简单的三角恒等变换PPT教学课件
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第四章§4.3第2课时 简单的三角恒等变换课件(共张86PPT)
1－－232＝
5 3.
2.(2020·江苏改编)已知 sin2π4＋α＝23，则 sin 2α 的值是
√ A.－13
1 B.3
C.－23
2 Dห้องสมุดไป่ตู้3
解析 ∵sin2π4＋α＝23， ∴1－cos2π2＋2α＝23， 即1＋s2in 2α＝23，
∴sin 2α＝13.
3.(2019·全国Ⅱ)已知 α∈0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则 sin α 等于
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝1t－antaαn－αβ－＋βttaannββ＝1＋12－12×71 71＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2，
∴tan(2α－β)＝1t＋ant2aαn－2αttaannββ＝1－34＋34×71 71＝1. ∵tan β＝－17<0， ∴π2<β<π，－π<2α－β<0，
思维升华
(1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻 找转化方法. (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角.
跟踪训练 1 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于
6 A. 2
√ 3
5
B.2
C.4
D.1＋
3 4
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54.
2·1ta－n2tαa＋n2α1＋
2 2
＝ 22×9＋6 1＋ 2×11－＋99＋ 22＝0.
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单的三角恒等变换课件
解：如图所示，连接 AP，设∠PAB＝ θ0≤θ≤π2， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝ 10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
类型 4 三角恒等变换的实际应用
[典例 4] 如图所示，ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上，相邻两边 CQ，CR 正好落在正方形的边 BC，CD 上，求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值．
4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等 式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以 判定原等式成立．
类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ＝4cos
ωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性．
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 答案：(1)C (2)－2sin 4
归纳升华 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于 二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法．
t2－1 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则 sin θcos θ＝ 2 ，
第1课时 简单的三角恒等变换 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版(2019)必修第一册
（2）cos α·sin β = [sin(α + β) – sin(α – β)]；
1
2
2
θ+φ
（3）cos α·cos β = [cos(α + β) + cos(α – β)]； （3）cos θ + cos φ = 2cos
1
2
（4）sin α·sin β = – [cos(α + β) – cos(α – β)].
，tan =±
2
2
2
2
1+ cos α
α
2
思考：若 = β，你能表示出 sin β ，cos β ，tan β 的半角公式吗？
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
降幂与升幂公式
降幂公式
半角公式：
sin2β
1− cos 2β
1+ cos 2β
1− cos 2β
2
2
=
，cos β =
，tan β =
2
2
1+ cos 2β
θ+φ θ–φ
cos
.
思考：结合上述证明，你还能发现其他类似的式子吗？
2
2
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
积化和差与和差化积公式
积化和差
和差化积
θ+φ
1
2
（1）sin θ + sin φ = 2sin
1
2
（2）sin θ – sin φ = 2cos
（1）sin α·cos β = [sin(α + β) + sin(α – β)]；
2
5.5.2 简单的三角恒等变换课件ppt
,
π
∴4sin θ-4cos θ=20 .
∴ ×
1
1+cos2
4
2
− ×
3
1-ta n 2
5
1+ta n 2
即 cos 2θ=- =
11
sincos 6 − cossin 6 =20 ,
11
2
π
=
11
20
.
.∴tan θ=±2.
要点笔记 1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求
1
1+cos4
2
2
= sin 4x+
2
=2
=
2
2
2
2
sin4cos
(3)y=sin
= 3
3
2
2
+
π
3
1
1
2
2
2
= sin 4x+ cos 4x+
2
sin4 +
1
2
π
4
1
cos4 + 2
+ cos4sin
π
4
1
2
+ = sin 4 +
2
2
π
4
+ .
2
π
π
2
2
3
2
3
2
= 3sin
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对
标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
《简单的三角恒等变换》人教版数学高一年级下册PPT课件
(2)将(1)中得到的式子利用 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋φ)化为 f(x)＝ Asin(ωx＋φ)＋m 的形式．
应用半角公式求值时错用公式
典例 4 设 3π<α<4π，cos2α＝m，那么 cos4α等于(
)
m＋1
A．
2
B．－
m＋1
2
C．－
1－m
2
1－m
D．
2
[错解] 选 A 或选 C
3 ∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－5.
∵54π<2θ<32π，
∴sin2θ＝－ cos2θ＝－
1－cosθ 2 5 2 ＝－ 5 ，
1＋cosθ 2 ＝－
55，ta n 2θ＝csoins2θ2θ＝2.
