣3），然后根据△PEO 相似△ABC ，分成EO BA=EP BC和EO BC=EP BA讨论即可求解．【解析】（1）令y ＝x 2﹣2x ﹣3中x ＝0，此时y ＝﹣3， 故C 点坐标为（0，﹣3）， 又∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，﹣4）；（2）过N 点作x 轴的垂线交直线BC 于Q 点，连接BN ，CN ，如图1所示： 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0， 解得：x ＝3或x ＝﹣1， ∴B （3，0），A （﹣1，0）， 设直线BC 的解析式为：y ＝ax +b ，将C （0，﹣3），B （3，0）代入直线BC 的解析式得：{−3=b 0=3a +b ，解得：{a =1b =−3，∴直线BC 的解析式为：y ＝x ﹣3，设N 点坐标为（n ，n 2﹣2n ﹣3），故Q 点坐标为（n ，n ﹣3），其中0＜n ＜3，则S △BCN =S △NQC +S △NQB =12⋅QN ⋅(x Q −x C )+12⋅QN ⋅(x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x Q −x C +x B −x Q )=12⋅QN ⋅(x B −x C )，（其中x Q ，x C ，x B 分别表示Q ，C ，B 三点的横坐标），且QN ＝（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）＝﹣n 2+3n ，x B ﹣x C ＝3，故S △BCN =12⋅(−n 2+3n)⋅3=−32n 2+92n =−32(n −32)2+278，其中0＜n ＜3， 当n =32时，S △BCN 有最大值为278，此时点N 的坐标为（32，−154），（3）设D 点坐标为（1，t ），G 点坐标为（m ，m 2﹣2m ﹣3），且B （3，0），C （0，﹣3） 分情况讨论：①当DG 为对角线时，则另一对角线是BC ，由中点坐标公式可知：线段DG 的中点坐标为(x D +x G 2，y D +y G 2)，即(1+m 2，t+m 2−2m−32)，线段BC 的中点坐标为(x B +x C 2，y B +y C 2)，即(3+02，0−32)，此时DG 的中点与BC 的中点为同一个点，∴{1+m 2=32t+m 2−2m−32=−32，解得{m =2t =0， 经检验，此时四边形DCGB 为平行四边形，此时G 坐标为（2，﹣3）；②当DB 为对角线时，则另一对角线是GC ，由中点坐标公式可知：线段DB 的中点坐标为(x D +x B 2，y D +y B 2)，即(1+32，t+02)， 线段GC 的中点坐标为(x G +x C 2，y G +y C 2)，即(m+02，m 2−2m−3−32)， 此时DB 的中点与GC 的中点为同一个点，∴{1+32=m+02t+02=m 2−2m−3−32，解得{m =4t =2， 经检验，此时四边形DCBG 为平行四边形，此时G 坐标为（4，5）；③当DC 为对角线时，则另一对角线是GB ，由中点坐标公式可知：线段DC 的中点坐标为(x D +x C 2，y D +y C 2)，即(1+02，t−32)， 线段GB 的中点坐标为(x G +x B 2，y G +y B 2)，即(m+32，m 2−2m−3+02)， 此时DC 的中点与GB 的中点为同一个点，∴{1+02=m+32t−32=m 2−2m−3+02，解得{m =−2t =8， 经检验，此时四边形DGCB 为平行四边形，此时G 坐标为（﹣2，5）；综上所述，G 点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；（4）连接AC ，OP ，如图2所示：设MC 的解析式为：y ＝kx +m ，将C （0，﹣3），M （1，﹣4）代入MC 的解析式得：{−3=m −4=k +m， 解得：{k =−1m =−3∴MC 的解析式为：y ＝﹣x ﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣3，∴E 点坐标为（﹣3，0），∴OE ＝OB ＝3，且OC ⊥BE ，∴CE ＝CB ，∴∠CBE ＝∠E ，设P （x ，﹣x ﹣3），又∵P 点在线段EM 上，∴﹣3＜x ＜1，则EP =√(x +3)2+(−x −3)2=√2(x +3)，BC =√32+32=3√2，由题意知：△PEO 相似于△ABC ，分情况讨论：①△PEO ∽△CBA ，∴EOBA=EP BC ， ∴34=√2(x+3)3√2， 解得x =−34，满足﹣3＜x ＜1，此时P 的坐标为(−34，−94)；②△PEO ∽△ABC ，∴EO BC =EP BA ， ∴3√2=√2(x+3)4， 解得x ＝﹣1，满足﹣3＜x ＜1，此时P 的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P 点的坐标为(−34，−94)或（﹣1，﹣2）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．7．（2020•碑林区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0）与x轴正半轴交于点A．抛物线L的顶点为M，对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线L的对称轴．（2）抛物线L：y＝ax2﹣4ax关于x轴对称的抛物线记为L'，抛物线L'的顶点为M'，若以O、M、A、M'为顶点的四边形是正方形，求L'的表达式．（3）在（2）的条件下，点P在抛物线L上，且位于第四象限，点Q在抛物线L'上，是否存在点P、点Q使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．（2）利用正方形的性质求出点M，M′的坐标即可解决问题．（3）分OD是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．【解析】（1）∵抛物线L：y＝ax2﹣4ax（a＞0），∴抛物线的对称轴x=−−4a2a=2．（2）如图1中，对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，∴A（4，0），∵四边形OMAM′是正方形，∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，∴M（（2，﹣2），M′（2，2）把M（2，﹣2）代入y＝ax2﹣4ax，可得﹣2＝4a﹣8a，∴a=1 2，∴抛物线L′的解析式为y=−12（x﹣2）2+2=−12x2+2x．（3）如图3中，由题意OD＝2．当OD 为平行四边形的边时，PQ ＝OD ＝2，设P （m ，12m 2﹣2m ），则Q [m ﹣2，−12（m ﹣2）2+2（m ﹣2）]或[m +2，−12（m +2）2+2（m +2）]，∵PQ ∥OD ，∴12m 2﹣2m =−12（m ﹣2）2+2（m ﹣2）或12m 2﹣2m =−12（m +2）2+2（m +2）， 解得m ＝3±√3或1±√3，∴P （3+√3，√3）或（3−√3，−√3）或（1−√3，√3）和（1+√3，−√3），当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P （1，−32），∵点P 在第四象限，∴满足条件的点P 的坐标为（3−√3，−√3）或（1+√3，−√3）或（1，−32）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．（2020•泰安二模）如图①抛物线y ＝ax 2+bx +4（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点．（1）试求抛物线解析式；（2）点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，连接BC ，BD ．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P ，满足∠PBC ＝∠DBC ？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 的坐标．【分析】（1）把已知点A 、B 代入抛物线y ＝ax 2+bx +4中即可求解；（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D 的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC ＝∠DBC ，最后求出直线BP 解析式即可求出P 点坐标；（3）根据平行四边形的判定即可写出点M 的坐标．【解析】如图：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0），B （4，0），点C 三点． ∴{a −b +4=016a +4b +4=0， 解得{a =−1b =3． ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +4．（2）存在．理由如下：y ＝﹣x 2+3x +4＝﹣（x ﹣1.5）2+6.25．∵点D （3，m ）在第一象限的抛物线上，∴m ＝4，∴D （3，4），∵C （0，4）∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°．连接CD ，∴CD ∥x 轴，∴∠DCB ＝∠OBC ＝45°，∴∠DCB ＝∠OCB ，在y 轴上取点G ，使CG ＝CD ＝3，再延长BG 交抛物线于点P ，。
(完整版)压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
平行四边形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()()2,0,4,0A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，P 是线段BC 上方抛物线上的一个动点，过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，在OB 上取点D ，连接CD ，其中2OD BD =，过点E 作EF x ∥轴交CD 于点F ，求PE EF +长度的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，在平面内，将抛物线212y x bx c =-++沿直线y x =斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过()0,2时停止平移，此时得到新抛物线．平移前后的抛物线交于点N ，M 为新抛物线上一点，点G 、H 为直线BC 上的两个动点，直接写出所有使得以点G 、H 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线)20y ax bx a =+≠与x 轴交于点()10A -，，点()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，过点P 作x 轴的平行线交BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点E ，求PD PE +的最大值以及此时点P 的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB 的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段CB 的中点，且平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，N ，R 是直线BC 上任意两点，Q 为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点M ，N ，R ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的横坐标，并把求其中一个点的横坐标过程写出来．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将三角形AOC 的面积分成1:2的两部分，请求出点P 的坐标；(3)若Q 是直线AC 上方抛物线上一个动点（不与点A 、C 重合），当QAC △的面积等于AOC 的面积时，求出Q 点的坐标；(4)在抛物线的对称轴上有一动点H ，在抛物线上是否存在一点N ，使以点A 、H 、C 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 直线122y x =-+经过点B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．①求①PBC 面积最大值和此时m 的值；①Q 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标．6．如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -、()3,0B 、()0,3C 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求点P 的坐标：(3)在直线l 上是否存在点M ，使MAC △为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以B ，C ，E ，F 为顶点且以BC 为一边的平行四边形？若存在，求点F 的坐标：若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++（b ，c 为常数）的顶点坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点C 、点D 关于x 轴对称，连接AD ，作直线BD ．(1)求b 、c 的值；(2)求点A 、B 的坐标；(3)求直线BD 的解析式；(4)点P 在抛物线上，点Q 在直线BD 上，当以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点()4,0A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1:2的两部分，请求出点P的坐标；△的面积等于AOC (3)若Q是直线AC上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当QAC的面积时，求出Q点的坐标；(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．。
