直线与圆的极坐标方程

直线与圆的极坐标方程

一、教学目标

(一)知识教学点

理解曲线的极坐标方程概念，掌握直线与圆的极坐标方程．

(二)能力训练点

会根据条件求直线与圆的极坐标方程，能利用极坐标方程进行有关计算．

二、教材分析

1．重点：曲线的极坐标方程的概念，根据条件求直线与圆的极坐标方程．2．难点：直线与圆的一般极坐标方程及其反用．

3．疑点：极坐标的多值性ρ≥0的规定对极坐标方程的要求．

讨论．

四、教学过程

(一)复习

前面刚复习过曲线的方程概念，井学习了曲线的参数方程概念，请大家类比上述两个概念，先讨论再整理出曲线的极坐标方程的定义．

学生1答：

如果曲线C上的点与方程φ(ρ，θ)有如下关系：

(1)曲线C上任一点的(所有坐标中至少有一个)坐标符合方程φ(ρ，θ)=0；

(2)方程φ(ρ，θ)=0的所有解为坐标的点都在曲线C上，则曲线C的方程是中φ(ρ，θ)=0．

(学生一般会漏掉(1)中括号部分．)

请看下例：

曲线C：点P(π，π)，

π(ρ，θ)=0；ρ=θ(θ=π)．

验证：(1)C上仅一点，但C上点的坐标(π，2kπ+π)、(-π，2kπ)不一定都符合φ(ρ，θ)=0．但点C的其中一个坐标(π，π)满足方程，所以应加上“所有坐标中至少有一个”的限定，否则是不正确的．这是因为极坐标系中一点对无穷多坐标的缘故．

(2)方程ρ=θ(θ=π)仅有一解，以其为坐标的点在曲线C上，无需考虑其它附加条件，这也是因为极坐标系中一坐标对一点的缘故．

与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是列出曲线上动点P的坐标(ρ，θ)之间的方程φ(ρ，θ)=0，然后化简并讨论．

(二)直线的极坐标方程

例1 求下列直线的极坐标方程：

学生2回答(1)、(2)小题结果．

学生3板演(3)、(4)小题．

(3)ρcos(θ-α)=p．

直接解Rt△OHP．

(4)方法1解Rt△

ρcos(θ-π)=1，即ρcosθ=-1．

方法2用(3)的结果

此时，ρ=1，α=π，代入得ρcosθ=-1．

其中，(3)小题可看作直线极坐标方程的一般形式，要熟练掌握，做到会由几何条件|or|=P、∠xOH=θ等列极坐标方程，反过来，会由方程ρcos(θ-a)=p，(p≥0)画出直线．

(三)圆的极坐标方程

例2 求下列圆的极坐标方程：

(1)中心在极点，半径为2；

(2)中心在C(a，o)，半径为a；

(4)中心在C(p0，θ0)，半径为r．

请生思考(1)、(2)、(3)小题．

学生4回答(1)、(2)、(3)小题结果．

解：(1)ρ=2；

(2)ρ=2acosθ；

(3)ρ=2asinθ．

学生5板演解答(4)小题．

(4)△OPC中

r2=ρ2+ρ02-2ρρ0cos(θ-θ0)．

这就是圆的极坐标方程的一般形式，(1)、(2)、(3)小题是它的特例，要熟练掌握，也就是会由圆心和半径写出圆的极坐标方程，反过来，会把圆的极坐标方程变成一般式后，从中确定圆心和半径．

(四)初步应用

例3 填空：

即ρ2-4ρsinθ+3=0．

即直线与圆相切．

(五)小结

(1)曲线的极坐标方程概念；

(2)求曲线极坐标方程；

(3)直线极坐标方程的一般式；

(4)圆的极坐标方程一般式．

五、布置作业

1．教材第137页，第3、4、5、6题．

2．填空：

提示：根据△OAB、△OPB、△OPA之间的关系列出ρ与θ之间的关系．

(4)已知A(ρ0，θ0)，ρ0≠0，0是极点，则OA的垂直平分线方程是(2ρcos(θ-θ0)=ρ0)．

3．射线OA、OB与Ox轴夹角均为45°，M、N分别在OA、OB上滑动，S△OMN=1：

(1)求MN中点P的轨迹方程；

(2)求|OP|的最小值．

解：(1)设P(ρ，θ)，由S△OMN=S△OPM+S△OPN可得

∴θ=0时，ρmin=1．