循环卷积_DFT求线性卷积

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DFT的共轭对称性

DFT的共轭对称性

1.用DFT计算循环卷积
L 1
如果 y (n ) x 1 (n ) x 2 (n ) x 1 (m )x 2 ((n m ))L R L (n ) m 0
X1(k) DFT[x1(n)] X2(k) DFT[x2(n)]
则由时域循环卷积定理有 Y(k)=DFT[y(n)]=X1(k)X2(k),
m x(m)[N 1N k01WN (mn)k]
x(n rN)
r
N 1N k 0 1W N (mn)k 1 0
mnrN 其 它 m
r为 任 意 整 数
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20
由频域抽样序列 X ( k ) 还原得到的周期序列 是原非周期序列 x ( n ) 的周期延拓序列,其 周期为频域抽样点数N。
X (k )
X e p (k ) X o p (k )
x e p (n ) x o p (n )
R e [X (k )] jIm [X (k )]
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12
共轭对称性总结2: 实数序列的共轭对称性
序列
DFT
R e [ x ( n ) ] jI m [ x ( n ) ] 0
x e p (n ) x o p (n )
k 0
k(ej)k(z)z ej(
2k) N
内插函数:
()
1
sin
N
2
e
j
N21
N
sin
2
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26
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27
内插恢复过程描述:
X(ej)N1X(k)(2k)
k0
N
(2N k)10
2N kk 2N ii ik
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28
3.4 DFT的应用举例

DFT计算卷积

DFT计算卷积
x0 [k ]
将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列
x1[k ]
x 2 [k ]
x3 [ k ]
k
L
2L
3L
定义
x[ k nL ] xn [ k ] 0
0 k L -1 其他
xn[k - nL] x[k ] DFT 计算卷积
n0

长序列和短序列的线性卷积
1. 重叠相加法(overlap add) 计算: yn [k ] xn [k ] h[k ]
序列 y0[k], y1[k]的重叠部分
依次将相邻两段的M-1个重叠点相加,即得到最 终的线性卷积结果。
DFT计算卷积
重叠相加法分段卷积举例
h[k ] 1
M=4
0 1 2 M-1
x[k ] 1
k
L=7
0 1 2
L-1
k
重叠相加法分段卷积举例(L=7,M=4)
y 0 [k ]
4 2 3 6 9
1
0 1 2 3
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
问题提出: DFT{x1[k] 实际需要:
N
x2[k]}=X1[m]X2[m]
LTI系统响应
y[k]=x [k]h[k]
可否利用DFT计算线性卷积?
DFT计算卷积
两个有限长序列的线性卷积
设 x [k] 的非零范围是 g[k] 的非零范围是 y[k]=x [k]h[k]非零范围 序列y[k]的长度为 0 k N-1 0 k M-1 0 k N+M- 2 L=N+M-1
4点滑动平均系统去噪结果
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
0
10

DFT应用

DFT应用

X a ( j Ω)
FT

x(n)
n
DTFT
X(w)
n
x(n)R N (n)
X(w) * D(w) 1
w
x((n)) N
N-1
n
DFS
X((k)) N
w
x((n)) N R N (n)
N-1
n
DFT
k
X((k)) N R N (n)
k
N-1
n
• 由傅立叶变换可知:
– 时域有限则频域无限; – 频域有限则时域无限; – 时域频域均有限的信号是不存在的;
+ N+M-1 y2(n) + N+M-1 y3(n)
重叠保留法Overlap-save
补零 x(n) x0(n) M-1 N-M+1 N x1(n) x2(n) N N x3(n) x4(n) N
h(n) y(n) 舍弃
M
M-1
N-M+1 y0(n) M-1 舍弃 舍弃 N-M+1 y1(n) M-1 N-M+1 y2(n) M-1 舍弃 N-M+1 y3(n)
y(n) = h(n) * x(n) = h(n) * ∑ x m (n − mN)
m =0

= ∑ h(n) * x m (n − mN)
m =0 ∞

= ∑ y m (n − mN)
m =0
重叠相加法
x(n) N N N N
h(n) y(n)
M
N+M-1 y0(n) + N+M-1 y1(n)
• 实时系统中如何进行卷积??? • 长短序列卷积的意义??

