运动学图像-追及相遇问题

专题强化一运动学图象追及相遇问题专题解读 1.本专题是匀变速直线运动规律和运动学图象的综合应用，为高考必考内容，多以选择题形式命题.2.学好本专题，可以提高同学们通过画运动情景示意图和v－t图象分析和解决运动学问题的能力.3.用到的知识有：x－t图象和v－t图象的理解，匀变速直线运动的规律，临界条件的确定，极值思想等数学方法.一、运动学图象1.直线运动的x－t图象(1)图象的物理意义反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体速度的大小②图线上某点切线的斜率正负表示物体速度的方向.(3)交点两图线交点，表示两物体相遇.2.直线运动的v－t图象(1)图象的物理意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体加速度的大小.②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向.(3)两种特殊的v－t图象①匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线.②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线.(4)图象与时间轴围成的面积的意义(如图1)图1①图象与时间轴围成的面积表示位移.②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负.(5)交点两图线交点表示此时两物体速度相同.自测1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图象如图2所示，由图象可以看出在0～4 s内()图2A.甲、乙两物体始终同向运动B.第4 s末时，甲、乙两物体间的距离最大C.甲的平均速度等于乙的平均速度D.乙物体一直做匀加速直线运动答案 C解析由题图可知在0～2 s内，甲、乙同向运动，在2～4 s内两者反向运动，选项A错误；第4 s末两物体相遇，两物体间的距离不是最大，选项B错误；由题图知在0～4 s内，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，选项C正确；根据图线斜率的绝对值等于速度的大小，可知乙物体一直做匀速直线运动，选项D错误.自测2如图3所示，为某物体做直线运动的v－t图象，由此可知()图3A.前1 s物体的位移大小为1 mB.前2 s末物体的瞬时速度大小为2 m/sC.前3 s内物体的加速度大小为3 m/sD.前3 s物体做匀变速直线运动答案 A解析在v－t图象中，相应图线与时间轴所围的面积表示位移，由题图知，前1 s内物体的位移大小x ＝12×1×2 m ＝1 m ，选项A 正确；在1～3 s 内由题图得，物体的加速度a ＝Δv Δt ＝0－2 m/s3 s －1 s＝－1 m/s ，第2 s 末物体的瞬时速度v ＝v 0＋at ＝2 m/s －1 m/s 2×1 s ＝1 m/s ，选项B 、C 错误；第1 s 内物体做匀加速直线运动，1～3 s 内物体做匀减速直线运动，选项D 错误. 二、追及与相遇问题 1.概述当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题. 2.两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度相等时，两者相距最近. 3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及并相遇：两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离. (2)相向运动的两物体相遇：各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.自测3 平直公路上的甲车以10 m /s 的速度做匀速直线运动，乙车静止在路面上，当甲车经过乙车旁边时，乙车立即以大小为1 m/s 2的加速度沿相同方向做匀加速运动，从乙车加速开始计时，则( )A.乙车追上甲车所用的时间为10 sB.乙车追上甲车所用的时间为20 sC.乙追上甲时，乙的速度是15 m/sD.乙追上甲时，乙的速度是10 m/s 答案 B解析 设乙车追上甲车所用的时间为t ，则有v 甲t ＝12at 2，解得t ＝20 s ，选项A 错误，B 正确；由v ＝at 得，乙车追上甲车时，乙车速度v 乙＝20 m/s ，选项C 、D 错误.