高中数学必修二2.1.1课件
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学第2章2.1.1直线的斜率课件苏教必修2.ppt
学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念； 2．掌握求直线斜率的两种方法； 3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何 要素．
课前自主学案
直
线
课堂互动讲练
的
斜
率
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．平面直角坐标系中，点与坐标的关系是_一___一___ _对__应____的． 2．y＝kx＋b(k≠0)表示_一__条__直__线___，其中b表示直 线在y轴上的_截__距___．
变式训练2 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线
AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝17， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝53， ∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.
2．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_逆__时__针___ 方向旋转到和直线_重__合___时所转过的__最__小__正__角__称 为这条直线的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的 倾斜角为_0_°_. (2)直线倾斜角α的取值范围是_0_°__≤__α_＜__1_8_0_°_. (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α 的关系式为：k＝_t_a_n_α_.
例3 已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同 一条直线上，求a的值． 【思路点拨】 可分别由A、B两点和B、C两点 求出直线的斜率，再由A、B、C三点共线应有kAB ＝kBC，从而求出a的值．
【解】 由题意可知斜率存在，根据斜率公式 k ＝xy22－－yx11(x1≠x2)． 可得：kAB＝2a－－15，kBC＝－2a4－－15. 已知 A、B、C 三点共线，必有 kAB＝kBC. 由2a－－15＝－2a4－－15，解得 a1＝2，a2＝72. 故所求的 a 值为 2 或72.
课前自主学案
直
线
课堂互动讲练
的
斜
率
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．平面直角坐标系中，点与坐标的关系是_一___一___ _对__应____的． 2．y＝kx＋b(k≠0)表示_一__条__直__线___，其中b表示直 线在y轴上的_截__距___．
变式训练2 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线
AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝－2－4－33＝17， 直线 AC 的斜率 kAC＝－0－2－33＝53， ∴直线 AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.
2．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相 交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_逆__时__针___ 方向旋转到和直线_重__合___时所转过的__最__小__正__角__称 为这条直线的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的 倾斜角为_0_°_. (2)直线倾斜角α的取值范围是_0_°__≤__α_＜__1_8_0_°_. (3)当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α 的关系式为：k＝_t_a_n_α_.
例3 已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同 一条直线上，求a的值． 【思路点拨】 可分别由A、B两点和B、C两点 求出直线的斜率，再由A、B、C三点共线应有kAB ＝kBC，从而求出a的值．
【解】 由题意可知斜率存在，根据斜率公式 k ＝xy22－－yx11(x1≠x2)． 可得：kAB＝2a－－15，kBC＝－2a4－－15. 已知 A、B、C 三点共线，必有 kAB＝kBC. 由2a－－15＝－2a4－－15，解得 a1＝2，a2＝72. 故所求的 a 值为 2 或72.
高中数学必修二第二章第一节课件
如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
最新-2021学年高中数学必修二精讲优练课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品
公理
文字语言
如果两个不重合的平
面有一个公共点,那么 公理3
它们有且只有一条过
该点的_公__共__直__线__
图形语言
符号语言
P∈α且P∈β⇒
_________ α∩β=l, ______ 且P∈l
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)一个平面能把空间分成几部分? 提示:因为平面是无限延展的,一个平面把空间分成两部分. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内的定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
(2)平面的画法.
常常把水平的平面画成一个_平__行__四__边__形__,并且 其锐角画成_4_5_°__,且横边长等于邻边长的_2_倍.
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强立体 感,被遮挡部分用_虚__线__画出来.
(3)平面的表示方法. ①用希腊字母表示,如平面α,平面β,平面γ. ②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示,如平面ABCD. ③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示,如平面AC,平面BD.
【解题探究】典例中梯形ABCD的两腰分别是什么?其延长后的交点位 于什么地方? 提示:结合题意可知梯形ABCD的两腰分别是AB,CD,它们延长后的交点 既在平面α内又在平面β内.
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC, 所以AB,CD是梯形ABCD的两腰. 因为AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M. 又因为AB⊂α,CD⊂β,所以M∈α,M∈β. 所以M∈α∩β. 又因为α∩β=l,所以M∈l. 即AB,CD,l共点(相交于一点).
【总结提升】 1.公理1、2、3的意义和作用 (1)公理1. 意义:说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的 “平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”. 作用:既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(2)如图，已知 A(3,2)，B(－4,1)，C(0， －1)，求直线 AB，BC，AC 的斜率；
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
2-1-1 两角和与差的余弦公式(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
3
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
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2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
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1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
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跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
【数学】2.1.1 直线倾斜角和斜率 课件(北师大必修2)
思考?日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
AB k AC AC BD k AD AD
tan
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 用小写字母 k 表示，即：
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3 tan30 3
a 0 k tan0 0
当a 90时 k ?
y
o
x
思考：当直线与 x 轴垂直时， 直线的倾斜角是多少？
a 90 tana(不存在)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P1 P1
P2
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
高中数学 2.1.1数轴上的基本公式课件 新人教B版必修2
第三页，共34页。
第四页，共34页。
2.1 平面直角坐标系中的基本 (jīběn)公式
第二章
第五页，共34页。
2.1.1 数轴上的基本(jīběn)公式
第二章
第六页，共34页。
课前自主 (zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)典例 讲练
方思法想警方示法(技jǐn巧ɡ shì)探究
易错疑难辨析
课后强化作业
第十页，共34页。
3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位 移到点C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的和．，记作A→C＝A→B ＋___B→_C____.
在数轴上，任意三点A、B、C，向量 A→B 、 B→C 、 A→C 的坐标 都具有关系：AC＝AB＋__B__C____.
第十一页，共34页。
[答案] 0或－136 [解析] 由题意，得d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|， 解得x＝0或x＝－136.
第十七页，共34页。
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离(jùlí)为5； (2)两点间距离(jùlí)大于5； (3)两点间距离(jùlí)小于5. [解析] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离(jùlí) 为5的点有两个，原点O(0)和C(10)． ∴(1)当a＝0或a＝10时，|a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5. (3)当0<a<10时，|a－5|<5.
第三十页，共34页。
[错解] ①②③④⑤ [辨析(biànxī)] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到 位，导致判断错误．
第三十一页，共34页。
[正解] ② AB、AC、BC的关系为AB＋BC＝AC，故①
第四页，共34页。
2.1 平面直角坐标系中的基本 (jīběn)公式
第二章
第五页，共34页。
2.1.1 数轴上的基本(jīběn)公式
第二章
第六页，共34页。
课前自主 (zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)典例 讲练
方思法想警方示法(技jǐn巧ɡ shì)探究
易错疑难辨析
课后强化作业
第十页，共34页。
3．在数轴上，点A作一次位移到点B，再由点B作一次位 移到点C，则位移A→C称作位移A→B与位移B→C的和．，记作A→C＝A→B ＋___B→_C____.
在数轴上，任意三点A、B、C，向量 A→B 、 B→C 、 A→C 的坐标 都具有关系：AC＝AB＋__B__C____.
第十一页，共34页。
[答案] 0或－136 [解析] 由题意，得d(P，A)＝2d(P，B)， ∴|－8－x|＝2|－4－x|， 解得x＝0或x＝－136.
第十七页，共34页。
6．已知数轴上两点A(a)，B(5)，当a为何值时， (1)两点间距离(jùlí)为5； (2)两点间距离(jùlí)大于5； (3)两点间距离(jùlí)小于5. [解析] d(A，B)＝|a－5|，画出数轴可见与B点距离(jùlí) 为5的点有两个，原点O(0)和C(10)． ∴(1)当a＝0或a＝10时，|a－5|＝5. (2)当a>10或a<0时，|a－5|>5. (3)当0<a<10时，|a－5|<5.
