青岛版-数学-九年级上册-一元二次方程四种常见题型
青岛版九年级上册数学第4章 一元二次方程 含答案
青岛版九年级上册数学第4章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、设x1， x2是关于x的一元二次方程x2+x+n-2=mx的两个实数根，且x1＜0，x2-3x1＜0，则( )A. B. C. D.2、已知α是一元二次方程-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A.0＜α＜1B.1＜α＜1.5C.1.5＜α＜2D.2＜α＜33、方程（x﹣1）2=4的解是（）A.3，﹣1B.5，﹣3C.3，1D.﹣5，34、一元二次方程的两根为、，则的值是（）A. B. C. D.5、某专业养殖户第一年养鸡320只，计划第三年养鸡1 500只，则平均年增长率约为（）A.65%B.100%C.116.5%D.95%6、下列一元二次方程中，常数项为0的是（）A.x 2+x=1B.2x 2﹣x﹣12=0C.2（x 2﹣1）=3（x﹣1）D.2（x 2+1）=x+27、已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．下列说法正确的是（）A.方程总有两个不相等的实数根B.方程总有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.方程根的情况无法判断8、下列方程中，是一元二次方程的为（）A. B. C. D.9、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A.﹣10B.10C.﹣6D.﹣110、某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A.10%B.20%C.30%D.40%11、若关于x的一元二次方程（k－1）x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k＞且k≠1B.k＞C.k≥且k≠1D.k＜12、受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（）A.300(1－x) 2＝260B.300(1－x 2)＝260C.300(1－2x)＝260 D.300(1＋x) 2＝26013、关于x的方程的两根为2与，则二次三项式可分解为（）A. B. C. D.14、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（）A.9.5%B.20%C.10%D.11%15、已知关于x的方程2x2﹣6x+m=0的两个根互为倒数，则m的值为（）A. B.- C.2 D.-2二、填空题(共10题，共计30分)16、对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：，如.那么________.17、若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则的值是________.18、若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是________.19、若 m、n 是方程 x2+2018x﹣1=0 的两个根，则 m2n+mn2﹣mn=________.20、对于任意实数、，定义：◆= .若方程的两根记为、，则m2+mn+n2=________.21、若关于x的一元二次方程没有实数解，则关于x的不等式的的解集为________.（用含的式子表示）22、一元二次方程的解为________.23、关于x的一元二次方程（2﹣a）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最小值是________.24、若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个正确一元二次方程________．25、已知关于x的一元二次方程x2+px﹣6=0的一个根为2，则p=________，另一根是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：x2﹣2x﹣1=0．27、解方程：3x（2x+1）=2（2x+1）28、已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0的两实数根x1， x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．29、（1）解方程：x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0．（2）已知抛物线y=﹣2x2+8x﹣6，请用配方法把它化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．30、如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2﹣3x+2=0的解的概率．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、A4、C5、C6、D7、A8、A9、A10、B11、A12、A13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、。
青岛版-数学-九年级上册-点击中考中一元二次方程的应用
点击中考中一元二次方程的应用构造一元二次方程模型解决实际问题是中考的热点之一，下面以2004年部分中考试题为例加以说明．一、市场经营问题例1、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加了10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率．解：设3月份至5月份营业额的平均月增长率为x ．由题意，得2400(110)(1)633.6x ++=％，整理，得()21 1.44x +=，解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）．所以，3月份到5月份营业额的平均月增长率为20％．二、农业税问题例2、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税，某乡今年人均上缴农业税25万，若两年后人均上缴农业税为16万，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16 000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？ 