第一讲-坐标系
坐标系(极坐标系)
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
5 7 A(5, ), B (8, ), C (3, ) 2 6 6
判断ΔABC的形状. 9 在极坐标系中,已知 A(2,
6 ), B(4, 5 ), 求A,B两点的距离 6
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
5 极坐标方程 sin 2 2 cos 0 表示的曲线是___
抛物线
6 极坐标方程 4 sin2 3 所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
第一讲.极坐标
第一讲：坐标系 1.坐标系的种类（直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系）2.直角坐标系的运用（实现了数形结合，用坐标法研究几何位置形状等问题）【例1（课本）】一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程【练习】用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
3.平面直角坐标系中的伸缩变换定义：_____________________________________________________________.【例2（课本）】在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=【练习】 1、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4.极坐标系：（1）实用背景（2）极坐标系定义__________________________________________(3)相关概念：__________________叫极径_______________极角____________极坐标考点一：由点的位置确定极坐标例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
返回
2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
返回
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
返回
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
返回
点击下图进入
返回
方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
第1讲坐标系种类及坐标转换
第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。
它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。
坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。
有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。
以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。
它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。
坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。
直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。
2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。
极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。
极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。
3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。
柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。
柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。
4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。
球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。
在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。
以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
--坐标系ppt(共38张PPT)
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
高中数学第1讲坐标系第2节极坐标系第4课时圆的极坐标
故ρ＝－2rsin θ.
3π 经验证，点O(0,0)，A2r， 2 的坐标皆满足上式，
所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2rsin θ.
[规律方法]
求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况
一样，就是找出动点M的坐标ρ与θ之间的关系，然后列出方程
圆x2＋y2＝r2还有他的表示形式吗？
1．曲线与方程的关系 在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表 示．曲线与方程满足如下关系： 点的坐标 都是方程f(x，y)＝0的解； (1)曲线C上__________ 坐标的点 都在曲线C上． (2)以方程f(x，y)＝0的解为__________
曲线 圆心在极点，半径 为r的圆 圆心为C(r,0)，半径 为r的圆
π 圆心为Cr，2，半
圆形
极坐标方程
ρ＝r __________
(0≤θ<2π) ρ＝2rcos θ
π π － ≤θ< 2 2
ρ ＝2rsinθ __________
(0≤θ<π)
径为r的圆
1．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是( 2 2 y x A．x2＋ 2 ＝1 B． 2 ＋y2＝1 C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1
2．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极 f(ρ，θ)＝0 坐标中至少有一个满足方程 __________________ ，并且坐标 f(ρ，θ)＝0 适 合 方 程 ________________ 的点都在曲线C上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 __________________ 叫做曲线C的极坐标方程．
f(ρ，θ)＝0，再化简并检验特殊点．
第1讲-平面直角坐标系
平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来象限和轴：横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；第一象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩； 第二象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩； 第三象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点()x y ，的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩【引例】已知()32A -，、()32B --，、()32C -，为长方形的三个顶点，⑴ 建立平面直角坐标系，在坐标系内描出A 、B 、C 三点；⑵ 根据这三个点的坐标描出第四个顶点D ，并写出它的坐标；⑶ 描点后并进一步判断点A 、B 、C 、D 分别在哪一象限？⑷ 观察A 、B 两点，它们的坐标有何特点？B 与C 呢？A 与C 呢？【解析】 ⑴ 如右图所示；⑴ ()32D ，；⑴ A ：第二象限；B ：第三象限；C ：第四象限；D ：第一象限 ⑴ A 、B 坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，位置特点：关于x 轴对称． B 、C 坐标特点：纵坐标相同，横坐标互为相反数， 位置特点：关于y 轴对称．A 、C 坐标特点：横、纵坐标均互为相反数，位置特点：关于原点对称．【例1】 ⑴ 如图，如果“士”所在位置的坐标为()12--，，“相”所在位置的坐标为()22-，，那么“炮”所在位置的坐标为 ． ⑴ 由坐标平面内的三点()()()113113A B C -，，，，，构成的ABC △是（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形⑶ 若规定向北方向为y 轴正方向，向东方向为x 轴正方向，小明家的坐标为()12，，小丽家的坐标为()21--，，则小明家在小丽家的（ ）A ．