第一讲-坐标系

同理，PN = ( x 2) y 1
2 2
2 2 2 2 ( x 2 ) 则PM =PO1 -MO1 = 2 2 2
y2 1
( x 2)2 y 2 1 2[( x 2)2 y 2 1]
x 12x y 3 0, ( x 6) y 33,
Ax
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) 设P（x, y）为巨响声点， y 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C P 故P在BC的垂直平分线PO上， PO 的方程为 － x5 ， 即P (680 5y= ,680 ), 故PO 680 10 B 因 A点比B点晚4s听到爆炸声，450, 距中心 680 o A m x 10 答: 巨响发生在信息中心的西偏北 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上 a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0 代入x2+y2=1，
1 x 2 1 y 3
代入 2x+3y=0;
x 2 y 2 1 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 4 9
x x, ( 0) 在伸缩变换 ： 下， y y, ( 0)
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
观测点
声响定位问题
某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 观测点 信息中心 点的报告：正西、正北两 y 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 C 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 当时声音传播的速度为 O 340m/s，各相关点均在同 B 一平面上). 观测点
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
在正弦曲线上任取一点P(x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长 为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
y
2 x
O
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标 x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’), 坐标对应关系为：
例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形。 (2) x2+y2=1 (1) 2x+3y=0;
x x 2 x 解：(1)由伸缩变换 得到 y 3y y；
1 x x 2 (2)将 1 y y 3
x2 y2 1( x 0) 所以双曲线的方程为： 2 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5 , y 680 5 ,
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求∆ABC的外心的 轨迹方程。
以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建 立直角坐标系， 设∆ABC外心为P（x,y）, 则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3

这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
2 2
二 平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考： 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
O

2
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为： 1 我们把①式叫做平面直角坐 x x 2 ① 标系中的一个坐标压缩变换。 y y
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标的表示方法: 对于极坐标平面上任意一点M: 表示线段OM的长度，叫做点M的极径; 表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角;
M
有序数对(,)就叫做点M的极坐标。 特别强调： O X 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；
表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边， OM 为终边的角。 不做特殊说明时,≥0,∈R 当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
x' x : y' y ( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’). 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, 可以实现平面图形的伸缩。
① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
直线仍然变成直线， 而圆可以变成椭圆， 那么椭圆可以变成圆吗？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
x' 2 x 1 求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标： y' 3 y
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2 曲线C经过伸缩变换
x' y'
1 x 3 1 y 2
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。

2

4
C
5 6

4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2

5 6
P
C E D B A
1 已知点M的极坐标为 5， ，下列所给出的 3
A. C.
5， 3
2 5， 3
B.
D.
4 5， 3 5 5， 3
2 在极坐标系中,已知三点 M ( 2, ), N (1,0), P ( 2 3 , ) 3 6 判断M, N, P三点是否在一条直线上.
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹 方程。 y P 解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立 M NX 平面直角坐标系， O O2 O 1 则两圆的圆心坐标分别为 O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y)
由|PA|=|PB|得 x 6 y 5 0
2
第一讲 坐标系
极坐标系
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏600方向走 (2)如果有人打听体 120m后到达什么位置？该 育馆和办公楼的位置，他 位置惟一确定吗？ 应如何描述？
实验楼
图书馆
120m 办公楼 40度 60度 50m 教学楼 60m 体育馆
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时,
M
O
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 y 探究BE与CF的位置关系。 C 解：以△ABC的顶点Ａ为原 点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立 E 直角坐标系，由已知，点A、B、 F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0). O (A) F Bx 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，
x' x 1 D y' y 1
2 2 x y 2 x 0 变成曲线 x'2 16 y'2 4 x' 0 4 曲线
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从教学楼向北偏西400走50米！ 出发点
方向 （角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离 来表示一点的位置
——它直观、方便
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（一般用弧度制） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
x
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1 x x 2 ③ y 3 y 把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义: 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
因为 x y c BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2 x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2
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所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0
因此，BE与CF互相垂直.
后的曲线方程是 . ）
4 x'2 9 y'2 36 则曲线C的方程是
3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
4

4 3
HO
G
X
F
5 Q3
一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取 任意实数。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
0, R
建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一 确定点M， 反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的 极坐标(，)。
点与它的极坐标是否一一对应？
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变，将 横坐标x缩为原来的1/2; O
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.