数字信号处理主要知识点整理复习总结

数字信号处理主要知识点整理复习总结
16. 已知:
求出对应
的各种可能的序列的表达式。
解: 有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况: 三种收敛域对应三种不同的原序列。
时,
(1)当收敛域

,因为c内无极点,x(n)=0;
,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有
数字信号处理课程 知识点概要
第1章 数字信号处理概念知识点
1、掌握连续信号、模拟信号、离散时间信号、数字信号的特点及相互关系(时间和幅度的连续性考量) 2、数字信号的产生; 3、典型数字信号处理系统的主要构成。
量化、编码 ——————
采样 ————
模拟信号
离散时间信号
数字信号
5、部分分式法进行逆Z变换 求极点 将X(z)分解成部分分式形式 通过查表,对每个分式分别进行逆Z变换 注:左边序列、右边序列对应不同收敛域 将部分分式逆Z变换结果相加得到完整的x(n)序列 6、Z变换的性质 移位、反向、乘指数序列、卷积
常用序列z变换(可直接使用)
7、DTFT与Z变换的关系
(a) 边界条件 时,是线性的但不是移不变的。
(b) 边界条件 时,是线性移不变的。

….
所以:
….
所以:
可见 是移一位的关系, 亦是移一位的关系。因此是移不变系统。
代入差分方程,得:
……..
所以:
因此为线性系统。
3. 判断系统是否是因果稳定系统。
Causal and Noncausal System(因果系统) causal system: (1) 响应不出现于激励之前 (2) h(n)=0, n<0 (线性、时不变系统) Stable System (稳定系统) (1) 有界输入导致有界输出 (2) (线性、时不变系统) (3) H(z)的极点均位于Z平面单位圆内(因果系统)

数字信号处理期末试卷(含答案)

数字信号处理期末试卷(含答案)

________ 次复乘法,运算效率为__
_。
6、FFT利用 来减少运算量。
7、数字信号处理的三种基本运算是: 。
8、FIR滤波器的单位取样响应
是圆周偶对称的,N=6,
,其幅度特性有什么特性? ,相位有何特 性? 。 9、数字滤波网络系统函数为

4、 已知

的反变换
。 3、
,变换区间
,则
。 4、




的8点循环卷积,则

5、用来计算N=16点DFT直接计算需要_
2FFT算法,需要
次复乘法
6、基2DIF-FFT 算法的特点是
7、有限脉冲响应系统的基本网络结构有
8、线性相位FIR滤波器的零点分布特点是
9、IIR系统的系统函数为
次复加法,采用基
转换为
时应使s平面的左半平面映射到z平面的

A.单位圆内 B.单位圆外 C.单位圆上 D.单位圆与实轴的交

6、 分析问答题(每题5分,共2题)
3、 某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为
(长度为N),则该系统的频率特性、复频域特性、离散频率特性分 别怎样表示,三者之间是什么关系? 4、 用
对连续信号进行谱分析时,主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的 矛盾?
十一、(7分)信号 包含一个原始信号 和两个回波信号: 求一个能从 恢复 的可实现的滤波器.
附录:
矩形窗(rectangular window) 汉宁窗(Hann window) 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window)
表1 一些常用的窗函数
表2 一些常用窗函数的特性

DFT性质

DFT性质
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
离散傅里叶变换(DFT)
有限长序列的傅里叶分析
离散傅里叶变换的性质
利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱
离散傅里叶变换的性质
1. 线性
DFTax1[k ] bx2 [k ] aDFTx1[k ] bDFTx2 [k ]
j 2 N m