东南方向B ．东北方向C ．西南方向D ．西北方向⑷ 已知点M ()34a a +-，在y 轴上，则点M 的坐标为 ． ⑸ 方格纸上A B 、两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为()34，，若以A 点为原点建立平面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）A ．()34--，B ．()34-，C ．()34-，D ．()34，【解析】 ⑴()31-，； ⑴B ； ⑴ B ； ⑴ ()07，；⑴ A ．【例2】 ⑴ 如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m >（人大附中期中）⑵ 已知点()391M a a --，在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0 （一五六中学期中）⑶ 已知点()23A a b -，在第一象限，点()43B a b --，在第四象限，若a b ，都为整数，则2a b += ．（人大附中期中）⑷ 已知点()381P a a --，，若点P 在y 轴上，则点P 的坐标为 ；若点P 在第二象限，并且a 为整数，则P 点坐标为 ．（四中期中）⑸ 如果点()A a b ，在第二象限，则点()221B a b -++，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑴ 设()3,a ab 在第三象限，则：① (),a b 在第 象限；② ,a a b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第 象限； ③ ()3,b a b -在第 象限.【解析】 ⑴D ； ⑵ B ； ⑶ 7或8； ⑷ 503⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()21-，； ⑸A ； ⑹由题意知0,0a b <>，答案依次为：一；三；一.【例3】 ⑴ 对任意实数x ，点()22P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 点()11P x x -+，，当x 变化时，点P 不可能在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四（四中期中） ⑶ 证明：①点()22m n ，不在第三、四象限；②点()2122m m ++，不在第四象限．【解析】 ⑴ C ；⑵ D ；⑶ ①∵20n ≥，∴点()22m n ，不在第三、四象限；② 若210220m m +>⎧⎨+<⎩，不等式组无解， ∴点()2122m m ++，不在第四象限. 【点评】 “不存在类问题”需要对点坐标进行正负分析．【变式】平面直角坐标系内，点(),1A n n -一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 C【点评】 本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，把符号问题转化为解不等式组的问题．。
第一讲 坐标系
第一讲 坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ (λ>0)，y ′＝ (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个______O ，叫做极点；自极点O 引一条______Ox ，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的______叫做点M 的极径，记为____；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角______叫做点M 的极角，记为____．有序数对______叫做点M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．如果规定ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB 为________三角形．2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________.题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(3)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程为________．题型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.(2013·北京)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 题型三 求曲线的极坐标方程例3 已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB ＝π3，△POQ 的面积为8，则PQ 中点M 的极坐标方程为________．(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为________．转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．方法与技巧1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可． 失误与防范极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.A 组 专项基础训练1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2＋y 2＝16变换为椭圆x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是________．4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．6．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线极坐标方程为________．7．在极坐标系中，曲线ρ＝a sin θ与ρ＝a cos θ(a >0，ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________． 8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 9．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．10．在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π6)＝1的两个交点之间的距离为________．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则|PQ |的最大值为________．5．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________． 6．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .则线段MN 的长为________．7．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．λ·x μ·y 伸缩变换2．(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM | ρ xOM θ (ρ，θ) M (ρ，θ) ≥ 任意实数(3)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z ) (0，θ)(θ∈R ) 无数 0≤θ<2π 极点 惟一 惟一3．(1)极点 极轴 长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx(x ≠0) 4．ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R ) θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝π＋αρcos θ＝a (－π2<θ<π2) ρsin θ＝a (0<θ<π)夯基释疑1．直角 2.43 3.x 2＋y 2－2x －y ＝0 4.(2，π6)，(2，5π6)题型分类深度剖析例1 解 (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于A (x ，y )为(13，－2)，∴x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，即y ′＝x ′，∴直线l ′的方程为y ＝x .(3)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.