向量的减法运算及其几何意义
向量减法运算及其几何意义 课件
方法归纳
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
类型一 向量的减法运算
[例 1] 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C.
【解析】 (1)解法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O) ＋(O→M＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
解法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. (2)解法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 解法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向 量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，
防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝
向量减法运输及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作－
a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝0. (3)如果 a，b 是互为相反的向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝
0.
向量减法运算及其几何意义(数学优秀课件)
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。
向量减法运算及其几何意义(数学-优秀课件)
向量减法的几何意义
向量减法可以理解为在几何空间中，从一个点出发，沿着两个向量的方向移动， 一个向量的长度减去另一个向量的长度。
向量减法可以用于描述速度和加速度的变化。例如，如果一个物体在一段时间内速 度从$vec{A}$变为$vec{B}$，那么$vec{B} - vec{A}$表示这段时间内的加速度。
向量减法不满足交换律
$overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} neq overset{longrightarrow}{B} overset{longrightarrow}{A}$，除非$overset{longrightarrow}{A}$和$overset{longrightarrow}{B}$共 线。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算规则
定义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照向量加法的规则 进行计算。
计算方法
设$overset{longrightarrow}{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$， $overset{longrightarrow}{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$，则 $overset{longrightarrow}{A} - overset{longrightarrow}{B} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2,
向量减法在三维空间中的几何解释
01
定义
在三维空间中，向量减法同样表示从一个向量中减去另一个向量。
02
几何解释
与平面上的解释类似，但在三维空间中，除了在平面上的移动外，还需
要考虑垂直方向上的移动。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量减法法运算及其几何意义
2.2.2向量的减法运算 向量的减法运算 及其几何意义
相反向量： 相反向量：
r r 的模相等，方向相反的向量， 的相反向量， 与向量ra 的模相等，方向相反的向量，叫做 a 的相反向量， 记作 − a .
零向量的相反向量仍是零向量； 注：1.零向量的相反向量仍是零向量； 零向量的相反向量仍是零向量 2.任一向量与其相反向量的和是零向量； 任一向量与其相反向量的和是零向量； 任一向量与其相反向量的和是零向量
小结： 小结： 向量减法的法则
向量的减法： 向量的减法：
B
r
E
r r r r uuur uuur uuu uuu r r a − b = a + (−b) = AC + AD = AE = BC
uuur uuu uuu r r 即 AC − AB = BC
方
r a
r b
B
r b
O
r a r r a −b
例1.已知向量
a , b, c , d , 求作向量
A
a − b, c − d . B D
C
b a
作法 :
d
c a
b
O•
d c
(1).在平面上任取点 O , 作OA = a , OB = b, OC
= c , OD = d .
(2 ).作 BA, DC , 则 BA = a − b, DC = c − d 为所求 .
如图，当在数轴上表示两个共线向量时， 思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和 数的加法有什么关系？ 数的加法有什么关系？
r a
r a
b b
（2） ） C C r
向量减法运算及其几何意义
向量
向量的概念
向量的关系
向表 零 单
量示 向 位
的方 量 向
定法
量
平相 相 行等 反 （向 向 共量 量
义
线
）
讲
向
课 人 ： 邢
量
启 强
2
二、向量的加法：
rr
uuur r uuur r
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b,
uuur r r
讲 课
rr
r r rr r r
人 ： 邢
对任意两个向量a，b，有 || a | | b ||| a b || a | | b |
启 强
3
练习：判断下列命题r 是否r 正确。 ① 或相如反果，模不那相么a等r 的br非的零方向向量必a与与arb, br的其方中向之相一同的
方向相同；
3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
(二)重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
注意：
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同
2、差向量的终点指向被减向量的终点
作业:
讲
课
人
：
邢
启 强
18
数学使人聪颖
数学使人严谨
数学使人深刻
数学使人缜密
数学使人坚毅
讲 课 人
数学使人智慧
：
邢
启 强
19
a
b
b
讲
课
人
：
邢
启 强
11
典型例题
例2.已 知 平 行 四 边 形ABCD, AB a, AD b,
D
C
用 a, b 表 示 向 量AC , DB
人教版数学第二章2 向量减法运算及其几何意义 (共25张PPT)教育课件
?
