高校大学物理势能机械能守恒定律
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
功能原理(大学物理)
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
华南理工大学物理课件-3.5势能功能原理机械能守恒2010级
3.5.1 一对力的功
分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，称之为 “一对力”。一对力通常是作用力与反作用力，但也可不是。
z B1× dr1 f1 r21 •m 1 r1 r2 A× x
B2× f2 • dr2 m2
× A
r r r r d A对 = f1 ⋅ d r1 + f 2 ⋅ d r2 r r r = f 2 ⋅ (d r2 − d r1 )
例
计算第一、 计算第一、第二宇宙速度
m
1. 第一宇宙速度 已知：地球半径为 ， 已知：地球半径为R，质量 卫星质量为m。 为m0，卫星质量为 。要使 卫星在距地面h高度绕地球 卫星在距地面 高度绕地球 作匀速圆周运动， 作匀速圆周运动，求其发 射速度。 射速度。
m0
R
解： 设发射速度为 1，绕地球的运动速度为 。 设发射速度为v 绕地球的运动速度为v。 机械能守恒： 机械能守恒：
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 弹性势能曲线 引力势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线 重力势能曲线
z = 0, Ep = 0
x = 0, Ep = 0
r → ∞, Ep = 0
3.5.4 保守力与势能的关系： 因为： 因为：
A = −∆Ep
v v dA = F ⋅ dr = Fxdx + Fydy + Fzdz
应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤 (1) 选取研究对象。 选取研究对象。 (2) 分析受力和守恒条件。 分析受力和守恒条件。
判断是否满足机械能守恒条件，如不满足， 判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能 原理求解。 原理求解。
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
重力势能 机械能守恒定律
重力势能机械能守恒定律一．重力势能1．定义：物体由于被举高而具有的能。
2．表达式功和能是两个相互联系的物理量，做功的过程总伴随着能量的改变，所以通过做功来研究能量。
如图所示，力F对物体做功，使物体的动能增加W F = = E k用同样的方法研究势能用一外力F把物体匀速举高H，物体的动能没有变化，但外力对物体做了功，使物体做功的本领增强，势能增加。
W F = Fh = mgh(1)E P = mgh(2)状态量，表示物体在某个位置或某个时刻所具有的势能3．重力势能的相对性E P = mgh，其中h具有相对性，因此势能也具有相对性，它与参考平面的选取有关。
选取不同的参考平面，物体的重力势能就不相同。
原则上讲，参考平面可以任意选取。
重力势能是标量，但有正负，其正负表示该位置相对参考平面的位置高低，物体在该位置所具有的重力势能比它在参考平面上的多还是少。
重力势能是相对的，但势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。
4．重力做功与重力势能的变化重力势能的变化与重力做功有密切的关系重力对物体做了多少负功，物体的势能就要增加多少重力对物体做多少正功，物体的势能就要减少多少重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值。
注意：重力势能的变化仅仅是由重力做功决定的动能的变化是由合外力所做的功决定的5．重力做功的特点质量为m的物体，如图所示(1)从A点自由下落到B点再平移到C点W G = mg△h = mg(h1－h2)(2)从A点沿斜面运动到C点W G= mgscosα = mg△h = mg(h1－h2)(3)从A点沿斜面运动到B′，再沿斜面运动到C点W G = mgs1cosα1 + mgs2cosα2 = mg△h = mg(h1－h2)(4)从A点沿一不规则曲线(任一路径)滑到C点将路径A C分成很短的时间间隔，每个间隔都可看成斜面，则可知W G = mg△h1 + mg△h2+ … + mg△h n = mg(h1－h2)①重力做功只与物体的始末位置(高度)有关，与物体运动的具体路径无关②重力沿闭合曲线所做的功为零物体沿①从A→C，重力做功W G = mgh再沿②从C→A，重力做功W G = -mgh W G = 06．势能属于系统在物理学上常把相互作用的物体的全部叫做系统。
