第八章 三维形体的表示
三维形的体积与表面积
三维形的体积与表面积对于我们身边的三维物体来说，了解其体积和表面积是非常重要的。
体积和表面积是描述三维物体大小和形状的重要参数，它们在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
一、体积的概念和计算方法体积是指三维物体所包含的空间的大小。
常见的三维物体包括立方体、圆柱体、球体等。
不同的物体有不同的计算方法。
1. 立方体的体积计算方法：立方体的体积可以通过边长的乘积得出，即V = a³，其中a为立方体的边长。
2. 圆柱体的体积计算方法：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高得出，即V = πr²h，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。
3. 球体的体积计算方法：球体的体积可以通过四分之三乘以半径的立方得出，即V =(4/3)πr³，其中r为球体的半径。
二、表面积的概念和计算方法表面积是指三维物体外部各个面的总面积。
同样，不同的物体有不同的计算方法。
1. 立方体的表面积计算方法：立方体的表面积可以通过六个面的面积之和得出，即S = 6a²，其中a为立方体的边长。
2. 圆柱体的表面积计算方法：圆柱体的表面积可以通过侧面积、底面积和顶面积之和得出，即S = 2πrh + 2πr²，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。
3. 球体的表面积计算方法：球体的表面积可以通过球冠的表面积再加上底面积得出，即S = 2πrh + 4πr²，其中r为球体的半径，h为球冠的高度。
三、体积和表面积的意义和应用1. 建筑设计：在建筑设计中，深入了解建筑物的体积和表面积可以帮助设计师更好地规划空间，确定建筑物的大小和外观。
2. 容器设计：制作容器时，计算容器的体积可以帮助确定容器的容量，而计算表面积可以帮助确定所需的材料。
3. 自然科学：研究天体、地球等自然现象时，了解物体的体积和表面积可以帮助科学家深入了解它们的性质和特征。
4. 工程施工：在工程施工中，了解建筑物的体积和表面积可以帮助工程师合理安排材料和设备，提高施工效率。
第八讲三维形体的真实感图形与虚拟设计PPT课件
1 简介
CAD造型技术发展的一个新方向是虚拟产品造型。传统产 品设计中，常需要制作产品零件模型来检查设计效果。 如采用虚拟产品技术，用计算机生成真实感图形，就可 以方便地在屏幕上以各种角度显示产品的真实视图，并 直接对外形进行交互式的修改，这种技术可以代替实物 模型的制作。 三种表现形体的方式： 线框图、消隐图和真实感图。
B
Bxmin , Bymin
(2)多边形之间的相交检测
当多边形外接矩形相交时，要判定多边形是否重叠， 需要对各边进行求交运算。在对边做求交运算之前，还可 以使用边的外接矩形相交检测来排除大量不相交的情况。
在下图中，只有c 边和g 边以及f 边和g 边的外接矩 形相交，两个多边形之间其他边均不可能相交。 判定c 和g 或者f和g 是否相交，需要通过线段求交运算来实现。
以下假定消隐算法都是在规范化观察坐标系中进行的，
即所有坐标(x,y,z)都是在规范化观察坐标系中定义的。
任何表面消隐算法必须从透视投影的投影中心或沿着平 行投影的投影方向确定哪些边和哪些面是可见的。即沿 着每条投影线确定最近的可见边与可见面。
可见性问题可归结为：给定两点P1(x1,y1,z1)和 P2(x2,y2,z2)，一个点是否遮挡另一点？这可通过以 下两步进行解答：
（3）当所有的多边形被处理完毕，帧缓存区中 保留的是已消隐的最终结果。
深度缓存算法Zbuffer() : { //初始化深度缓存ZB和帧缓存FB.