解：（1）设降低的百分率为x ，由题意，得225(1)16x -=，解得120.220 1.8x x ===％，（不合题意，舍去）． （2）小红家减少的农业税额为2520420⨯⨯=％（元）．（3）全乡减少的农业税额为25201600080000⨯⨯=％ （元）．三、环保问题例3、据某城市的统计资料显示，到2003年末该城市堆积的垃圾已达50万吨，不但侵占了大量土地，而且已成为一个重要的污染源，从2004年起，该城市采取有力措施严格控制垃圾的产生量，但根据预测，每年仍将产生3万吨的新垃圾，垃圾处理已成为该城市建设中的一个重要问题．（1）若2000年末该城市堆积的垃圾为30万吨，则2001年初至2003年末产生的垃圾总量为 万吨．已知2001年产生的垃圾量为5万吨，求从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率是多少？（参考数据：5 2.23613 3.606≈，≈；结果保留两个有效数字）（2）若2004年初，该城市新建的垃圾处理厂投入运行，打算到2008年底前把所堆积的新、旧垃圾全部处理完，则该厂平均每年至少需处理垃圾多少万吨？解：（1）由题意，得503020-=（万吨）．设从2001年初至2003年末产生的垃圾量的年平均增长率为x ．由题意，得 255(1)5(1)5030x x ++++=-，解这个方程，得12313313x x -+--==，（不合题意，舍去），即31330x -+=≈％． （2）5035135+⨯=（万吨）． 四、几何问题例4、如图，正方形ABCD 的边长为12，划分成1212⨯个小正方形格．将边长为n （n 为整数，且211n ≤≤）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张n n ⨯的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n n ⨯个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(1)(1)n n -⨯-的正方形．如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止．请你认真观察思考后，回答下列问题：（1）由于正方形纸片边长n 的取值不同，完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n 使用的纸片张数（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为1S ，未被A BC D盖住的面积为2S ．①当2n =时，求12:S S 的值； ②是否存在使得12S S =的n 值，若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．解：（1）依次为：11，10，9，8，7．（2）22221(12)(1)2512S n n n n n n ⎡⎤=+---=-+-⎣⎦． ①当2n =时，21222521234121224110S S =-+⨯-==⨯-=，， 所以12:34:11017:55S S ==．②若12S S =时，则有2212512122n n -+-=⨯，即225840n n -+=，解之，得12421n n ==，（舍去）．所以当4n =时，12S S =，即这样的n 值是存在的．。
一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
青岛版九年级上册数学第4章 一元二次方程含答案
青岛版九年级上册数学第4章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、关于的一元二次方程（x-3）（x-2）=p2的根的情况是（）A.方程没有实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.无法判断2、方程x（x＋2）＝x＋2的两根分别为（）A.x1＝－1，x2＝2 B.x1＝1，x2＝2 C.x1＝－1，x2＝－2 D.x1＝1，x2＝－23、若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是( )A.﹣1B.0C.1D.24、设x1， x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.19B.25C.31D.305、方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.2，－3，1B.2，3，－1C.2，3，1D.2，－3，－16、设a、b是方程的两个实数根，则的值为（）A. B.2018 C.2020 D.20227、若关于x的一元二次方程kx2-x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( )A.k≤12B.k≤C.k≤12且k≠0D.k≤ 且k≠08、已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6=0的两个根，则代数式x1•x2﹣x1﹣x2的值是（）A.11B.-1C.-11D.19、在数轴上用点B表示实数b．若关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则（）A. B. C. D.10、方程=的解是( )A.x=1B.x=0C.x1= 1或x2=0 D.x1=1或x2=011、定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A.a=cB.a=bC.b=cD.a=b=c12、在下列方程中，一元二次方程是（）A. B. C. D.13、用配方法解3x2﹣6x＝6配方得（）A.（x﹣1）2＝3B.（x﹣2）2＝3C.（x﹣3）2＝3D.（x﹣4）2＝314、若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣1，则另一个根是（）A.1B.0C.2D.﹣215、方程（x﹣1）（x+2）＝0的两根分别为（）A.x1＝﹣1，x2＝2 B.x1＝1，x2＝2C.x1＝﹣1，x2＝﹣2 D.x1＝1，x2＝﹣2二、填空题(共10题，共计30分)16、我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为________．17、将方程2x2﹣3x+1=0化为（x+m）2=n的形式________．18、设a，b是方程的两个实数根，则的值为________.19、设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.20、若方程x2﹣12x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为________．21、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是________。