平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴、y轴上，且OA、OB的长满足方程x2﹣16x+64=0．（1）求点A、B的坐标；（2）将点A翻折落在线段OB的中点C处，折痕交OA于点D，交斜边于点E，求直线DE的解析式；（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内，是否存在点F使点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，▱ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动，两点均运动到点D停止．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）在相遇前，是否存在过点M和N的直线将▱ABCD的面积平分？若存在，请求出所需时间；若不存在，请说明理由．（3）若点E在线段BC上，BE=2cm，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？3．已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图，已知折痕与边BC交于点E，连结AP、EP、EA．求证：△ECP∽△PDA；（2）若△ECP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（3）在（2）的条件下以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，问在坐标平面内是否存在点M，使得以点A、B、E、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点M的坐标；若不存在请说明理由．4．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=42cm，AD=24cm，BC=26cm，∠B=90°，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，问：（1）t= 时，四边形PQCD是平行四边形．（2）是否存在一个t值，使PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分？若存在请求出t的值．（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．（4）连接DQ，是否存在t值使△CDQ为等腰三角形？若存在请直接写出t的值．5．如图，在平面直角坐标系中直线AC交x轴于点A，交y轴于点C，过点C作直线CB⊥AC 交x轴于点B，且AB=25，AO：CO=3：4，点P在线段OC上，且PO、PC的长是关于x的方程x2﹣12x+32=0的两根（PO＜PC）（1）求AC、BC的长；（2）若M为线段BC的中点，求直线PM的解析式；（3）在平面内是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为：A（2，3）、B（3，1）、O（0，0）．（1）将△ABO向左平移4个单位，画出平移后的△A1B1O1．（2）将点O为对称中心，画出与△ABO成中心对称的△A2B2O．此时四边形ABA2B2的形状是．（3）在平面上是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，矩形OABC的顶点O，A，C都在坐标轴上，点B的坐标为（8，3），M是BC边的中点．（1）求出点M的坐标和△COM的周长；（2）若点P是矩形OABC的对称轴MN上的一点，使以O，M，C，P为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点P的坐标；（3）若P是OA边上一个动点，它以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AO方向向点O 匀速运动，设运动时间为t秒．是否存在在某一时刻t，使以P，O，M为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．。
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案
中考数学总复习《二次函数中的平行四边形存在性问题》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．(1)求B 、D 坐标，并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，有PQ AC ⊥？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P ，使以P 、A 、O 、B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()24y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A B 、的坐标； (2)求抛物线的对称轴；(3)平面内是否存在一点P ，使以P A O B 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()10A -，和()50B ，，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒()05t <<．当t 为何值时，BMN 的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q 坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知二次函数213442y x x =--与x 数轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ． 发现：点A 的坐标为__________，求出直线BC 的解析式；拓展：如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上一点，连接PB 、PC ，当PBC 面积最大时，求出P 点的坐标； 探究：如图2，抛物线顶点为D ，抛物线对称轴交BC 于点E ，M 是线段BC 上一动点（M 不与B 、C 两点重合），连接PM ，设M 点的横坐标为()08<<m m ，当m 为何值时，四边形PMED 为平行四边形？6．解答题如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =+-的图像交坐标轴于()1,0A -、()4,0B 两点，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点()30A -,和()4,0B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的函数解析式；(2)如图，点P 在直线BC 上方的抛物线上运动，过点P 作PD AC ∥交BC 于点D ，作PE x ⊥轴交BC 于点E ，求724PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中724PD PE +取最大值的条件下，将抛物线沿水平方向向右平移4个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，点Q 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点G ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点Q 、G 、M 、N 为顶点的叫边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程． 8．如图，二次函数234y x bx c =++的图象与x 轴交于点A 和B ，点B 的坐标是（4，0），与y 轴交于点C （0，－3），点D 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E 在x 轴上运动时，探究以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点E 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于(30)A -，，()1，0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点D ，与直线相交于点E ，且:4:3CD DE =．(1)求点E 的坐标和二次函数表达式． (2)过点D 的直线交x 轴于点M ．①当DM 与x 轴的夹角等于2DCO ∠时，请直接写出点M 的坐标；①当DM CD ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点D ，E 重合），作DM 的平行线交直线CD 于点Q ，若以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于()()1,04,0A B C -、、三点，且OB OC =，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点P 在直线BC 下方，P 运动到什么位置时，四边形PBOC 面积最大？求出此时点P 的坐标和四边形PBOC 的最大面积；(3)直线BC 上是否存在一点Q ，使得以点A B P Q 、、、组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数220y ax x c a =++≠（）的图像与x 轴交于10()A B 、，两点，与y 轴交于点(03)C -，．(1)求二次函数的表达式；(2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求ACD 的面积最大时点D 的坐标；(3)M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点N ，使以M N B O 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标．（不写求解过程）13．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点C ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △面积最大时，求出点P 的坐标；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A C M Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，二次函数2y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1．（1）求二次函数的解析式;（2）点P 为二次函数第一象限图象上一点，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图3，一次函数y kx =（k >0）的图象与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线1:l y x b k=-+交线段OC 于点M （不与O 、C 重合），过点T 作直线TN //y 轴交OC 于点N ，若在点T 运动的过程中，2ON OM =常数m ，求m 、k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于、、A B C 三点，其中点A的坐标为()0,8，点B 的坐标为()4,0-．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接AC CD 、，以AC CD 、为邻边作平行四边形ACDE ，设平行四边形ACDE 的面积为.S ①求S 的最大值；①当S 取最大值时，Р为该二次函数对称轴上--点，当点D 关于直线CP 的对称点E 落在y 轴上时，求点Р的坐标．参考答案1．【答案】(1)()4,0B - ()8,3D 211384y x x =--(2)当点P 运动到距离点52A 个单位处时，四边形PDCQ 面积最小，最小值为8182．【答案】(1)4x =-(2)()4,16或()4,16--或()4,16-3．【答案】(1)()4,0A - ()0,16B (2)4x =-(3)()4,16或()4,16-或()4,16--． 4．【答案】(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN 的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()712-，或()72-，或()14，或()23， 5．【答案】发现：()2,0-，直线BC 的解析式为1y x 42=-；拓展：()4,6P -；探究：当5m =时，四边形PMED 为平行四边形6．【答案】(1)234y x x =--(2)当P 点坐标为(2,6)-时，16(3)Q 的坐标为(2,6)--或(10,6)7．【答案】(1)211344y x x =-++(2)724PD PE +的最大值为12，此时522⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)1611632N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2471632N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，32147216N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．8．【答案】(1)239344y x x =--(2)(1,0)或(7,0)或41502⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或41502⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 9．【答案】(1)224233y x x =--+(2)存在，点M 的坐标为(2,2)-或---，(172)或(17,2)-+-10．【答案】(1)2722y x x =-++(2)①302⎛⎫- ⎪⎝⎭，或302⎛⎫⎪⎝⎭，；①3192-或3192+ 11．【答案】(1)234y x x =--(2)(2,6)P -，四边形PBOC 的最大面积为16(3)存在，Q 的坐标为(2,6)--或(10,6) 12．【答案】(1)223y x x =+-(2)315(,)24D --(3)存在，点N 的坐标为(2,5)或(0,3)-或(2,3)--13．【答案】（1）224233y x x =--+；（2）35(,)22P -（3）存在 12(1,0),(5,0)Q Q -- 34(27,0),(27,0)+-Q Q ．14．【答案】（1）22y x x =-；（2）点P 的坐标(15,4)+或(13,2)+；（3）554m =12k =．15．【答案】（1）y =-14x 2+x +8，C 点坐标为(8，0)；（2）①32；①P （2，2）或（2，6）。
平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)