ZB(i,j)=1(即显示空间中的最大z值); FB(i,j)=背景色. i=0,1,…,H-
1;j=0,1,…,V-1 for(每一个多边形)
{ // 扫描转换该多边形 for(该多边形所覆盖的每个像素(i,j)) { 计算多边形在该像素的深度值
三维几何认识不同的三维形
三维几何认识不同的三维形三维几何是研究立体空间中各种形状、大小和位置关系的数学分支。
在三维几何中，我们将具有三个维度的物体称为三维形，它们可以是实体的，也可以是表面的。
不同的三维形体具有独特的性质和特点，本文将介绍几种常见的三维形体及其相关知识。
一、立方体立方体是一种具有六个面、八个顶点和十二条边的多面体。
它的所有面都是正方形，所有边长相等。
立方体是一种非常常见的三维形体，在日常生活中经常可以见到，如骰子等。
立方体的体积可以通过边长的立方计算得出，即V = a³，其中V表示立方体的体积，a表示立方体的边长。
二、球体球体是一种具有无穷多个点且到球心距离相等的立体。
球体有一个很重要的属性，即半径，它决定了球体的大小。
球体的体积可以通过公式V = (4/3)πr³计算得出，其中V表示球体的体积，r表示球体的半径。
三、圆柱体圆柱体是一种具有两个平行且相同大小的圆底和一个侧面的立体。
圆柱体的体积可以通过公式V = πr²h计算得出，其中V表示圆柱体的体积，r表示底面圆的半径，h表示圆柱体的高度。
四、锥体锥体是一种具有一个圆底和一个侧面的立体。
锥体的体积可以通过公式V = (1/3)πr²h计算得出，其中V表示锥体的体积，r表示底面圆的半径，h表示锥体的高度。
五、棱柱棱柱是一种具有两个相等、平行且相交的多边形底和多个侧面的立体。
棱柱的体积可以通过公式V = 底面积 × h计算得出，其中V表示棱柱的体积，底面积表示底面多边形的面积，h表示棱柱的高度。
六、棱锥棱锥是一种具有一个多边形底和一个顶点到底面各点的连线的侧面的立体。
棱锥的体积可以通过公式V = (1/3) ×底面积 × h计算得出，其中V表示棱锥的体积，底面积表示底面多边形的面积，h表示棱锥的高度。
以上是几种常见的三维形体及其体积计算公式，掌握了这些知识，我们可以更好地理解和利用立体空间中的各种形状。
三维形体的表示
实体的定义（2）
❖ 将三维物体看作一个点集, 由内点 与边界点共同组成
❖ 内点：是指点集中的这样一些点, 点集的正则它 小运们 的算r：具 领有 域完全包含于i：该取内点点集运算的充分
❖ 边r •界A点：c •指i •那A些不具c：备取此闭包性运算质的点
集中的点。
(a) 带有悬挂边、孤立边、 (b) 物体的内部 孤立点的二维物体
偶数个多边形共享。 简单多面体
与球拓扑同构的多面体，即它可以连续变换成一个球。
二、欧拉公式 v-e+f=2
其中：V--顶点数 e--边数 f--面数
欧拉公式是一个多面体是简单多面体的 必要条件
广义欧拉公式
v-e+f-r=2(s-h)
r: 多面体表面上孔的个数 s: 相互分离的多面体数 h: 贯穿多面体的孔洞个数
象，不适合真实感显示
❖ 表面模型
将形体表示成一组表面的集合 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
实体模型
用来描述实体，主要用于CAD/CAM 包含了描述一个实体所需的较多信息，如几何信息、拓扑信 息
过程模型
❖ 以一个过程和相应的控制参数描述
例如： 用一些控制参数和一个生成规则描述的植物
❖ 以一个数据文件和一段代码的形式存在
包括----粒子系统、L系统、迭代函数系统等
2 实体的定义
❖ 抽象带来的问题(数学中的点线面是一 种抽象)
计算机中以数学方法描述的物体是无效的 不能够客观存在
❖ 为什么要求客观存在
CAD/CAM的需求
❖ 什么是客观存在(有效)—实体的定义
具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通的三维点集 占据有限的空间
个子立方体，对每一个子立方体进行同样的处理
三维形的认识
三维形的认识在我们日常生活中，我们常常接触到的对象都是三维形状，而对于三维形的认识也是我们学习几何知识的基础。
本文将从不同角度介绍三维形的特点及其应用。
一、三维形的定义三维形是指在三维空间中存在的物体或几何形状。
它具有长度、宽度和高度三个方向，并且可以看到各个方向上的不同面。
常见的三维形有立方体、球体、圆柱体、棱锥等。
每个三维形都有自己独特的特点和属性。
二、三维形的特点1. 长度、宽度和高度：三维形具有三个方向上的尺寸，分别是长度、宽度和高度。