【汇总】青岛版九年级上册数学第4章 一元二次方程含答案
青岛版九年级上册数学第4章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列事件是必然事件的是( )A.抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B.打开电视频道，正在播放《今日在线》C.射击运动员射击一次，命中十环D.方程x²-x=0必有实数根2、下列命题：①若a+b+c=0，则b2-4ac＜0；②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b2-4ac＞0，则二次函数y=ax2+bc+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3；④若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
其中正确的是（）A.②④B.①③C.②③D.③④3、⊙O的半径为4，圆心到点P的距离为d，且d是方程x2﹣2x﹣8=0的根，则点P与⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内部B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外部D.点P 不在⊙O上4、若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不确定5、一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A.﹣1B.3C.﹣1和3D.1和26、如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. D. 且7、欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax=b2的方程的图解法是；画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b，再在斜边AB上截取BD= 。
则该方程的一个正根是（）A.AC的长B.AD的长C.BC的长D.CD的长8、已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A.a＜﹣1B.a≠0C.a＜1且a≠0D.a＜﹣1或a≠09、在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是A.（60+x）（40+2x）=2816B.（60+x）（40+x）=2816C.（60+2x）（40+x）=2816 D.（60+2x）（40+2x）=281610、关于的一元二次方程有一个实数根，则下面关于该方程的判别式的说法正确的是( ）A. B. C. D.无法确定11、对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①当b=a+c时，则方程ax2+bx+c=0一定有一根为x=-1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0；④若b=2a+3c，则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（）A.１个B.２个C.３个D.４个12、已知p、q为方程的两根，则代数式的值为（）A.16B.±4C.4D.513、方程的解是（）A. B. C. D.14、下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A. B. C. D.15、已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣2n+2015的值是（）A.2021B.2020C.2019D.2018二、填空题(共10题，共计30分)16、已知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根是2，则方程的另一个根是________。
青岛版九上配方法(1)《一元二次方程的解法》PPT课件
小结
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拓展
回味无穷
本节课复习了哪些旧知识呢？ 会见了个“老朋友”: 如果x2=a,那么x= a . 平方根的意义: 本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了用开平方法解一元二次方程:
(x+a)2=b
xa b
x a b
独立作业
知识的升华
1.如图,在一块边长35m的正方形地面上,修建同样宽 的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,为使剩余部 分的面积为1089m2,道路的宽应是多少？ 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
x1 5
老师提示: 这里是解一元二次方程的 基本格式,要按要求去做.
x2 5
小小总结
老师提示
xa b
形如: (x+a)2=b
x a b
这个步骤叫开平方， 这种解法叫开平方法
例题赏析
解下列方程:
1.
4x2 – 7 = 0;
2. 9(x + 1)2 = 25;
九年级数学(上)第三章 一元二次方程
1.配方法(1)一元二次方程的解法
回顾与复习
你还能规范解下列方程吗?
你还认识“老朋友” 吗
(2) 4x2﹣7=0.
(3) 9 (x+3)2=1.
回顾与复习
平方根的意义:
旧意新释:
2
你还认识“老朋友” : 1.x 5. x 5,
35m
(35-x)2 ＝1089.
解这个方程,得 x1 ＝2
35m
x2 ＝68 (不合题意,舍去)
答:道路的宽应为2m.
独立 作业
知识的升华
2. 解下列方程:
(1). (x-1)2=4 (2). 4-(x-1)2=0 (3). x2 -2x-1 = 4.