命题点一 运动学图象的理解和应用1.x －t 图象与v －t 图象的比较x －t 图象v －t 图象图象举例意义倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表示变速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动特别处两条图线的交点表示相遇图线与时间轴所围面积表示位移运动情况甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减小的直线运动丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动位移0～t1时间内甲、乙位移相等0～t2时间内丁的位移大于丙的位移平均速度0～t1时间内甲、乙平均速度相等0～t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.例1(多选)如图4，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线，由图可知()图4A.在时刻t1，a车追上b车B.在时刻t2，a、b两车运动方向相反C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大答案BC解析由题图可知，t1时刻，b车追上a车，故A错误；x－t图象的斜率表示速度，由于t2时刻a、b两图象的斜率一正、一负，故两车运动方向相反，B正确；由b图线的斜率的变化可以看出t1到t2这段时间b车的速率先减少后反向增加，C正确；如图所示，在t3时刻b图线的斜率与a图线的相等，此时两车的速率相等，故D错误.例2 (2014·新课标全国Ⅱ·14)甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t ＝0到t ＝t 1的时间内，它们的v —t 图象如图5所示.在这段时间内( )图5A.汽车甲的平均速度比乙的大B.汽车乙的平均速度等于v 1＋v 22C.甲、乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 答案 A解析 根据v —t 图象中图线与时间轴所围的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x 甲大于汽车乙的位移x 乙，选项C 错误；根据v ＝xt 得，汽车甲的平均速度v 甲大于汽车乙的平均速度v 乙，选项A 正确；汽车乙的位移x 乙小于初速度为v 2、末速度为v 1的匀减速直线运动的位移x ，即汽车乙的平均速度小于v 1＋v 22，选项B 错误；根据v —t 图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D 错误.变式1 甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x 随时间t 变化的关系图象如图6所示.已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t 轴相切于10 s 处.则下列说法正确的是( )图6A.甲车的初速度为零B.乙车的初位置在x 0＝60 m 处C.乙车的加速度大小为1.6 m/s 2D.5 s 时两车相遇，此时甲车速度较大 答案 C解析 由题图可知甲车做匀速直线运动，速度v 甲＝Δx Δt ＝205 m/s ＝4 m/s.故A 错；由题图可知乙车做匀减速直线运动，可看做是反方向的匀加速直线运动，则有x ＝12at 2.由题图可知，当其反向运动5 s 时，位移为20 m.则有20＝12a ·52，得加速度大小a ＝1.6 m/s 2.因其共运动了10 s ，可得x 0＝12×1.6×102 m ＝80 m.C 对，B 错；t ＝5 s 时，两车相遇，但甲车速度v 甲＝4 m/s 小于乙车速度v 乙＝8 m/s ，D 错.变式2 (2018·广东佛山质检)如图7所示为甲、乙两质点做直线运动的速度－时间图象，则下列说法中正确的是( )图7A.在0～t 3时间内甲、乙两质点的平均速度相等B.甲质点在0～t 1时间内的加速度与乙质点在t 2～t 3时间内的加速度相同C.甲质点在0～t 1时间内的平均速度小于乙质点在0～t 2时间内的平均速度D.在t 3时刻，甲、乙两质点都回到了出发点 答案 A解析 因在0～t 3时间内甲、乙两质点的速度图线与t 轴所围“面积”相等，说明位移相等，则甲、乙两质点的平均速度相等，故A 项正确；在0～t 1时间内，甲的图线斜率为正值，加速度为正方向，在t 2～t 3时间内，乙的图线斜率为负值，加速度为负方向，两个加速度不相同，故B 项错误；甲质点在0～t 1时间内的平均速度等于0＋v 02＝v 02，乙质点在0～t 2时间内的平均速度等于0＋v 02＝v 02，故C 项错误；由图可知甲、乙两质点的速度均为正值.则两质点均做单向直线运动，不可能回到出发点，故D 项错误. 拓展点1 非常规图象 1.三类图象(1)a －t 图象：由v ＝v 0＋at 可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv ，如图8甲所示； (2)x t －t 图象：由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，图象的斜率为12a ，如图乙所示.