它们决定了三维形的大小和形状。
例如，立方体的长度、宽度和高度相等，而圆柱体的高度则高于它的半径。
2. 面、边和顶点：三维形由多个不同的面、边和顶点组成。
面是形状的表面，边是面之间的连接线，顶点是边的相交点。
这些元素共同构成了三维形的结构。
例如，立方体有六个面、12条边和8个顶点。
3. 可视性和透视效果：与二维形不同，三维形可以从不同的角度看到不同的面。
这是因为三维形在空间中有立体感，具有深度。
观察者从不同的角度看三维形时，会产生不同的视觉效果，这也是艺术绘画和建筑设计中常用的技巧。
三、三维形的应用1. 建筑设计：建筑是三维空间中存在的物体，因此对于建筑设计师来说，理解和掌握三维形的特点和方法非常重要。
在建筑设计中，设计师需要考虑到建筑物的尺寸、形状、可视性和结构稳定性等因素。
2. 工程制图：在工程制图中，三维形的表示和表达是必不可少的。
工程师通过使用三维建模软件，将设计图纸转化为三维模型，以便更好地了解和分析工程结构、材料和空间需求。
3. 3D打印：在现代科技中，3D打印技术越来越广泛应用。
它可以将数字模型转化为实体物体，通过逐层堆积材料来构建出具有三维形状的实物。
这种技术被应用于医疗、航空航天、汽车工业等领域。
4. 艺术设计：艺术家和设计师经常使用三维形来创作艺术品和设计作品。
他们可以通过利用三维形的可视性和透视效果来营造出独特的视觉效果，给观众带来不同的感受和体验。
CAD(计算机辅助设计技术)第8章：三维形体显示
3.
ax+by+cz+d=0
4.则L与Q之交点(x,y,z)应满足：
5.
x=x1+pt
6.
y=y1+qt
7.
z=z1+rt
8.
ax+by+cz+d=0
9.其中，p=x2-x1,q=y2-y1, r=z2-z1, 0<=t<=1
求解可得:
t a 1 b x 1 c y 1 d z / a b p c q r
xp x, yp y
(x,y,z)
yv (x,y)
xv
zvp
zv
当zvp=0，即投影平面为xvyv坐标平面时，zp=0。这时正交平 行投影的矩阵表达式为：
1 0 0 0
xp,
yp,
zp,1
x,
y,
z,10
0
1 0
0 0
0 0
0 0 0 1
8.4.2 透视投影
投影参考点用的是观察坐标系中的三维点。假设投影参 考点位于zv轴上的zprp处，则描述投影线的参数方程为：
3. 确定yv轴的正向。方法如下： 选取一个观察正向V，将它投射到过P0并与N垂直的
平面上。注意：可任意选取不与N平行的V。
yv P0
V
N
zv
xv
yv
Pv0
n u
V zv
xv
补充说明：
uvn系统
选定V后，建立yv和xv轴的另一种方法是：由N,V作 叉积求出第三个向量U，它垂直于N和V，由此确定 xv轴 。然后由N和U作叉积确定与它们垂直的向量 v。
（2） 透视投影的情况
Frustum 平截头体
三维实体表示方法
(a)带有悬挂边、孤立边 和孤立点的二维物体
(b)物体的内部 (c)物体内部的闭包
☆几何造型基础 ● 实体的定义
◘ 现实实体性质 ◘ 点集拓扑表示 ◘ 正则点集定义 ◘ 二维流形定义 ◘ 正则运算定义 ◘ 正则运算原理 ◘ 正则运算计算 ● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法 ● 构造几何实体 ☆实体表示比较
实体的点集拓扑表示
从点集拓扑的角度可给出实体的简洁定义。 – 三维物体可看作一个点集，它由内点与边界点共同 组成。 • 内点是指点集中具有完全包含于该点集的充分小 邻域的一些点。 • 边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。 – 定义点集的正则运算r： r·A=c·i·A。 其中：i为取内点运算，c取闭包运算，A为一个点 集，那么， • i·A即为A的全体内点组成的集合，称为A的内部， 它是一个开集。 • c·i·A为A的内部闭包，是i·A与其边界点的并集， 它本身是一个闭集。
• 实体的定义(可计算条件)： – 对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是 二维流形，则该正则点集为实体(有效物体)。 • 这个描述中的条件是在计算机中可检测的，对衡 量一个模型表示是否为实体非常有用。
几何造型技术
☆几何造型基础 • 造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这