如何作图得到
思考2：分组讨论 合作探究
B
A
o
B
B
C
O
A
o
A
D
C
思考3：
1 在 平 面 内 任 取 一 点 O
B
b
b
a
O
a
A
共起点, 连终点, 指向被减向量
向量减法 几何意义
测测你的反应速度
尝试运用法则
bd c
a
bd
c
a
作 法 :
A
BD
C
bd
a
c
O•
1.在 平 面 上 任O取 ,作O 点Aa,OBb,OC
；书一笔
清远，盈
一抹恬淡
，浮华三
千，只做
自己；人
间有
情，心中有爱
，携一米
阳光，微
笑向暖
。
口
罗
不
是
。
■
电
:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
很
正
式
给
人
一
种
威
严
感
。
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
爬
上
来
的
我
清
楚
怎
么
运
作
这
个
向量减法运算及其几何意义
向量减法与向量加法的结合规则
向量加法满足交换律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$，有 $vec{A}+vec{B}=vec{B}+vec{A}$。
向量加法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$、$vec{C}$，有 $(vec{A}+vec{B})+vec{C}=vec{A}+(vec{B}+vec{C})$。
Байду номын сангаас THANK YOU
感谢聆听
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
向量减法可以用于解决物理问 题，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解等。
导航问题
在导航中，通过计算起点和终 点之间的向量差，可以确定从 一个位置移动到另一个位置的 方向和距离。
机器学习
在机器学习中，向量减法可以 用于计算两个样本之间的差异 ，用于分类、聚类和降维等任 务。
向量减法运算及其几何意义
目
CONTENCT
录
• 向量减法的定义 • 向量减法的性质 • 向量减法的几何意义 • 向量减法的运算规则 • 向量减法的运算实例
01
向量减法的定义
向量减法的数学定义
向量减法是通过在第二个向量的起点绘制一个箭头，该箭头与第 一个向量的箭头在同一直线上，并且具有与第一个向量相反的方 向和长度，从而得到的结果。
04
向量减法的运算规则
向量减法与标量乘法的结合规则
标量乘法满足结合律
对于任意向量$vec{A}$、$vec{B}$和标量 $k$，有$(kvec{A})-vec{B}=k(vec{A}vec{B})$。
VS
标量乘法满足分配律
高一数学必修(第二册)6.2.2向量减法运算及其几何意义
bAa
C
babD来自E所以 BC a b
√ 三角形 法则
①将两向量平移,使它
们有相同的起点.
B
b
b
a
O
a
②连接两向量的终点. A ③箭头指向“被减向
量”的终点.
共起点，连终点，指向被减终点
向量减法的几何意义:
三角形 法则
表示从向量b 的终点指向被减向量
a 的终点的向量
且OA a,OB b, 分别用 a,b 表示向量OC OD DC BC
OC -a,OD b, DC b-a, BC a b
练习
1、若 O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
B
2.若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论： ①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a. 其中正确命题的序号为_①__②__④
(2) AB BD AC AD AC CD
(3)AB AD DC DB DC CB
(4) OA BA OA AB OB
全课小结 本节课你学到了什么？
相反向量
知识
向量减法的定义 向量减法的三角形法则
向量减法的几何意义
思想 方法
转化 类比
课后作业：1.完成课本上本节练习（P12-13） 2.习题6.2第4题（P22）
a b 叫做 a 与 b 的差，也是一个向量.
探究
向量减法的作图方法：
已知a,b ,根据减法的定义，
b
a
如何作出a b呢？
你能利用向量的加法法则作出a (b) 吗？
b 设 AB b, AC a 则AD b
a
AE a (b) a b
平行四边形 法则
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义向量是数学中非常重要的概念之一，它不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域中也有着重要的地位。
在向量的运算中，减法运算是一种基本的运算方式，它不仅可以用于计算向量的大小和方向，还可以用于解决一些实际问题。
本文将介绍向量的减法运算及其几何意义。
一、向量的基本概念向量是用来表示有大小和方向的量的，通常用箭头表示。
比如，我们可以用一条箭头来表示速度、力、位移等物理量。
在数学中，向量通常用一个有序数组表示，如：$vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$其中，$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$分别表示向量在$x$、$y$、$z$三个方向上的分量。
向量的大小用$|vec{a}|$表示，即：$|vec{a}| = sqrt{a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2}$ 向量的方向用一个与向量长度相等的单位向量$hat{a}$表示，即： $hat{a} = frac{vec{a}}{|vec{a}|}$二、向量的减法运算向量的减法运算是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
假设有两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的减法运算可以表示为：$vec{a} - vec{b} = (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3})$这个式子的意思是，将$vec{b}$的每个分量从$vec{a}$的对应分量中减去，得到一个新的向量。
比如，如果有两个向量$vec{a} = (1, 2, 3)$和$vec{b} = (4, 5, 6)$，则它们的减法运算为：$vec{a} - vec{b} = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)$ 这个结果表示，从$vec{a}$中减去$vec{b}$得到的新向量为$(-3, -3, -3)$。
三、向量减法的几何意义向量减法的几何意义是指，将一个向量从另一个向量中减去所得到的向量在几何上表示的意义。
向量减法运算的几何意义
向量减法运算的几何意义
向量减法的几何意义是共起点，连终点，方向指着被减量。
向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁，向量的加减则是用代数方法进行几何运算，三角形定则解决向量加法的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量减法的方法，将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点，平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
向量减法的内容
向量减法法则是三角形法则，同样将两向量的始点，就是没箭头的那个点放在一起，将两个终点连接，就是差，差向量方向指向被减向量，向量加法法则就是平行四边形法则，两个加数作为平行四边形相邻的两边，则和是两向量的公共顶点与对点相连的对角线。
在数学中，向量也称为欧几里得向量，几何向量，矢量，指具有大小和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段，箭头所指，代表向量的方向，线段长度，代表向量的大小，与向量对应的量叫做数量，物理学中称标量，数量或标量只有大小，没有方向。