图8(3)v 2－x 图象：由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，图象斜率为2a . 2.解题技巧图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图象的意义.例3 一质点沿直线运动，如图9所示是从t ＝0时刻开始的质点的xt －t 图象(x 为位移)，可以推知( )图9A.质点做匀减速运动B.加速度的大小是1 m/s 2C.t ＝2 s 时的速度是1 m/sD.t ＝2 s 时位移是3 m答案 B解析 由题意可得图线的函数表达式为x t ＝1＋12t ，即x ＝t ＋12t 2，又因为匀变速直线运动中位移公式为x ＝v 0t ＋12at 2，根据对应关系得v 0＝1 m/s ，a ＝1 m/s 2＞0，因此质点做匀加速运动，故A 项错误，B 项正确.当t ＝2 s 时，根据公式v ＝v 0＋at ，求出速度是3 m/s ，故C 项错误；当t ＝2 s 时，代入表达式x ＝t ＋12t 2，可得位移是4 m ，故D 项错误.变式3 (2017·江西南昌3月模拟)一辆汽车做直线运动，其v 2－x 图象如图10所示.关于汽车的运动，下列说法错误的是( )图10A.汽车的初速度为4 m/sB.汽车的加速度大小为0.5 m/s 2C.汽车第4 s 末的速度为2 m/sD.汽车前10 s 内的位移为15 m 答案 D解析 由题图可知初始时速度的平方为16 m 2/s 2，则汽车的初速度v 0＝4 m/s ，A 项正确.由题图可知v 2与x 的关系式为v 2－42＝－x ，再与公式v 2－v 02＝2ax 对比可知汽车做匀减速直线运动，加速度a ＝－0.5 m/s 2，B 项正确．由v ＝v 0＋at ，可得汽车第4 s 末的速度为v 4＝4 m/s －0.5×4 m/s ＝2 m/s ，C 项正确.因0－v 0a ＝8 s ，则知第8 s 末车停止，汽车前10 s 内位移x ＝0－v 202a＝16 m ，D 项错误. 拓展点2 图象间的相互转化例4 一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图11所示.取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v －t 图象正确的是( )图11答案 C命题点二 追及相遇问题1.分析思路可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.2.能否追上的判断方法物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到v A＝v B时，若x A＋x0＜x B，则能追上；若x A＋x0＝x B，则恰好不相撞；若x A＋x0＞x B，则不能追上.3.特别提醒若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动. 4.三种方法(1)临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.(2)函数法：设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇.(3)图象法.①若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇.②若用速度图象求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.例5甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶，甲车在前，速度为v1＝8 m/s，乙车在后，速度为v2＝16 m/s，当两车相距x0＝8 m时，甲车因故开始刹车，加速度大小为a1＝2 m/s2，为避免相撞，乙车立即开始刹车，则乙车的加速度至少为多大？答案 6 m/s2解析方法一：临界法设两车速度相同时均为v，所用时间为t，乙车的加速度大小为a2，则v1－a1t＝v2－a2t＝v，v1＋v2t＝v2＋v2t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s时，两车恰好未相撞，显然此后在停止运动前，甲的速度始终大于乙的速度，故可避免相撞.满足题意的条件为乙车的加速度至少为6 m/s2.方法二：函数法甲、乙运动的位移：x 甲＝v 1t －12a 1t 2，x 乙＝v 2t －12a 2t 2避免相撞的条件为x 乙－x 甲<x 0 即12(a 2－a 1)t 2＋(v 1－v 2)t ＋x 0>0 代入数据有(a 2－2)t 2－16t ＋16>0不等式成立的条件是：Δ＝162－4×16(a 2－2)<0，且a 2－2>0 解得a 2>6 m/s 2.