● 实体的定义
些物体的技术。
● 几何模型定义 ☆实体表示方法 ● 多边形面表示 ● 特征表示方法 ● 空间分割表示 ● 推移表示方法 ● 边界表示方法
• 真实世界中存在着千姿百态的物体； • 它是计算机图形学的重要研究内容之一。 – 其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性 和可操作性，
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
第八章 投影变换分解
三.投影变换原理（10/15）
– 透视投影变换矩阵
M per
0 0 0 0 0 1
采用观察坐标系，投影简单
– 如何建立观察坐标系 坐标原点----聚焦参考点在投影平面上的投影， 称为观察参考点VRP（View Reference Point) n轴----照相机镜头方向（投影平面的法向） u轴----照相机向上的方向（观察正向） v轴---- u v n
三. 投影变换原理
三维设备 坐标系
演示
二. 投影介绍（4/9）
平面几何投影及其分类
– 投影 将n维的点变换成小于n维的点 将3维的点变换成小于2维的点 – 投影中心(COP:Center of Projection) 视觉系统—观察点、视点 – 投影面 不经过投影中心 平面--照相机底片 曲面—球幕电影视网膜
第八章
内容: 一. 导引 二. 投影介绍 三. 投影变换原理 四. 总结 五 .补充内容
投影变换
一. 导引（1/7）
三维图形的基本问题
在二维屏幕上如何显示三维物体？
– 显示器屏幕是二维的 – 显示对象是三维的 – 解决方法----投影(平行投影或透视投影)
一. 导引（2/7）
三维图形的基本问题
– 解决方法----消除隐藏面与隐藏线
如何反映遮挡关系？（消隐）
一.导引（4/7）
三维图形的基本问题
– 人们观察现实世界产生的真实感来源于 空间位置关系----近大远小透视关系和遮挡关 系 光线传播引起的物体表面颜色的自然分布 颜色是光刺激人的视网膜所产生的视觉印象， 反映了光源所发出的光的主要特性，物体对 光的反射、折射、投射等物理属性 – 解决方法
chapter03_3_三维形体的表示
2019/7/6
17
一些非正则形体的实例
一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
图3.2.1 非正则形体实例
2019/7/6
18
正则集合运算
为什么需要正则集合运算
正则集合运算是构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体
(b):A∩B (c):普通A∩B (d)：正则A∩B
2019/7/6
29
分解表示-八叉树表示
八叉树表示
对空间位置枚举表示的空间分割方法作了改进：均 匀分割 自适应分割
八叉树建立过程
•八叉树的根节点对应整个物体空间 •如果它完全被物体占据，将该节点标记为F(Full)， 算法结束； •如果它内部没有物体，将该节点标记为E(Empty)， 算法结束； •如果它被物体部分占据，将该节点标记为P(Partial)， 并将它分割成8个子立方体，对每一个子立方体进行 同样的处理
2019/7/6
12
实体的定义
将三维物体看做一个点集，它由内点和 边界点共同组成。
内点：具有完全包含于该点集的充分小 的邻域
边界点：不具有内点性质的点集
2019/7/6
13
实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： i：取内点运算 c: 取闭包运算
正则运算r r A c i A
2019/7/6
2
形体
体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。
半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。
三维形的认识与性质
三维形的认识与性质三维形是我们日常生活中常见的立体物体，它们具有一些特定的性质和特征。
通过对三维形的认识和了解，我们可以更好地理解和应用立体几何知识。
本文将从三维形的定义、特征、分类和性质等方面进行探讨。
一、三维形的定义三维形是指在三维空间中存在的具有长度、宽度和高度的几何体。
与二维形状相比，三维形是立体的，可以从不同的角度观察和描述。
常见的三维形包括立方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