九年级数学上册第4章一元二次方程考点分析(青岛版)
一元二次方程考点分析一、给你点一点1、一元二次方程及方程根的概念、一元二次方程的四种解法．2、一元二次方程的根判别式及其应用，一元二次方程根与系数的关系及其综合应用．3、分式方程的概念，增根的概念，分式方程的解法4、一元二次方程及分式方程的在生活中实际应用．5、会解简单的二元二次方程组．二、一块做一做1、一元二次方程的定义，一般形式及方程的根，并知道它们的逆向应用用． 例1 若方程013)2(=+++mx m x m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）A m =±2B m=2C m=- 2D m≠±2分析：我们知道一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，那么，是一元二次方程肯定满足这个形式，不难有2=m ，且m+2≠0，故m=2例2 已知2是关于x 的方程02223=-a x 的一个解，则2a-1的值是（ ） 分析：根据方程解的定义的可逆性，2就应该使方程左右两边值相等，所代入方程，就有2a=6，则2a-1=52、一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．在解一元二次方程时，一般先选择因式分解法和直接开平方法，然后再考虑用公式法．同时注意求根公式的推导．例3 阅读材料，解答问题阅读材料，为解方程（x 2-1）2-3(x 2-1)+2=0我们可以将x 2-1视为整体，然后设x 2-1=y ，则（x 2-1）2=y 2，原方程化为y 2-3y+2=0 ① 解得y 1=2 y 2=1当y 1=2时，x 2-1=2 ∴ x =±3；当y 2=1时，x 2-1=1 ∴x=±2∴ 原方程的解为 x 1=3 x 2=-3 x 3=2 x 4=-2解答问题 ⑴ 填空 在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．⑵ 解方程 x 4+x 2-6=0分析：（1）换元法，转化 （2）设x 2=y ，则原方程化为y 2+y-6=0，解之得y 1=-3 y 2=2 由y 不难求出x 1=2,x 2=-23、一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac.(1) △ )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根；△=0 )0(02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根；（2）（3△<0 )0(02≠=++a c bx ax 没有实数根；一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别一元二次方程根的情况；②已知一元二次方程根的情况，确定某些字母的值或范围；③进行有关的证明． 例4关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 根的情况是（A ）有两个不相等实数根 （B ）有两个相等实数根（C ）没有实数根 （D ）根的情况无法判定分析：△= b 2-4ac=（2k+1）2-4(k-1)=4k 2+5>0，从而这个方程有两个不相等的实数根．这种方法常用于判断△的符号．4、如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两根（△≥0）为x 1、x 2，则x 1+x 2=-a b ，x 1·x 2=ac ．应用 ①已知一根，求另一根及求知系数；②不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；③已知两数，求以这两数为根的方程；④ 已知两数的和与积，求这两个数 ⑤确定根的符号例5 已知一元二次方程0122=--x x 的两个根是1x 、2x ，则2221x x += ，=-21x x ．分析：由根和系数的关系，有x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1，只要能用x 1+x 2、x 1·x 2来表示2221x x +、21x x -就可以实现由已知向未知的转化．容易2221x x +=2122)21(x x x x -+=62142)21(2)21(x x x x x x -+=-=8 即21x x -=±22 5、解分式方程的思路是把分式方程转化为整式方程，常用去分母和换元法，去分母就是用各分式的最简公分母去乘以方程的两边．对于含有未知数的部分有数量关系的分式方程可采用换元法．例6．当使用换元法解方程03)1(2)1(2=-+-+x x x x 时，若设1+=x x y ，则原方程可变形为（ ）A ．y 2＋2y ＋3＝0B ．y 2－2y ＋3＝0C ．y 2＋2y －3＝0D ．y 2－2y －3＝0 分析：含有未知数的部分有数量联系，因此如设1+=x x y ，那么原方程可变形为y 2－2y －3＝0．故选 D6、简单的二元二次方程组的解法及其它知识的综合要知道简单的二元二次方程组是通过消元，转化为一元二次方程来解决的．又是通过降次，来变二次为一次的．例7、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==)2()1(22mx y x y 有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且232111=+x x ，求m 的值． 分析: 方程组是转化为方程来解决的，因此把（2）代入（1）就有x 2+2(m-1)x +m 2=0依题意得 这个方程有两个实数根．