弧度制教案人教版
5.1.2弧度制教学课件(人教版)
13π B.
C. 2π
D. 17π
3
3
3
3
解析：与 5π 终边相同的角记为 ，则 5π 2kπ ， k Z ，
3
3
当 k 1时， π ，故 A 正确；
3
当
k
3 时，
13π 3
，故
B
正确；
令 5π 2kπ 2π ，解得 k 1 Z ，故 C 错误；
3
3
2
当 k 2 时， 17π ，故 D 正确.故选 ABD.
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1
规定1度的角等于周角的 360 .
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
单位圆
半径为1的圆叫做单位圆.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad ，
3
7.把角-690°化为 2kπ (0 2π, k Z) 的形式为___4_π___π6____.
解析：法一： 690
690
π 180
23 6
π
，
因为 23 π 4π π ，所以 690 4π π .
6
6
6
法二： 690
2360
30
，则 690
4π
π 6
.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3
，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16，l 16 2r(0 r 8) ，
5.1.2《弧度制》教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019) 必修第一册
《弧度制》教学设计一、教学内容解析.1、内容解析.本节课是人教 A 版《普通高中教科书·数学》必修一第五章“三角函数”第一节“任意角与弧度制”第2课时的内容.弧度制的本质是用线段（实数）度量角的大小，而角度制下三角函数的研究会因单位制不统一引发研究困难，同时函数概念中要求，函数必须是两个实数集之间的对应关系，只有实数表达的三角函数才能在同一坐标系下进行函数间的相关运算.另外，生活中的很多周期现象的变量并非都是角度，比如历法、潮汐现象等的自变量是时间，角度制在研究这类问题中出现了比较大的局限性，将角度与实数建立关系是解决这一问题的重要途径.本节课的核心学习任务是体会弧度制引入的必要性以及经历弧度概念的生成过程.2、蕴含的思想方法.在思考角度与实数间对应关系时,通过具体的实践操作，让学生感受用长度度量角度的整个过程，感受特殊到一般的推理思想方法，通过1rad角的定义探究以及通过实物模型直观感受1rad角的大小，体会以直代曲的思想方法.3、知识上下位的关系.义务教育阶段学习的角度制，是生活中比较广泛的角度的度量制，弧度制作为角的另外一种度量制度，在任意角的基础上将角和实数建立了一一对应的关系，当前学习的主要目的是为解决三角函数中单位进制不同产生的困难，学习弧度制将为后续学习三角函数打好基础.4、育人价值.从已有认知出发，从研究问题的便利与合理性出发创造新知识，让学生体会一个新的单位制的研究路径及其价值，落实“用数学的眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界”的素养理念.二、教学目标设置1、理解1rad角的定义，建立弧度制的概念，知道弧度制的本质是线段度量角度大小.掌握弧度与角度的互化，知道一些特殊角的弧度数，能通过弧度定义推导扇形弧长及面积公式.2、经历“发现问题--现实情境--动手实践--产生不便--创造新知--感受创造发明的美好”的过程启发思考，提高数学思维.3、经历“度量需要--寻找关系--制定单位--定量表示--单位换算”丰富学生的数学活动经验.重点：1rad角的定义，角度与弧度的互化.难点：弧度制的产生过程和蕴含的思想方法.三、学生学情分析.1、学习条件.有了任意角的基础，利于弧度制概念生成过程中与实数的对应。
5.1.2弧度制教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
- 在实际问题中，如机械制造、建筑设计等领域，弧度制有着广泛的应用。
7. 弧度制的练习题
- 练习题应涵盖弧度制的定义、互换方法以及在三角函数、圆的方程等领域的应用。
- 题目难度应从基础到进阶，以满足不同学生的学习需求。
8. 弧度制的教学策略
3. 改进措施与建议
针对教学中存在的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：首先，在今后的教学中，我要注重理论与实践相结合，设计更多的实际问题让学生解决，提高他们的应用能力。其次，我要关注学生的个体差异，针对不同学生制定不同的学习计划，确保每个学生都能跟上教学进度。最后，我要加强课堂管理，通过设置悬念、互动讨论等方式，提高学生的注意力，营造活跃的课堂氛围。
5.1.2弧度制教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
主备人
备课成员
课程基本信息
1.课程名称：弧度制
2.教学年级和班级：2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
3.授课时间：1课时
4.教学时数：45分钟
二、教学目标
1. 了解弧度制的概念及其在数学中的应用。
- 拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
- 反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
- 自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
- 反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
- 巩固学生在课堂上学到的弧度制的定义和应用。
- 通过实际例子和图形演示，帮助学生建立弧度制的直观印象。
- 设计具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考和探索。
弧度制教案人教版
弧度制教案人教版一、教学目标1、知识与技能目标理解弧度制的概念，能熟练地进行角度与弧度的换算。
掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并能运用这些公式解决相关问题。
2、过程与方法目标通过类比角度制，引导学生自主探究弧度制的定义和相关公式，培养学生的观察、分析和归纳能力。
通过弧度制与角度制的换算练习，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学知识的内在联系，体会数学的简洁美和统一美。
激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点弧度制的概念及与角度制的换算。
弧度制下弧长公式和扇形面积公式的应用。
2、教学难点理解弧度制的定义，体会弧度制引入的必要性。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾角度制：我们在初中已经学习了角度制，知道一个周角等于360°，平角等于 180°，直角等于 90°。
提出问题：在实际应用中，角度制是否存在一些不便之处？比如在计算圆的弧长和扇形面积时。
2、讲授新课弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。
引导学生思考：为什么要用这样的定义来引入弧度制？以半径为 r 的圆为例，若圆心角α所对的弧长为 l，则α的弧度数为α ＝ l ／ r 。
特别地，当弧长等于半径时，圆心角的弧度数为 1 rad 。
角度与弧度的换算：因为一个周角所对的弧长为2πr，而圆的半径为 r，所以一个周角的弧度数为2π rad 。
又因为一个周角等于 360°，所以 360°＝2π rad ，180°＝π ra d 。
由此可得，1°＝π ／ 180 rad ，1 rad ＝（180 ／π)° 。
进行角度与弧度的换算练习，如 60°＝ 60 ×（π ／ 180) rad ＝π ／3 rad ；π ／ 6 rad ＝（π ／ 6) ×（180 ／π)° ＝ 30°。
人教版高一数学弧度制 教案