二、三维形的特征1. 长度、宽度和高度：三维形是由长度、宽度和高度构成的，这些特征使得三维形在空间中具有体积和形态上的差异。
2. 角度：三维形中的角度可以有不同的度量方式，例如直角、钝角和锐角。
3. 面和边：三维形具有面和边，通过面和边的组合可以构成不同形状的三维体。
三、三维形的分类根据形状和结构的不同，三维形可以分为以下几类：1. 柱状体：具有两个平行且相等的底面以及连接底面的侧面，如圆柱体和棱柱体。
2. 球状体：由所有离球心的点组成，如球体。
3. 圆锥体：具有一个圆形底面和一个点（称为顶点）连接底面的侧面，如圆锥体和棱锥体。
4. 立方体：具有六个相等的正方形面，如立方体。
5. 其他形状：还有许多其他的三维形状，如四面体、正八面体等。
四、三维形的性质1. 体积：三维形的体积用来描述立体物体所占据的空间大小。
不同形状的三维形体计算体积的方法也不同，例如球体的体积计算公式为V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径。
2. 表面积：三维形的表面积指的是立体物体外表面的总面积。
不同形状的三维形体计算表面积的方法也不同，例如立方体的表面积计算公式为A = 6a²，其中a为立方体的边长。
3. 射影：三维形在二维平面上的射影称为立体的平行视图。
平行视图可以帮助我们更清楚地了解三维形的形状和结构。
4. 对称性：某些三维形具有对称面或对称轴，具有对称性的三维形在可视化和构造上更具美感和平衡感。
结论通过对三维形的认识与性质的探讨，我们可以更好地理解和应用立体几何知识。
图形学-8-三维对象表示方法
三维对象表示方法三维实体描述方法：1.边界表示 多边形表面2.空间区分 立体构造 八叉树 分形多边形表面：几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数点表 边表 面表欧拉公式：V-E+S=2（V 为顶点数，E 为棱线数，S 为面数）凡是满足欧拉公式的形体均称为欧拉形体属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征曲线曲面：样条曲线/面：样条曲线：通过一组指定点集而生成的平滑曲线的柔性带；样条曲面：可以使用两组正交样条曲线进行描述；、y K y y y K ''≈<<''+''=,1|:|when )1(232曲率公式：曲线不同要求：0阶连续 1阶连续 2阶连续Bezier 样条：N+1个控制点 控制点P k =(x k ,y k ,z k ) 混合函数∑==n k n k k u B P u P 0,)()(P K :控制点位置向量B k,n (u) = C(n,k) * u k * (1-u)n-kC(n,k) = n! / (k!(n-k)!)实体构造：由简单物体构成复杂物体1. 扫描表示：基于一个元素(点、线、面等)或一个形体沿指定路径运动而生成的新的形体2. 结构实体几何法：通过两个指定物体间的并、交、差等集合操作而生成新的物体八叉树8叉树的表示应用三维形体的分解.它对一个外接三维立方体进行递归分解；直至所有小立方体单元要么全部均质，要么全部空，或已分解到规定的分解精度为止。
分形几何方法基本特征1.每点处无限细节2.整体和部分的自相似性分数维：我们知道某些形状相同的几何体放在一起可以组成一个较大的它们的复制品。
例如，需要2条相同的线段（1维的）组成长度扩大到两倍的一条线段。
需要4个相同的正方形（2维几何体）组成棱长扩大到两倍的一个正方形。
需要8个相同的正方体组成一个边长扩大到2倍的一个正方体。
一般的，需要2^d个相同的d维超立方体组成边长扩大到两倍的一个大的d维超立方体；需要c=a^d个相同的几何体组成一个边长扩大a倍的大复制品。
第八章 三维形体的表示
(b):A∩B
(c):普通 (c):普通A∩B 普通A∩B
(d):正则A∩B (d):正则 正则A∩B
正则集合运算
集合运算（ 集合运算（并、交、差）是构造形体的 基本方法。正则形体经过集合运算后， 基本方法。正则形体经过集合运算后， 可能会产生悬边、 可能会产生悬边、悬面等低于三维的形 体。 Requicha在引入正则形体概念的同时，还 在引入正则形体概念的同时， 定义了正则集合运算的概念。 定义了正则集合运算的概念。正则集合 运算保证集合运算的结果仍是一个正则 形体，即丢弃悬边、悬面等。 形体，即丢弃悬边、悬面等。
二、 表示形体的两种模型
数据模型
线框模型 表面模型 实体模型
过程模型
数据模型