N 1 k 0

x[ k ] z
k z e
j
2π N
m

N 1 k 0

x[ k ]e
-j
2π N
X [m]
km
x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样
Im(z)
2 m N j
z 平面
2 N
-1
0
1 2 ( N 1) N
Re(z)
单位圆 -j
需将较短序列补零后,再按长序列的点数做DFT
DFT性质
符号(k)N : 表示对k进行模运算
k k1 k 2 N , k1 0,1,, N 1, k 2 Z
(k ) N k1
例:N=3,k= 3, 2,
x[(k) N ]
1,
0,
1,
2,
3,
4
x[0] x[1] x[2] x[0] x[1]
DFT性质
卷积定理
时域卷积定理:
DFTx1[k ] N x2 [k ] X1[m] X 2 [m]
时域的卷积对应频域的乘积
频域卷积定理:
1 DFTx1[k ]x2 [k ] X1[m] N X 2 [m] N

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第11章 重点大学硕士研究生入学考试题及其解答

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第11章  重点大学硕士研究生入学考试题及其解答

242第11章 重点大学硕士研究生入学考试题及其解答引 言这一章汇集了几所重点大学硕士研究生入学考试的考试题,并对重点考试题进行了分析和解答。

这些考试题有的放在《信号与系统》考试科目中,我们仅抽出了关于数字信号处理方面的考试题,并进行了适当的调整和编辑。

以《数字信号处理》为考试科目的考试题基本维持原题。

为了便于读者阅读,将考试题中的常用符号全部改成和本教材的符号一致,并对个别符号进行了具体的说明。

综合下面各考试题和各大学的考试题形式,发现即使同一所大学的不同学年的考试题形式也不完全一样,例如,有填空题、判断题、计算题、证明题、问答题、画图题等。

但是,不管形式如何变化,基本概念和基本理论是各考试题的主要内容。

有一些考试题似乎很难,实际上考的还是基本概念和基本理论,只是题出得很灵活。

当然,有的考试题的确需要一定的解题技巧,这需要通过解题并积累一些解题经验来掌握。

限于水平,不能保证全部的考试题都能理解透彻,故恳切希望读者指正。

11.1 考试题(一)及其解答考试题(一)一、填空题1.已知一离散系统的输入输出关系为()(1)3(2)y n x n x n =-+-[其中x (n )为输入,y (n )为输出],试判断系统的特性 , , 。

2.设实连续信号x (t )中含有频率40 Hz 的余弦信号,现用s 120 Hz F =的采样频率对其进 行采样,并利用N = 1024点DFT 分析信号的频谱,计算出频谱的峰值出现在第 条谱线。

3.已知4阶线性相位FIR 系统函数H (z )的一个零点为122j z =-,则系统的其他零点 为 。

4.已知序列()cos(0.15)2sin(0.25)x n n n =π+π,则信号的周期为 。

5.已知5点的有限序列{}()1,2,4,2,1:0,1,2,3,4x n n =--=,则x (n )的自相关函数()x R n 为 。

6.当用窗口法设计线性相位FIR 滤波器时,如何控制滤波器阻带衰减 。

程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))

程佩青《数字信号处理教程》(第4版)(名校考研真题详解 离散傅里叶变换(DFT))
证明:将 Re[x(n)]用 x(n)和 x (n)表示出来得:
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对上式进行 DFT 变换有:
即:
,得证。
5.考虑如图 3-1 所示的线性非移(时)变 LSI 系统的互联
图 3-1
(1)试用

表示整个系统的频率响应;
12.已知有限长序列{g[n]}、{h[n]},其中{g[n]}={3,2,4},{h[n]}
={2,-4,0,1}。试求:
(1)线性卷积

(2)循环卷积

(3)基于 DFT 变换的方法求循环卷积
。[北京大学 2005 研]
解:(1)根据已知 g[n]={3,2,4},h[n]={2,-4,0,1},其线性卷积为:

,其中

分别是 x(n)和 h(n)的 5 点 DFT,
对 Y(k)作 IDFT,得到序列 y(n),求 y(n)。[华东理工大学 2005 研]
(2)根据频率和周期的关系得:
, 又因为 DFT 的分辨率达到 1Hz 时:
所以采样数据为:
由上可知此应该采集 4000 个点的数据。 7.计算有限长时间序列:
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均 N 点 DFT 的值

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。[北京理工大学 2006 研]
即: 帕塞瓦尔(Parseval)定理的物理意义表示信号时域和频域能量是守恒的。
2.设 DFT[x(n)]=X(k),求证: DFT[X(k)]~Nx(N-n)。 [华南理工大学 2007 研]
证明:由已知对 DFT[x(n)]求反变换得 x(n)为:

实验五 线性卷积与循环卷积的计算

实验五  线性卷积与循环卷积的计算

实验五 线性卷积与循环卷积的计算一、实验目的1、进一步加深对线性卷积的理解和分析能力;2、通过编程,上机调试程序,进一步增强使用计算机解决问题的能力;3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法,并验证二者之间的关系。

二、实验原理1、线性卷积线性时不变系统(Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统)输入、输出间的关系为:当系统输入序列为)(n x ,系统的单位脉冲响应为)(n h ,输出序列为)(n y ,则系统输出为:∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(或∑+∞-∞==-=m n x n h m n x m h n y )(*)()()()(上式称为离散卷积或线性卷积。

图6.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。

)(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→图6.1 线性时不变系统的输入、输出关系2、循环卷积设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ,均为N 点长)(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ⋅=则 )()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑-=[]∑---=1021)()(N m N m n x m x)(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x上式称为循环卷积或圆周卷积)(n x L. T. I h(n)∑+∞-∞=-=m m n h m x n y )()()(D F T D F T注:)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列;)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。

上机编程计算时,)(3n x 可表示如下:∑∑-+==-++-=11210213)()()()()(N n m nm m n N xm x m n x m x n x3、两个有限长序列的线性卷积序列)(1n x 为L 点长,序列)(2n x 为P 点长,)(3n x 为这两个序列的线性卷积,则)(3n x 为∑+∞-∞=-=m m n xm x n x )()()(213且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ,也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时0)(3=n x 。

DFT的共轭对称性

DFT的共轭对称性

N −1
内插公式与内插函数
1 − z − N N −1 X ( k ) 内插公式:X ( z ) = ∑ 1 − W − k z −1 N k =0 N 1 1 − z−N 内插函数:Φ k ( z ) = ⋅ − k −1 N 1 − WN z
则内插公式简化为: X ( z ) = ∑ X ( k )Φ k ( z )
即可由频域采样 X ( k ) 不失真地恢复原信号 x ( n ) ,否则产生时域混叠现象。
二、由X (k )表示X ( Z )和X (e ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M 点有限长序列x ( n ),频域N 点等间隔抽样,且

N≥M
则: X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n = ∑ x ( n ) z − n
若有: x(n) = xr (n) + jxi (n) DFT[ x(n)] = X (k ) = X ep (k ) + X op (k )
则有:
1 xr (n) = [ x(n) + x∗ (n)] 证明: 2 1 DFT[ xr (n)] = [ X (k ) + X ∗ ( N − k )] = X ep (k ) 2 1 xi (n) = [ x(n) − x∗ (n)] 2 1 DFT[xi (n)] = [ X (k ) − X ∗ ( N − k )] = X op (k ) 2
DFT [ x1 (n)] = X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] = X 2 (k )
利用两序列构成一个复序列
w( n ) = x1 ( n ) + jx2 ( n ) 则 W ( k ) = DFT [ w( n )] = DFT [ x1 ( n ) + jx2 ( n )] = DFT [ x1 ( n )] + jDFT [ x2 ( n )] = X 1 ( k ) + jX 2 ( k )

第3章 离散傅里叶变换(DFT)(2016)

第3章  离散傅里叶变换(DFT)(2016)