大学物理3-3机械能守恒定律 能量守恒定律
1. 机械能守恒定律
机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力 做功（常见），或者非保守内力与外力的总功为零， 则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械 能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
条件 Ae 0，Aid 0；或 Ae Aid 0
E
弹 p1
1 2
kx02
如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且
以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统
初时的重力势能为
E
重 p1
mgh
守恒定律
系统在这初始位置的总机械能为
E1＝Ek
1＋E
弹 p1＋E
重 p1
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
mgh
在物体下降到最低位置时，物体的动能 Ek，2 系0统
定律 EKa EPa EKb EPb
或 E EK EP 常量
能量守恒定律
2. 能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统的 所有能量的总和是不变的，能量只能从一种 形式变化为另外一种形式，或从系统内一个 物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守 恒定律。
守恒定律
例题3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以 速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时， 物体因惯性进行下降，问钢丝绳再有多少微小的伸长？ (设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计)。 这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？
T
x0
G
h
v0
守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。
大学物理能量及能量守恒定律
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到 零势点过程中保守力做的功。
3）保守力为其相关势能梯度的负值:
F
d A F d l Fldl d E p
m
θ
dl
l
Fl
dE p Fl dl
保守力在 l 方向投影
F 保 grad E p E p
v0 m
mv
2 0
4 J
x (m)
1
4
7 9
E 守恒,当 Ek=0时
E
p
max
E 0 4J
E p 4J
作曲线
2）要
F
知运动范围
dE p dx 0
x 1
dE p dx
0
势能曲线斜率为负:
1 x 4,
x 9
3） x = 4m 处,势能最小
ml
2
2
所以棒撞击地板时的角速度是
；
3g l
练习3.
如图所示， 已知: M , l , m , , v0 ;击中
求:击中时 ; max ? o
3 4
3 4
l处
(只列方程)
分两个阶段求解,各遵循什么规律? 1）相撞: 质点
l
M
v0
定轴刚体
c
对 O 轴角动量守恒
1 4
i
A
i
i内
0
2.变力的功
dr
微元分析法：
ds
P
b
F r
取微元过程
P
r
以直代曲
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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大学物理 第4节 机械能守恒定律
例如：
EP
1 kx2 2
EP (x)
Fx
d dx
(1 2
kx2 )
kx
EP
0
x
势能曲线能告诉我们什么？
由势能曲线
1.可求出保守力场中各点所受力的大小和方向：
f dEP dx
某点保守力的大小等于势能曲 线在该点的斜率的负值。
EP
EP
1 kx2 2
f
f
弹性势能
x
方向 指向势能减小的地方。
2.可定性讨论运动情况及平衡的稳定性。
1 M g(L l)2 1 M2 ( 1 MLg) (0 1 Mg l2 )
2L
2
2
2L
g L
L2 l 2
L
l
2
xO x
1. 系统只有保守力做功，则系统的动能和势能相互 转化。
• 势能的确定值与零势能位置的选择有关，而势能 差值与零势能位置选择无关.