完全以数据描述， 完全以数据描述，如 以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 特征表示、空间分割表示、推移表示、边界 特征表示、空间分割表示、推移表示、 表示、 表示、构造实体几何表示等
线框模型
过程模型
以一个过程和相应的控制参数描述 如用一些控制参数和一个生成规则描述的 植物 以一个数据文件和一段代码的形式存在 包括粒子系统、 系统、 包括粒子系统、L系统、迭代函数系统等
三、 实体的定义
抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在
为什么要求客观存在？ 为什么要求客观存在？ 什么是客观存在（有效）—实体的定义 什么是客观存在（有效）
实体的定义
A是一个点集，定义点集的正则运算如下： 正则运算如下 是一个点集，定义点集的正则运算如下： i：取内点运算 取内点运算 c: 取闭包运算 取闭包运算 正则运算r 正则运算r 的全体内点组成的集合，称为A 为A的全体内点组成的集合，称为A 的内部 的内部的闭包的运算， 为A的内部的闭包的运算，是 与其边界点的并集。 与其边界点的并集。
三维形体的真实感显示详解演示文稿
按R、G、B三种颜色分量展开计算得：
现在是16页\一共有48页\编辑于星期六
用Phong模型进行计算时，对物体表面上每个点P，均需计 算光线的反射方向R，再由V计算（R·V），为减少计算，可作如下假设：
a) 光源在无穷远处，即光线方向L为常数；
b) 视点在无穷远处，即视线方向V为常数；
c) 为避免计算反射方向R，用（H·N）代替（R·V）， 这里H为L和V的平分向量 ，即： H ＝（L＋V）/ | L＋V |
Z-Buffer算法在象素级上以近物取代远物。形体在屏幕上的 出现顺序是无关紧要的。这种取代方法实现起来远比总体排序灵 活简单，有利于硬件实现。
然而Z-Buffer算法存在缺点：占用空间大，没有利 用图形的相关性与连续性。 Z-Buffer算法以算法简单著 称，但也以占空间大而闻名。
Z-Buffer算法需要开一个与图象大小相等的缓存数 组ZB，可一次性显示。
现在是20页\一共有48页\编辑于星期六
为了得到屏幕上某象素点所对应的物体上点的颜色， 假定作经过该象素点的一条射线，射线平行于观察视线， 则射线与多面体物体可能有多个交点。
如果物体不是透明的，则处于最前面的交点的颜色即为所求， 如右图所示。
最简单的算法——Z缓冲区（Z-Buffer）算法
现在是21页\一共有48页\编辑星期六
现在是19页\一共有48页\编辑于星期六
2）浓淡图绘制算法
通过前面介绍的Gouraud模型、Phong光照模型可计 算物体表面上点的颜色值。
为了显示形体的三维真实感效果图，下面介绍多面体 浓淡图的如何绘制。
由于空间三维物体是连续点集。显然直接计 算点的颜色将无法确定计算采样点的位置和数 目。
事实上，我们仅能看到屏幕所能显示的区域。如果能够求得 屏幕上每一个象素点所对应的物体上点的颜色，这样就可绘制整 个图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
27
正则集合运算
考察 A A,B两物体的交所形成拼合体的边界， 由于A,B为正则点集，它们均可表示为边界点与体内 点的集合，即A=bA ∪ iA ; B=bB ∪ iB A物体的边界 bA可按其位于B物体内、B物体上、B 物体外而分别表示为 bA = (bA∩iB)∪(bA∩bB) ∪(bA∩eB) 同理，bB = (bB∩iA)∪(bB∩bA)∪(bB∩eA)
22
实体的定义
实体的定义—可计算的条件
正则点集 表面是二维流形 其上任意一点存在充分小的领域与圆盘同构 （存在连续的一一映射）
二维流形
23
正则集合运算
为什么需要正则集合运算
正则集合运算是构造复杂物体的有效方法 普通的集合运算会产生无效物体
(b):A∩B (c):普通A∩B (d)：正则A∩B
12
表面模型
表面模型 将形体表示成一组表面的集合 如果把线框模型中的棱线包围的部分定义为 面，所形成的模型便是表面模型。其数据结 构是在线模型的基础上附加一些指针，有序 地连接棱线。下图中表面编号表示第几个表 面，表面特征表面是平面还是曲面。 形体与其表面一一对应，适合于真实感显示
2
4
形 体
Pt F
面
R3中非空、连续、共面且封闭的子集称为面F， 其边界(记为∂F)是有限条线段的并集， Pt表示含有F的唯一平面。 面是形体表面的一部分，且具有方向性.