平行四边形，矩形，菱形的存在性问题一、平行四边形存在性问题1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．第4题第5题第6题5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．二、矩形存在性问题10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．三、菱形存在性问题13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）A．1个B．3个C．4个D．5个14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），3．有3个点．4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，分为两种情况：∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；故答案为：1或11．5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，分三种情况：如图所示，∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣2，∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，∥直线CF为y＝﹣x+1，由，解得：，∥点C坐标（，）．∥CD＝2CF＝2×＝3．∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，∥CD的最小值为3．故答案为：3．8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；故答案为：（5，7）；（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD＝BA，又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．∥∥EBA＝∥FCD．在∥BEA∥∥CFD中，，∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，即线段BO的长是10；（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直线BD上，∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，∥点P的坐标为（8，9），由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．10．D11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，解得：t＝﹣6＜0，∥不存在．12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，由于OC所在直线的表达式为y＝x，联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．13．如图，∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，∥当DC＝DA，z有1个值，当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，综上所知，符合条件的z的值有5个．故选：D．14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，A（6，0）B（0，3）．（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或∥如图3中，由题意OC＝2，当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．。
中考数学专题分类复习：平行四边形的存在性问题
中考数学专题分类复习：平行四边形的存在性问题【专题解析】考题研究：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
解题攻略：解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．解题思路：这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
这里我们主要讨论在平面直角坐标系中平行四边形是否存在的问题。
先假设平行四边形存在，并在坐标系中把平行四边形做出来，再根据平行四边形的性质得出相应的点或边的关系，从而得出结论，在作图的时候要注意分类讨论，把所有的情况考虑进去。
例题解析1．已知二次函数的表达式为y=x2+mx+n．（1）若这个二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），求实数m，n的值；（2）若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sinA，cosB是方程x2+mx+n=0的两个根，求实数m，n的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；T7：解直角三角形．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出m、n的值；（2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况考虑：当∠A=30°时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值；当∠B=30°时，求出sinA、cosB的值，利用根与系数的关系即可求出m、n的值．【解答】解：（1）将A（1，0）、B（3，0）代入y=x2+mx+n中，，解得：，∴实数m=﹣4、n=3．（2）当∠A=30°时，sinA=cosB=，∴﹣m=+，n=×，∴m=﹣1，n=；当∠B=30°时，sinA=cosB=，∴﹣m=+，n=×，∴m=﹣，n=．综上所述：m=﹣1、n=或m=﹣、n=．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，，解得，a=4，b=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；（2）∵点C在y轴上，所以C点横坐标x=0，∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标x P==，∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，∴y P=﹣3=，∴点P的坐标为（，）；（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，∴点C的纵坐标为2×﹣0=，∴点C的坐标为（0，），∴BC==，∴sin∠OCB===．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD 上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x 2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A 和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=x2+x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣x2+x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．【解答】解：（1）∵y=x 2﹣x﹣，∴y=（x+1）（x﹣3）．∴A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．∴E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．∴直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．∴直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x 2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则FP=（x﹣）﹣（x 2﹣x﹣）=x2+x．∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．∴当x=2时，△EPC的面积最大．∴P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP 与N、M．∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．∴tan∠KCP=．∵OD=1，OC=，∴tan∠OCD=．∴∠OCD=∠KCP=30°．∴∠KCD=30°．∵k是BC的中点，∠OCB=60°，∴OC=CK．∴点O与点K关于CD对称．∴点G与点O重合．∴点G（0，0）．∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．∴GH==3．∴KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．∵点G为CE的中点，∴G（2，）．∴FG==．∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，2）．当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．∴点Q1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．【解答】解：（1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）．5．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3；（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，∴QG=×2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．6．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x==1；（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），∴0=﹣k+b，即k=b，∴直线l：y=kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，∵CD=4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣=﹣1×4，∴k=a，∴直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x=（ax2﹣3ax﹣4a）=a（x﹣）2﹣a，∴△ACE的面积的最大值=﹣a，∵△ACE的面积的最大值为，∴﹣a=，解得a=﹣；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，解得：x1=1，x2=4，∴D（4，5a），∵抛物线的对称轴为直线x=1，设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），m=21a+5a=26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP=90°，∴AD2+PD2=AP2，∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣）；②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD=90°，∴AP2+PD2=AD2，∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，即a2=，∵a＜0，∴a=﹣，∴P（1，﹣4），综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．7．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y=﹣x ﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；（3）求得E（0，﹣），得到CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF 交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，∴∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）设P（m，m2﹣m﹣2），∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m ﹣）2+，∴当m=时，PM+PN的最大值是；（3）能，理由：∵y=﹣x﹣交y轴于点E，∴E（0，﹣），∴CE=，设P（m，m2﹣m﹣2），若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，①以CE为边，∴CE∥PF，CE=PF，∴F（m，﹣m﹣），∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，∴m=1，m=0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，∴CG=GE，PG=FG，∴G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，∴m=1，m=0（舍去），∴此方程无实数根，综上所述，当m=1时，以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．8．