可见曲线C ′仍为双曲线，且焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)．跟踪训练1 x 2＋y 2＝1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.例222解析 将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 跟踪训练2 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 例3 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)解析 建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为(ρ，θ)(0<θ<π3)．P 、Q 两点坐标分别为(ρ1,0)，(ρ2，π3)．则有12ρ1ρ2sin π3＝8，①12ρρ1sin θ＝4，② 12ρρ2sin(π3－θ)＝4，③ ②×③得：14ρ2ρ1ρ2sin θsin(π3－θ)＝16，④由①得ρ1ρ2＝323代入④得 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)，即为所求极坐标方程．跟踪训练3 (1)1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ解析 如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点， 在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 56π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12.∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.(2)ρ＝2cos θ解析 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A 组 1.⎝⎛⎭⎫1，－π2 解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 2．ρcos θ＝1解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14xy ′＝y解析 设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (λ>0)代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2x 2＝16.与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1，即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y . 4. 3解析 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3. 5．(－33，－3)解析 点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 116π＝－3.即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)． 6．ρsin θ＝2解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，所以所求的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2. 7．(2a 2，π4) 解析 两式相除得tan θ＝1⇒θ＝π4⇒ρ＝a sin π4＝2a 2.8．相离解析 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝22＝2>1.故直线与圆相离． 9. 3解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 10．2 3解析 将射线与曲线C 1的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝4sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝23，故点A 的极坐标为(23，π3)， 同理由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝8sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＝43，可得点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，π3， 所以|AB |＝43－23＝2 3.B 组1．－8或2解析 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.2．ρcos θ＝3解析 由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.3．2 3解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－π3)对应的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin(θ＋π6)＝1对应的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.4．18解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6解析 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.6．2解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.∴|MN |＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.7．(6－2，6＋2)解析 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2.。
第一讲--坐标系-平面直角坐标系
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P ′(x ′,y ′)坐
标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
E
设A(m, 0), B(n, 0), C(0,p) 求出CF、BE的斜率即可
A
FO B x
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换:
x 2x
y
3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
x 2x
解：(1)由伸缩变换
y
；
3
y
x
得到
y
1 x 2 1 y
代入
2x+3y=0;
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
练习：CA、CO为半径为1的圆C上 y
互相垂直的两条半径，A、O为定
点，P是以O为端点的动弦的中点，
求A、P间的最短距离
O
分析:以O为原点，OC所在直线为x轴 建立坐标系
第一讲 坐标系 本讲优化总结
第一讲
坐标系
高考真题选萃
栏目 导引
第一讲
坐标系
讲末综合检测
栏目 导引
第一讲
坐标系
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
设半圆半径为 r,P 点坐标为 (ρ,θ), ∵OQ－OP＝PR 且 PR＝ OP· sin θ, r ∴r－ ρ＝ρsin θ,∴ ρ＝ (0≤θ≤π). 1＋ sin θ
栏目 导引
第一讲
坐标系
【名师点评】
利用极坐标求动点的轨迹方程时 ,首先
应选择好极点与极轴,使问题尽量简化.
栏目 导引
第一讲
→ →
【解】 椭圆方程化为极坐标方程得 2 2 ρ2cos2θ ρ2sin2θ a b 2 ＋ ＝ 1, 即 ρ ＝ 2 2 2 2 2 , a b a － c cos θ ab ∴ ρ＝ 2 2 2 . a － c cos θ π 设 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ＋ ), 2 1 ∴ S△ AOB＝ ρ1ρ2 2
a2b2 ＝ 2 2 . b sin θ＋ a2cos2θ 在 Rt△ AOB 中 ,|OH|· |AB|＝ |OA|· |OB|, |AB|2＝ |OA|2＋ |OB|2, 2 2 2 2 | OA | · | OB | ρ ρ2 1 1· 2 因此 |OH| ＝ ＝ 2 ＝ 1 1 |AB|2 ρ2＋ ρ2 1 2＋ 2 ρ1 ρ2
遇到不太熟悉的极坐标方程的曲线的
位置关系问题,可化为常见的直角坐标方程来解决.因此, 要正确进行点和方程的极坐标和直角坐标的互化.
栏目 导引
第一讲
坐标系
专题五
利用极坐标求轨迹方程
例5 已知半圆O,求所有与半圆直径AB相切,且和半圆 内切的动圆圆心P的轨迹方程.
