二元一次不定方程的整数解

一次不定方程的整数解及应用

重要定理： 设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：

1 、若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；

2、 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=at

y y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.

求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：

（1）判断有无整数解； (2)求出一个特解； (3)写出通解；

(4)有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入通解，写出不定方程的正整数解. 例1:求下列不定方程的整数解：（1）862=+y x

解：原方程变形为：43=+y x ， 可知11x y ì=ïí=ïî

是此方程的一组整数解（特解）， ∴原方程的所有整数解为13()1x t t y t

ì=+ïí=-ïî为整数 （2）13105=+y x （3）211147=+y x 解： 解：

（4）11145=-y x

解：可知 是此方程的一组特解，∴原方程的所有整数解为

例2：求下列方程的正整数解.

（1）3147265x y += （2）23732=++z y x

例3：:设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为