• 保守力的功属于一对力的功，因而，势能和势能 之差都与参考系的选取无关。
由势能求保守力
Fx
EP x
,
Fy
E P y
,
Fz
EP z
,
F FX i FY j FZ k
p
p0 f dr Ep0 Ep EP
保守力做功等于该过程势能增量的负值
可选取零势点定义任意点的势能
势能一般定义: (Epc=0 势能零点)
EP EP EPc
pc f dr
p
1.重力势能: EPa mgha （ha 相对于势能零点的位置）
2.弹性力势能：EP
0
(kx)dx
1
kx2
x
2
选择弹簧原长处为零势能位置。
【大学物理】第六章 能量 能量守恒定律
f
dl
L
由势能定义有保守力与相 应势能的关系是： f dl dEP
根据矢量计算可写成：f l dl dEP
dEP fl dl
l方向的方向导数
结论：保守力在l方向的分量就是
相应势能在l方向的方向导数
34
直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的 方向导数分别是:
2 2
2
kx m2 L
2
联立可解
27
28
同学们好！
29
保守力（conservative force）定义有两种表述
表述一（文字叙述）： 作功与路径无关,只与始末位置有关的力 称为保守力
表述二（数学表示） ： f保 dr 0
L
保守力的环流为零 描述矢量场基本性质的方程形式
以向下为正：
x
mx G g l
mg 0 mgl AG Fdx xdx l 0.2 l 50
mgl AF AG 50
24
0.8 l
0
m
质心 c
Ep 0
0.2 l
解二: 用保守力做功与势能变 化的关系计算
令桌面 初态: 末态:
Ep 1
Ep 0
mg 5
0 1 2 2 0.1 0.1 0.2
k x |0 Mgx |0.1 3J
k
M
20
S
F
练习2： 一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动， （v ＜＜ c）离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即2R）。试以 m、R、引力恒量 G、地球质量M
表示出： (1) 卫星的动能； (2) 卫星在地球引力场中
f EP grad EP
大学物理 动能 势能 机械能守恒定律
2020年4月22日星期三
力作正功； 力作负功； 力不作功。
变力的功 合力的功 = 分力的功的代数和 直角坐标系中，
功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 2.功率：单位时间内的功 平均功率
瞬时功率
功率的单位 （瓦特）
3 保守力的功
1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点 。重力G只有z方向的分量
B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒，机械能不守恒 . 动量守恒，机械能不一定守恒 .
（ （C （D）
C
D
C
D
A
B
A
B
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量 4）动能
2）动量 5）势能
3）冲量 6） 功
➢ 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
例2.9 质点所受外力
，求质点由点
(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x
轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动
到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿
抛物线
由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制.
2） 万有引力的功 以 为参考系， 的位置矢量为 .
对 的万有引力为
移动 时， 作元功为
3 ） 弹簧弹性力的功 F
x
O
保守力和非保守力 ➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功
重力功 弹力功
大学物理,功和能及功能原理4.4 功能原理 机械能守恒定律
t2 I F dt p2 p1 t1 b A F dr Ek 2 Ek 1
a
13
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
3）若研究物体的瞬时状态，只有用牛顿运动定律。
dp 力: F dt
动量对时间的变化率
思考问题的顺序为：
2）质点系的机械能和机械能守恒定律也适用 于包含有定轴转动刚体的系统。 3）机械能守恒定律只是普遍的能量转换和守 恒定律的特殊形式。
5
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 )
1）机械能守恒定律的条件是： A外
A非 保 内 0
动能定理
动量守恒定律 当 : F外 0时 ， P Pi 恒 矢 量
功： Aab F dr a A外 A内 Ekb Eka
b
机械能守恒定律
当 : A外 A非 保 内 0时 ， E Ek E p 恒 量
15
4.4 功能原理