第三十页，共34页。
[错解] ①②③④⑤ [辨析(biànxī)] 由于对向量的坐标及长度的概念理解不到 位，导致判断错误．
第三十一页，共34页。
[正解] ② AB、AC、BC的关系为AB＋BC＝AC，故①
高中数学必修二2.1.1平面课件
2.1.1平面
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
一、平面的概念
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面 在空间中是无限延伸的。
随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
Bl
A
l
B
在生产、生活中，人
们经过长期视察与实践，
B
总结出关于平面的一些 基本性质，我们把它作
为公理．这些公理是进
一步推理的基础．
作用：判断直线是否在平面 内的根据．
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思考2：
过一点可以做几条直线？两点呢？ 过空间中一点可以做几个平面？ 两点呢？
不共线的三点呢？
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4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
画法：
表 示：平面α
平面β
D
C
γ
A
B
平面γ
平面 平面ABACD或平面BD
常用平行四边形（450,横边长是邻边长的2倍）
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β
β
α
α
两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
如果两个不重合的 公 平面有一个公共 理 点，那么它们有且 3 只有一条过该点的
公共直线．
l A B
A BC
l P
A, B AB
A, B,C不共线
有且只有一个平面， 使得A, B,C
北师大版高中数学必修2课件2.1.1直线的倾斜角和斜率解析
直线与x轴垂直时，k不存在
直线与x轴平行时，k=0
03
直线倾斜角与斜率的应用
直线方程的表示
斜截式： y=kx+b，k为 斜率，b为截距
点斜式：yy1=k(x-x1)， 通过点(x1,y1) 和斜率k确定直 线方程
两点式：yy1=k(x-x1)， 通过点(x1,y1) 和点(x2,y2)确 定直线方程
分类与范围
倾斜角的分类：锐角、直角、钝角 范围：$[0, \pi]$ 特殊情况：直线与x轴平行时，倾斜角为0 直线倾斜角与斜率的关系
02
直线的斜率
定义与几何意义
定义：直线斜率是直线倾斜角的正切值 几何意义：表示直线在坐标平面上的倾斜程度 公式：斜率=tanθ 性质：斜率是直线的重要属性，与直线的倾斜角密切相关
• a) 范围：0°到180°之间 • b) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ，其中θ为倾斜角 • c) 垂直关系：当两直线垂直时，它们的倾斜角之和为180° • d) 平行关系：当两直线平行时，它们的倾斜角相等
判定方法
定义：倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角 取值范围：[0,π) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ(θ为倾斜角) 特殊情况：当直线与x轴垂直时，倾斜角为π/2
学院
北师大版高中数学必修2课件2.1.1 直线的倾斜角和斜率解析
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汇报人：
目录
01
直线的倾斜角
02
03
直线倾斜角与斜率的应用
04
直线的斜率 典型例题解析
01
直线的倾斜角
定义与性质
• 定义：直线与x轴正方向之间的夹角
• 性质： a) 范围：0°到180°之间 b) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ，其中θ为倾斜角 c) 垂直关系：当两直线垂直 时，它们的倾斜角之和为180° d) 平行关系：当两直线平行时，它们的倾斜角相等
数学：2.1.1《平面》课件(新人教A版必修2)
β
l
典型例题
如图，用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平 面之间的位置关系． 面之间的位置关系．
β
a
α
A l
α
a l b P （2） ）
B
β
（1） ）
解：在（1）中， α ∩ β = l, a ∩α = A, a ∩ β = B. 在（2）中， α ∩ β = l, a α, b β , a ∩l = P, b ∩l = P.
α
A
A ∈ l, B ∈ l, A ∈α , B ∈α l α
作用： 作用： 判定直线是否在平面内． 判定直线是否在平面内．
图形、文字、符号 图形、文字、
l A A 在直线l上 点A在直线 上． 在直线
A∈ l
l
点A在直线l外．
A l
l A
α
α
A
l B
直线l在平面 直线 在平面 α 外．
l α
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： ①直线 AC1在平面 CC1 B1 B 内；错误
CB AD源自C1 D1A1B1
随堂练习
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，判断下列命题是否 正确，并说明理由： 正确，并说明理由： 设正方形ABCD与 A1 B1C1D1 的中心分别为 O1 的中心分别为O， ②设正方形 与 ， AA1C1 BB1 D1 D 则平面 与平面C 的交线为 ； OO1
平面公理
公理1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内． 那么这条直线在此平面内． l B
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学必修二全册课件2.1.1平面
第五页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考2:请你用尺子做实验并回答以下问 题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？
2、过两点有几个平面？
3、过在同一直线上的三点有几个平面？ 4、过不在一直线上的三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
第六页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理二：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 （文字表示）
第十四页，编辑于星期日：二十一点 分。
3、点与平面的关系 B
A
α
① 点A在平面内，记作A∈ α ② 点B在平面外，记作B α
第十五页，编辑于星期日：二十一点 分。
点、线、平面之间的关系的符号表示（用集合 语言描述）
（1）点A 在直线L上
A
表示为： A L
第十六页，编辑于星期日：二十一点 分。
（2）直线L在平面 内 .
