青岛版-数学-九年级上册-一元二次方程四种常见题型

一元二次方程四种常见题型

一元二次方程在初中代数中占有重要的地位，是进一步学好其它知识的基础，也是各类考试中必考内容之一，常见题型有如下四类：

一、 一元二次方程的有关概念

知识要点：1．一元二次方程满足的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）系数不能为0．2．一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

典例分析：

例1下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ）

A ．)1(2)1(32+=+x x

B ．02112=-+x x

C ．02=++c bx ax

D ．1222-=+x x x

分析：根据一元二次方程需满足的条件可知，Ｂ中的未知数在分母中，是分式方程；Ｃ中二次项系数a 有可能为０；Ｄ整理后最高次项是一次，都不是一元二次方程，故选Ａ．

例2关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是为0，则a 的值为（ ）

A ．1

B ．–1

C ．1或–1

D ． 2

1 分析：由方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变为关于a 的一元二次方程．

解：.把0x =代入原方程中，得012=-a ，∴1a =±，∵10a -≠，即1a ≠，∴1a =-故应选B ．

评注：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，有时需要将其化简后再判断，如例1中的D ；（2）在求一元二次方程中的参数时，不要忽视二次项系数不等于0这一内含条件，如例2中10a -≠．

二、 一元二次方程的解法

知识要点：一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、

公式法，其中公式法是解一元二次方程的“万能”方法．

典例分析：

例3解方程0999162=--x x ．

分析：观察方程的特点：其常数项“–9991”是一个绝对值很大的数，若用公式法求解，其计算量比较大，注意到二次项的系数为1，一次项的系数是偶数，所以用配方法求解则十分简单．

解：移项，得999162=-x x ，配方得99991962+=+-x x ，

即10000)3(2=-x ，所以1003±=-x ，所以1031=x ，972-=x ．

评注： (1)一元二次方程的四种解法各有特点，解方程时应根据方程的特点依次选择：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法；（2）应用求根公式解一元二次方程时应注意要化方程为一元二次方程的一般形式再确定a 、b 、c 的值；（3）解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握．

三、列一元二次方程解决实际问题

1．列一元二次方程解应用问题的一般步骤可归纳为：审、设、列、解、检验、答．

2．常见题型：（1）面积问题；（2）平均增长率问题；（3）销售利润问题；

（4）其它问题．

例4商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：

（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）

分析：（1）根据所调查的市场信息分析；（2）利用“每件利润×件数=总利润”相等关系列方程.此题体现了数学与市场的关系.

解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出170-130=40元，则每天可销售商品70-40=30件，商场可获日盈利为（170-120）×30=1500

（元）．

（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出（x-130）元，每件可盈利（x-120）元，每日销售商品为70-（x-130）=200-x （件）.

依题意得（200-x ）（x-120）=1600,解得x=160．

答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元．

例5某校办工厂今年元月份生产课桌椅1000套，二月份因春节放假减产10%，三月份、四月份产量逐月上升，四月份产量达到1296套，求三、四月份产量的平均增长率．

分析：本题属于增长率问题，只要把二月份的产量表示出来，根据题意很容易列出方程．

解：设三、四月份产量的平均增长率为x ，依题意，得

1296)1%)(101(10002=+-x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （舍）

答：三、四月份产量的平均增长率为20%．

评注：解决实际问题的关键是认真审题，分析数量之间的关系，建立适当的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，如增长(降低)率问题中,增长(降低)前的量为a, 增长(降低)率为x, 增长(降低)后的量为b,则a 、x 、b 关系为2(1)a x b ±=．还要注意有的问题中需要根据实际情况舍去不合题意的解．

四、一元二次方程的综合应用

一元二次方程通过与不等式、统计、几何等知识相整合解决实际问题，这样的应用题背景更丰富、更贴近生活实际.

例4:下表是我国近几年的进口额与出口额数据（近似值）统计表

（1）下图是描述这两组数据折线图，请你将进口额折线图补充完整；

（2）计算2000年到2002年出口额年平均增长率．15.132.1≈

（3）观察折线图，你还能得到什么信息，写出两条。

分析：本题要从图表中获取相关信息，再利用一元二次方程求解．

解:（1）略.

（2）设2000年至2002年出口额年平均增长率为x ，据题意可得

3300)1(25002=+x ，化简得，32.1)1(2=+x ，解得)(25.2,15.021舍-≈≈x x ， 所以2000年至2002年出口额年平均增长率为15％．

(3)答案举例:①出口额不断增长；②进口额不断增长；③从1990年开始,出口额大于进口额；④1998年至2000年进口额增长幅度大于出口额增长幅度.

评注：本题是以统计图表为知识背景,结合一元二次方程解决生活中的实际问题.