小学奥数：乘法原理之染色法.专项练习

1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；

2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．

3.培养学生准确分解步骤的解题能力；

乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．

一、乘法原理概念引入

老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上

下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、

自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，

你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？

我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少

的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一

条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25

种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线

路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．

二、乘法原理的定义

完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要

先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），

第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那

么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．

结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到

长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2

个可选择的路线了，即10条．

三、乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分N个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；

3、步步相乘

7-2-3乘法原理之染色问题知识要点

教学目标

四、乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；

2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．

【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，

使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？ D

C B A

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 A 有3种颜色可选；

当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；

当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．

综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．

【答案】18

【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，

但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C

取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．

【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．

【答案】84

【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四

种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．

7

65432

1

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有

43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜例题精讲

色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．

【答案】24

【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国

家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?

D

C

B A

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：

第一步：给A 染色，有5种颜色可选．

第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．

第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．

第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．

根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．

【答案】180

【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色

区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

E

D C B

A

【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；

第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；

第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种

选择；

第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择； 第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，

有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．

【答案】96

【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下

边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染

色方法？