图形表示
No·B
α ·A
·C
Image
符号表示为： C AB
存在唯一平面α，使A∈ α
作用： 可用于确定平面的条件。
第七页，编辑于星期日：二十一点 分。
思考3:把三角板的一个角立在课桌上， 三角板所在平面与桌面所在平面是 否只相交与一点B？为什么？
B
第八页，编辑于星期日：二十一点 分。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它 公共点，且所这些公共点的集合是一条过这个公共点的直 线。（文字表示）
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面α内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一点Q ； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α内，L和m
相交于点P 。
第十一页，编辑于星期日：二十一点 分。
高中数学北师大版必修2第二章2.1.1直线的倾斜角与斜率说课课件
教材分析
板书 设计
教法分析
学法分析
3.3.1 倾斜角与斜率
一、倾斜角 三、两点斜率公式 多媒体展示区
二、斜率
四、例题讲授
教材分析
作业 布置
必做题 选做题
教法分析
学法分析
教材分析
教法分析
教学过程
教法
讲授法、探究式教学法
教学手段 多媒体
学法
引导探究、小组讨论、合作交流
k y2 y1 x2 x1
（其中x1 x2 ）
教材分析
教学过程
教法分析
四、应用举例，巩固提高
学法分析
教材分析
教学过程
变式训练：
教法分析
学法分析
教材分析
课堂小结
教学过程
教法分析
学法分析
从0增大到+∞
从-∞增大到0
4.数学思想：“几何问题代数化”即“坐标化”的思想，倾斜角α从“形” 上反映直线的倾斜程度，而斜率k则从“数”这一角度反映直线的倾斜程度.
教材分析
教学过程
教法分析
学法分析
学情 在初中时，学生已经学习过一次函数是一条直 分析 线，知道找到直线上的两个点，然后即可以得
到这条直线的图像。对解析几何已经有了初步 的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下 了基础，但是他们的动手操作能力不强，抽象 概括能力，推理能力还不够，所以接下来要引 导学生思考问题，深入浅出的分析。
教材分析
教学过程
教法分析
教材分析
学法分析
教法分析
学法分析
教学过程
教材分析
教学过程
教法分析
学法分析
地位 及作用
《直线的倾斜角与斜率》是北师大版高中数学 必修二第二章第一节第一部分的内容。该节是 学习了空间几何后学习用代数方法研究解析几 何的入门课。直线的倾斜角和斜率是解析几何 的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何 要素与代数表示，是在平面直角坐标系内以坐 标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性 质（如直线位置关系、交点坐标、点到线的距 离等）的基础。通过该节内容的学习，帮助学 生初步了解直角坐标平面内的几何要素代数化 的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基础 研究方法。本节有着开启全章，承前启后，奠 定基调，渗透方法作用。
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
高中数学人教版必修2课件
2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
高中数学人教版必修2课件
例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
高中数学人教版必修2课件
错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
高中数学人教版必修2课件
正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
高中数学人教版必修2课件
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
高中数学人教版必修2课件
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
高中数学人教版必修2课件
1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
高中数学 第二章 2.1.1数轴上的基本公式课件 新人教B版必修2
d(M，P)＝|MN|－|NP|＝5－3＝2. (2)当点 P 在点 M、N 之外时(如图所示)，
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8. 综上所述，d(M，P)＝2 或 d(M，P)＝8.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点 C 位
于点 D 的右侧
小结 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上
的对应点到原点的距离．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 已知 M、N、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP| ＝3，求 d(M，P)． 解 ∵M、N、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3， ∴(1)当点 P 在点 M，N 之间时(如图所示)，
2.1.1 数轴上的基本公式
【学习要求】 1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数
轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】
通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量 与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公 式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.