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 已知 θ 的某个三角函数值，求2θ的三角函数值的步骤是：(1) 利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算 即可．
1 cosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
1 sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
第三章 三角恒等变换
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
x＋y x－y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ，
x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ，
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用
sin2
α＝ 2
1－cosα 2
和
cos2α＝1＋cosα. 22
第三章 三角恒等变换
[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
1 sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
应用半角公式求值时错用公式
典例 4 设 3π<α<4π，cos2α＝m，那么 cos4α等于(
)
m＋1
A．
2
B．－
m＋1
2
C．－
1－m
2
1－m
D．
2
[错解] 选 A 或选 C
3 ∴cosθ＝－ 1－sin2θ＝－5.
∵54π<2θ<32π，
∴sin2θ＝－ cos2θ＝－
1－cosθ 2 5 2 ＝－ 5 ，
1＋cosθ 2 ＝－
55，ta n 2θ＝csoins2θ2θ＝2.
第三章 三角恒等变换
『规律总结』 已知 θ 的某个三角函数值，求2θ的三角函数值的步骤是：(1) 利用同角三角函数基本关系式求得 θ 的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算 即可．
1 cosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
1 sinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
第三章 三角恒等变换
(2)和差化积公式(不要求记忆和应用)
x＋y x－y sinx＋siny＝2sin 2 cos 2 ，
x＋y x－y sinx－siny＝2cos 2 sin 2 ，
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用
sin2
α＝ 2
1－cosα 2
和
cos2α＝1＋cosα. 22
第三章 三角恒等变换
[拓展](1)积化和差公式(不要求记忆和应用)
1 sinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
简单的三角恒等变换PPT教学课件
a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2
简单的三角恒等变换课件
2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．
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＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)
＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.
解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°
＝sin20°cos22s0i°nc2o0s°40°cos80°＝sin40°4csoisn4200°°cos80°
＝sin88s0i°nc2o0s°80°＝1s6insi1n6200°°＝116.
[答案]
－2 5 5
－
5 5
2
[解析] ∵|cosθ|＝35，52π<θ<3π，
∴cosθ＝－35，54π<θ2<32π.
∵cosθ＝1－2sin22θ，
∴sinθ2＝－ 1－2cosθ＝－
1＋2 35＝－2
5
5 .
又 cosθ＝2θcos2θ2－1，有 cosθ2＝－ ∴tanθ2＝ sin2θ＝2.
＝sin32x·cos2x3－x cosx32x·sin2x＝sin332xx－2xx
cos 2 cos2
cos 2 cos2
＝coss32ixncxos2x＝cosx2＋sincxos2x.
求证：1c＋osc2ox＋ s2(cxo＋s2yy)＝ccooss((xx－＋yy)). [证明] 左边＝2cos2(xc＋osy2()xc＋os(yx)－y) ＝ccooss((xx－ ＋yy))＝右边.
原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)
＝3a2＋b2
＝34cos220°＋34sin220°＝34.
• [点评] 解法一：通过对该题中两个角的 特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化 和差公式．当然运用降次、和积互化也是 一般方法．
• 解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构 造对偶式，组成方程组，解法简明．
值为________．
[答案]
12 13
[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加
减产生过 cos(α±β)，但 sin(α＋β)的展开式为异名积，因此
不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公
式变形，再相除可得 tanα＋2 β的值，进而可求 sin(α＋β)的
值．
[解析] ∵cosα－cosβ＝12， ∴－2sinα＋2 βsinα－2 β＝12.① ∵sinα－sinβ＝－13， ∴2cosα＋2 βsinα－2 β＝－13.②
• 解法五：运用代数中方程的方法，将三角 问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一 格，体现了数学的内在美．
• 在此基础上，通过分析三角函数式中的角 度数之间的特定关系，作推广创新．
求值：sin220°＋cos280°＋ 3sin20°cos80°＝________.
[答案]
1 4
[解析] 令 x＝sin220°＋cos280°＋ 3sin20°cos80° y＝cos220°＋sin280°＋ 3cos20°sin80°， 则 x＋y＝2＋ 3sin100°，
(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30°
＝2×
22×12＝
2 2.
解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15°
＝
2cos15°×
22－sin15°×
2 2
＝
2cos(15°＋45°)＝
2cos60°＝
2×12＝
2 2.
已知 cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，则 sin(α＋β)的
• ∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π － (A ＋ B)] ＝ 2sin(A ＋ B)[cos(A － B) － cos(A ＋B)]
在△ABC 中，求证： cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinA2 sinB2 sinC2 .