高一数学弧度制课题：§4.2弧度制 （一）课题教材分析： （二）素质教育目标： 1.知识目标： （1）弧度制的定义；（2）用弧度制表示的弧长公式、扇形面积； （3）角度制和弧度制的换算；（4）角的集合和实数集合R 之间的一一对应关系； 2.能力目标：（1）理解并掌握弧度制定义，领会弧度制定义的合理性； （2）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式解题；3.德育目标：使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系； （三）课型课时计划： 1.课题类型：新授课； 2.教具使用：常规教学；3.课时计划：本课题共安排2课时； （四）教学三点解析：1.教学重点：熟练地进行角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用；2.教学难点：1弧度的角的含义、弧度与角度的换算；3.教学疑点：理解并掌握弧度制定义； （五）教学过程设计 一.温故知新，引入课题1.背景：半径r=45，圆心角α=45°，所对的弧长l=？2.弧长的计算公式是：180rn l π=3.n 表示角度，1度的角是如何规定？4.用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
二.新课教学（板书课题：4.2弧度制）1. 1弧度的角：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
2. 为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角来作为度量角的单位？ 一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关；3.这个角是否与所取的圆的半径大小无关呢？4.弧长与半径的比值是否与圆的半径无关？5.半径、弧长、弧度的关系：6.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，从而rl =||α。
7.弧长记扇形面积的计算公式：2||2|;|2r r l S r l ⋅=⋅=⋅=αα扇形。
8.周角的弧度数是π2，rad rad ππ=︒=︒180,2360。
弧度制教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课堂教学设计学科：数学姓名：课题：5.1.2弧度制课型：新授课课程标准分析本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着承上启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式，也为今后学习三角函数带来了很大方便。
教学背景分析（一）课题及教学内容分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法--弧度制，从而将角与实数建立一一对应的关系，为学习本章的核心内容三角函数扫平障碍，打下基础。
（二）学生情况分析学生在上一节已经学习了任意角的概念，对角的概念在初中也有学习，并且具备一定计算能力，所以学生学习本节内容还是比较也有兴趣的，但学生的逻辑思维较弱，还需要老师的引导。
学习目标1.理解角的弧度制表示，掌握角的角度制与弧度数的互化2.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式并灵活运用教学重点和难点重点：弧度制的定义、弧度制和角度值的换算、弧度制下扇形的弧长、面积公式难点：弧度制的概念与角度的换算教学资源和教学方法教学资源：ppt教学方法：指导学生独立思考，以同学之间互相讨论进行学习。
运用“问题探究”的教学模式，层层深入地设置问题，采用发现式教学。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一课题导入：姚明的身高是2.26米，但在NBA官方数据中却是7.5英尺弧度制数学史：瑞士数学家欧拉，1748在他的一部划时代的著作《无穷小分析概论》中，正式定义弧度制。
学生课前预习，对教师提出问题进行回答。
学生可以发现长度可以用不同的单位制进行度量及弧度制什么时候被定义的。
环节二弧度制的定义问1如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？l与r的比值是多少？合作交流：借助初中已有知识，完成ppt上的表格并探究弧长与半径的比值与半径和圆心角的关系。
5.1.2弧度制教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
7. 教学课件：制作详细的教学课件，包括弧度制的定义、转换规则、应用实例等内容，以便在课堂上进行清晰演示和讲解，帮助学生更好地理解和掌握所学知识。
8. 学习指南：准备学习指南或学习任务单，明确本节课的学习目标和任务，引导学生有目的地进行学习和探索，提高学习效果和效率。
学生活动：
- 听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。
- 参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际操作等活动，体验弧度制的应用。
- 提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。
教学方法/手段/资源：
- 讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解弧度制的概念和转换规则。
- 实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握弧度制的应用。
4. 课后作业完成情况：评价学生对课堂所学知识的巩固和应用能力，以及自主学习的能力。
5. 教师评价与反馈：针对学生的课堂表现、小组讨论成果、随堂测试和课后作业，给予及时的反馈和指导，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进学生的自我提升。
内容逻辑关系
- 重点知识点：弧度制的定义、角度制的定义、弧度制与角度制的转换关系。
解决办法：
1. 通过具体例子和实际问题引入弧度制概念，让学生感受其意义和应用，增强学生的理解。
2. 利用多媒体工具或实物模型，直观展示弧度制与角度制之间的转换过程，帮助学生理解57.2958的来源。
3. 分步骤讲解弧度制的运算规则，通过大量练习，让学生熟练掌握运算方法。
4. 提供不同难度的练习题，让学生在实践中应用弧度制解决实际问题，提高空间想象能力和问题解决能力。
5.1.2弧度制教学设计高一上学期数学人教A版
5.1.2 弧度制1、教学目标（1）.理解弧度制的意义，能正确的进行角度制与弧度制的换算；了解角的集合和实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．（2）.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式2、教学重点与难点1.教学重点：弧度制的定义、弧度与角度的换算2.教学难点：弧度制与角度制的联系及弧度制下扇形的弧长公式和面积公式的推导和证明。
3、教学过程设计(一) 概念的引入【问题1】 在初中几何里，我们学习过角的度量，1︒的角是怎样定义的呢？师生活动：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是1︒．它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．【问题2】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？师生活动：学生思考并回答问题。
教师提问，引导学生思考第二种单位制的存在。
指明本节课所学知识点：弧度制的定义以及1弧度的含义。
【设计意图】：引发学生学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量，从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法。