变式4 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v －t 图象如图12所示.已知两车在t ＝3 s 时并排行驶，则( )图12A.在t ＝1 s 时，甲车在乙车后B.在t ＝0时，甲车在乙车前7.5 mC.两车另一次并排行驶的时刻是t ＝2 sD.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m 答案 BD解析 由题中v －t 图象得a 甲＝10 m/s 2，a 乙＝5 m/s 2，两车在t ＝3 s 时并排行驶，此时x 甲＝12a 甲t 2＝12×10×32 m ＝45 m ，x 乙＝v 0t ＋12a 乙t 2＝10×3 m ＋12×5×32 m ＝52.5 m ，所以t ＝0时甲车在前，距乙车的距离为L ＝x 乙－x 甲＝7.5 m ，B 项正确.t ＝1 s 时，x 甲′＝12a 甲t ′2＝5m ，x 乙′＝v 0t ′＋12a 乙t ′2＝12.5 m ，此时x 乙′＝x 甲′＋L ＝12.5 m ，所以另一次并排行驶的时刻为t ＝1 s ，故A 、C 项错误；两次并排行驶的位置沿公路方向相距L ′＝x 乙－x 乙′＝40 m ，故D 项正确.变式5 (2018·河北保定调研)在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动，它们的速度－时间图象如图13所示，则( )图13A.甲、乙两车同时从静止开始出发B.在t＝2 s时乙车追上甲车C.在t＝4 s时乙车追上甲车D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次答案 C1.(多选)(2017·河北唐山一中模拟)在足球比赛中，跑位技术相当重要.图1所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度－时间图象，则在这段时间内，该球员()图1A.运动方向不变B.运动的加速度方向不变C.先做加速运动后做减速运动D.运动的加速度先减小后增大答案AC解析因v－t图象中图线的斜率表示加速度.则由题图可知球员先做加速度减小的加速运动，后做加速度先增大后减小的减速运动，其运动方向不变，则A、C正确，B、D错误.2.(多选)(2017·山西五校四联)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，其速度－时间图象如图2所示.下列说法正确的是()图2A.乙车做曲线运动B.0～10 s内，乙车的位移大于甲车的位移C.t＝10 s时，两车可能相遇D.0～10 s内，必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同答案BCD解析因甲、乙两车在一平直公路上同向行驶，则甲、乙两车均做直线运动，因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则由题图可知乙车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，甲车做匀加速直线运动，且t＝0时a乙＞a甲，t＝10 s时a乙＜a甲，则0～10 s内必有某一时刻a乙＝a，A项错误，D项正确.因v－t图象中图线与t轴所围面积表示位移，则由题图可知0～10 s 甲内乙车位移大于甲车位移，因题中没明确甲、乙出发位置，则t＝10 s时两车可能相遇，B、C项正确.3.(2017·河北唐山一模)a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动，二者运动的v－t 图象如图3所示，下列说法正确的是()图3A.a、b两物体运动方向相反B.a物体的加速度小于b物体的加速度C.t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距D.t＝3 s时，a、b两物体相遇答案 C解析由题图可知a、b两物体的速度均为正值，则a、b两物体运动方向相同，A项错误.因v－t图象中图线的斜率表示加速度，则a的加速度大于b的加速度，B项错误.v－t图象中图线与坐标轴所围的面积表示位移，因为t＝1 s到t＝3 s，a图线和b图线与t轴所围的面积相等，即此时间段两物体位移相同，则t＝1 s时两物体的间距等于t＝3 s时两物体的间距，C项正确.由题图可知t＝3 s时，x b＞x a，又a和b同时、同地出发，同向运动，所以t＝3 s 时，b在a前方，D项错误.4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x －t 图象如图4所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点.