《计算机图形学》07 三维形体的表示

形成了一个三维形体。
3. 旋转扫描法：将一个二维的面绕一条母线（旋转轴）旋转， 其轨迹便形成了一个三维形体。
4. 广义扫描法：若在平移扫描的过程中可改变截面的大小
和形状，甚至改变移动的方向，便可形成复杂的三维形体。
四. 八叉树表示法 1. 基本原理 将所要表示的三维形体占据的空间分割成大小不同的立方
1.线模型 线模型表示的是物体的棱边，它全部是由点、直线或曲线组 成。 对于仅用阴影棱线就能表示形状的物体，可以采用线模型。
该模型的主要特点是结构简单，模型生成和处理容易，占用的内
存容量较小，因此成本较低。
但线模型由于仅用棱边来代表物体的形状，它只包含了三维 物体的一部分形状信息，在信息的完整性方面是不足的。因此难 以进行隐藏线消除，也不能描绘剖面图，也不可能根据它计算物 体的其它物理量(例如体积、重量等)。
H=3
C=1 G=1
24 －36 + 15 －3 = 2( 1－1 )
3. 边界表示法的数据结构
拓扑信息是边界表示法中用于表示实体边界的主要信息之一。 实体的面、边、点之间的拓扑关系有以下 9 种类型： v
v
v v
v→{v}
E v E
E
F
v →{E}
F
v F v →{F}
v
E
E →{v}
E E
E E E
E →{E}
F E
F
E →{F}
v
v
F
v v
F →{v}
v
E E F E E
F F →{E} F
F F
F
F →{F}
三. 扫描表示法 (Sweep) 1. 基本原理
空间的点、线、面沿着某一路径扫描时，所形成的轨迹可
用来定义一个一维的、二维的或三维的物体。 在三维形体表示中，主要采用平移扫描法和旋转扫描法。 2. 平移扫描法： 将一个二维的面沿着一个指定的方向平行移动，其轨迹便
3. CSG 表示法的数据结构
OP — code (操作码)
OP — code 0 primitive (基本体素) Right-subtree (右子树) 1 基本体素 求并
transform
(坐标变换) left-subtree (左子树)
2 求差
3 求交
CSG 表示法只定义了物体的构造方法— —隐式模型。
二. 边界表示法 ( Boundary Representation ) 1 . 基本原理 边界表示法是通过描述物体的边界来表示一个实体。
实体的边界面可以是平面多边形或曲面，通常情况下，曲
面最终都是被近似地离散成多边形来处理的。
v5
v1
四棱锥
v3 面节点 边节点 顶点节点 f1 f2 f3 …... e4 …... v3 …… 几何 信息 拓扑 信息
不存在悬点、悬线、悬面。
∩
A B A∩ B
A ∩* B
若空间平面方程为： f ( x , y , z ) = 0
则可定义半空间为：{ P f ( x , y , z ) ≤ 0} 或 { P f ( x , y , z ) ≥ 0}
记为 f i
任一个凸多面体 F 都可表示为一组( n个 )半空间的交： n F=∩ fi i=1 而任一个复杂形体都可表示为多个( m个 )凸多面体的并： m F = ∪ Fj j=1
3. 实体模型 实体模型是从设计到生产过程中能够连贯使用的比较理想 的模型，它与上述表面模型不同之处在于它确定了是表面的哪 一侧存在实体这个问题。 利用实体模型不仅能表示模型的颜色，而且还能进行阴影
处理，并可对主要的特征如重量、力矩等进行定量的计算。
7.2 实体的表示方法
一 . 构造实体几何表示法 (Constructive Solid Geometry) 该方法简称 CSG 方法。
表示，则:
V－E+F=2
V=8
E = 12
F=6
对于非简单多面体则应满足广义欧拉公式： V － E + F － H = 2( C － G ) 其中 V 、E 、F 的含义与前相同；
H 表示多面体表面上孔的个数；
C 表示独立的不相连接的多面体的个数； G 表示贯穿多面体的孔的个数。
V = 24
E = 36 F = 15
第七章 三维形体的表示
7.1 常用的几何模型
计算机图形处理之前，首先要做的是将物体或场景模型化， 也就是通过分析研究，将三维形体模型化，形成定量的描述；再 将这些描述的信息以数字化的形式送入计算机，经过计算机处理 后显示出相应的图形。
物体或场景的模型化通常是采用几何模型的形式来表示。常
用的几何模型有以下三种：
2.表面模型 把线模型中棱线包围的部分定义为面，所形成的模型就是表 面模型。
采用表面模型，物体的边界确实可以全部定义，但是物体的
实心部分在边界的哪一侧是不明确的，因为它只定义了单个的 表面块，而且由于它们没有被结合在一起，所以边界面不能明 确地定义其所包围的实心部分，使设计者对物体缺乏整体的概 念。
1. 基本原理
任何三维形体都可由一些基本体素通过集合运算的方法来 构造。 常用的基本体素有：长方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、 环、球等。 采用的集合运算是：并、交、差。
－*
U*
Hale Waihona Puke Baidu
构造结果得到一棵 表示物体的二叉树
2.正则化集合运算 采用 CSG 方法构造出来的三维形体应该是一个正则点集， 即：具有一定的形状；具有确定的封闭边界；占据有限的空间；
体网格，并用这样一个立方体序列来描述实体。
2. 表示方法 z
F
F
P
F
E E
F
F E
F
E E
P F
F
E
P F
E
E E
E
E E
y
E
x
F (FULL) E (EMPTY) P (PARTIAL)
充满 无关 相交
3. 数据结构 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
其中：1——节点标志域 2——指向父节点的指针。若为根节点时，该域为0。 3～10——指向八个子节点的指针。若为终端节点时，
v4
f1 e3 e 2 e1 v2
e1 e2 e3 v1 v2
(x1,y1,z1) (…) (…)
2. 多面体及欧拉( Euler )公式
组成平面多面体的基本元素是：顶点、棱边和面。
一个实体的表面必须满足闭合性，即构成实体的基本元素 之间必须满足一定的条件，其简单的检验方法就是欧拉公式。 设简单平面多面体的顶点数、 棱边数和面数分别用V 、 E 、 F来
这些域的状态为空。 八叉树表示的特点： ① 定义形式简单。 ② 易于实现物体间的集合运算(并、交、差)。 ③ 可简化消隐算法，便于计算物体的体积、质量等。 ④ 存储量大。 改进：线性八叉树，前例可表示为 ： {1，2，3，4，51，53，55，565，566}，