数学建模数值计算方法总结
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2020/4/21
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 ? ( x )? ? ( x) ? {? 0( x),? 1( x),L ,? n ( x)}
使
? ( x) ? a 0? 0 ( x) ? a1? 1( x) ? L ? a n? n ( x)
其中 a1,a2, …an 为待定系数。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似， 由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
? 本专题的目的之一是：了解插值和拟合的基本内容及 方法；
2
2020/4/21
一、拟合问题
假设已获得某函数关系的 成批离散实验数据 或观 测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对 应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立 的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为 拟 合曲线或经验公式。
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定? ( x：)
φ=a1+a2x +
++
++
φ=a 1+a 2x+a 3x2 +
+
+ +
+
φ =a 1+a 2x+a 3 x2
++ +
+ +
φ =a 1+a 2/x +
+++ +
7
φ =ae bx
+
+
++ +
+ φ=ae-bx + + ++
8
2020/4/21
最小二乘法的求解：预备知识
当线性方程组的方程个数多于未知数的个数时， 方程组没有通常意义下的解，这类方程组称为超定方 程组或矛盾方程组。
设线性方程组为 Am? n x ? b
? ?
a11
x1
?
a12 x2
?L
a1n xn
?
b1
? ?
a
21
x1
?
a 22 x2 ? L
a2n xn
LLL
? 2a mk (a m1 x1 ? a m 2 x2 ? L amn xn ? bm ) ? 0
即
a1k (a11 x1 ? a12 x2 ? L a1n xn ) ? a1k b1
? a 2k (a 21 x1 ? a 22 x2 ? L a2n xn ) ? a 2k b2
LLL
? amk (am1 x1 ? am 2 x2 ? L a mn xn ) ? a mk bm ? 0
?L
a1n xn
?
b1 )2
i?1
? (a 21 x1 ? a 22 x2 ? L a 2n xn ? b2 )2
LLL
? (a m1 x1 ? a m 2 x2 ? L amn xn ? bm )2
?J ?xk
?
2a1k (a11 x1 ? a12 x2 ? L a1n xn ? b1 )
? 2a 2k (a21 x1 ? a22 x2 ? L a 2n xn ? b2 )
? i ? ? ( xi ) ? f ( xi ), i ? 1,2, L , m
按某种度量标准为最小 。
常用原则 ：残差平方和最小
m
m
? ? min ? 2 ? 2
?பைடு நூலகம்
2 i
?
[? ( xi ) ? yi ]2
i?0
i?0
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2020/4/21
线性最小二乘拟合函数的选取
? ( x) ? a0? 0( x) ? a1? 1( x) ? L ? an? n ( x) 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 ? (；x)
数学建模教程
拟 合与 插 值
1
2020/4/21
? 在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题： 给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
? 一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
? 另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
它不要求目标模型（即拟合曲线） 精确地过已知 的各离散点，只要求目标模型 符合已知离散点分布的 总体轮廓，并与已知离散点的误差 按某种意义 尽量地 小。
通常采用“误差的平方和最小”的原则，即 最小 二乘拟合问题。
3
2020/4/21
拟合问题引例1
已知热敏电阻数据： 温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R(? ) 765 826 873 942 1032
第二步: 确定a1,a2, …an 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=φ(x) 的距离?i 的平方和最小 。
记
m
m
? ? J (a 1 , a 2 ,L a n ) ?
?
2 i
?
[? ( xi ) ? yi ]2
i?1
i?1
问题归结为，求 a1,a2, …an 使 J(a 1,a2, …an) 最小。
?
b2
?
? ?
am1
x1
?
am2x2 ? L
amn xn
?
bm
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m
? 若能找到一组向量 x* ? ( x1* , x*2 ,L , x*n )T 使得
?
2 i
i?0
最小，其中
n
? ? i ? aij x j ? bi j?1
i ? 1,2, L , m
则称 x*为该超定方程组的最小二乘解。
? ? ? 令
J ( x1 , x2 ,L
, xn ) ?
m
?
2 i
?
m?n
?2
? aij x j ? bi ?
i?1
? i ? 1 j ? 1
?
求其最小值。 由多元函数取极值的必要条件有
?J ? 0 ?xk
k ? 1,2, L , n
10
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m
? J ?
?
2 i
?