即△≥0，x 1+x 2=-2（m-1），x 1·x 2=m 2，又已知232)1(221212111=--==+mm x x x x x x ，解之得m 1=-2，m 2=32 但是当m 2=32时，△＜0，舍去．故m=-2 注：在利用根和系数时，一定要注意到字母的取值应保证这个方程有根，即△≥07、生活中的实际应用，关键是多从事实际活动，建立一些实际经验，在这个基础上，尽量掌握一些常见的等量关系．例8、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱了，赚多少？分析：这道题首先要知道常识：利润=售出价-进贷价，而总价=单价×本数 ．要知赔钱和赚钱，得找到售出价和进贷价．因此设第二次购买x 本，则第一次购买（x-10）本，依题意得，xx 1502110100=+-，整理得: 030001102=+-x x ，解之，得x 1=50,x 2=60.经检验，x 1=50,x 2=60都是原方程的根．当x 1=50时，每本书的批发价为150÷50=3（元）高于定价，不合题意，舍去．当x 2=60时，每本书的批发价为150÷60=2.5（元）．低于定价，符合题意．在这里，我们要注意不仅要检验是否是增根，还是看是否符合题意．因此，第二次购书60本，第二次的售出价=60×⨯54 2.8+60×51×2.8×21=151.2，进货价为150，故赚了1.2（元）．三、请你试一试1、已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是________．2、若实数a≠b 满足a 2+2a-2004=0，b 2+2b-2004=0则a 2+3a+b 的值是（ ）A –2004B 2004C 2003D 20023、．用换元法解方程433322=-+-x x x x 时，设x x y 32-=，则原方程可化为 （ ）（A ）043=-+y y （B ）043=+-yy （C ）0431=-+y y （D ）0431=++y y 4、关于x 的方程m 2x 2+(2m +3)x +1=0有两个乘积为1的实数根,方程x 2+(2a +m )x +2a +1-m 2=0有一个大于0且小于4的实数根,则a 的整数值是_________．5、已知a 、b 、c 是△ABC 三条边的长，那么方程04)(2=+++c x b a cx 的根的情况是（ ）A 没有实数根B 有两个不相等的正实数根C 有两个不相等的负实数根D 有两个异号实数根 6、若分式方程xx x m x x 12112+=+-+有增根，则m 的值是（ ）A –1或1B -1或2 C1或2 D 1或-27、关于的一元二次方程0)1(2=-+-a a x x 有两个不相等的正根，则a 可取值为 ．（注：只要填写一个可能的数值即可）8、 阅读下列材料：关于x 的方程x+c c x 11+=的解是x 1=c ，x 2=c 1, x-c c x 11-=即x+cc x 11-+=-的解是x 1=c ，x 2=-c1． x+c c x 22+=的解是x 1=c ，x 2=c2． x+c c x 33+=的解是x 1=c ，x 2=c3 ……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程x+)0(≠+=m cm c x m 与它的关系，猜想它的解是什么，并利用方程的解的概念进行验证．（2）由上述的观察，比较，猜想，验证，可以得出结论：如果方程的左边未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于x 的方程：1212-+=-+a a x x 9、1998年，中国南方地区发生严重洪涝灾害，某部队奉命派甲排跑步前往离驻地90千米的公安县抢险，1小时45分后因险情加重，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲排每小时快28千米，恰好在全程的31处追上甲排． （1） 求乙连的行进速度及追上甲排的时间．（2）当乙连追上甲排时，上级改令甲排前往离此24千米的石首市执行紧急任务，且要求甲排与乙连同时到达各自的指定地点，问甲排每小时应加快多少千米？答案或提示1、m=6 2、D 3、A 4、-1 5、C 6、D 7、只要0<a<1且a≠21 就可以了 8、解：（1）x 1=c ，x 2=c m ，同学们可以自己验证一下．（2）原方程化为121121-+-=-+-a a x x ∴x-1=a-1或x-1=12-a ∴ x 1=a ，x 2=11-+a a 经检验它们都是原方程的解．9、（1）乙连的速度为40千米/时，追上甲排的3时间为小时．（2）每小时应加快4千米．4。
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一元二次方程四种常见题型
一元二次方程在初中代数中占有重要的地位，是进一步学好其它知识的基础，也是各类考试中必考内容之一，常见题型有如下四类：
一、 一元二次方程的有关概念
知识要点：1．一元二次方程满足的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）系数不能为0．2．一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
典例分析：
例1下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ）
A ．)1(2)1(32+=+x x
B ．02112=-+x x
C ．02=++c bx ax
D ．1222-=+x x x