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制． 如图5.19，射线OA 绕端点O 旋转到OB 形成角α．在旋转过程中，射线OA 上的一点P （不同于点O ）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α =n ︒，OP=r ，点P 所形成的圆弧1PP 的长为l ．由初中所学知识可知l=180n r π， 于是180l n rπ=．【问题3】：如图5.110，在射线OA 上任取一点Q （不同于点O ），OQ ＝1r ．在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧1QQ 的长为1l ．1l 与1r 的比值是多少？你能得出什么结论？可以发现，圆心角α 所对的弧长与半径的比值，只与α 的大小有关．也就是说，这个比值随α 的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．而这种像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小的单位制称为弧度制．师生活动：学生思考并回答问题，可以独立思考，也可以进行小组讨论。
弧度制教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《5.1.2弧度制》教学设计一、教学目标（1）通过解决现实生活中抽象数学模型问题，经历弧度制的生成过程，尝试用弧长度量角的大小，了解弧度制下角的集合与实数集R之间的一一对应关系，体会引人弧度制的必要性；（2）能熟练进行角度制与弧度制的互化，总结角度制与弧度制的内在联系，掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题，感受公式应用的简洁性；（3）通过构建弧度制的知识体系，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的研究过程，感受特殊与一般、数形结合、化归与转化、类比等数学思想方法的丰富内涵；（4）通过自主探究、合作交流等活动，感受数学发现与再创造的乐趣，培养学生的直观想象、数学计算、逻辑推理、数学抽象和数学建模核心素养.二、1.教学重点：（1）角度制与弧度制间的互相转化；（2）弧长公式及扇形的面积公式的推导与应用.2.教学难点：弧度制概念的生成与理解.三、教学方法：问题引导教学法，启发式教学，小组合作探究学习．四、教学支持：希沃白板5五、教学过程：（一）创设情境，提出问题问题1：摩天轮，它可以看成是质点做圆周运动的模型，现在将这个圆抽象出来，点P的位置与哪些几何量有关呢？追问：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？设计意图在三角函数“大单元”中，周期现象是我们研究问题的大背景，它贯穿于三角函数“大单元”始末，为体现教学的连贯性，以摩天轮上一点P的运动为例，师生一起抽象建模，思考研究刻画点P的位置的几何量，制造学生的认知冲突，让学生体会到学习弧度制的必要性.问题2：现实生活中有没有同一个几何量可以用不同的单位制进行表示呢?追问：角的度量是否也可以用不同的单位制呢?设计意图引导学生通过类比生活中的量，发现探究角的度量存在其它单位制的可行性.（二）合作探究，凸显生成动手实验实验教学用具:一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线实验教学过程:通过小组合作,运用现有的实验用具,在这张半圆纸上标出36°的角.设计意图36°不能通过尺规作图直接得到，而实验用具又未提供量角器，该动手实验旨在引导学生探索新的度量角的方式，将角的度量问题转化为长度的度量问题，从而体会到弧度制的本质即“用线段长度度量角的大小”，为理解弧度制概念积累数学体验．问题3：那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗?追问1：我们先来看看这两个扇形,同学们发现什么?追问2：我们再来观察一下这两个扇形,除了弧长变化之外,还有什么也发生了变化?问题4：角度、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学习过的数学公式来表示它们之间的关系？观察动态演示：计算扇形的弧长与对应半径的比值；改变弧长和半径的长度，观察比值的变化.设计意图以问题串的形式，引导学生探究角的大小与弧长、半径的关系，并结合角度制下的弧长公式180r n l π=进行公式推导，让学生清楚在研究多变量关系时，采用控制某个变量以达到减少变量的目的，清楚在“变化中寻找不变量”是数学研究的重要方式.从特殊到一般的研究方法，得到可以用弧长与半径的比值来度量角的大小．动态演示可以帮助学生加深对弧度制概念的直观理解．（三）类比迁移，形成概念问题5：我们用弧长和半径之比定义圆心角的度量方式，相对于角度制，大家觉得这个新的度量可以给个什么名称？追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？教师介绍1度角数学史问题6：在我们的定义rl =α下，1rad 的几何意义是什么？学生活动：能否在圆中将大小为1rad 的角表示出来？课件展示：弧度制产生的历史.设计意图先通过信息技术手段让学生进一步感知角α确定后比值rl 的不变性，以及比值rl 与角α的一一对应关系，再从数学史的角度介绍弧度制，近代与现代遥相呼应.让学生体会数学发展的历史，这一点符合新课标所提出的注重数学文化渗透的基本理念.（四）新旧融合，完善概念问题7：经过上节课任意角的研究后，我们知道，角可以分为正角、负角和零角，那么对于我们目前的定义rl =α，你觉得是否需要修改完善一下？追问：你能说说角度制和弧度制的区别吗？设计意图区分正角与负角，在任意角的背景中对rl =α加以修正，体现弧度概念的科学性，帮助学生进一步理解弧度制不仅可以用于度量角的大小，而且使角的集合与实数集之间建立一一对应的关系.（五）相互转化，揭示联系问题8：你能找到角度制和弧度制的换算规则吗？设计意图以角度制和弧度制的内在逻辑为线索，启发学生通过解决具体问题寻找两者之间的内在逻辑，得到换算关系，让学生亲历角度制与弧度制换算关系的探究过程，深化弧度制概念的学习．（六）典例选讲，深化概念例1：把下列角度化成弧度：（1）22°30’（2）-210°例2：把下列角度化成弧度：（1）12πrad （2）0.5练习：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表（1）（2）例3利用弧度制证明下列有关扇形的公式:(1)；R l α=(2)；221R S α=(3).21lR S =其中R 是圆的半径，()παα20<<为圆心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积.例4已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，求该扇形的面积.【设计意图】巩固角度与弧度的互化，对学习重点内容进行当堂检测，体会弧度制下弧长、扇形面积公式的简洁性，建立弧度制的优越性，体验知识的形成过程，从而进一步提升学生的数学运算核心素养.02π56π角度弧度0 60 120 135 270 4π2ππ2π30(七)归纳小结，提炼升华（1）回顾一下研究过程，说说你是如何研究弧度制的？（2）你认为利用弧度制我们可以解决怎样的问题？（3）你能画出弧度制这一课时的思维导图吗？【设计意图】学生的总结有利于培养学生的概括能力和语言表达能力，老师的总结，从度量过程和引入弧度制的必要性两个层面引领学生回顾这节课的主要内容及概念研究的方法，学生课后自主完成弧度制的思维导图，达到构建知识网络，领悟思想方法的目的.（八）作业分层，巩固实践(1)基础过关①课本P175练习题第3、6题②课本P175-176习题5.1第5、6、8题(2)能力提升课本P176第12题(3)实践创新自由组建兴趣小组，根据不同材质的价格、产生的风量大小等，设计一把优秀的扇子，开展一次数学建模和数学探究的活动，每个人把研究成果和心得撰写成一篇数学建模小论文.【设计意图】设计分层、分类作业，落实基础的同时，为学生发展提供更为广阔的空间；紧贴新时代、新教材、新课堂的要求，设计实践创新作业，以课题形式突破数学建模与数学探究活动，培养全面发展的优秀人才．（九）板书设计草稿区弧度制一．定义二．转化关系三．扇形公式四．例题讲解。
弧度制教案人教版