N 1
kn N
k 0,1,...,N 1
x(n) --------有限长序列(长度为M); WN=e-j2π/N----旋转因子;N-------N 1
kn (N k) DFT DFT [ x ( n )] x ( n )WN X(k) --------x(n)X 的 点 ;
N 1 n 0
*矩阵法求解循环卷积: y(0)c x(0) y(1) c x(1) y( n) x( n) h( n) y(2)c = x(2) y( L 1) x( L 1) c x( L 1) x(0) x(1) x( L 2) x( L 2) x( L 1) x(0) x( L 3) x(1) h(0) h(1) x(2) x(3) h(2) x(0) h( L 1)
2kn 2. Im[ X ( k )] j x( n) sin( ) N n0
N 1 2kn 2kn Im[ X ( k )] j x ( n) sin( ) j x( n) sin( ) Im[ X ( k )] N N n0 n0 X(k)虚 部 奇 对 称 N 1
4. x(n)是长度为N的实序列,且X(k)=DFT[x(n)],则 1)X(k)实部关于N/2偶对称,即: Re[X(k)]= Re[X(-k)]= Re[X(N-k)] X(k)虚部关于N/2奇对称,即 Im[X(k)]= -Im[X(-k)]= -Im[X(N-k)]
1)证:
N 1 N 1 2kn 2kn kn X ( k ) DFT [ x( n)] x ( n)W N x( n) cos( ) j x( n) sin( ) N N n0 n0 n0 N 1

第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT

第3章 离散傅立叶变换 DFSDFS的性质DFTDFT的性质循环卷积利用DFT计算线性卷积频率域抽样FFT

~x(n)
1 N
N
1
X~
(k
)W
N
kn
k 0
IDFS
X~ (k )
DFS[·] ——离散傅里叶级数正变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换
离散傅里叶变换(DFT)
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。
一个有限长序列 x(n),长为N,
x(n)
图4.2.8 倒序规律
3.5.4 频域抽取法FFT(DIF―FFT)
在基2快速算法中,频域抽取法FFT也是一种常用 的快速算法,简称DIF―FFT。
设序列x(n)长度为N=2M,首先将x(n)前后对半分
开,得到两个子序列,其DFT可表示为如下形式:
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNk
T0
频谱特点: 离散非周期谱
2. 连续时间非周期信号
x(t) 1 X ( j) ej td
2
X ( j) x(t) e j tdt
频谱特点: 连续非周期谱
3. 离散非周期信号
x(n) FT-1[ X (ej )] 1 X (ej ) ejnd
2
X (ej ) FT[x(n)] x(n) e-jn n
~x (n) IDFS [ X~ (k )] 1 N 1 X~ (k )e j2 / N nk
N n0
X~ (k ) DFS [~x (n)] N 1 ~x (n)e j2 / N kn n0
习惯上:记 WN e j2 / N ,叫旋转因子.
则DFS变换对可写为
X~(k) N 1 ~x (n)WNkn DFS~x (n) n0

数字信号处理--第三章2

数字信号处理--第三章2

复共轭序列的DFT
nk 证:DFT [ x * ( n )] x * ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
)] X * ((k )) N [RN (n)] X **(( N k )) N)) NNRk ) k ) X * (( N k )) N RN (k ) DFT x* k ) X (( k R ( N (
其中: 共轭对称分量:
* xe (n ) xe ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
共轭反对称分量:
o ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
(若不等,分别为N1、N 2点,则取N max( N1 , N 2 ), 对序列补零使其为N 点)
DFT [ x1 (n)] X 1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
证明:
m
n
循环卷积过程: 1)补零 2)周期延拓 3)翻褶,取主值序列 4)圆周移位 5)相乘相加
实数序列的共轭对称性 (2)
序列
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )] 0 xep ( n ) xop ( n )
DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0 Re[ X ( k )] j Im[ X (k )]
(3)纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )] xep ( n ) xop ( n )

数字信号处理期末试卷(含答案)

数字信号处理期末试卷(含答案)

