高中数学必修二2.1.1课件
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自学导引 1．平面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在来自百度文库平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素)，直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集．明确这一点，才能正确 使用集合符号．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点
自学导引 1．平面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的 一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无__限__延___展_的．
(2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个_平__行__四__边__形 ___，它的锐角通常 画成_4_5_°_，且横边长等于其邻边长的_2_倍__，如图①. ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感， 把被遮挡部分用__虚__线____画出来．如图②. (3)平面的表示法 图①的平面可表示为__平__面__α__，平面 ABCD，平__面___A_C__或平面
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
【答案】一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空 间分成四部分，平行时，把空间分成三部分．
探究 2：“线段 AB 在平面 α 内，直线 AB 不全在平面 α 内” 这一说法是否正确，为什么？
【答案】不正确． ∵线段 AB 在平面 α 内，∴线段 AB 上的所有点都在平面 α 内， ∴线段上的 A，B 两点一定在平面 α 内，∴直线 AB 在平面 α 内(公 理 1)．
平面 α，β 相交于直
线l
α∩β＝l
3．平面的基本性质
公理
内容
如果一条直线上的
公理 1
__两__点____在一个平
面内，那么
这__条__直__线__在__此__平__面__ 内
图形
不在一条直
公理 2 过__线__上__的__三__点__， 有__且__只__有 __一个平面
______
如果两个不重合的
图1
图2
一般用 A，B，C，…表示点；a，b，c，…表示线；α，β，γ，… 表示平面．
几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住 时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画．如图 2 所示中图(1)表 示平面 β 在平面 α 的上面．图(2)表示平面 α 在平面 β 的前面．这 样看起来立体感强一些．
点A在 直线 l 上
__A_∈__l___
点A在 直线 l 外
__A_∉_l____
点 A 在平 面α内
__A_∈__α___
点A在 平面 α 外
__A_∉_α____
直线 l 在 平面 α 内
__l⊂__α____
直线 l 在来自百度文库平面 α 外
___l⊄_α____
直线 l，m 相交 于点 A
l∩m＝A
4．立体几何与集合之间符号语言的差异 我们在立体几何中使用符号语言时，还应明确符号语言在代数
与几何中的差异： (1)“∈，∉，∩”等符号虽来源于集合符号，但在读法上却用
几何语言．例如，A∈α，读作“点 A 在平面 α 内”；a⊂α，读作 “直线 a 在平面 α 内”；α∩β＝l，读作“平面 α，β 相交于直线 l”．
(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素)，直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集．明确这一点，才能正确 使用集合符号．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
公理 3
平面有一个公共 点，那么它们有且
只有一条过___该__点__的_ 公共直线
符号
A∈l，B∈l，且 A∈α，
B∈α⇒____l⊂__α__
A，B，C 三点不共线 ⇒存在唯一的 α 使
A，B，C∈α
P∈α， 且 P∈β⇒α∩β＝l， 且 P_∈__l_____
自主探究 探究 1：一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几 部分？
3．平面的基本性质 平面的基本性质，即教科书中的三个公理，它们是研究立体几 何的基本理论基础，每个都必须掌握好．
公理 1 的作用：既可判定直线是否在平面内，点是否在平面内， 又可用直线检验平面．
公理 2 的作用：一是确定平面，二是证明点、线共面问题． 公理 3 的作用：一它是判断两个平面是否相交的依据．二它可 以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的 公共交线，则这点在交线上．
【答案】C
3．将“如果两个不重合的平面 α，β 有一个公共点 P，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线 l.”改写成符号语言表述应为 ________．
【答案】P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l
4．在四面体 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F， G，H 四点，如果 EF∩GH＝P，则点 P 一定在直线________上．
预习测评 1．下列命题中正确的是( ) A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概 念 D．平面的形状是平行四边形
【答案】C
2．空间可以确定一个平面的条件是( ) A．两条直线 B．一个点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点