弧度制高一数学科组袁假设琳教学目标：知识目标⑴理解1弧度的角的意义.⑵理解弧度制的定义，建立弧度制的概念.能力目标⑴掌握角度制与弧度制的换算公式进行换算.⑵牢记特殊角的弧度数与角度数的互化.情感目标通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现弧度制与角度制之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法.重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系.教学过程：一、知识回忆角可以怎样分类与角α终边相同的角的集合如何表示请大家回忆什么是角度制.角可以用度为单位进行度量，将圆周等分成360份，1度的角度等于周角的1，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.360二、新课引入度量长度可以用米、厘米、尺、寸表示，度量重量可以用千克、磅，度量角可以用角度制，还可以用什么度量角环节一：弧度制的含义，理解1弧度，引入弧度制的目的.把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，那么弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad.记作1rad，读作1弧度.引入弧度制的目的：弧度用实数表示.思考：弧度数与半径大小有关吗环节二：探究课本P6，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的终边与x轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成下表：弧AB的长OB 旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数lαnr逆时针方向2r逆时针方向r12r2180°360°讨论：根据上表，你能发现什么规律1. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值αl.〔α的正负由角α的终边的旋转方向决定.〕rAOB的弧度数与AOB的度数的换算. 2πrad180πrad由此可得，1πrad180radrad，1180π特别地，以后的角度和弧度换算只要抓住180πrad即可.三、练习稳固例题评讲例1：把角度67°30′化成弧度.例2：把弧度π化成角度.3完成课本P9ex1—2学生课堂练习填写以下特殊角的度数与弧度数的对应表：度0345120135150360弧3度322注：熟记特殊角的弧度数，方便以后的计算.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角〔即弧度数等于这个实数的角〕与它对应.正角正实数零角零负角负实数任意角的集合实数集R四、课堂小结通过本节课的学习，你们掌握了什么弧度制的定义；弧度制的意义；角度与弧度换算的核心公式. 特殊角的度数和弧度数的互化.五、作业布置课本P107-7 六、教学反思。
弧度制教学设计-高一上学数学人教A版
第五章 三角函数5.1.2 弧度制教学设计、一、教学目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义 的合理性.2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式.3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.二、教学重难点教学重点理解并掌握弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的互化，弧度制的运用. 教学难点理解弧度制的定义，弧度制的运用.三、教学过程（一）探索新知探究一：弧度制的定义角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.那么我们度量角除了可以用角度制，还可以用别的方式吗?弧度制的定义：我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度.我们把半径为1的圆叫作单位圆，如图，在单位圆O 中，AB ︵的长等于1，AOB 就是1弧度的角.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数.零角的弧度数是0.说明：（1）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）；（2）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，数量也不同. 弧度制与角度制之间的换算关系：注意事项：（1）度数与弧度数的换算除计算器外，还可借助《中学数学用表》进行计算；（2）今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略；（3）应该熟练记忆一些特殊角的度数与弧度数的对应值.探究二：用弧度制表示弧长公式，扇形面积公式.例：利用弧度制证明下列关于扇形的公式：21(2)2S R α=； 1(3)2S lR =. （其中R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积）解：证明 由公式||l rα=可知l R α=； 下面证明（2）（3）： 半径为R ，圆心角为n °的扇形的弧长公式和面积公式分别为180n R l π=，2360n R S π=，将n °转化为弧度，得180n πα=，于是，212S R α=，将l R α=代入上式，即得12S lR =. （三）课堂练习1.下列说法正确的是( )弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角答案：A解析：对于A ，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确；对于B ，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B 错误；对于C ，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C 错误；对于D ，用弧度表示的角也可以不是正角，故D 错误.故选A.2.与30°角终边相同的角的集合是( ) A.π360,6k k αα⎧⎫=⋅+∈⎨⎬⎩⎭︒Z ∣ B.{}2π30,k k αα=+︒∈Z ∣ C.{}236030,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ D.π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 答案：D解析：与30°角终边相同的角可表示为36030,k k α=⋅+︒︒∈Z ，化为弧度制为π2π,6k k α=+∈Z .故选D. 3.若2rad α=-,则α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：C 解析：ππ2rad 2-<-<-,∴角α的终边在第三象限. 故选C.4.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对的圆心角的弧度数为( )A.3πB.23π 答案：C解析：本题考查圆心角的弧度数的意义以及弧长公式的应用.如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则边AB 所对的圆心角23AOB π∠=，作OM AB ⊥，垂足为M ，在直角AOM △中，AO r =，3AOM π∠=，AM ∴，AB =，l ∴=，由弧长公式，得l rα=（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1. 1rad 的角的定义.2.角度制和弧度制的换算关系.3.弧长公式和扇形面积公式.四、板书设计5.1.2 弧度制1. 1rad 的角的定义.2.角度制和弧度制的换算关系.3.弧长公式和扇形面积公式.。
