第八章 三维形体的表示

v1 s4 e4 e9
e1
v4
线框模型

e10
e6 v5 线框模型：将形体表示成 v6 e s2 e11 e2 12 e7 一组轮廓线的集合。 s3 e8 s6 v8 v7 一般地，画出了形体的棱线与 轮廓线就能唯一地表示出来。 如图，八个顶点可以定义一个 长方体，但还不足以识别它， 如果定义了棱线，则无论如何 放置长方体都能唯一地表示了。 对于多面体由于其轮廓线和棱 线通常是一致的，所以多面体 的线模型更便于识别，且简单。

形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q))所组 成。
7
形 体

v1
f f1 e 2 v2
点
边的端点称为点，点不能出现在边的内部，也不能孤
立地位于物体内、物体外或面内，顶点又是∂F(面边界) 中两条不共线的线段的交点。
8
形 体

体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。
4
形 体

Pt F
面
R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F， 其边界(记为∂F)是有限条线段的并集， Pt表示含有F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.
5
形 体

环
由有序、有向边组成的面的封闭边界 称为环，环中任意边都不能自交，相 邻两条边共享一个端点，环又分为内 环和外环。内环是在已知面中的内孔 或凸台面边界的环，其边按逆时针方 向。外环是已知面的最大外边界的环， 其边按顺时针方向，按这种方式定义， 在面上沿着边的方向前进，面的内部 始终在走向的右侧。
正则集合运算的定义
A

op
*
B r (A B r (A B r (A B r (A
op
B) B) B) B)
正则并
A


*
正则交
A

* *
正则差
A
26
正则集合运算
任一实体S可以用它的边界bS和它的内部iS来表示，即 S=bS ∪ iS 由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维空间分成 了三个区域： S的内部iS , S的边界bS ,S的外部eS。边界bS 与实体S是一一对应的。确定了边界，也就唯一确定了一个实 体。 因此，为了求实体A，B的正则集合运算结果A op* B，只 要求出其边界b（A op* B）即可。
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分解表示-空间位置枚举表示

形体空间细分为小的均匀的立方体单元。 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与 单位小立方体一一对应 当C[I][J][K] = 1时，表示对应的小立方体被物 体占据 当C[I][J][K] = 0时，表示对应的小立方体没有 被物体占据
35



9
表示形体的两种模型

数据模型




完全以数据描述 例如 用以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、边 界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 线框模型 表面模型 实体模型
10
v2
e2 s1 e3 v3 s5
分解表示-空间位置枚举表示

优点

简单，可以表示任何物体 容易实现物体间的交、并、差集合运算 容易计算物体的整体性质，如体积等

缺点



占用大量的存储空间，如1024*1024*1024 = 1G bits 物体的边界面没有显式的解析表达式，不适于图 形显示 对物体进行几何变换困难，如非90度的旋转变换 是物体的非精确表示
1
表面编号 表面特征 起始指针 顶点个数
4 3
5 0 1 4
顶点 号
1 2
属 连接指针 性
0 2 3 4 1
13
2
3 4
3
4 1
0
0
表面模型


缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封 闭的边界 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知 道实体位于面的哪一侧
实体的定义



将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。 内点：具有完全包含于该点集的充分小 的邻域 边界点：不具有内点性质的点集
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实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： i：取内点运算 c: 取闭包运算 正则运算r r A c i A i A：A的全体内点组成的集合，称为A 的内部 c i A为A的内部的闭包的运算，是 i A与其边界点的并集。


询问形体的属性及其有关参数
2
形 体

在计算机形体一般 定义为六层拓扑结 构，首先介绍在三 维空间中基本术语 的定义。
形体(object) 外壳(shell) 面(face) 环(loop)
边(loop)
曲线和直线 方程
顶点(vertex)
点的 几何坐标
3
y
形 体

z
体
由封闭表面围成的有效空间称为体；一个形体Q是R3空间中非空、x 有界的封闭子集。其 边界（记为∂Q） 是有限个面的并集，而外 壳是形体的最大边界。一个单位立方体可定义为： {(x,y,z)∈R3|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1} 其中一个表面可表示为： {(1,y,z)∈R3|0≤y≤1,0≤z≤1} 必须注意：并没有规定形体必须是一个连续的封闭集合，目的是 用这样的定义来扩大几何造型的域，使得形体可以由不连续的体 素，或是仅有某些相交的形体组成。
30
正则集合运算

同理： b(A∪*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ eA)∪(bA∩bB)
同侧

b(A－*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩bB)
异侧
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一些非正则形体的实例

一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
图3.2.1 非正则形体实例
24
正则集合运算


集合运算（并、交、差）是构造形体的 基本方法。正则形体经过集合运算后， 可能会产生悬边、悬面等低于三维的形 体。 Requicha在引入正则形体概念的同时， 还定义了正则集合运算的概念。正则集 合运算保证集合运算的结果仍是一个正 则形体，即丢弃悬边、悬面等。
25
正则集合运算