(A )
A．C(－3)和 D(－4)
B．C(3)和 D(4)
C．C(－4)和 D(3)
D．C(－4)和 D(－3)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．下列说法正确的个数有
(C )
①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等 于向量的长度；③向量A→B与向量B→A的长度一样；④如果
数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．
3．向量与数量的区别与联系 向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方 向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数 量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向 量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小， 因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．
d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋3＝8. 综上所述，d(M，P)＝2 或 d(M，P)＝8.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪组中的点 C 位
于点 D 的右侧
小结 一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上
的对应点到原点的距离．
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 已知 M、N、P 是数轴上三点，若|MN|＝5，|NP| ＝3，求 d(M，P)． 解 ∵M、N、P 是数轴上三点，|MN|＝5，|NP|＝3， ∴(1)当点 P 在点 M，N 之间时(如图所示)，
2.1.1 数轴上的基本公式
【学习要求】 1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数
轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 【学法指导】
通过数轴上点与实数的一一对应关系拓展到数轴上向量 与实数的一一对应关系，从而得到数轴上两点间的距离公 式，为研究平面解析几何奠定扎实的基础.
(A )
A．C(－3)和 D(－4)
B．C(3)和 D(4)
C．C(－4)和 D(3)
D．C(－4)和 D(－3)
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．下列说法正确的个数有
(C )
①数轴上的向量的坐标一定是一个实数；②向量的坐标等 于向量的长度；③向量A→B与向量B→A的长度一样；④如果
数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等．
3．向量与数量的区别与联系 向量是不同于数量的一种新的量．数量只有大小，没有方 向，其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数 量，可以进行各种代数运算；数量之间可以比较大小．向 量是既有大小，又有方向的量；由于方向不能比较大小， 因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．
人教A版高中数学必修2课件2.1.1 平面课件(数学人教A版必修2)课件
2.线与线、线与面的位置关系 直线a与b相交于点A:
A
b
a
表示为：
ab A
直线l在平面内：
l
表示为： (不在呢?)： l
l
课堂探究
直线l在平面 外： (I) (II)
A
l
lL
表示为： l //
表示为： l α = A
课堂探究
平面 与平面 相交于直线l：
l
表示为：
课堂探究
1.平面的概念
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物 体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的． 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象
课堂探究
2、平面的画法：
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板 面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
课堂探究
(1)水平放置的平面
(2)垂直放置的平面
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
课堂探究
(3)两个相交平面的画法：
①先画两平面基本线
②画两平面的交线 ③分别作三条线的平行线 ④把被遮部分的线段画成 虚线或不画，其他为实线
α β
被遮挡的线用虚线 表示
课堂探究
3.平面的表示方法
(1)平面是无限延展的 （常用平面的一部分表示平面） (2)常用平行四边形表示，如图所示
典型例题
例4 下列命题正确的是（ D ） A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
课堂小结
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形 语言和符号语言。
A
b
a
表示为：
ab A
直线l在平面内：
l
表示为： (不在呢?)： l
l
课堂探究
直线l在平面 外： (I) (II)
A
l
lL
表示为： l //
表示为： l α = A
课堂探究
平面 与平面 相交于直线l：
l
表示为：
课堂探究
1.平面的概念
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物 体中抽象出来的.但是，几何里的平面是无限延展的． 桌面 黑板面 平静的水面 平面的形象
课堂探究
2、平面的画法：
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板 面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
课堂探究
(1)水平放置的平面
(2)垂直放置的平面
ß
a
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450
课堂探究
(3)两个相交平面的画法：
①先画两平面基本线
②画两平面的交线 ③分别作三条线的平行线 ④把被遮部分的线段画成 虚线或不画，其他为实线
α β
被遮挡的线用虚线 表示
课堂探究
3.平面的表示方法
(1)平面是无限延展的 （常用平面的一部分表示平面） (2)常用平行四边形表示，如图所示
典型例题
例4 下列命题正确的是（ D ） A.两条直线可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.空间不同的三点可以确定一个平面 D.两条相交直线可以确定一个平面
课堂小结
1.平面的概念；
2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形 语言和符号语言。
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(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素)，直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集．明确这一点，才能正确 使用集合符号．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在 平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
欢迎来到数学课堂
自学导引 1．面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在 平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
欢迎来到数学课堂
自学导引 1．面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面