任意角和弧度制(弧度制)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.1.2 弧度制（1 课时）【教学内容】弧度与角度的互化；特殊角的弧度制；弧长公式、扇形面积公式.【教学目标】（说明：不要写成三维目标的形式，点列，可以从知识技能、过程方法、数学核心素养等角度写目标）1.理解弧度制的定义，体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(逻辑推理、数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，体会弧度制下公式形式的简洁性,会应用公式解决简单的问题.(数学运算、数学模型)【教学重难点】教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、复习回顾，温故知新1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？【答案】角度制的单位有：度、分、秒。
2.1 的角是如何定义的？【答案】规定：圆周1/360 的圆心角称作1 角.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80 厘米，也可以说长0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值. 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？二、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为60的圆心角，半径r 1，2，3 时，(1)分别计算相对应的弧长l ；(2)分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.思考 1:圆的半径为 r,弧长分别为 2r 、πr,则它们所对圆心角的弧度 数是多少?【答案】2rad, πrad.思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？l【答案】|α| =r2. 角度与弧度的换算思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？【答案】360º， 2π. 360︒= 2πrad，180︒ = πrad思考 4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】1︒ =π180︒≈ 0.01745rad 1rad = 180）︒≈ 57.30︒（π三、典型例题例 1． 把下列各角的度数化为弧度。
人教版高中数学弧度制教案
人教版高中数学弧度制教案
教学内容：弧度制
教学目标：
1. 理解弧度制的概念及与角度制的转换关系；
2. 掌握弧度制的计算方法；
3. 能够运用弧度制解决相关问题。
教学重点：
1. 弧度制的概念及运用；
2. 弧度制和角度制的转换。
教学难点：
1. 弧度制与角度制的转换；
2. 弧度制的计算方法。
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师引导学生回顾角度制的概念及计算方法，并提出弧度制的定义。
二、讲解弧度制的概念及计算方法（15分钟）
1. 教师讲解弧度制的定义及计算方法，强调弧度制的优势和应用范围；
2. 带领学生进行弧度制与角度制的转换练习，并解释计算过程。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生自主练习弧度制计算方法，并相互讨论解题思路；
2. 教师布置相关练习题，让学生在课后进行巩固练习。
四、检测与总结（10分钟）
1. 教师让学生进行弧度制的应用题练习，并及时纠正；
2. 学生合作讨论，总结本节课的知识点，提出问题并解决。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，要求学生巩固掌握弧度制的概念和计算方法。
教学反思：
本节课主要围绕弧度制展开教学，通过讲解、练习和讨论，让学生充分理解弧度制的概念和计算方法，提高学生的数学运算能力和分析问题的能力。
在课后作业中，学生可以继续巩固弧度制的知识，提高解题的能力和速度。
最新人教版高中数学必修41.1.2弧度制教学设计
112弧度制一、教目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系(6) 使生通过弧度制的习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系2、过程与方法创设情境引入弧度制度量角的大小通过探究理解并掌握弧度制的定义领会定义的合理性根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式以具体的实例习角度制与弧度制的互化能正确使用计算器3、情态与价值通过本节的习，使同们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系角的概念推广以后在弧度制下角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节习三角函数做好准备二、教重、难点重点理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用难点理解弧度制定义，弧度制的运用三、法与教用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化教用具计算器、投影机、三角板四、教设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=16公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=16公里在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题2弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)3探究如图半径为r 的圆的圆心与原点重合角α的终边与x 轴的正半轴重合交圆于点A 终边与圆交于点B 请完成表格yxAαOB我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0角的正负主要由角的旋转方向决定4思考如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l 那么a 的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径 5根据探究中180rad π︒=填空1___rad ︒=1___rad =度显然我们可以由此角度与弧度的换算了 6例题讲解例1按照下列要求把'6730︒化成弧度 (1)精确值；(2)精确到0001的近似值例2将314rad 换算成角度(用度数表示精确到0001)注意角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=另外注意计算器计算非特殊角的方法 7 填写特殊角的度数与弧度数的对应表角的概念推广以后在弧度制下角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应8例题讲评例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =其中R 是半径l 是弧长(02)ααπ<<为圆心角S 是扇形的面积例4利用计算器比较sin1.5和sin85 的大小注意弧度制定义的理解与应用以及角度与弧度的区别9练习教材P109习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题11 A组第789题．2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。
2024-2025学年高一数学必修第三册(人教B版)教案弧度制及其与角度制的换算
