向量的减法运算及其几何意义

B
a
A b
A a
b
. OB a b
O
O b B
BA a b
OB a b .
O
A
B
b
b
b A
B
Oa
a
BA a b
例１：已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
b a
d c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题：
（1）AB BC AD D
向量的减法运算及其几何意义
a
O
a
B
b
O
a
b
B
b
A
C
A
三角形法则
首尾相接，和向量从第一个向量的起 点指向第二个向量的终点.
平行四边形法则
起点相同，和向量从共同的起点 指向该点所对的顶点.
对于零向量和任一向量a我们规定： 0a a
交换律:
结合律:
a + b = b + a (a+b)+c = a+(b+c)
证明：b c a OA
D
C
c
b
O
Aa
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
例5.在四边形ABCD中，设AB

a,
AD

b,
BC

c,
试用a,
b,
c表示向量CD.
A

a
B

c

b
D
C

b a c
练习1. 如图，已知 a 、b，求作 a b .
（1）
a
（2）
b ab
b
a
b
ab
（3）
a
b
ab b
（4）
b a
b
b ab

2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
思考5：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，
求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b， c，若a+c＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
已知：两个力的合力为 F ,其中一个力为 F1,
求：另一个力 F2
F1 F2 F
F2 F F1
F F2
F1
(1)向量减法的定义: a b a (b)
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. (2)向量减法的几何意义:
b a
B
b
O
b
ab
a
A
a (b)
C
D
(3)向量减法的三角形法则:
a b的 作 图 方 法:
b a
B
ab
b
O
a
1 .在 平 面 内 任 取 一 点 O
2.作 OA a,OB b A 3.则 向 量 BA a - b
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
共起点，连终点，指被减
想一想：
(1) 上 图 中，如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量，
那么所得向量是什么？
O
aபைடு நூலகம்
A
b
ba
B
( 2) 如 图 ，a // b ，怎 样 作 出 a b ?
练习3:如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b | .
|
a

b
|
3，| a

b
|
3
3
C
O
D b
`
120o
a
B
A
练习4.在三角形ABC中，点D，E，F分别为各边的中 点则 AB AD BC BE CF ___.
A.AD B.CD C.DB D.DC
（2）AB AC DB C
A.AD B.AC C.CD D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a,b表
示向量AC, DB.
D
C
b
解: AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
变式训练一：当a ,b 满足什么条件时，
a +b与a b垂直？___| a__|_|_b__| ____
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
|a +b|=|a b|？___a_和__b_互__相__垂__直________
例4：如图平行四边形ABCD, AB a, DA b,OC c,
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量
可以怎样表示？ －a
思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
－（－a）=a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的
相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？
A
解：AB AD BC BE CF
F
E
AB BC ( AD BE CF )
BD C

AC 0

AC
3. 作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D
a .
O
ab b
ab
a
A
F
E
练习2 (1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA