九年级数学下册求二次函数的表达式教案

26.2.3 求二次函数的表达式
教学目标
【知识与能力】
能用待定系数法求二次函数的解析式。

【过程与方法】
能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式。

【情感态度价值观】
体会待定系数法与方程思想。

教学重难点
【教学重点】
用待定系数法求二次函数的解析式。

【教学难点】
根据已知条件恰当地选取适当的方法求二次函数的解析式。

课前准备
多媒体
教学过程
阅读教材，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．
2．二次函数的三种常见表达式为：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c均为常数)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k均为常数)；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1、x2为抛物线与x轴交点的两个横坐标，且x1≠x2)．
3．已知二次函数y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2的图象过点(0,5)，求m的值，并写出二次函数的解析式．
解：m＝3，y＝x2＋6x＋5.
4．用待定系数法求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c 的值，就可以写出二次函数的解析式．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知抛物线的顶点为(1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求抛物线的解析式．【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线的顶点坐标→设顶点式求抛物线的解析式．【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－3.
∵抛物线与y轴交于点(0，－5)，将其代入可得a＝－2，
∴抛物线的解析式为y＝－2(x－1)2－3，即y＝－2x2＋4x－5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知二次函数顶点坐标(h，k)及过其他一点，通常设二次函数的顶点式，即y＝a(x－h)2＋k.
【例2】一个二次函数的图象经过(0，－2)，(－1，－1)，(1,1)三点，求这个二次函数的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标→设一般式求其
解析式
【解答】设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .
根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－2，a －b ＋c ＝－1，
a ＋
b ＋
c ＝1.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝－2. ∴抛物线的解析式为y ＝2x 2＋x －2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线
过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y ＝ax 2＋bx ＋c ，从而列三元一次方程组来
求解．
【例3】抛物线经过点(－1,0)，(5,0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．
【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一点的坐标→一般设交点式求其解析式
【解答】设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将(3，－4)代入，得－4＝－8a ，解得a ＝12
， 则该抛物线的解析式为y ＝12
(x ＋1)(x －5)， 即y ＝12x 2－2x －52
. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x 轴的两个交点分别为(x 1,0)，(x 2,0)时，可选择设其解析式为交点式，即y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A (1,3)．求此抛物线的解析式．
解：y ＝－12
(x －3)2＋5. 2．已知一个二次函数的图象经过A (0，－3)，B (1,0)，C (m,2m ＋3)，D (－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C 的坐标．
解：抛物线的解析式为y ＝2x 2＋x －3.把C (m,2m ＋3)代入，得2m 2＋m －3＝2m ＋3，解得
m 1＝－32，m 2＝2，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，0或(2,7)． 3．已知二次函数的图象经过点(0,3)、(－3,0)、(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P (－2,3)是否在这个二次函数的图象上？
解：(1)此二次函数的解析式是y ＝－x 2－2x ＋3.
(2)当x ＝－2时，y ＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P (－2,3)在此二次函数的图象
上．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图，二次函数的图象的顶点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，23，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O ，一个锐角顶点A 在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B 在第二象限，且点A 的坐标为(2,1)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)判断点B 是否在此二次函数的图象上，并说明理由．
【互动探索】已知顶点坐标→设顶点式求二次函数解析式→作辅助线(如图)求出B 点坐标→验证点B 是否在(1)中的抛物线上．
【解答】(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋23
. ∵图象过A (2,1)，
∴a ＋23＝1，即a ＝13
， ∴该二次函数的表达式为y ＝13(x －1)2＋23
. (2)点B 在这个函数图象上．
理由如下：如图，过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为点C 、D.
在△AOC 与△OBD 中，∠AOC ＝∠OBD ＝90°－∠BOD ，∠ACO ＝∠ODB ＝90°，OA ＝OB ， ∴△AOC ≌△OBD ，
∴DO ＝AC ＝1，BD ＝OC ＝2，∴B (－1,2)．
当x ＝－1时，y ＝13×(－1－1)2＋23
＝2， ∴点B 在这个函数图象上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个点是否在函数图象上，只需要将点的坐标代入函数解析式，看点的坐标是否满足解析式．若满足，则点在函数图象上；若不满足，则点不在函数图象上．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中a ≠0，x 1、x 2分别是抛物线与x 轴的交点横坐标，x 1≠x 2)：
(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；
(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ；
(3)交点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．。