5
形 体
环
由有序、有向边组成的面的封闭边界 称为环，环中任意边都不能自交，相 邻两条边共享一个端点，环又分为内 环和外环。内环是在已知面中的内孔 或凸台面边界的环，其边按逆时针方 向。外环是已知面的最大外边界的环， 其边按顺时针方向，按这种方式定义， 在面上沿着边的方向前进，面的内部 始终在走向的右侧。
正则集合运算的定义
A
op
*
B r (A B r (A B r (A B r (A
op
B) B) B) B)
正则并
A
*
正则交
A
* *
正则差
A
26
正则集合运算
任一实体S可以用它的边界bS和它的内部iS来表示，即 S=bS ∪ iS 由实体的定义可知，bS是封闭的，它将整个三维空间分成 了三个区域： S的内部iS , S的边界bS ,S的外部eS。边界bS 与实体S是一一对应的。确定了边界，也就唯一确定了一个实 体。 因此，为了求实体A，B的正则集合运算结果A op* B，只 要求出其边界b（A op* B）即可。
第八章
三维形体的表示
表示形体的两种模型 实体的定义 正则集合运算 特征表示 空间分割表示 推移表示 边界表示 构造实体几何表示 不规则形体的建模方法 L系统
1
引 言来自三维图形在科学研究和工程技术中有着广泛的应用。在CAD中，需 要对所设计的作品从不同的角度进行审视。计算机几何造型就是 用计算机系统来表示、控制、分析和输出三维形体。所以几何造 型是计算机图形学中一个十分重要的应用领域，它是CAD/CAM和 CIMS系统的核心技术，也是用来实现计算机辅助设计的基本手段。 几何造型的功能：
形体输入，即把形体从用户格式转换成计算机内部格式；
图形数据的存储和管理； 图形控制，如对形体进行平移、缩放、旋转等几何变换；
图形修改，如应用集合运算、欧拉运算、有理B样条操作及其 交互手段实现对形体局部或整体修改；
图形分析，如形体的容差分析，物质特性分析等； 图形显示输出，如消隐、光照、颜色的控制等；
30
正则集合运算
同理： b(A∪*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ eA)∪(bA∩bB)
同侧
b(A－*B)=(bA ∩ eB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩bB)
异侧
31
一些非正则形体的实例
一些非正则形体的实例
(a)有悬面
(b)有悬边
（c）一条边有两个以上 的邻面（不连通）
图3.2.1 非正则形体实例
6
形 体
v1
f f1 e 2 v2
边 形体内两个相邻面的交界称为边，一条边有且仅有两 个相邻面。两个端点确定一条边，这两个端点分别称 为该边的起点和终点。假设Q是一个形体，E(Q)是形体 边的集合，则在∂Q(形体的边界)中E(Q)满足下属条件 的所有线段的集合：
边e的两个端点属于V(Q)； 边e中没有一个内部点属于V(Q)（所有顶点的集合） 边e上每个点，都有两个不同的面，即存在两个面fi， fi≤∂Q使得边e∈fi∩fj；
20
实体的定义
正则点集
r A 称为A的正则点集 称A为正则点集，如果它满足 r A A
问题：正则点集是实体？
21
实体的定义-举例说明
阴影部分：物体的内部区域 黑色部分：边界 (a)图取内点->(b)图求闭包->(c)图
正则运算：去除与物体维数不一致的悬挂部分 或孤立部分。
9
表示形体的两种模型
数据模型
完全以数据描述 例如 用以8个顶点表示的立方体 以中心点和半径表示的球 以数据文件的形式存在 包括----特征表示、空间分割表示、推移表示、边 界表示、构造实体几何表示等 进一步分为 线框模型 表面模型 实体模型
10
v2
e2 s1 e3 v3 s5
1
表面编号 表面特征 起始指针 顶点个数
4 3
5 0 1 4
顶点 号