则从图象可以看出( )图4A.t 2到t 3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度B.乙比甲先出发C.甲开始运动时，乙在甲前面x 0处D.甲在中途停了一会儿，最终也没追上乙 答案 AC解析 在t 2～t 3这段时间内，甲的位移大于乙的位移，由v ＝xt ，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A 项正确.由题图知乙和甲同时出发，且乙在甲前面x 0处，故B 项错误，C 项正确.在t 3时刻，甲追上了乙，D 项错误.5.(多选)一质点做直线运动的v －t 图象如图5所示，下列选项正确的是( )图5A.在2～4 s 内，质点所受合外力为零B.质点在0～2 s 内的加速度比4～6 s 内的加速度大C.在第4 s 末，质点离出发点最远D.在0～6 s 内，质点的平均速度为5 m/s 答案 AD解析 由题图可知，在2～4 s 内，质点做匀速直线运动，所以所受合外力为零，A 对.由题图可知，质点在0～2 s 内加速度大小为5 m/s 2，4～6 s 内加速度大小为10 m/s 2，B 错.由题图可知，在第5 s 末，质点离出发点最远，C 错.在0～6 s 内，质点的平均速度v ＝xt ＝5 m/s ，D 对.6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图象如图6所示，该图线的斜率为k ，图中阴影部分面积为S ，下列说法正确的是( )图6A.斜率k 表示速度变化的快慢B.斜率k 表示速度变化的大小C.面积S 表示t 1～t 2的过程中质点速度的变化量D.面积S 表示t 1～t 2的过程中质点的位移 答案 C7.图7是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图象(x －t 图象)，P (t 1，x 1)为图象上一点.PQ 为过P 点的切线，与x 轴交于点Q (0，x 2).下列说法正确的是( )图7A.t 1时刻，质点的速率为x 1t 1B.t 1时刻，质点的速率为x 1－x 2t 1C.质点的加速度大小为x 1－x 2t 21D.0～t 1时间内，质点的平均速度大小为2(x 1－x 2)t 1答案 B8.图象法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图8所示的两质点运动的位移—时间图象和速度—时间图象，下列分析结果正确的是( )图8A.由图甲可知，质点做曲线运动，且速度逐渐增大B.由图甲可知，质点在前10 s内的平均速度大小为4 m/sC.由图乙可知，质点在第4 s内的加速度方向与物体运动的方向相反D.由图乙可知，质点在运动过程中，加速度大小的最大值为15 m/s2答案 D9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图9所示，初始时，小张在小王前方x0处.下列说法正确的是()图9A.若x0＝18 m，两车相遇1次B.若x0＜18 m，两车相遇2次C.若x0＝36 m，两车相遇1次D.若x0＝54 m，两车相遇1次答案AB10.(2018·安徽马鞍山模拟)一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动，其速度v随时间t变化的规律如图10所示，在连续两段时间m和n内对应面积均为S，则经过b时刻的速度大小为()图10A.(m －n )S mnB.mn (m 2＋n 2)S m ＋nC.(m 2＋n 2)S (m ＋n )mnD.(m 2＋n 2)S mn答案 C解析 设物体的加速度大小为a ，m 时间内的初速度大小为v 1，末速度(即b 时刻的速度)大小为v 2，根据x ＝v 0t ＋12at 2，得：S ＝v 1m －12am 2① S ＝v 2n －12an 2② v 2＝v 1－am③①②③联立得：v 2＝(m 2＋n 2)S(m ＋n )mn，故选C.11.(2018·山东烟台质检)如图11甲所示，A 车原来临时停在一水平路面上，B 车在后面匀速向A 车靠近，A 车司机发现后启动A 车，以A 车司机发现B 车为计时起点(t ＝0)，A 、B 两车的v －t 图象如图乙所示.已知B 车在第1 s 内与A 车的距离缩短了x 1＝12 m.图11(1)求B 车运动的速度v B 和A 车的加速度a 的大小.(2)若A 、B 两车不会相撞，则A 车司机发现B 车时(t ＝0)两车的距离x 0应满足什么条件？ 答案 (1)12 m/s 3 m/s 2 (2)x 0>36 m解析 (1)在t 1＝1 s 时A 车刚启动，两车间缩短的距离x 1＝v B t 1 代入数据解得B 车的速度v B ＝12 m/s A 车的加速度a ＝v B t 2－t 1将t 2＝5 s 和其余数据代入解得A 车的加速度大小a ＝3 m/s 2。