《计算机图形学》07 三维形体的表示

1.线模型 线模型表示的是物体的棱边，它全部是由点、直线或曲线组 成。 对于仅用阴影棱线就能表示形状的物体，可以采用线模型。
该模型的主要特点是结构简单，模型生成和处理容易，占用的内
存容量较小，因此成本较低。
但线模型由于仅用棱边来代表物体的形状，它只包含了三维 物体的一部分形状信息，在信息的完整性方面是不足的。因此难 以进行隐藏线消除，也不能描绘剖面图，也不可能根据它计算物 体的其它物理量(例如体积、重量等)。
3. 实体模型 实体模型是从设计到生产过程中能够连贯使用的比较理想 的模型，它与上述表面模型不同之处在于它确定了是表面的哪 一侧存在实体这个问题。 利用实体模型不仅能表示模型的颜色，而且还能进行阴影
处理，并可对主要的特征如重量、力矩等进行定量的计算。
7.2 实体的表示方法
一 . 构造实体几何表示法 (Constructive Solid Geometry) 该方法简称 CSG 方法。
H=3
C=1 G=1
24 －36 + 15 －3 = 2( 1－1 )
3. 边界表示法的数据结构
拓扑信息是边界表示法中用于表示实体边界的主要信息之一。 实体的面、边、点之间的拓扑关系有以下 9 种类型： v
v
v v
v→{v}
E v E
E
F
v →{E}
F
v F v →{F}
v
E
E →{v}
E E
E E E
2.表面模型 把线模型中棱线包围的部分定义为面，所形成的模型就是表 面模型。
采用表面模型，物体的边界确实可以全部定义，但是物体的
实心部分在边界的哪一侧是不明确的，因为它只定义了单个的 表面块，而且由于它们没有被结合在一起，所以边界面不能明 确地定义其所包围的实心部分，使设计者对物体缺乏整体的概 念。
3. CSG 表示法的数据结构
OP — code (操作码)
OP — code 0 primitive (基本体素) Right-subtree (右子树) 1 基本体素 求并
transform
(坐标变换) left-subtree (左子树)
2 求差
3 求交
CSG 表示法只定义了物体的构造方法— —隐式模型。
这些域的状态为空。 八叉树表示的特点： ① 定义形式简单。 ② 易于实现物体间的集合运算(并、交、差)。 ③ 可简化消隐算法，便于计算物体的体积、质量等。 ④ 存储量大。 改进：线性八叉树，前例可表示为 ： {1，2，3，4，51，53，55，565，566}，
第七章 三维形体的表示
7.1 常用的几何模型
计算机图形处理之前，首先要做的是将物体或场景模型化， 也就是通过分析研究，将三维形体模型化，形成定量的描述；再 将这些描述的信息以数字化的形式送入计算机，经过计算机处理 后显示出相应的图形。
物体或场景的模型化通常是采用几何模型的形式来表示。常
用的几何模型有以下三种：
v4
f1 e3 e 2 e1 v2
e1 e2 e3 v1 v2
(x1,y1,z1) (…) (…)
2. 多面体及欧拉( Euler )公式
组成平面多面体的基本元素是：顶点、棱边和面。
一个实体的表面必须满足闭合性，即构成实体的基本元素 之间必须满足一定的条件，其简单的检验方法就是欧拉公式。 设简单平面多面体的顶点数、 棱边数和面数分别用V 、 E 、 F来
体网格，并用这样一个立方体序列来描述实体。
2. 表示方法 z
F
F
P
F
E E
F
F E
F
E E
P F
F
E
P F
E
E E
E
E E
y
E
x
F (FULL) E (EMPTY) P (PARTIAL)
充满 无关 相交
3. 数据结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
其中：1——节点标志域 2——指向父节点的指针。若为根节点时，该域为0。 3～10——指向八个子节点的指针。若为终端节点时，
E →{E}
F E
F
E →{F}
v
v
F
v v
F →{v}
v
E E F E E
F F →{E} F
F F
F
F →{F}
三. 扫描表示法 (Sweep) 1. 基本原理
空间的点、线、面沿着某一路径扫描时，所形成的轨迹可
用来定义一个一维的、二维的或三维的物体。 在三维形体表示中，主要采用平移扫描法和旋转扫描法。 2. 平移扫描法： 将一个二维的面沿着一个指定的方向平行移动，其轨迹便
不存在悬点、悬线、悬面。
∩
A B A∩ B
A ∩* B
若空间平面方程为： f ( x , y , z ) = 0
则可定义半空间为：{ P f ( x , y , z ) ≤ 0} 或 { P f ( x , y , z ) ≥ 0}
记为 f i
任一个凸多面体 F 都可表示为一组( n个 )半空间的交： n F=∩ fi i=1 而任一个复杂形体都可表示为多个( m个 )凸多面体的并： m F = ∪ Fj j=1
表示，则:
V－E+F=2
V=8
E = 12
F=6
对于非简单多面体则应满足广义欧拉公式： V － E + F － H = 2( C － G ) 其中 V 、E 、F 的含义与前相同；
HG 表示贯穿多面体的孔的个数。
V = 24
E = 36 F = 15
1. 基本原理
任何三维形体都可由一些基本体素通过集合运算的方法来 构造。 常用的基本体素有：长方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、 环、球等。 采用的集合运算是：并、交、差。
－*
U*
构造结果得到一棵 表示物体的二叉树
2.正则化集合运算 采用 CSG 方法构造出来的三维形体应该是一个正则点集， 即：具有一定的形状；具有确定的封闭边界；占据有限的空间；
二. 边界表示法 ( Boundary Representation ) 1 . 基本原理 边界表示法是通过描述物体的边界来表示一个实体。
实体的边界面可以是平面多边形或曲面，通常情况下，曲
面最终都是被近似地离散成多边形来处理的。
v5
v1
四棱锥
v3 面节点 边节点 顶点节点 f1 f2 f3 …... e4 …... v3 …… 几何 信息 拓扑 信息
形成了一个三维形体。
3. 旋转扫描法：将一个二维的面绕一条母线（旋转轴）旋转， 其轨迹便形成了一个三维形体。
4. 广义扫描法：若在平移扫描的过程中可改变截面的大小
和形状，甚至改变移动的方向，便可形成复杂的三维形体。
四. 八叉树表示法 1. 基本原理 将所要表示的三维形体占据的空间分割成大小不同的立方