[证明] ∵A＋B＝π－C， ∴cosA＋2 B＝sinC2，cos(A＋B)＝－cosC， 左边＝2cosA＋2 BcosA－2 B－cos(A＋B) ＝2cosA＋2 B(cosA－2 B－cosA＋2 B)＋1 ＝1＋2sinC2 ·(－2)·sinA2 ·sin(－B2 ) ＝1＋4sinA2 sinB2 sinC2 ＝右边．
＝sin332xx－2xx＝sin32xcos2x3－x cosx32xsin2x
cos 2 cos2
cos 2 cos2
3x x ＝ sin 32x－ sin2x＝tan32x－tan2x.
cos 2 cos2
3x x 解法二：tan32x－tan2x＝ sin 32x－ sin2x
cos 2 cos2
• ②运用公式之后，能否进行提取公因式， 能否约分，能否合并或消项；
• ③运用公式之后，能否使三角函数式结构 更加简单，各种关系更加明显，从而为下 一步选用公式进行变换创造条件．
• (4)在应用和差化积公式时，必须是一次同 名三角函数方可施行，若是异名，必须用 诱导公式化为同名，若是高次函数，必须 用降幂公式降为一次．
cosα2＝－ 1＋2cosα＝－255； tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－12； 当 k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sinα2＝－ 1－2cosα＝－ 55， cosα2＝ 1＋2cosα＝255， tanα2＝－ 11－＋ccoossαα＝－12.
已知|cosθ|＝35，且52π<θ<3π，则 sinθ2＝________，cosθ2 ＝________，tanθ2＝________.
• [ 例 6] 求 sin210° ＋ cos240° ＋ sin10°cos40°的值．
• [分析] 从不同的观察角度入手，可产生 不同的解题思路．
• ①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°， 这样整个式子中只含10°角的正余弦，便 于化简有解法一．
• ②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构 造对偶式，这样两式相加减都容易化简， 有解法二．
∴原式＝tanθ2＋
1 θ
tan2
θθ
＝ sin2θ＋cosθ2＝
1 θ
θ＝si2nθ .
cos2 sin2 cos2sin2
解法二：原式＝22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＋
22csoins22θ2θ2＋＋22ssiinnθ2θ2ccoossθ2θ2＝csoinsθ2θ2＋csoinsθ2θ2
＝
1 θ
θ＝si2nθ.
cos2sin2
解法三：原式＝(1(＋1＋sinsθin－θ＋cocsoθs)2θ＋)(1(＋1＋sisniθn－θ＋cocosθs)θ)2 ＝2((11＋ ＋ssiinnθθ))22＋ －2cocos2sθ2θ＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2θ＝si2nθ.
已知32π<θ<2π，化简 1＋sinθ－ 1－sinθ＝______. [解析] 原式＝|sinθ2＋cosθ2|－|sinθ2－cosθ2|， ∵32π<θ<2π，∴34π<θ2<π， 从而 sinθ2＋cosθ2<0，sinθ2－cos2θ>0， 则原式＝－(sinθ2＋cosθ2)－(sinθ2－cosθ2) ＝－2sinθ2.
• [例5] 设A、B、C是△ABC的三个内角， 求 证 ： sin2A ＋ sin2B ＋ sin2C ＝ 4sinAsinBsinC.
• [分析] 左和右积，故考虑和差化积，然 后利用A＋B＝π－C转化．
• [证明] ∵A＋B＋C＝π，
• ∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．
• 对于三角函数的和差化积，有时因使用公 式不同或选择解题的思路不同，化积结果 可能不一致．
• 引入辅助角公式也是一种化积公式，在解 题中有广泛应用．
[例 1] 化简：11＋ ＋ssiinnθθ－ ＋ccoossθθ＋11＋ ＋ssiinnθθ＋ －ccoossθθ. [解析] 解法一：∵tanθ2＝1－sincoθsθ ＝1＋sincoθsθ＝11＋＋ssiinnθθ＋－ccoossθθ， ∴ta1nθ2＝11＋＋ssiinnθθ＋－ccoossθθ
• ④从a2＋b2＋ab入手考虑完全平方式(a＋b)2， 化[同解析名]，解和法差一：化因积为可40产°＝生30°特＋殊10°角，于，是故有解 法原四式．＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)
＝sin210°＋ 23cos10°－12sin10°2＋sin10°
cos2
1＋2cosθ＝－
5 5.
• [例3] 化简求值
• •
((12))[求求解ssi析inn71]50°°(1－·) s解sinin法3105一°°：·的s原in值5式0．°＝ －·s14in(7co0s°60°的－值；
cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°
解法三：原式＝1－c2os20°＋1＋c2os80°＋12(sin50°－ sin30°)
＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14 ＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.
解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40° ＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40° ＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°) ＝1＋c2os40°－12cos40°＋14＝34.
• (2)和差化积公式
• 正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、 余减反正弦．
• (3)积化和差公式
• 正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和， 正积反余差．
• 注：“反”即添负号换名称．
• 2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的 内在联系：
3．注意下列问题 (1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号 前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．