教 案观察这幅动画，回答问题问题1.大齿轮旋转一周，旋转的角度是多少？大齿轮旋转三分之一周，旋转的角是多少？360，3601203=. 问题2.同学们对“角度制”有哪些认识呢？ 以度，分，秒为单位的角的度量制叫作角度制.1：把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度.问题3.当大齿轮旋转一周时，一个小齿轮旋转的角度是多少？这两条弧有什么关系？小齿轮旋转的角是与小齿轮旋转形成的弧长和小齿轮的周长有关的,也就是与2π2πRr有关.有怎么的关系呢？如果*=,()R kr k ∈N ，那么小齿轮旋转的角是*2π()2πRk k r=∈N 也就是整数k 周； 如果大圆的半径R 不是小圆半径r 的整数倍， *2π()2πRm l m r=∈N ， 余出的这部分弧长l 对应的圆心角是多少呢？初中学过弧长公式：如果圆心角记为n ，则弧长2π=360rl n ⋅， 那么是不是可以用弧长（长度）来度量角呢？ 弧长与角是否满足一一对应的关系呢？ 问题4.两个不同的圆，同时旋转120，比较弧长的关系.大圆所对的弧长大，小圆所对的弧长小，即半径大，弧长大;半径小，弧长小.弧长，与圆心角、半径有怎样的数量关系？2π2π=120=3603AB R R l ⨯，2π2π=120=3603'A B'r rl ⨯， 得到2π3AB l R =，2π3A'B'l r =.可以得到什么猜想？提出猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.问题5.思考还可以用什么来度量角呢？问题6.120与2π3有什么关系？确定同一个角.问题7.证明猜想：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数.设圆心角n α=，弧长为l ，半径为r ，由弧长公式可得2π=360rl n ⋅，我们将等式的左右两边同时除以半径r ，得到2π=360l n r ⋅.与n ⋅确定同一个角. 回头看刚刚的问题.如何用弧度制表示呢2πR=360=2π180= πrad π1=180中大齿轮旋转三分之一周，120，弧2π120=1203=30,60,45化成弧度（用平面直角坐标系中作出他们的终边180= π，π1=180ππ30= 301806=，45= 4560= 60将三个角的点与坐标原点重合，始边为半轴，三个角都是正角，那么分别逆时针方向旋180= π，，所288⎫=⎪⎭.第四现象利用弧度制推导扇形的面积公式 30'把下列各弧度化成角度.3π2。
弧度制教学设计
弧度制教学设计第1篇：弧度制教学设计篇1：_弧度制教案及教学设计1.1.2 弧度制一、教材分析1、本节内容在教材中的地位和作用：教材地位与作用：本节课是普通高中实验教科书人教a版必修4第一章第一单元第二节。
本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度” 并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备，因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
2、教学目标3、教学中的重点和难点教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。
教学难点：弧度制的概念与角度的换算。
二、教学设计思想教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．从学生熟悉的基本单位转换入手，体会不同的单位制能给解决问题带来方便，引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。
1 通过类比引出弧度制，关键弄清1弧度的定义，然后通过探索得到弧度数绝对值公式并得出角度和弧度的换算方法。
在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性。
这样可以尽量自然的引入弧度制，并让学生在探索的过程中，更好的形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础。
三、教法分析本节课我采用引导发现式的教学方法。
通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和接受。
四、教学过程2 3五、教学流程六、教学反思本节课，学生能够在老师的引导下主动学习，基本掌握了弧度制与角度制之间的转换，完成了课堂教学。
课堂气氛比较活跃。
4 篇2：弧度制教学设计弧度制教学目标：知识目标 1）理解1弧度的角的意义。
高中数学人教版必修弧度制教案(系列五)
1.1.2 弧度制●三维目标1．知识与技能(1)理角弧度的意义．(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系．(3)熟记特殊角的弧度数．2．过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题．3．情感、态度与价值观(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神．(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．●重点、难点重点：弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系．●教学建议首先通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法．在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好地形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础．●教学流程1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ 提示 1度．2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示 确定．1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.问题导思角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？提示利用1弧度角的定义进行换算．1．角度与弧度的互化2.一些特殊角与弧度数的对应关系.设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则例1 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)3.思路探究 依据换算关系π rad ＝180°.逐个角进行转化． 自主解答 (1)67.5°＝π180rad×67.5＝3π8rad.(2)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(3)94π rad ＝94×180°＝405°. (4)3 rad ＝3×(180π)°＝57.30°×3＝171.90°.规律方法1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad ＝180°”换算．2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记． 变式训练1将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π rad ＝512×180°＝75°；(2)－76π rad ＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad ＝－78π rad.例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．思路探究 (1)可将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，根据β与α终边相同判断． (2)关键在于由－5π≤β＋2k π＜0求出k 的取值． 自主解答 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤r ＜0，∴当k ＝－3时，r ＝－296π；当k ＝－2时，r ＝－176π；当k ＝－1时，r ＝－56π.规律方法用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数． 互动探究在本例中，找出在区间[0,5π)上与α终边相同的角． 解 与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )，由0≤β＜5π得0≤7π6＋2k π＜5π，∴－712≤k ＜2312，又k ∈Z ，∴k ＝0,1. 当k ＝0时，β＝7π6，当k ＝1时，β＝19π6.例3 (2013·宁德高一检测) 思路点拨 先用半径r 表示弧长，再建立扇形面积S 与半径r 之间的函数关系，进而求出最大值． 