数字信号处理期末试卷(含答案)填空题(每题2分,共10题)1、 1、 对模拟信号(一维信号,是时间的函数)进行采样后,就是 信号,再进行幅度量化后就是 信号。

2、 2、)()]([ωj e X n x FT =,用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列为 。

3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。

4、)()(5241n R x n R x ==,只有当循环卷积长度L 时,二者的循环卷积等于线性卷积。

5、用来计算N =16点DF T,直接计算需要_________ 次复乘法,采用基2FFT 算法,需要________ 次复乘法,运算效率为__ _ 。

6、FF T利用 来减少运算量。

7、数字信号处理的三种基本运算是: 。

8、FI R滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的,N=6, 3)3()2(2)4()1(5.1)5()0(======h h h h h h ,其幅度特性有什么特性? ,相位有何特性? 。

9、数字滤波网络系统函数为∑=--=NK kk z a z H 111)(,该网络中共有 条反馈支路。

10、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ,若)(s H a 只有单极点k s ,则系统)(Z H 稳定的条件是 (取s T 1.0=)。

一、选择题(每题3分,共6题)1、 1、 )63()(π-=n j en x ,该序列是 。

A.非周期序列ﻩﻩB.周期6π=N ﻩ C .周期π6=N ﻩD. 周期π2=N2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n,则)(Z X 的收敛域为 。

A .a Z <ﻩ B.a Z ≤ﻩﻩC.a Z >D.a Z ≥3、 3、 对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ,得)(k X 和)(k Y ,19,1,0),()()( =⋅=k k Y k X k F ,19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ,n 在 范围内时,)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。

Ch2_4 DFT 计算线性卷积

Ch2_4 DFT 计算线性卷积

0 k L -1 其他
k
x[k] xn[k - nL] n0
重叠相加法
y[k] x[k] h[k] xn[k - nL] h[k] yn[k]
n0
n0
yn[k] xn[k] h[k]
h[k]的长度为M
y0[k]的非零范围 0 k L M - 2
y1[k-L]的非零范围 L k 2L M - 2 序列 y0[k], y1[k]的重叠部分 L k L M - 2
x = [1 2 3 4]; h = [5 6 7];
L = length(x)+length(h)-1; % Determine the length for zero padding
XE = fft(x, L); HE = fft(h, L);
% Compute the DFTs by zero-padding
M=3
x1[k]={2, 3, 4, 5, 6} x2[k]={7, 8, 9 ,10, 11} x3[k]={12, 13, 14, 0, 0}
y1[k] ={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6}= x1[k]*h[k] y2[k]= {7, 22, 32, 36, 40, 32, 11}=x2[k]*h[k] y3[k]= {12, 37, 52, 41, 14, 0, 0}=x3[k]*h[k]
y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}=x[k]*h[k]
重叠保留法
方法: (1) 将x[k]长序列分段,每段长度为L。 (2) 各段序列xn[k]与 M点短序列h[k]做L点循环卷积。 (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。

离散信号与系统的频谱分析实验报告

离散信号与系统的频谱分析实验报告

实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换(DFT )及快速傅里叶变换(FFT )的计算机实现方法。

2.检验序列DFT 的性质。

3.掌握利用DFT (FFT )计算序列线性卷积的方法。

4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法,了解可能出现的分析误差,以便在实际中正确应用DFT 。

5.了解采样频率对谱分析的影响。

6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。

二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。

三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析;DFT 共轭对称性质的应用(通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT )。

2.线性卷积及循环卷积的关系,以及利用DFT (FFT )进行线性卷积的方法。

3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。

4.利用FFT 实现带噪信号检测。

5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。

6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系,频谱的内插恢复,对语音信号进行简单分析。

四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义:10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质:(1)DFT 的共轭对称性。

若)()()(n x n x n x op ep +=,[])()(n x DFT k X =,则:)()]([k X n x DFT R ep =, )()]([k jX n x DFT I op =。

(2)实序列DFT 的性质。

若)(n x 为实序列,则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称,即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。