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P 作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y=x ﹣2，设D（m，0），得到E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5，），E（5，），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+，于是得到N（，﹣）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴，解得：，抛物线解析式为y=x2﹣x ﹣2；（2）令y=x2﹣x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x﹣2，设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，m﹣2），P（m，m2﹣m﹣2），∵OD=4PE，∴m=4（m2﹣m﹣2﹣m+2），∴m=5，m=0（舍去），∴D（5，0），P（5，），E（5，），∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣1×=；（3）存在，设M（n，n﹣2），①以BD为对角线，如图1，∵四边形BNDM是菱形，∴MN垂直平分BD，∴n=4+，∴M（，），∵M，N关于x轴对称，∴N（，﹣）；②以BD为边，如图2，∵四边形BNDM是菱形，∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+DH2=DM2，即（n﹣2）2+（n﹣5）2=12，∴n1=4（不合题意），n2=5.6，∴N（4.6，），同理（n﹣2）2+（4﹣n）2=1，∴n1=4+（不合题意，舍去），n2=4﹣，∴N（5﹣，），③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，∴MH2+BH2=BM2，即（n﹣2）2+（n﹣4）2=12，∴n1=4+，n2=4﹣（不合题意，舍去），∴N（5+，），综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．学科网9．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（3，0），C（0，﹣4）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP 2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到==2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，﹣），过P1作P1G ⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）如图3中，连接AP，∵OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP最大时，OE的值最大，【解答】解：（1）在y=x2﹣4中，令y=0，则x=±3，令x=0，则y=﹣4，∴B（3，0），C（0，﹣4）；故答案为：3，0；0，﹣4；（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形，①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）a，连接BC，∵OB=3．OC=4，∴BC=5，∵CP2⊥BP2，CP2=，∴BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形，∴==，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4，∴==2，∴x=，2x=，∴FP2=，EP2=，∴P2（，﹣），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，过P4作P4H⊥y轴于H，则△BOC∽△CHP4，∴==，∴CH=，P4H=，∴P4（，﹣﹣4）；同理P3（﹣，﹣4）；综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）如图（3），连接AP，∵OB=OA，BE=EP，∴OE=AP，∴当AP最大时，OE的值最大，∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值=5+，∴OE的最大值为故答案为：．10．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴=，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴=，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，①当m=2时，CQ==2，BQ==4，∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=，②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．11．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，OPMN请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）连接OC，由勾股定理可求得MN的长，则可求得OC的长，由垂径定理可求得OD的长，在Rt△OCD中，可求得CD的长，则可求得PD的长，可求得P点坐标；（2）可设抛物线的解析式为顶点式，再把N点坐标代入可求得抛物线解析式；（3）由抛物线解析式可求得A、B的坐标，由S=8S△QAB可求得点Q四边形OPMN到x轴的距离，且点Q只能在x轴的下方，则可求得Q点的坐标，再证明△QAB ∽△OBN即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM=4，ON=3，∴MN=5，∴OC=MN=，∵CD为抛物线对称轴，∴OD=MD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===，∴PD=PC﹣CD=﹣=1，∴P（2，﹣1）；（2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1），∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1，∵抛物线过N（0，3），∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1，∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；（3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∵ON=3，OM=4，PD=1，∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB，∴S△QAB=1，设Q点纵坐标为y，则×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1，当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去，当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点，∵D为AB的中点，∴AD=BD=QD，∴△QAB为等腰直角三角形，∵ON=OB=3，∴△OBN为等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）．12．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax 2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；学科网（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FAG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长．【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴点D的坐标为（2，﹣8）；（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即==，当点F在x轴上方时，则有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F 点坐标为（7，）；当点F在x轴上方时，则有=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；综上可知F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；（3）∵点P在x轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，∵PQ=MN，∴MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在抛物线上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=，∴MN=2MT=4n=+1；当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），∴MN=2MT=4n=﹣1；综上可知菱形对角线MN的长为+1或﹣1．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C 的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQ∥PC且BQ=PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标．【解答】解：（1）在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x=0可得y=﹣3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，∴C（0，3），设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C的坐标代入可得，解得，∴曲线N所在抛物线相应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）设△ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，∴M（1，1），∴MB==，即△ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ=|t﹣3|①当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQ∥PC，∴P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y=x 2﹣2x﹣3中，令y=3可解得x=1+或x=1﹣，∴PC=1+或PC=﹣1，当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t﹣3，∴t﹣3=1+，解得t=4+，当x=1﹣时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3﹣t，∴3﹣t=﹣1，解得t=4﹣，∴Q点坐标为（4+，0）或（4﹣，0）；当点P在曲线N上时，在y=﹣x2+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，∴PC=2，此时Q点在B点的右侧，则BQ=t﹣3，∴t﹣3=2，解得t=5，∴Q点坐标为（5，0）；②当BC为平行四边形的对角线时，∵B（3，0），C（0，3），∴线段BC的中点为（，），设P（x，y），∴x+t=3，y+0=3，解得x=3﹣t，y=3，∴P（3﹣t，3），当点P在曲线M上时，则有3=（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t=2+或t=2﹣，∴Q点坐标为（2+，0）或（2﹣，0）；当点P在曲线N上时，则有3=﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，∴Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4+，0）或（4﹣，0）或（5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．15．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y 轴与点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，可设出P点坐标，从而可表示出PH 的长，可表示出△PEB的面积，进一步可表示出直线AP的解析式，可求得F点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出E点横坐标，从而可表示出△CEF 的面积，再利用二次函数的性质可求得S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA=∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k=2，∴直线AC解析式为y=2x+2，∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=﹣8，∴直线BD解析式为y=2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，﹣t2+t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+2，∴H（t，﹣t+2），∴PH=y P﹣y H=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y=px+q，∴，解得，∴直线AP的解析式为y=（﹣t+2）（x+1），令x=0可得y=2﹣t，∴F（0，2﹣t），∴CF=2﹣（2﹣t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，∴S1=PH（x B﹣x E）=（﹣t2+2t）（4﹣），S2=••，∴S1﹣S2=（﹣t2+2t）（4﹣）﹣••=﹣t2+4t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，有S1﹣S2有最大值，最大值为．。
(完整word版)平行四边形之存在性问题
中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△P AC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例2、如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例3、如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例4、如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例5、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA NDMD NP=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么GQ KAGA KP=．图5-2 图5-3例6、如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4。