自主解答 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S . 则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)．∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2. 规律方法1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r 和扇形圆心角弧度数α，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解． 2．本例面积的最值问题是通过转化为面积关于r 的二次函数问题解决的，这种方法是此类问题常用的方法． 变式训练已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数；解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝5，12lr ＝1，①②解得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝12，l 1＝4，或⎩⎨⎧r 2＝2，l 2＝1.，所以θ＝8 rad ＞2π rad(舍去)或θ＝12 rad.易错易误辨析因角度制与弧度制混用而出错典例 将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 错解 因为－1 485°＝－4×360°－45°＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315° 答案 －10π＋315°错因分析 只考虑了将－1 485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一形式，这是初学者极易犯的一个错误．防范措施在同一式子中，两种单位不能混用，如45°＋2kπ(k∈Z)与k·360°＋π6都是不允许的．表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制．正解由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.答案－10π＋74π课堂小结1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可．3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.当堂双基达标1．下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析 根据弧度制的定义知D 项正确． 答案 D2.3π5弧度化为角度是( ) A ．110° B ．160° C ．108°D ．218°解析3π5＝35×180°＝108°. 答案 C3．(2013·三明高一检测)把°30′化为弧度的结果是________． 解析 °30′＝.5°＝.5180π＝π8. 答案π84．(2013·潍坊高一检测)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积． 解 设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)，∴l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm)．∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2).课后知能检测一、选择题1．(2013·重庆高一检测)已知α＝67π，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析 α＝67π∈(π2，π)∴α的终边在第二象限． 答案 B2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π 解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.答案 B图1－1－43．若角α的终边在如图1－1－4所示的阴影部分，则角α的取值范围是( ) A ．{α|π6＜α＜π3}B ．{α|2π3＜α＜7π6}C ．{α|2π3≤α≤7π6}D ．{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z }解析 易知阴影部分的两条边界分别是2π3和7π6的终边，所以α的取值范围是{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋7π6，k ∈Z }．答案 D4．下列角的终边相同的是( ) A ．k π＋π4与2k π±π4，k ∈ZB ．2k π－2π3，k ∈Z 与π＋π3C.k π2与k π＋π2，k ∈Z D ．(2k ＋1)π与3k π，k ∈Z解析 选项B 中，2k π－2π3，k ∈Z ，与π＋π3的终边都与4π3的角的终边相同．答案 B5．(2013·玉溪高一检测)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1 D.2sin 1解析 设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.答案 D 二、填空题6.π12rad ＝________度，________rad ＝－300°. 解析π12＝180°12＝15° －300°＝－300×π180＝－5π3答案 15 －5π37．已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝1012l ·r ＝4⇒⎩⎨⎧ l ＝8r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2r ＝4，∴α＝8或12.又∵0<α<2π，∴α＝12.答案128．若角θ的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．解析 θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，所以θ4＝2π5＋k π2，k ∈Z .当k ＝0,1,2,3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0,2π]．答案2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题9．把下列角化为2k π＋α(0≤α＜2k π，k ∈Z )的形式： (1)16π3；(2)－315°.解 (1)16π3＝4π＋4π3.∵0≤4π3＜2π.∴16π3＝4π＋4π3.(2)∵－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4，∵0≤π4＜2π，∴－315°＝－2π＋π4.10.图1－1－5如图1－1－5已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求 (1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解 (1)∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB 的长为4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr＝12×4π×6＝12π， 如题干图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. 即弓形的面积是12π－9 3.11．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用每小时30 km 的速度通过，求火车10 s 转过的弧度数． 解 ∵圆弧半径为R ＝2 km ＝2 000 m ，速度v ＝30 km/h ＝253m/s ， ∴10 s 走过的弧长为2503 m ，∴火车10 s 转过的弧度数 |α|＝l R ＝25032 000＝124.知识拓展 (1)时钟问题在解决时钟中的进针与分针有关的角度问题时，要注意它们在单位时间内各转了多少圈． 例如：2小时40分钟后，则分针所转的弧度数为__________． 解析 首先注意到分针转的方向为顺时针，即为负角． 又2小时40分钟＝83小时，而1小时分针转过的弧度数为2π.故分钟转了－2π×83＝－163π.答案 角的“周期现象”一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到了原来的位置，终边相同的角周而复始地出现，这正是三角函数具有周期性的本质原因．也是解决某些问题的关键．而且这种周期现象在现实生活中有广泛的应用．例如：今天是星期一，则100天后是星期几？解 由于星期几也具有周期性，因而可类似于角的问题来解决，即100＝7×14＋2,100天后是星期三．。