(a11 x1
?
a12 x2
求600C时的电阻R。
1100
1000
设 R=at+b
900
a,b 为待定系数
800
700
20
40
60
80
100
4
2020/4/21
拟合问题引例2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0 注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (? g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
c (t ) ? c0 e ? kt
1
10
c0 , k为待定系数
0
10
0
2
4
6
8
5
2020/4/21
曲线拟合问题的提法
已知一组观测数据： ( xi , yi ) i ? 1,2, L , m 要求在某特定函数类 ? ( x) 中寻找一个函数 ? ( x)作为 y ? f ( x) 的近似函数，使得二者在节点产生的残差
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 ? ( x )? ? ( x) ? {? 0( x),? 1( x),L ,? n ( x)}
使
? ( x) ? a 0? 0 ( x) ? a1? 1( x) ? L ? a n? n ( x)
其中 a1,a2, …an 为待定系数。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似， 由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
? 本专题的目的之一是：了解插值和拟合的基本内容及 方法；
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一、拟合问题
假设已获得某函数关系的 成批离散实验数据 或观 测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对 应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立 的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为 拟 合曲线或经验公式。
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定? ( x：)
φ=a1+a2x +
++
++
φ=a 1+a 2x+a 3x2 +
+
+ +
+
φ =a 1+a 2x+a 3 x2
++ +
+ +
φ =a 1+a 2/x +
+++ +
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φ =ae bx
+
+
++ +
+ φ=ae-bx + + ++
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最小二乘法的求解：预备知识
当线性方程组的方程个数多于未知数的个数时， 方程组没有通常意义下的解，这类方程组称为超定方 程组或矛盾方程组。
设线性方程组为 Am? n x ? b
? ?
a11
x1
?
a12 x2
?L
a1n xn
?
b1
? ?
a
21
x1
?
a 22 x2 ? L
a2n xn
LLL
? 2a mk (a m1 x1 ? a m 2 x2 ? L amn xn ? bm ) ? 0
即
a1k (a11 x1 ? a12 x2 ? L a1n xn ) ? a1k b1
? a 2k (a 21 x1 ? a 22 x2 ? L a2n xn ) ? a 2k b2
LLL
? amk (am1 x1 ? am 2 x2 ? L a mn xn ) ? a mk bm ? 0
?L
a1n xn
?
b1 )2
i?1
? (a 21 x1 ? a 22 x2 ? L a 2n xn ? b2 )2
LLL
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?J ?xk
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2a1k (a11 x1 ? a12 x2 ? L a1n xn ? b1 )
? 2a 2k (a21 x1 ? a22 x2 ? L a 2n xn ? b2 )
? i ? ? ( xi ) ? f ( xi ), i ? 1,2, L , m
按某种度量标准为最小 。
常用原则 ：残差平方和最小
m
m
? ? min ? 2 ? 2
?பைடு நூலகம்
2 i
?
[? ( xi ) ? yi ]2
i?0
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2020/4/21
线性最小二乘拟合函数的选取
? ( x) ? a0? 0( x) ? a1? 1( x) ? L ? an? n ( x) 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 ? (；x)
数学建模教程
拟 合与 插 值
1
2020/4/21
? 在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题： 给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
? 一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
? 另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
它不要求目标模型（即拟合曲线） 精确地过已知 的各离散点，只要求目标模型 符合已知离散点分布的 总体轮廓，并与已知离散点的误差 按某种意义 尽量地 小。
通常采用“误差的平方和最小”的原则，即 最小 二乘拟合问题。
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2020/4/21
拟合问题引例1
已知热敏电阻数据： 温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R(? ) 765 826 873 942 1032
第二步: 确定a1,a2, …an 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=φ(x) 的距离?i 的平方和最小 。
记
m
m
? ? J (a 1 , a 2 ,L a n ) ?
?
2 i
?
[? ( xi ) ? yi ]2
i?1
i?1
问题归结为，求 a1,a2, …an 使 J(a 1,a2, …an) 最小。
?
b2
?
? ?
am1
x1
?
am2x2 ? L
amn xn
?
bm
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m
? 若能找到一组向量 x* ? ( x1* , x*2 ,L , x*n )T 使得
?
2 i
i?0
最小，其中
n
? ? i ? aij x j ? bi j?1
i ? 1,2, L , m
则称 x*为该超定方程组的最小二乘解。
? ? ? 令
J ( x1 , x2 ,L
, xn ) ?
m
?
2 i
?
m?n
?2
? aij x j ? bi ?
i?1
? i ? 1 j ? 1
?
求其最小值。 由多元函数取极值的必要条件有
?J ? 0 ?xk
k ? 1,2, L , n
10
2020/4/21
m
? J ?
?
2 i
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(a11 x1
?
a12 x2
求600C时的电阻R。
1100
1000
设 R=at+b
900
a,b 为待定系数
800
700
20
40
60
80
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拟合问题引例2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0 注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (? g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
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c (t ) ? c0 e ? kt
1
10
c0 , k为待定系数
0
10
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曲线拟合问题的提法
已知一组观测数据： ( xi , yi ) i ? 1,2, L , m 要求在某特定函数类 ? ( x) 中寻找一个函数 ? ( x)作为 y ? f ( x) 的近似函数，使得二者在节点产生的残差