中考数学复习难题突破专题六：平行四边形存在性问题
9
∴点 M3 的纵坐标为－
. 4
9 将 y M＝－ 4代入抛物线的函数表达式，得－
∴ x N＝ x M－ 3＝－ 7－ 1 或 7－ 1，
9 ＝－
3x2＋
3x，解得
44
xM＝ 2－
7或 x M＝ 2＋
7，
( ) ∴ N3 － 7－ 1， 0 ， N4( 7－1， 0) ．
综上所述，满足条件的点 N 有 4 个， N1(2 ， 0) ， N2(6 ，0) ， N3( － 7－1， 0) ， N4( 7－ 1， 0) ．
③ ________，然后联立①②③，即可求得 a，b， c，从而得到函数表达式．
(2) 假设存在满足条件的点 F，连结 BF，CF， OF，过点 F 作 FH⊥ｘ 轴于点 H， FG⊥ y 轴于点 G.设点 F
的横坐标为 t ，则点 F 的坐标可表示为 ________ ，然后分别用 t 表示出△ OBF，△ OFC的面积，而△ AOC 的
图 Z6－ 5
2． [2019 ·泰安 ] 如图 Z6－ 6，是将抛物线 y ＝－ x2 平移后得到的抛物线，其对称轴为直线 x 轴的一个交点为 A( － 1，0) ，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C.
x＝ 1，与
(1) 求抛物线的函数表达式．
(2) 若点 N为抛物线上一点，且 BC⊥NC，求点 N 的坐标． 33
(1) 求抛物线的解析式．
(2) 在第二象限内取一点 C，作 CD垂直 x 轴于点 D，连结 AC，且 AD＝ 5，CD＝ 8，将 Rt △ACD沿 x 轴向
右平移 m个单位长度，当点 C 落在抛物线上时，求 m的值．
(3) 在 (2) 的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上时记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究在
中考数学专题训练 平行四边形的存在性问题
专题训练四 平行四边形的存在性问题课前热身1．数形结合：式、点、线．2．已知A 、B 、C 三点，画平行四边形ABCD ．3．已知A 、B 、C 三点，画以A 、B 、C 、D 为顶点的平行四边形． 4．平行四边形的对称性．例1 如图，二次函数22133y x x =-的图像经过△AOB 的三个顶点，其中A (－1,m )，B (n ,n )．（1）求点A 、B 的坐标；（2）在坐标平面内找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？②能否将抛物线22133y x x =-平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－1)三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．例3 将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图1 备用图专题直击如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．例5 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC 向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度．例6 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A(4, 0)，B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）当m＝1时，求AE的长；（2）当0＜m＜3时，若平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（3）是否存在m的值，使得平行四边形DEF A为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．例7如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，F、H分别是AB、CD的中点，E、G 分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．例8 如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－4与x轴交于A、B两点（点B在右侧），与y轴交于点C，且AB＝OC．（原题图只有坐标系）（1）求抛物线的表达式；（2）点D是该抛物线对称轴上的点，如果AD//BC，求点D的坐标；（3）点Q在该抛物线上，点P在该抛物线的对称轴上，当以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．。
(完整word版)平行四边形之存在性问题
1 中考数学压轴题解题策略综合题之平行四边形存在性问题专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例1、如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33uu uu u uu u u uu u uu r 右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33uu u u u u u uu u uu uu r 右，上D 1(2, 7)．由于C(0, 3)33u u uu u u uu u uu uu u r 下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33uu u u u u u uu u u u uu r 下，左D 2(－4, 1)．由于P(－1, 4)11u u u u uu u u u uu uu r 右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11u uu u u u uu u u u uu r 右，下D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2。
中考复习小专题平行四边形存在性问题课件PPT
点A、B是定点， 点Q 、P两个动点
y
Q
P
分两种情况： AB为一条边
（-1,0）A O
B（3,0） x
AB为一条对角线
解:假设在抛物线上存在点P，使得以A、B、Q、P为 顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
(1)当AB为一条边时
y
P
Q
由题意可知 PQ=4，所以P点 横坐标X=±4
Q
A
O
（-1,0）
P
B
x
（3,0）
(2)当AB为一条对角线时
由题意可知AO=BE=1 所以OE=3-1=2
所以P点横坐标X=2
y
Q
E
AO （-1,0）
P
B （3,0）
x
例3.如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m 与该二次函数的图象交于A 、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B 点在y轴上
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
D
C
D
A
B
D
2.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标(-1,0),B(3,0),C(0,2), 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好构成一 个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D的坐标为
D (-4,2)
C(0,2)
D (4,2)
(-1,0) A O
E B(3,0)
中考复习小专题
平行四边形存在性问题
牛首一中周勇琴
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在 的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知 识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧， 解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力 要求较高，是近几年中考的“热点”，更是 难点。 存在性问题类型很多，今天这节课只研究
压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例? 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 C (0, 3)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 右，上 D 1(2, 7)．由于C (0, 3)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 A (－3,0)，所以P (－1, 4)33u u u u u u u u u u u u u u r 下，左 D 2(－4, 1)．由于P (－1, 4)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 C (0, 3)，所以A (－3,0)11u u u u u u u u u u u u u r 右，下 D 3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．图2-1 【解析】在P 、M 、A 、B 四个点中，A 、B 是确定的，以AB 为分类标准．由y ＝－x 2+2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)，得A (－1，0)，B (3，0)．①如图2-2，当AB 是平行四边形的对角线时，PM 与AB 互相平分，因此点M 与点P 关于AB 的中点（1,0）对称，所以点M 的横坐标为2．此时M (2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB 是平行四边形的边时，PM //AB ，PM ＝AB ＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图 3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°．在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D的坐标为(2,－2)．如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(422,22)-和C′(422,22)-．-和D′(22,22) +-，点C和C′向左平移4个单位得到点D(22,22)图3-2 图3-3 图3-4例? 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的． 以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--． 图4-2 图4-3例?如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标． 由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )． 由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )． 根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以7a =-．此时P 267(1)-，． ②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标． 由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )． 由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )． 再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以12a =-．此时P (14)-，． 我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP＝90°，那么MA ND=；如图5-3，如果∠QAP＝90°，那么MD NPGQ KA=．GA KP图5-2 图5-3例? 如图6-1，将抛物线c1：2=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2．33y x现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB和△NED是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形ANEM保持平行四边形的形状，点O为对称中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此时B、O重合（如图6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果对角线MN＝AE，那么OM＝OA，此时△MAO是等边三角形．所以等边三角形MAB与△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (,3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例? 如图7-1，菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，E 、H 分别是AB 、CD 的中点，E 、G 分别在AD 、BC 上，且AE ＝CG ．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF ＝GH 和FG ＝HE 大家最熟练了． （2）平行四边形EFGH 的对角线FH ＝4是确定的，当EG ＝FH ＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E 为AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形． 如图7-4，当E 与A 重合时，△ABG 与△DCE 都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直，那么四边形EFGH 是菱形． 过FH 的中点O 画FH 的垂线，EG 就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例? 如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
2015中考总复习专题突破课件专题4_存在性问题(共37张PPT)
考点探究
专题4 存在性问题
(3)存在这样的点P.