外力不作功，意味着物体系既不接受外界的 机械能，也不向外界传递机械能。 如果A非保内= 0，就意味着在物体系内部不存 在机械能与其它能量形式间的相互转换。 所以，当满足A外= 0 和A非保内= 0 的条件时， 系统的机械能将保持不变。
6
4.4 功能原理
机械能守恒定律
第4章 功和能 功能原理
能量守恒定律 亥姆霍兹（1821—1894）， 德国物理学家和生理学家。 于1874年发表了《论力（现 称能量）守恒》的演讲，首 先系统地以数学方式阐述了 自然界各种运动形式之间都 遵守能量守恒这条规律。所 以说亥姆霍兹是能量守恒定 律的创立者之一。
2.4 功 动能 势能 机械能守恒
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex Wnicn (Ek Ep ) (Ek0 Ep0)
大学物 理学
无关，而只与质点的初末位置有关。
非保守力: 力所做的功与路
B
径有关。（例如摩擦力）
重力功 W (mgy2 mgy1)
D
L
C
弹力功
W
(
1 2
k
x22
1 2
k
x12
)
A
引力功
W
(G
F
d r
m' m) (G
rB F
d r
m' m rA
)
2
Ep mgl sin
机械能守恒 m+地球：
0 0 1 mv2 (mgl sin )
2
大学物 理学
例 一轻弹簧, 其一端 系在铅直放置的圆环的顶
PR
点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在
30 A
o
环上运动(μ =0)．开始球
静止于点 A, 弹簧处于自然
B
状态，其长为环半径R;
Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
对质点系，有
m1
Fiex
m2 Fiin mi
Wiex Wiin Eki Eki0 Ek Ek0
i
ch3-4 势能 机械能守恒定律
A外 + A内 = ∆Ek
质点系动能定理
A保内+ A非保内
A外 + A保内+ A非保内 =∆Ek
A保内 ＝ - ( EP末 − EP初 )＝ − ∆EP
A外 − ∆Ep + A非内 = ∆Ek A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E 功能原理
系统机械能增量
五. 机械能守恒定律
K是常数，r为二者 是常数， 为二者 是常数 之间距离, 是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。 相距r时的势能 之间距离 问F是不是保守力?若是求二者相距 时的势能。
F =k/r
3
分析： 判断是不是保守力应该分析 分析： 作功是否与路径无关 解： 假设质点 从a点沿任意路径到 假设质点m从 点沿任意路径到 点沿任意路径到b
对于一个系统
A外 + A非内 = ∆Ek + ∆Ep = ∆E
系统机械能增量
对系统作的总功 当 A外 + A非内 = 0 则
∆E = 0
提示
E = Ek + Ep = 常数
说明 (1) 守恒条件 A非内 = ∆E += E A外 + A外 + A非内 ∆0
k
机械能守恒定律
A保内 ＝ - ( EP末 − EP初 )＝ − ∆EP
∫
∫
x
x
(2) 质点在球内任一点 ，与 质点在球内任一点C， 球心距离为x， 球心距离为 ，系统的万有引 力势能为多少： 力势能为多少：
M R O m x
4 3 4 2 f内 =G πx ρm/ x = G πρmx 3 R 3 R 4 f dx + ∞ f∞ dx Mm E G 内 Ep = ∫ p−= ∫x πρmxdx∫R ∫ 外 G 2 dx + − x R 3 x Mm f (1) 质点在球外任一点 ，2 质点在球外任一点C 与球心距离为 ， 外 = G x2 与球心距离为x， 4、某状态时系统势能等于系 Mm 、 −G 2 πρm(R2 − x ) − G = 系统的万有引力势能为多少: 系统的万有引力势能为多少: R 统从该状态变化到零势能状态 统从该状态变化到零势能状态 3 时保守内力所作的功。 时保守内力所作的功。 Mm 3R2 − x2 R f= = −GMm(G v 2 3 ) m M0 x v 2⋅ d Ep = ∫ F R r O M ∞ Mm Mm，也可以说 在保守场存在的情况下 ●在保守场存在的情况下， Ep =势能属于场与场中与场作用的物体。 ∫x −G x2 dx = −G x 势能属于场与场中与场作用的物体。
第三节 势能和机械能守恒定律
第三节 势能和机械能守恒定律主干知识综合导图考点解读对点导考考点1：重力的功1．重力做功的特点重力所做的功只跟初始位置和末位置的竖直高度有关，跟物体的运动路径无关．2．重力做功的计算12mgh mgh mgh W G -==，其中h 为初、末位置的高度差。