1 2
属 连接指针 性
0 2 3 4 1
13
2
3 4
3
4 1
0
0
表面模型
缺点： 不能有效的用来表示实体 原因： 1、表面模型中的所有面未必形成一个封 闭的边界 2、各个面的侧向没有明确定义，即不知 道实体位于面的哪一侧
16
表示形体的两种模型
模型分类
17
实体的定义
抽象带来的问题
计算机中表示的物体是无效的 不能够客观存在 CAD/CAM的需求 具有一定的形状 具有封闭的边界（表面) 内部连通 占据有限的空间 经过运算后，仍然是有效的物体
18
为什么要求客观存在
什么是客观存在（有效）—实体的定义
对于A ∩* B ，由交的定义可知： 1）A、B两物体的边界位于对方内部的部分，即bA ∩ iB 和bB ∩ iA是b(A ∩* B )的组成部分。 2） A、B两物体的边界位于对方外部的部分，即bA ∩ eB 和bB ∩ eA不是b(A ∩* B )的组成部分。 3）对于A、B的重合边界有： (bA ∩bB)同侧属于b(A ∩* B ); (bA ∩bB)异侧不属于b(A ∩* B ) 因此： b(A∩*B)=(bA ∩ iB) ∪(bB ∩ iA)∪(bA∩ bB)同侧
32
为了能够处理非正则形体，产生了非正 则造型技术。 九十年代以来，基于约束的参数化、变 量化造型和支持线框、曲面、实体统一 表示的非正则形体造型技术已成为几何 造型技术的主流。
33
形体表示模型
在实体模型的表示中，基本上可以分 为分解表示、构造表示和边界表示三 大类。 1、分解表示
将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部 分，每一小部分又可分为更小的部分，这种 分解过程直至每一小部分都能够直接描述为 止。
34
分解表示-空间位置枚举表示
形体空间细分为小的均匀的立方体单元。 用三维数组C[I][J][K]表示物体，数组中的元素与 单位小立方体一一对应 当C[I][J][K] = 1时，表示对应的小立方体被物 体占据 当C[I][J][K] = 0时，表示对应的小立方体没有 被物体占据
35
v1 s4 e4 e9
e1
v4
线框模型
e10
e6 v5 线框模型：将形体表示成 v6 e s2 e11 e2 12 e7 一组轮廓线的集合。 s3 e8 s6 v8 v7 一般地，画出了形体的棱线与 轮廓线就能唯一地表示出来。 如图，八个顶点可以定义一个 长方体，但还不足以识别它， 如果定义了棱线，则无论如何 放置长方体都能唯一地表示了。 对于多面体由于其轮廓线和棱 线通常是一致的，所以多面体 的线模型更便于识别，且简单。
28
正则集合运算
其中bA ∩ bB = bB ∩ bA是A与B的公共 边界，它可以分成两部分： （bA ∩bB）同侧、 (bA ∩bB)异侧 (bA ∩bB)同侧由这样一些边界构成：A、B 位于边界的同侧 (bA ∩bB)异侧由这样一些边界构成：A、B 位于边界的异侧
29
正则集合运算
形体Q的边框线WF(Q)是由有序对(V(Q),E(Q))所组 成。
7
形 体
v1
f f1 e 2 v2
点
边的端点称为点，点不能出现在边的内部，也不能孤
立地位于物体内、物体外或面内，顶点又是∂F(面边界) 中两条不共线的线段的交点。
8
形 体
体素 具有有限个参数定义，且简单 的连续封闭的形体称为体素， 如长方体、圆柱体、圆锥、球、环等。 半空间 集合{P|F(P)≤0}成为半空间，其中P为R3中的一点，F为一个平面， 当F=0时，表示一个平面，这个平面的半空间可以由 F(P)=ax+by+cz+d定义的平面加上在平面某一侧的所有点组成。显 然一个长方体可以看成是6个平面半空间的交。 几何信息 用来表示形体的几何性质和度量关系称为几何信息。 拓扑信息 用来表示形体之间的连接关系称为拓扑信息。