i)如图①，当∠PAC＝90°时，则AC⊥AP.
∵PC⊥x轴， ∴∠CAP＝∠EDP＝90°. 又∵∠APD＝∠DPE， ∴△CAP∽△EDP， AC DE ∴ ＝ . AP DP
考点探究
专题4 存在性问题
设点 D 的坐标为(x，0)，则点 P 的坐标为(x，x＋2)，点 C 的 坐标为(x，2x －8x＋6)． 由题意易知 DE＝x＋2，PD＝x＋2， AC x＋2 ∴ ＝ ＝1，即 AC＝AP. AP x＋2 ∵∠CAP＝90°， ∴PC＝ 2AP. ∵点 P 在线段 AB 上，
研究形与通过形来研究数的解题策略，主要题型为：在坐标系 中研究直线型图形、圆、函数图象，在直线型图形和圆中研究 几何变量之间的函数关系，从问题的类型来看主要有探索性问 题、存在性问题、开放性问题．
考点探究
专题4 存在性问题
探究一 点动型问题
例1 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点
9 A－ ，0 ，C(0，3)，点B是x轴上一点(位于点A右侧)，以AB为直 4
解：(1)90°. (2)在Rt△ABC中， ∵OA²OB＝OC ， ∴OB＝4. 故抛物线为y＝a(x－4) 1 得a＝－ ， 3
9 1 ∴抛物线的解析式为y＝－ (x－4)x＋ . 4 3
考点探究
2
9 x ＋ 4
＝ax2＋bx＋3，比较常数项，
2
考点探究
专题4 存在性问题
1 ∴ <x<4， 2 ∴AP＝ 1 2 5 2 （x－ ） ＋（x＋2－ ） 2 2
1 ＝ 2(x－ )． 2 ∴PC＝(x＋2)－(2x2－8x＋6) 1 ＝ 2² 2(x－ )， 2 即－2x2＋7x－3＝0，
中考复习专题6二次函数与平行四边形存在性问题(含解析)
专题6二次函数与平行四边形存在性问题解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形.1.平面直角坐标系中，点A 的坐标是11(,)x y ，点B 的坐标是22(,)x y ，则线段AB 的中点坐标是1212(,22x x y y ++.2.平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y 、(,)D D x y ，则A C B D x x x x +=+，A C B D y y y y +=+.3.已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，在平面内找到一个点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况：【例1】（2022•娄底）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣6与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，△PBC 的面积最大？并求出△PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE ∥AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；四边形PBOC（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），＝x P＝＝3m，∴S△POCS△BOP＝|y P|＝+2m+6），＝＝18，∵S△BOC＝S四边形PBOC﹣S△BOC∴S△PBC+S△POB）﹣S△BOC＝（S△POC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，＝；∴当m＝3时，S△PBC最大方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴S△PBC＝；∴当m＝3时，S△PBC最大（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【例2】．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值；（3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式；（2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论；（3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可．【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1），∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3．设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵该抛物线与直线BC始终有交点，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值为．（3）存在，理由如下：由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，设点M（m，﹣m2+4m﹣3），若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况：①当DE为边时，DE∥MN，则N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②当DE为对角线时，设点N的坐标为t，则N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．【例3】（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果；（2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论；（3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M 坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果．【解答】（1）解：由题意得，，∴，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，∴D（﹣1，4），由﹣x2﹣2x+3＝0得，x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AD2＝20，∵C（0，3），∴CD2＝2，AC2＝18，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，∵∠BOC＝90°，∴tan∠BCO＝＝，∴∠DAC＝∠BCO；（3）解：如图，作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F，∴DE∥FD1，∴△DEC∽△D1FC，∴＝，∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴D1（2，1），∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1，当x＝0时，y＝﹣3，∴N（0，﹣3），同理可得：，∴，∴OM＝3，∴M（3，0），设P（2，m），当▱MNQP时，∴MN∥PQ，PQ＝MN，∴Q点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴Q（﹣1，8），当▱MNPQ时，同理可得：点Q横坐标为：5，当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，∴Q′（5，﹣8），综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．【例4】（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案；方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案；②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可．【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）①由（1）可知，C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+m，将C（0，﹣3），B（3，0）代入得，，∴，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线MN的解析式为y＝x，∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，把x＝1代入y＝x，得y＝1，∴D（1，1），方法一：设直线CD的解析式为y＝k1x+b1，将C（0，﹣3），D（1，1）代入得，，解得，∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，4x﹣3＝0，∴x＝，∴E（，0），∴OE＝．方法二：由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3，∵BC∥MN，∴△DEO∽△CEB，∴，设OE＝x，则BE＝3﹣x，∴，解得x＝，∴OE＝．②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：（Ⅰ）若平行四边形以BC为边时，由BC∥FD可知，FD在直线上，∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1），由点D在直线MN上，设D（t，t），如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC，过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t），∵BC∥MN，∴∠OBC＝∠DOB，∵GD∥x轴，∴∠GDF＝∠DOB，∴∠OBC＝∠GDF，又∵∠BOC＝∠DGF＝90°，∴△DGF≌△BOC（AAS），∴GD＝OB，GF＝OC，∵GD＝t﹣1，OB＝3，∴t﹣1＝3，∴t＝4，∴D（4，4），如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB，同理可证△DKF≌△COB（AAS），∴KD＝OC，∵KD＝1﹣t，OC＝3，∴1﹣t＝3，∴t＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时，由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方，如图，四边形BFCD为平行四边形，设D（t，t），F（1，n），同理可证△DHC≌△BPF（AAS），∴DH＝BP，HC＝PF，∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n，∴，∴，∴D（2，2），F（1，﹣5），综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）；当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）．1．（2021•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y 轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可；，利用二次函数求最值；（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标．【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得：，解得，∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5，（2）作ED⊥x轴于D，由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t，∵B（5，0），C（0，﹣5），∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，∴ED＝sin45°×2t＝，＝＝﹣，∴S△BEP最大为2．当t＝﹣时，S△BEP最大为2．∴当t＝2时，S△BEP（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），∴NF＝|﹣m2+5m|＝4，∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0，∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝，∴点N的横坐标为：4或或．2．（2021•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM ⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N．（1）求此抛物线的解析式；（2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式；（2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN 由面积S△BCP有最大值，P（2，）；（3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）．