(3)实偶序列DFT 的性质。

若)(n x 为实偶序列,则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称,即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。

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注意:其中N>=Max{L,M}

注意:如果其中一个序列(或者两个序列)的长度没有所
求N点循环卷积的长度长,那在该序列后面补零,直到长 度达到N

(c) 用解析式计算
N 1 y N (n) x(n) h(n) x(m)h(( n m) N ) R N (n) m 0
时必然发生线性卷积的混叠,即
~ ( n) r
的每一个周期的
前27-20=7个值都是g(n)的前一个周期的后7个值与后一个
周期的前7个值的混叠,也就是说,循环卷积r(n) 的20个 值中,后13个值才与g(n)中间部分的13个值相同。因此, 对于循环卷积r(n),(0≤n≤19),只有7≤n≤19这13个 点相当于线性卷积g(n)中的点。
m 0 N 1
0 n N 1

例 设两个有限长度序列:x(n), 0≤n≤7;y(n), 0≤n≤19。令 X(k)和Y(k)分别表示它们的20点DFT,而序列 r(n)=IDFT[X(k)Y(k)]。试指出r(n)中的哪些点相当于线性卷 积g(n)=x(n)*y(n)中的点。

解:设R(k)=X(k)Y(k),于是 r (n)
卷积的结果相同。考虑两个有限长序列的线性卷 积:设x(n)的非零区间为0≤n≤N1-1, h(n)的非零
区间为0≤n≤N2-1,则线性卷积y(n)=x(n)*h(n)
的长度为N=N1+N2-1,非零区间是0≤n≤N-1。

现在来设法构造这两个序列x(n) 与h(n) 的循环卷积,使其
结果与线性卷积相同。
h( N 2) h( N 1) h(0)
h( N 4) h( N 3)
h(1) x(0) h(2) x(1) h(3) x(2) h( N 1) x( N 2) h(0) x( N 1)
0 6 7 8 9
9 0 6 7 8
8 9 0 6 7
7 1 100 2 95 8 9 3 85 0 4 70 6 5 100
用DFT求线性卷积

DFT不仅可以用来对信号进行频谱分析,而且还可以用来 计算序列的线性卷积。 循环卷积与线性卷积的关系

x(0) x(1) h(0) x( N1 1) 0 h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(0) 0 0 h( N 2 1) h( N 2 2) h(1) h(0) 0
x (m) h(n m rN )
m 0 r
N 1

r m 0
[ x(m)h(n rN m)]

N 1

r
y(n rN )

此式说明,周期卷积 ~N (n ) 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) y
~ ~( n ) 与 h ( n ) 的周期都为N,因此它们 的周期延拓。由于 x
x3 (n) x1 (n) x2 (。) n

解: x2(n) 为 4 点序列,在其尾部填零使其成为 5 点序列, 再进行循环卷积运算。
x3 (0) 6 x (1) 7 3 x3 (2) 8 x3 (3) 9 x (4) 0 3

我 们 已 经 知 道 , 可 以 用 DFT 来 求 循环卷积, 即 x(n) h(n) IDFT [ X (k ) H (k )] ,因此只要找到循 环卷积与线性卷积之间的关系,就可以解决用DFT求线性
卷积的问题。

设x(n) 长度为N1,h(n) 长度为N2,则线性卷积
y(n) x(n) h(n)
的周期卷积 ~N ( n ) 的周期也为N,正好等于y(n)的长度, y 即上式中以N为周期的周期延拓没有发生混叠,线性卷积 y(n)正好是周期卷积 ~N (n ) 的一个周期。 y

而循环卷积又是周期卷积的主值序列,因此,此时循环卷 积yN(n)与线性卷积y(n)完全相同,即:
y N (n) x(n) h(n) ~N (n) R N (n) y (n) x(m)h(n m) y
x(n) y(n) ,
并且r(n)之长度为20。又设g(n)=x(n)*y(n),则线性卷积 g(n)之长度为8+20-1=27。循环卷积r(n)是周期卷积 ~ ( n) r 的主值序列,而 ~ ( n)又是线性卷积g(n)的周期延拓,延拓 r 的周期就是周期卷积的周期20。