考题1：如图3-3-1所示，质量为m 的小球从高为h 的斜面上的A 点滚下经水平面BC 后，再滚上另一斜面，当它到达高为3h 处的D 点时，速度为零，此过程中重力做的功是多少？ 【解析】方法一（分段法） 小球由A →B ，重力做正功mgh W =1 小球由C →D ，重力做正功mgh W 312-= 故小球由A →D 全过程中重力做功mgh W W W G 3221=+= 方法二（整体法） 全过程，小球的高度差h h h 3221=-，故mgh W G 32=【变式1-1】某游客领着孩子游南岳衡山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A 点滚到山脚下的B 点，高度标记如图3-3-2所示，则下列说法正确的是（ ）A ．从A 到B 的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功 B ．从A 到B 的过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功C ．从A 到B 重力做功)(h H mg +D ．从A 到B 重力做功m gH【变式1-1】D 【解析】重力做功与物体的运动路径无关，只与初、末状态物体的高度差有关，从A 到B 的高度差是H ，故从A 到B 重力做的功m gH ，所以选项D 正确。
h 图3-3-1 AB C D HA图3-3-2【变式1-2】质量为m 的小球从距地面高为h 处自由落下，碰地后弹起的高度为2h ，然后落下，碰地后再弹起，弹起后的高度为4h ……，最后小球静止于地面上，整个过程中重力做功为=G W 【变式1-2】mgh【难点突破】如图3-3-2所示，质量为m 的物体沿块○1、○2、○3三条不同的路径从A 滑到平面OB 上，沿○1路径，重力做功mgh W =1；沿○2路径，重力做的功mgh h mg W ==ααsin sin 2；沿○3路径，我们可以把整个路径分成许多很短的间隔，每小段曲线的长度都很小，它近似可以看成是一段倾倾的直线，设每小段的高度差为1h ∆、2h ∆、3h ∆…，整个路径重力所做的功等于每小段上重力所做功的代数和，mgh h mg h mg h mg W =+∆+∆+∆= 3213【拓展延伸】1．重力做功的特点可推广到任一恒力的功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，只跟初、末两个位置有关，恒力的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 东北大学 大学物理
※ 能量守恒定律的意义及其重要性
（3）自然界一切已经实现的过程无一例外地遵守着这 一定律，如果发现有所违反，那常常是因为过程中孕含着 还未被认识的新事物。于是人们就按守恒定律要求去寻找 和发现新事物。例如：中微子的发现。(20世纪初衰变的 研究中发现实验结果与能量守恒相违背，泡利提出中微子 假说，20年后，科学终于证实了中微子的存在）。
设坡底势能为零，由功能原理
W
ex
Ain nc
E
则：
fr s (0 mg
s
sin
)
(
1 2
mv02
0)
0.05mg
s
1 2
mv02
0.010mg
s
解得： s
v02
85(m)
2g(0.05 0.010)
提示：在应用功能原理时，由于取车与地球为系统，考虑了系统的
重力势能，因此，就不能再把重力当成外力来计算它的功了。
问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？
例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？ 力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零， 机械能守恒。(元功之和恒为零)
※ 能量守恒定律
1、“守恒” 与 “相等”
“守恒”：指在一个过程中始终不变。 “Conservation” “相等”：指两个特定状态之间的关系。 “Equation”
1 2
m
(v2
uv2)22
(vv112
u)2
Ek
• 变化量 △P由力的冲量决定 △Ek由力的功决定 △P与惯性系的选择无关 △Ek随惯性系的不同而不同
大学物理 牛顿运动学定律 功 功率 动能 势能 机械能
二、机械能守恒定律
若 A外 + A非保内 = 0
A外 + A非保内 = Eb − Ea
Eb = Ea = 恒量
只有保守内力作功时，系统的总机械能保持不变
更普遍地，孤立系统能量守恒。
例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时
处于静止状态，另一球速度 为 v0 求证：碰撞后两球速度总互相垂直或速度传递。
f
s
l
∆A = − f 'l
子弹减少的能量转变成木块的动能和热能， 摩擦生热，为一对作用力和反作用力作功之和。
例：1/4凹圆柱面（半径R）物体M在光滑水平面，小球m从静止开 始沿圆面从顶端无摩擦下落直至沿水平方向飞离，求此过程：1 ） 重力所做的功；2 ）M对m支撑力所做的功；3 ）小球飞离速率 v。
一对作用力和反作用力作功的总和不一定为0。
例：子弹穿过木块过程子弹
对木块的作用力为f，木块对
子弹的反作用力为f ’，木块
的位移为s，子弹的位移（
f'
s+l）
f 对木块作功：fs > 0
f ’ 对子弹作功：
− f '(s + l) < 0
合功为：fs − f '(s + l) = −f 'l
∆A = f2 ⋅ ∆r21
= A1+ A2+...
可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别
对该物体所做功的代数和。
∫ab F ⋅ dr
注意：(1) 力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关， 而且往往与路径有关。
(2) 功是标量，但有正负