【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴y＝﹣x2+x+4；（2）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，4），设直线BC的解析式为y＝kx+d，将点B与点C代入可得，，解得，∴y＝﹣x+4，∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴，∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），＝×BC×PN＝×PQ×OB，∴S△BCP∵B（4，0），C（0，4），∴BC＝8，∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4，∴PN＝﹣（m﹣2）2+，∴当m＝2时，PN有最大值，∴P（2，）；（3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+，∵抛物线沿着射线CB设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，∵新抛物线y'过原点，∴0＝﹣+﹣t，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴y'＝﹣+＝﹣x2+x，∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，∴x＝3，∴D（3，2），∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝，∴E点的横坐标为，∵点F为新抛物线y'上一动点，设F点横坐标为n，①当AE与DF为平行四边形的对角线时，∴﹣3+＝n+3，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，∴﹣3+n＝3+，∴n＝，∴F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，∴﹣3+3＝n+，∴n＝﹣，∴F（﹣，﹣）；综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）．3．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；（2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标；（2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值．【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a，得，解得，∴，∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为．（2）存在．∵，当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴C（0，﹣2），B（4，0），设，，当四边形BCFE是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝±，当四边形BCEF是平行四边形时，可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到，则②﹣③得m+n＝2h﹣1④，（①+④）÷2得⑤，（④﹣①）÷2得⑥，将⑤，⑥代入③得h＝或，当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4，∴E（4，0），F（8，2），此时点E与点B重合，不符合题意，舍去；综上，h的值为或±．4．（2021•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E．（1）填空：△ABC的形状是直角三角形．（2）求抛物线的解析式；（3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P点坐标；（4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标．【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解；（4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解．【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3，则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角三角形；（2）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②，当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③，则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0，解得：c＝，将c的值代入③式并解得x＝，故点P的坐标为（，）；（4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4），∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2），设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3），①当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3，解得：m＝（舍去）或2或；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3，解得m＝（舍去）或0，综上，m＝0或2或或，故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）．5．（2021•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b；（2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求；（3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF ＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形．【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a），∴4a+2b﹣3＝﹣3a①，又因为抛物线对称为x＝1，∴②，联立①②，解得，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴M（1，﹣4），令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线MC为y＝kx﹣3，代入点M得k＝﹣1，∴直线MC为y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴N（﹣3，0），令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），过C作CP∥AN，使CP＝AN，则四边形ANCP为平行四边形，∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴P（2，﹣3），∵P的坐标满足抛物线解析式，∴P（2，﹣3）在抛物线上，即P（2，﹣3）；（3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3，∴D（0，3），∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°，∴∠DBO＝45°，同理，∠ABC＝45°，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠DBO＝45°，∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形．6．（2021•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标：（3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程．【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可．（2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值．（3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点．【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为（0，3），∵OG﹣OB＝3，∴B坐标为（3，0），∵tan∠CAO＝3，∴＝3，∴OA＝1，∴点A坐标为（﹣1，0），∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵Q为线段PB中点，＝S△CPB，∴S△CPQ面积最大时，△CPQ面积最大．当S△CPB设P坐标（a，﹣a2+2a+3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，H坐标为（a，﹣a+3），∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，S△CPB＝•PH•（x B﹣x C）＝•PH•3＝PH＝（﹣a2+3a）＝﹣（a2﹣3a+﹣）＝﹣（a﹣）2+，当a＝时，即P坐标为（，）时，＝S△CPB＝，最大S△CPQ∴P坐标为（，）；（3）沿CB方向平移2个单位，即向右2个单位，向下2个单位，∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2，M坐标为（3，2）C坐标为（0，3），点N坐标设为（n，0），∵＝，∴＝，∴y D＝1，则1＝﹣（x﹣3）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2，（x﹣3）2＝1，x﹣3＝±1，∴x＝4或2，∴x D＝4或x D＝2，＝⇒＝，∴x N＝7，或＝，∴x N＝5，∴N坐标为（7，0）或（5，0），或＝⇒＝，得y D＝﹣1，则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2，（x﹣3）2＝3，x＝±+3，∴x D＝3﹣或x D＝3+，即x N＝﹣或，N坐标为（﹣，0）或（，0）．7．（2021•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标；（2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标；求得P坐标，②当S△COP（3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x，对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2，∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得：，解得，∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4，Rt△AOB中，AB＝＝4，∴sin∠ABO＝＝＝，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：：S△COP＝1：2，∵S△AOP：S△AOC＝1：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝1：3，而C（2，6），即CH＝6，∴PQ＝2，即y P＝2，在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4，∴x＝﹣2，∴P（﹣2，2）；②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：：S△AOP＝1：2，∵S△COP：S△AOC＝2：3，∴S△AOP∴PQ：CH＝2：3，∵CH＝6，∴PQ＝4，即y P＝4，在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4，∴x＝0，∴P（0，4）；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）；（3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况：①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6），∴AN的中点为（，），OC中点为（，），∴，解得，∴N（6，6），②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：解得，∴N（﹣2，6），③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：，解得，∴N（﹣6，﹣6），综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）．8．（2021•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求；＝S△CEF+S△BEF （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论；（3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求；②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得：．解得：．∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）设直线l的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），D（0，3）代入上式得：．解得：．∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．∵点P（m，0），EF⊥x轴，∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）．∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6．