由于20<27,即延拓的周期小于线性卷积的长度,故延拓
用DFT求线性卷积

如果循环卷积的长度N满足N≥N1 + N2 -1(N1、N2分别 是x1(n) 与x2(n) 的长度),则此循环卷积就等于x1(n)与x2(n) 的线性卷积,于是,我们用DFT求得的循环卷积就是线性 卷积。
N≥N1+N2--1

用 DFT 求线性卷积

之长为N = N1+N2-1。为了便于用矩阵表示,我们在序列 x(n) 的后面添N2-1个0,使x(n) 的长度变为N,这样,线性 卷积为:
y (n) x(n) h(n) x(m)h(n m),
m 0 N 1
0 n N 1

用矩阵表示为:
y (0) h(0) y (1) h(1) h(0) h( N 1) h( N 2) 2 y ( N 2 1) 2 y( N2 ) 0 h( N 2 1) y ( N 1) 0 2 0 y ( N 2) 0 0 y ( N 1) 0 0

与循环卷积的矩阵表示相比较,可以看出,即使进行线性 卷积的两个序列长度也都是N,其结果也与循环卷积不同:
两个表示式中h矩阵不但元素的排列不同,而且矩阵的大
小也不同。事实上,如果x(n)和h(n)的长度都为N,则它们
的循环卷积yN(n)之长度为N,而它们的线性卷积y(n)之长
度为2N-1。

但是,在一定的条件下,可以使循环卷积与线性

此式可用矩阵表示为:
h( N 1) y N (0) h(0) y (1) h(1) h(0) N y N (2) h(2) h(1) y N ( N 2) h( N 2) h( N 3) y N ( N 1) h( N 1) h( N 2)
r
h(n rN )


为了计算x(n)与h(n)的循环卷积yN(n),我们先计

~ ~( n )与 h ( n ) 的周期卷积 ~N (n) : y x
N 1 ~ ~ ~ ( n) ~ ( m) h ( n m) yN x x ( m) h ( n m) m 0 m 0 N 1
专题: 循环卷积、用DFT求线性卷积
首先,我们要理解周期卷积仅仅针对离散傅里叶级数,循环 卷积(又称圆周卷积)仅仅针对离散傅里叶变换。这里的 “循环”是针对周期序列而言,我们要始终记住,离散傅里 ~ ( n) x 叶变换的序列x(n)是周期序列 的主值序列。 而线性卷积是针对有限长序列,要用DFT求线性卷积,必然 要求周期序列在一个周期内求卷积能和有限长序列求线性卷 积等值。因此我们求N点长度的循环卷积必然要和线性卷积 长度一致。起码N要不少于线性卷积的长度。

在x(n) 后面补充N2-1个0,使x(n)长度变为 N,x(n):x(0)、
x(1)、…、x(N1-1)、0、0、…、0。

在h(n) 后面补充N1-1个0,使h(n)长度变为 N,h(n):h(0)、 h(1)、…、h(N2-1)、0、0、…、0。

~ 再将h(n) 进行周期延拓,周期为N:h ( n )
注意矩阵的对角线为 h(0) 然后每列往下依是n由0到N-1区间的h(n),
这是通过求模(n-m)N 而得到的。在实际运用时只需要按照
h矩阵中元素排列的规律直接写出这个矩阵。

例 设 x1(n) = {1,2,3,4,5},x2(n)={6,7,8,9},计算 5 点循环 卷积
有限长序列的循环卷积(又称圆周卷积)
(1) 定义

设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为 L、M的有限长序列,它们的 N点循环卷积x3(n) 定义为: N 1 ~ ~ ( n m) R ( n ) x3 (n) x1 (n) x2 (n) x1 (m) x2 N m 0
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