第1讲-极坐标系
，x 轴的
当 堂 双 基 达 标
正半轴作为 极轴 ， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ， 如图 1－2－1 所示．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 1－2－1
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
课 前 自 主 导 学
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用 到求角 θ 的正弦值和余弦值， 熟练掌握特殊角的三角函数值， 灵活运用三角恒等变换公式是关键．
欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
π 【自主解答】 如图所示， 关于极轴的对称点为 B(2， －3)．
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 关于直线 l 的对称点为 C(2，3π)． 2 关于极点 O 的对称点为 D(2，－ π)． 3 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝ x2＋y2 y tan θ＝ (x≠0) x
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
第1讲 第1节平面直角坐标系
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 伸缩变换 ． 称__________
3．三角函数的伸缩变换 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，方法一(先平移后伸缩)： 向左φ>0或向右φ<0 y＝sin(x＋φ) y ＝ sin x 的图象 ―――――→ ________________ 平移|φ|个单位长度 1 横坐标变为原来的 倍 ω y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ―――――→ _________________ 的图象 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ――→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 横坐标不变
[思路点拨]
(1)建立适当坐标系；
(2)用坐标和方程表示出|PM|＝ 2|PN|； (3)代入坐标，求出(x，y)关系式．
• [解题过程] 如下图，以直线O1O2为x轴，线 段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)， O2(2,0)．
[变式训练]
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 后的图形，
x′＝2x 的图形经过伸缩变换 y′＝4y
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
1 x＝2x′ x ′ ＝ 2 x (1)由伸缩变换 ，得到 y′＝4y y＝1y′ 4
第一 讲
坐标系
•第一节 平面直角坐标系
• 某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿 道路PA或PB送到成矩形的一块田地ABCD中 去，已知PA＝100米，PB＝150米，BC＝60 米，∠APB＝60°. • 能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧 的点沿道路PA送肥料较近，而右侧的点沿PB 送肥料较近？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0
因此，BE与CF互相垂直.
4
4 3
HO
G
X
F
5 Q3
一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取 任意实数。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
0, R
建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一 确定点M， 反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的 极坐标(，)。
点与它的极坐标是否一一对应？
x' x 1 D y' y 1
2 2 x y 2 x 0 变成曲线 x'2 16 y'2 4 x' 0 4 曲线
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
同理，PN = ( x 2) y 1
2 2
2 2 2 2 ( x 2 ) 则PM =PO1 -MO1 = 2 2 2
y2 1
( x 2)2 y 2 1 2[( x 2)2 y 2 1]
x 12x y 3 0, ( x 6) y 33,
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
观测点
声响定位问题
某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 观测点 信息中心 点的报告：正西、正北两 y 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 C 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 当时声音传播的速度为 O 340m/s，各相关点均在同 B 一平面上). 观测点
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从教学楼向北偏西400走50米！ 出发点
方向 （角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离 来表示一点的位置
——它直观、方便
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（一般用弧度制） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
x
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1 x x 2 ③ y 3 y 把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义: 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
2 2
二 平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考： 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
O
2
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为： 1 我们把①式叫做平面直角坐 x x 2 ① 标系中的一个坐标压缩变换。 y y
x2 y2 1( x 0) 所以双曲线的方程为： 2 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5 , y 680 5 ,
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
x' x : y' y ( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’). 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, 可以实现平面图形的伸缩。
① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形。 (2) x2+y2=1 (1) 2x+3y=0;
x x 2 x 解：(1)由伸缩变换 得到 y 3y y；
1 x x 2 (2)将 1 y y 3
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 y 探究BE与CF的位置关系。 C 解：以△ABC的顶点Ａ为原 点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立 E 直角坐标系，由已知，点A、B、 F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0). O (A) F Bx 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，
后的曲线方程是 . ）
4 x'2 9 y'2 36 则曲线C的方程是
3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时,
M
O
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
由|PA|=|PB|得 x 6 y 5 0
2
第一讲 坐标系
极坐标系
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏600方向走 (2)如果有人打听体 120m后到达什么位置？该 育馆和办公楼的位置，他 位置惟一确定吗？ 应如何描述？
实验楼
图书馆
120m 办公楼 40度 60度 50m 教学楼 60m 体育馆
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求∆ABC的外心的 轨迹方程。
以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建 立直角坐标系， 设∆ABC外心为P（x,y）, 则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),
直线仍然变成直线， 而圆可以变成椭圆， 那么椭圆可以变成圆吗？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
x' 2 x 1 求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标： y' 3 y
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2 曲线C经过伸缩变换
x' y'
1 x 3 1 y 2
1 已知点M的极坐标为 5， ，下列所给出的 3
A. C.
5， 3
2 5， 3
B.
D.
4 5， 3 5 5， 3
2 在极坐标系中,已知三点 M ( 2, ), N (1,0), P ( 2 3 , ) 3 6 判断M, N, P三点是否在一条直线x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) 设P（x, y）为巨响声点， y 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C P 故P在BC的垂直平分线PO上， PO 的方程为 － x5 ， 即P (680 5y= ,680 ), 故PO 680 10 B 因 A点比B点晚4s听到爆炸声，450, 距中心 680 o A m x 10 答: 巨响发生在信息中心的西偏北 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上 a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.