∵B（3，0），∴OB＝3．＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB，∵S四边形CEBF∴＝﹣．∵＜0，有最大值＝．∴当m＝时，S四边形CEBF即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为．（3）存在．①当点M在直线BD的下方时，如图，令x＝0，则y＝﹣3．∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．∵A（﹣1，0），∴OA＝1．过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G，∵四边形ACMN为平行四边形，∴AC∥MN，AC＝MN．∵NF⊥ME，ME⊥OE，∴NF∥OE．∴∠ACO＝∠MNF．在△AOC和△MFN中，．∴△AOC≌△MFN（AAS）．∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1．设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3．∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1．∴N（h﹣1，﹣h+4）．∴NG＝﹣h+4，∵NG+GF＝NF＝3，∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．②当点M在直线BD的上方时，如图，过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G，由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3．设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3．∴NE＝EF+NF＝h+1．∴N（h+1，﹣h+2）．∴GF＝OE＝h﹣2．∵MG+GF＝MF＝3，∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3．解得：h＝（负数不合题意，舍去）．∴h＝．∴M（）．综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）．9．（2021•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x ﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）．（1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为（﹣1，﹣4m+1）；当二次函数L1，L2的y 值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是﹣1＜x＜3；（2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点：①求所有定点的坐标；②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形；（3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1），由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大．故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3（2）结论：四边形AMDN由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得：A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N 坐标为（3，4m﹣1），∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），∴AD与MN互相平分，∴四边形AMDN是平行四边形，又∵AD＝MN，∴▱AMDN是矩形．（3）①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点，如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．解得：x＝，抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或．10．（2022•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标；（3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来．【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解；（2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E （x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）．【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC＝3，∵OB＝2OC，∴OB＝6，∴B（6，0），将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝x﹣3，∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），∴PQ＝﹣t2+3t，∵CO＝3，BO＝6，∴BC＝3，在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝，∵PQ∥CO，∴∠HQP＝∠OCB，∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝，∴HP＝PQ，HQ＝PQ，∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，∵点P是直线BC下方，∴0＜t＜6，∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5，∴D（﹣3，﹣5），设M（m，﹣m2+m﹣5），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣3x﹣3，设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），①以EF为平行四边形的对角线时，．解得m＝或m＝，∴M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，，解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6，∴M（﹣6，4）；综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）．11．（2022•平桂区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y ＝﹣x+3交于点B、C（0，n）．（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；（2）求该抛物线的表达式；（3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标．【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）．【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得：n＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1；（2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t，∴P（1，t），∵平移BC使点B与P重合，B（3，0），∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图：。
平行四边形存在性问题的解题策略
在， 否则不存在． 利用对角线进行讨论求解， 实质就是用代数方法 研究几何问题， 加强数形之间的联系， 突出数形结合 的思想． 其优点是非常明显的： 1． 不会漏解， 因为它借 助了概率中的列举法， 不遗漏， 不重复的给出不同情 况， 而且分类较为简便； 2． 不需画图证明， 此类问题一 般出现在比较复杂的综合题中， 中点公式的运用一般 “锦上添花 ” ， 不需要对已经很复杂的图像上再 它跨越 了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程， 让学生的思路清晰明了； 3． 不受图像限制， 中点公式的 运用范围很广， 无论有几个定点， 无论在什么函数图 像上， 只要坚持利用对角线互相平分， 就可以不变应 万变． 当然， 对于一些特殊的情况也需灵活变通应用． 总之， 利用对角线解决平行四边形的存在性问 题， 综合应用了几何代数的知识， 最大限度地体现了 数形结合的思想， 减轻了学生负担， 对提高学生的思 维空间、 解题能力有着积极的意义．
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中学数学杂志
2015 年第 12 期
ZHONGXUESHUXUEZAZHI
可得 D 2（
1 7 3 3 ， ）， D 3（ － ， ） ． 2 2 2 2
归纳 在解答平面直角坐标系中平行四边形存 在性问题时， 首先可将四个点的坐标表示出来， 然后 利用与其中一点有关的三条线段分别为对角线进行 分类， 最后根据对角线互相平分时中点重合， 构造方 程组进行求解． 2 巧用对角线探究平行四边形的存在性 利用对角线进行分类讨论， 再利用对角线互相平 分构造等量关系， 是否也能处理比较复杂的存在性问 题呢？ 下面以 2015 年的一道中考题为例， 作一说明． 2 ( 2015 ) 例 年湖北 边长为 2 的正方形 如图 5， OABC 在平面直角坐标系中 的位置如图所示， 点 D 是边 OA 的中点， 连接 CD， 点E 在第一象限， 且 DE ⊥ DC ， 图5 DE = DC． 以直线 AB 为对称 E 两点． （ 1） 求抛物线的解析式； 轴的抛物线过 C ， （ 2） 点 P 从点 C 出发， 沿射线 CB 每秒 1 个单位长 度的速度运动， 运动时间为 t 秒． 过点 P 作 PF ⊥ CD 于 F， D 为顶点的三角形与 点 F， 当 t 为何值时， 以点 P ， △COD 相似？ （ 3） 点 M 为直线 AB 上一动点， 点 N 为抛物线上一 N， N， D， E 为顶点的 动点， 是否存在点 M， 使得以点 M， 四边形是平行四边形？ 若存在， 请直接写出满足条件 的点的坐标； 若不存在， 请说明理由． 1） ． 抛物线的对 解析 （ 1） 可求得 E 的坐标为（ 3， 1 2 4 称轴为直线 x = 2， 抛物线的解析式为 y = x － x + 3 3 0） ， E（ 3， 1） ． 点 M 为直 2； （ 2） 略； （ 3） 存在， 已知 D（ 1， AB M （ 2 ， b ） ， N 线 上一动点， 所以设 点 为抛物线上一 4 1 2 动点， 所以设 N（ a， a － a + 2） ， 3 3 MD， NE 为对 若四边形 MNDE 是平行四边形时， 角线， 所以可得方程组： 2 + 1 = 3 + a， 1 4 b + 0 = a 2 － a + 2 + 1， 3 3 b = 3， 3） ， N（ 0， 2） ； 所以 M（ 2， 解得： a = 0， ME ， DN 为对 若四边形 MDEN 是平行四边形时， 角线， 所以可得方程组： 2 + 3 = 1 + a， 1 4 b + 1 = a 2 － a + 2 + 0， 3 3 b = 1， 1） ， N（ 4， 2） ； 所以 M（ 2， 解得： a = 4， MN， ED 为对 若四边形 MEND 是平行四边形时，
平行四边形的存在性问题
精选PPT
9
第三步 计算——思路就在画图的过程中
yx22x3 A(1,0)C , (0,3)
如果AE为对角线， 那么C、F到x轴距离相等， 直线与抛物线有2个交点F. 再由AF=CE确定点E(2个).
解方 x22 程 x3 3 得 x F 1 7 ,x F ' 1 7 由 H EO A 1 精选知 PPTE ( 27,0 )E ,'( 27 1,00 )
点E在x轴上 点F在抛物线上
AE为对角线
AE为边
精选PPT
5
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
A、C、E、F
点E在x轴上 点F在抛物线上
如果AE为边， 那么由AE//CF确定点F， 再精选由PPTAE=CF确定点E(2个6).
第一步确定分类标准与第二步画图相结合
AE为对角线 AE为边
平行四边形存在性问题
分两类型 第一类型：三定一动平行四边形存在性问题 第二类型：两定两动平行四边形存在性问题
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第一类型：一个动点平行四边形存在性问题
抛砖引玉
1.点A、B 、C是平面内不在同一条直线上的三点, 点D是平面内任意一点,若A、B 、C 、D四点恰好 构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的 点D有C ( )
小结
第一步确定分类标准与第二步画图相结合 第三步 计算——思路就在画图的过程中
画图的顺序:因E而F 因F而E 画图的依据:平行(尺)且相等(规)
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09普陀25
若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行
四边形，该平行四边形的另一顶点E在y轴上，
写出点P的坐标．
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