数值计算方法教学大纲

《数值计算方法》课程教学大纲

课程编码：0405034

课程性质：专业选修课

学时：52

学分：3

适用专业：数学与应用数学

一、课程性质、目的和要求

本课程为数学系数学与应用数学专业的专业必修课。通过本课程的学习，要求学生了解数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。

本课程主要介绍数值计算的基本方法以及数值计算研究中的一些较新的成果。以数学分析、线性代数、高级语言程序设计为先行课，包含解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、解非线性方程的迭代法、矩阵特征值与特征向量的计算、数据拟合、多项式插值、数值积分与数值微分等基本内容，为微分方程数值解、最优化方法、数学实验等后继课程作好准备。通过实验使学生掌握各种常用数值算法的构造原理，提高算法设计和理论分析能力，为在计算机上解决科学计算问题打好基础。

二、教学内容、要点和课时安排

第一章误差（4学时）

教学目的：学习误差的相关概念，了解残生误差的原因，在函数中误差的传播规律，并且掌握实际运算中可以减小误差的方法。

教学难点：误差的传播规律，公式的推导。

第一节误差的来源

第二节绝对误差、相对误差与有效数字

一、绝对误差与绝对误差限

二、相对误差与相对误差限

三、有效数字与有效数字位数

第三节数值计算中误差传播规律简析

第四节数值运算中应注意的几个原则

思考题：

1、什么是绝对误差与绝对误差限？

2、什么是相对误差与相对误差限？

3、在数值计算的过程中函数的自变量的误差与函数值的误差只有什么样的关系？

4、在数值计算的过程中我们应该注意那些原则来使得误差尽量的小？

第二章非线性方程求根（14学时）

教学目的：学习非线性方程求根的方法，主要介绍二分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法，要求掌握每一种方法的理论思想，会用学习的方法求解非线性方程的根。

教学难点：分法、简单迭代法、牛顿迭代法与弦割法的计算过程的理解，记忆，尤其是迭代法收敛性的判定。

第一节二分法

第二节迭代法

一、简单迭代法

二、迭代法的几何意义

三、迭代法收敛的充分条件

第三节牛顿迭代法与弦割法

一、牛顿迭代公式及其几何意义

二、牛顿迭代法收敛的充分条件

三、弦割法

第四节迭代法的收敛阶与加速收敛方法

思考题：

1、二分法中二分次数的求法？

2、迭代过程应该如何来理解？

3、简单迭代法收敛性如何来判定？

4、什么是收敛阶数？

第三章线性代数方程组的解法（20学时）

教学目的：学习求解线性代数方程组的方法，在本章知识的学习中将会学习直接求解和间接求解线性代数方程组两大类方法，包括高斯消元法、列主元消去法、三角分解法、雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法。

教学难点：强调每一种方法的解题思想，理解每一种方法的解题理论依据，知道各个方法使用的前提条件和解题要求；在迭代法中要重点介绍两种方法的区别，强调各个收敛判定定理的使用条件。

第一节高斯消元法与选主元技巧

一、三角形方程组及其解法

二、高斯消元法

三、列主元消元法

第二节三角分解法

一、矩阵的三角分解

二、杜利特尔分解法

三、解三对角线方程组的追赶法

四、解对称正定矩阵方程组的平方根法

第三节向量与矩阵的范数

一、向量的范数

二、矩阵的范数

第四节迭代法

一、雅可比迭代法

二、高斯—塞德尔迭代法

三、迭代法收敛的条件与误差估计

四、逐次超松弛迭代法

第五节方程组的状态与矩阵的条件数

一、方程组的状态与矩阵的条件数

二、方程组的近似解可靠性的判别

三、近似解的迭代改善

思考题：

1、高斯消元法与列主元消元法的区别及各自的优点？

2、迭代过程应该如何来理解？

3、解线性代数方程组的迭代法的收敛性如何判定？

4、向量与矩阵的范数都如何来求？

5、什么是矩阵的条件数?

第四章插值与拟合（8学时）

教学目的：学习插值问题及代数多项式插值；线性插值和二次插值；n次拉格朗日插值；均差及牛顿均差型插值多项式；三次样条插值函数的概念及求法；曲线拟合的最小二乘法；超定方程组的最小二乘解；代数多项式拟合。

教学难点：插值多项式的求法和理解。

第一节插值概念与基础理论

一、插值问题的提法

二、插值多项式的存在唯一性