6
形 体

v1
f f1 e 2 v2
边 形体内两个相邻面的交界称为边，一条边有且仅有两 个相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称 为该边的起点和终点。假设Q是一个形体，E(Q)是形体 边的集合，则在∂Q(形体的边界)中E(Q)满足下属条件 的所有线段的集合：

边e的两个端点属于V(Q)； 边e中没有一个内部点属于V(Q)（所有顶点的集合） 边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个面fi， fi≤∂Q使得边e∈fi∩fj；
28
正则集合运算
其中bA ∩ bB = bB ∩ bA是A与B的公共 边界，它可以分成两部分： （bA ∩bB）同侧、 (bA ∩bB)异侧 (bA ∩bB)同侧由这样一些边界构成：A、B 位于边界的同侧 (bA ∩bB)异侧由这样一些边界构成：A、B 位于边界的异侧
29
正则集合运算




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线框模型
优点：简单、处理速度快 缺点：

1、对于非平面多面体，如圆柱、球等形体， 其轮廓线随观察方向的改变而改变，无法用 一组固定的轮廓线来表示它们。 2、线框模型与形体之间不存在一一对应关系： 它仅仅通过给定的轮廓线约束所表示形体的 边界面，而在轮廓线之间的地方，形体的表 面可以任意变化。 3、没有形体的表面信息，不适于真实感显示， 由此导致表示的形体可能产生二义性。
16
表示形体的两种模型

模型分类
17
实体的定义

抽象带来的问题

计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在 CAD/CAM的需求 具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
Βιβλιοθήκη Baidu18

为什么要求客观存在


什么是客观存在（有效）—实体的定义

32


为了能够处理非正则形体，产生了非正 则造型技术。 九十年代以来，基于约束的参数化、变 量化造型和支持线框、曲面、实体统一 表示的非正则形体造型技术已成为几何 造型技术的主流。
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形体表示模型
在实体模型的表示中，基本上可以分 为分解表示、构造表示和边界表示三 大类。 1、分解表示

将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部 分，每一小部分又可分为更小的部分，这种 分解过程直至每一小部分都能够直接描述为 止。


形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
图形数据的存储和管理； 图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换；
图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其 交互手段实现对形体局部或整体修改；
图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等；
22
实体的定义

实体的定义—可计算的条件


正则点集 表面是二维流形 其上任意一点存在充分小的领域与圆盘同构 （存在连续的一一映射）

二维流形

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正则集合运算

为什么需要正则集合运算


正则集合运算是构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体

(b):A∩B (c):普通A∩B (d)：正则A∩B
27
正则集合运算
考察 A A,B两物体的交所形成拼合体的边界， 由于A,B为正则点集，它们均可表示为边界点与体内 点的集合，即A=bA ∪ iA ; B=bB ∪ iB A物体的边界 bA可按其位于B物体内、B物体上、B 物体外而分别表示为 bA = (bA∩iB)∪(bA∩bB) ∪(bA∩eB) 同理，bB = (bB∩iA)∪(bB∩bA)∪(bB∩eA)
12
表面模型

表面模型 将形体表示成一组表面的集合 如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
2
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实体的定义

正则点集


r A 称为A的正则点集 称A为正则点集，如果它满足 r A A

问题：正则点集是实体？
21
实体的定义-举例说明

阴影部分：物体的内部区域 黑色部分：边界 (a)图取内点->(b)图求闭包->(c)图

正则运算：去除与物体维数不一致的悬挂部分 或孤立部分。
第八章

三维形体的表示
表示形体的两种模型 实体的定义 正则集合运算 特征表示 空间分割表示 推移表示 边界表示 构造实体几何表示 不规则形体的建模方法 L系统
1






引 言

三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是 用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造 型是计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和 CIMS系统的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。 几何造型的功能：
对于A ∩* B ，由交的定义可知： 1）A、B两物体的边界位于对方内部的部分，即bA ∩ iB 和bB ∩ iA是b(A ∩* B )的组成部分。 2） A、B两物体的边界位于对方外部的部分，即bA ∩ eB 和bB ∩ eA不是b(A ∩* B )的组成部分。 3）对于A、B的重合边界有： (bA ∩bB)同侧属于b(A ∩* B ); (bA ∩bB)异侧不属于b(A ∩* B ) 因此： b(A∩*B)=(bA ∩ iB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩ bB)同侧
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实体模型

实体模型

用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信 息、拓扑信息，可以支持多种运算，如欧拉运算 等。
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表示形体的两种模型

过程模型

以一个过程和相应的控制参数描述 例如

用一些控制参数和一个生成规则描述的植物

以一个数据文件和一段代码的形式存在 包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等