分析：根据一元二次方程需满足的条件可知，Ｂ中的未知数在分母中，是分式方程；Ｃ中二次项系数a 有可能为０；Ｄ整理后最高次项是一次，都不是一元二次方程，故选Ａ．
例2关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是为0，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．–1
C ．1或–1
D ． 2
1 分析：由方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变为关于a 的一元二次方程．
解：.把0x =代入原方程中，得012=-a ，∴1a =±，∵10a -≠，即1a ≠，∴1a =-故应选B ．
评注：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，有时需要将其化简后再判断，如例1中的D ；（2）在求一元二次方程中的参数时，不要忽视二次项系数不等于0这一内含条件，如例2中10a -≠．
二、 一元二次方程的解法
知识要点：一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、
公式法，其中公式法是解一元二次方程的“万能”方法．
典例分析：
例3解方程0999162=--x x ．
分析：观察方程的特点：其常数项“–9991”是一个绝对值很大的数，若用公式法求解，其计算量比较大，注意到二次项的系数为1，一次项的系数是偶数，所以用配方法求解则十分简单．
解：移项，得999162=-x x ，配方得99991962+=+-x x ，
即10000)3(2=-x ，所以1003±=-x ，所以1031=x ，972-=x ．
评注： (1)一元二次方程的四种解法各有特点，解方程时应根据方程的特点依次选择：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法；（2）应用求根公式解一元二次方程时应注意要化方程为一元二次方程的一般形式再确定a 、b 、c 的值；（3）解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握．
三、列一元二次方程解决实际问题
1．列一元二次方程解应用问题的一般步骤可归纳为：审、设、列、解、检验、答．
2．常见题型：（1）面积问题；（2）平均增长率问题；（3）销售利润问题；
（4）其它问题．
例4商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？
（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）
分析：（1）根据所调查的市场信息分析；（2）利用“每件利润×件数=总利润”相等关系列方程.此题体现了数学与市场的关系.
解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出170-130=40元，则每天可销售商品70-40=30件，商场可获日盈利为（170-120）×30=1500
（元）．
（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出（x-130）元，每件可盈利（x-120）元，每日销售商品为70-（x-130）=200-x （件）.
依题意得（200-x ）（x-120）=1600,解得x=160．
答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元．
例5某校办工厂今年元月份生产课桌椅1000套，二月份因春节放假减产10%，三月份、四月份产量逐月上升，四月份产量达到1296套，求三、四月份产量的平均增长率．
分析：本题属于增长率问题，只要把二月份的产量表示出来，根据题意很容易列出方程．
解：设三、四月份产量的平均增长率为x ，依题意，得
1296)1%)(101(10002=+-x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （舍）
答：三、四月份产量的平均增长率为20%．
评注：解决实际问题的关键是认真审题，分析数量之间的关系，建立适当的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，如增长(降低)率问题中,增长(降低)前的量为a, 增长(降低)率为x, 增长(降低)后的量为b,则a 、x 、b 关系为2(1)a x b ±=．还要注意有的问题中需要根据实际情况舍去不合题意的解．
四、一元二次方程的综合应用
一元二次方程通过与不等式、统计、几何等知识相整合解决实际问题，这样的应用题背景更丰富、更贴近生活实际.
例4:下表是我国近几年的进口额与出口额数据（近似值）统计表
（1）下图是描述这两组数据折线图，请你将进口额折线图补充完整；
（2）计算2000年到2002年出口额年平均增长率．15.132.1≈
（3）观察折线图，你还能得到什么信息，写出两条。
分析：本题要从图表中获取相关信息，再利用一元二次方程求解．
解:（1）略.
（2）设2000年至2002年出口额年平均增长率为x ，据题意可得
3300)1(25002=+x ，化简得，32.1)1(2=+x ，解得)(25.2,15.021舍-≈≈x x ， 所以2000年至2002年出口额年平均增长率为15％．
(3)答案举例:①出口额不断增长；②进口额不断增长；③从1990年开始,出口额大于进口额；④1998年至2000年进口额增长幅度大于出口额增长幅度.
评注：本题是以统计图表为知识背景,结合一元二次方程解决生活中的实际问题.。