人教版高中数学教案-弧度制
1.1.2弧度制教學目標（一） 知識與技能目標理解弧度的意義；瞭解角的集合與實數集R 之間的可建立起一一對應的關係；熟記特殊角的弧度數．（二） 過程與能力目標能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，並能運用公式解決一些實際問題 （三） 情感與態度目標通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養學生求異創新的精神；通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美． 教學重點弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明． 教學難點“角度制”與“弧度制”的區別與聯繫． 教學過程一、複習角度制：初中所學的角度制是怎樣規定角的度量的? 規定把周角的3601作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制． 二、新課： 1．引 入：由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？ 2．定 義我們規定,長度等於半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad ．在實際運算中，常常將rad 單位省略． 3．思考：（1）一定大小的圓心角α所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關嗎？（2）引導學生完成P6的探究並歸納： 弧度制的性質： ①半圓所對的圓心角為;ππ=rr②整圓所對的圓心角為.22ππ=rr③正角的弧度數是一個正數． ④負角的弧度數是一個負數． ⑤零角的弧度數是零． ⑥角α的弧度數的絕對值|α|=. rl 4．角度與弧度之間的轉換： ①將角度化為弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②將弧度化為角度：︒=3602π；︒=180π；815730.57)180(1'︒=︒≈︒=πrad ；︒=) 180 (πn n ．5．常規寫法：① 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數． ② 弧度與角度不能混用．αα⋅=⇒=r l rl弧長等於弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 53π化成度． 例3．計算：4sin)1(π；5.1tan )2(．例4．將下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：319)1(π；︒-315)2(． 例5．將下列各角化成2k π + α(k ∈Z ,0≤α＜2π)的形式,並確定其所在的象限．319)1(π；631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=- 是第二象限角. .,,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =證法一:∵圓的面積為2R π,∴圓心角為1rad 的扇形面積為221R ππ,又扇形弧長為l ,半徑為O R lR ,∴扇形的圓心角大小為Rlrad, ∴扇形面積lR R R l S 21212=⋅=．證法二:設圓心角的度數為n ，則在角度制下的扇形面積公式為3602R n S π⋅=，又此時弧長180R n l π=，∴R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π． 可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得多．22121:R lR S α==扇形面积公式7．課堂小結①什麼叫1弧度角? ②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯繫與區別． 8．課後作業： ①閱讀教材P 6 –P 8；②教材P 9練習第1、2、3、6題； ③教材P10面7、8題及B2、3題．。
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弧度制
高一数学科组 袁若琳
教学目标： 知识目标
⑴理解1弧度的角的意义.
⑵理解弧度制的定义，建立弧度制的概念. 能力目标
⑴掌握角度制与弧度制的换算公式进行换算. ⑵牢记特殊角的弧度数与角度数的互化. 情感目标
通过弧度制一弧度角及弧度制定义的探索过程，培养学生主动探索、勇于发现弧度制与角度制之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 重点：
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：
弧度的概念，弧度制与角度制之间的关系.
教学过程： 一、 知识回顾 1.角可以怎样分类？
2.与角α终边相同的角的集合如何表示？
3.请大家回忆什么是角度制.
角可以用度为单位进行度量，将圆周等分成360份，1度的角度等于周角的
3601
，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
二、新课引入
度量长度可以用米、厘米、尺、寸表示，度量重量可以用千克、磅，度量角可以用角度制，还可以用什么度量角？
环节一：弧度制的含义，理解1弧度，引入弧度制的目的.
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．如图1—14(见教材)，弧AB 的长等于半径r ，则弧AB 所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作
rad .记作1rad ，读作1弧度. 引入弧度制的目的：弧度用实数表示. 思考：弧度数与半径大小有关吗？
环节二：探究课本P6，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成下表：
讨论：根据上表，你能发现什么规律?
1. 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2. 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值r
l
=
α.（α的正负由角α的终边的旋转方向决定.） 3. AOB ∠的弧度数与AOB ∠的度数的换算.
2360=︒π rad =︒180π rad
由此可得，rad rad 01745.01801≈=
︒π， 1 ︒≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=30.57180πrad
特别地，以后的角度和弧度换算只要抓住=︒180π rad 即可.
三、练习巩固
1.例题评讲
例1：把角度67°30′化成弧度.
例2：把弧度
3
π
化成角度. 完成课本P9 ex1—2
2.学生课堂练习
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
注：熟记特殊角的弧度数，方便以后的计算.
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
任意角的集合 实数集R
四、课堂小结
1.通过本节课的学习，你们掌握了什么？
弧度制的定义；弧度制的意义；角度与弧度换算的核心公式. 2.特殊角的度数和弧度数的互化.
五、作业布置 课本P10 7-7
六、教学反思。