向量的减法与几何意义
性质
向量减法不满足交换律，即$vec{A} - vec{B}$和$vec{B} - vec{A}$不一 定相等。
向量减法是可结合的，即$(vec{A} vec{B}) - vec{C} = vec{A} - (vec{B} vec{C})$。
方向相同的向量相减
方向相同的两个向量相减，结果的模长等于 Байду номын сангаас向量模长之差，方向与被减向量相同。
向量减法的运算律
02
01
03
向量减法的结合律
$a - b - c = a - (b + c)$
向量减法的交换律
$a - b = b - a$
向量减法的分配律
$(a + b) - c = a - c + b - c$
04
向量减法的注意事项
零向量的特殊性
零向量作为向量减法的基准
任何向量与零向量相减，结果仍为原向量。
零向量的方向不确定
零向量没有确定的方向，可以视为任意方向。
零向量的模长为0
零向量的模长为0，表示它没有大小。
向量减法的方向性
方向相反的向量相减
方向相反的两个向量相减，结果的模长等于 两向量模长之和，方向与被减向量相反。
VS
详细描述
在向量加减法中，向量的长度或模是一个 重要的概念。向量的模长是指向量的长度 或大小，通常用双箭头表示。向量的模长 可以通过勾股定理计算得出，即向量的大 小等于向量坐标的平方和的平方根。在向 量加减法中，向量的模长可能会发生变化 ，这取决于向量的方向和大小。
03
向量减法的应用
速度与加速度的计算
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
向量的减法与几何意义
向量减法的交换律
交换律定义
a-b=b-a
证明
根据向量加法的交换律和减法的定义， 可以推导出交换律成立。
向量减法的分配律
分配律定义
(a + b) - c = a - c + b - c
证明
根据向量加法的分配律和减法的定义，可以推导出分配律成立。
04
向量减法的应用实
例
速度与加速度的计算
速度计算
在物理学中，速度和加速度都是向量， 它们的加减法可以用来解决许多实际问 题。例如，在计算物体运动的速度和加 速度时，可以通过向量的加减法来计算 。
= vec{A} - (vec{B} vec{C})$。
向量减法的零向量性质：若 $vec{A} - vec{B} = vec{0}$， 则$vec{A}$和$vec{B}$是相反
向量。
向量减法与加法的关联
向量加法和减法的结合律和交换律性质
结合律允许我们改变加法或减法的括号，而交换律允许我们交换向量的顺序。
向量减法的几何意义：在平面上，向量减法可以理解为将一 个向量平移到另一个向量的起点，然后从第二个向量的终点 指向第一个向量的终点。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律，即 $vec{A} - vec{B}$不等于
$vec{B} - vec{A}$。
向量减法满足结合律，即 $(vec{A} - vec{B}) - vec{C}
向量减法未来的研究方向
理论完善
进一步深入研究向量减法的性质和定理，完善向量运算的理论体 系。
应用拓展
探索向量减法在其他领域的应用，如机器学习、优化算法等。
计算效率
研究更高效的算法和数据结构，提高向量运算的速度和精度。
第二章 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
2．2.2 向量减法运算及其几何意义学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一 相反向量1．定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a . 2．性质(1)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(2)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (3)零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法1．定义：a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，如图所示．3．文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．思考 若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？ 答案 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长．1．相反向量就是方向相反的向量．( × )提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．2．向量AB →与BA →是相反向量．( √ ) 提示 AB →与BA →大小相等、方向相反． 3．－AB →＝BA →，－(－a )＝a .( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确． 4．两个相等向量之差等于0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于0.题型一 向量减法的几何作图例1 如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二 如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？ 解 如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c . 反思感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1 如图所示，O 为△ABC 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .求作：b ＋c －a .考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 求作差向量解 方法一 以OB →，OC →为邻边作▱OBDC ，连接OD ，AD ，则OD →＝OB →＋OC →＝b ＋c ， AD →＝OD →－OA →＝b ＋c －a . 方法二 作CD →＝OB →＝b ，连接AD ，则AC →＝OC →－OA →＝c －a ， AD →＝AC →＋CD →＝c －a ＋b ＝b ＋c －a . 题型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法化简向量解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.反思感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →) ＝CA →－CD →＝DA →.(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.利用已知向量表示未知向量典例 如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 a －b ＋c 解析 因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， 所以OD →＝a －b ＋c .[素养评析] (1)本题主要考查平面向量的加法、减法运算，利用已知向量表示未知向量，这正体现了数学运算的核心素养．(2)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则.1.如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是( )A ．a ＋b 和a －bB ．a ＋b 和b －aC ．a －b 和b －aD ．b －a 和b ＋a考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 B解析 由向量的加法、减法法则，得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . 故选B.2.OP →－QP →＋PS →＋SP →等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ →考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B3．下列等式成立的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ；②a －b ＝b －a ；③0－a ＝－a ；④－(－a )＝a ；⑤a ＋(－a )＝0. A ．5 B ．4 C ．3 D ．2考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量答案 B解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．4．若向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝22，|a |＝3，则|b |＝__________. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案5解析 如图，在平面内任取一点A ，作AD →＝a ，AB →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形，则AC →＝a ＋b ，BD →＝a －b .又因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以四边形ABCD 为矩形， 即△ABD 是直角三角形，在Rt △ABD 中，|BD →|＝|a －b |＝22，|AD →|＝|a |＝3， 所以|b |＝|AB →|＝(22)2－(3)2＝ 5.5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BC →，BE →，CD →及CE →.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形ACDE 是平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ， BC →＝AC →－AB →＝b －a ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0 D.MN → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＋CB →－DC →等于( ) A.BC → B.AC → C.DA → D.BD → 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 C解析 在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →，CB →＝DA →， 所以AB →＋CB →－DC →＝(AB →－DC →)＋CB →＝DA →.3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 D解析 如图，作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.4．下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A解析 因为AC →＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C ，D ；因为OB →－OA →＝AB →，所以④正确，排除B ，故选A. 5.如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.6.如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量 答案 A7．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m ，n 的长度恰好相等，则( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 C解析 如图所示，作▱ABCD ，则AB →＋BC →＝AC →，AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.∵|m |＝|n |，∴|AC →|＝|DB →|. ∴▱ABCD 为矩形，∴△ABC 为直角三角形，∠ABC ＝90°. 8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13]D ．(3,13)考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|， ∴3≤|AC →－AB →|≤13，∴3≤|BC →|≤13. 二、填空题9．化简：(1)PB →＋OP →－OB →＝________；(2)OB →－OA →－OC →－CO →＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 (1)0 (2)AB →解析 (1)PB →＋OP →－OB →＝PB →＋BP →＝0； (2)OB →－OA →－OC →－CO →＝(OB →－OA →)－(OC →＋CO →)＝AB →－0＝AB →.10．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加减法运算求向量的模 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13. ∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13.11.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 已知图形中向量的加、减法运算 答案 CA →12．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点，∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.三、解答题13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 利用向量的加、减法运算求向量的模解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，∵AC →＝c ，∴延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连接CF ，则DB →＋BF →＝DF →，而DB →＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.14.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c .证明：b ＋c －a ＝OA →.考点 向量加减法的综合运算及应用题点 用已知向量表示未知向量证明 b ＋c －a ＝DA →＋OC →－AB →＝CB →＋OC →－AB →＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.15．已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10. 所以|a －b |＝10.。
向量减法运算及其几何意义
[类题通法] 1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向 应用．
[对点训练] 化简下列各式：
(1) AB － AC － DB ； (2) AB ＋ BC － AD ；
[类题通法] 用已知向量表示某向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置； 第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果．
[对点训练]
如图，已知 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c，OD ＝d，OF ＝f，试用 a，b，c，d，f 表示以下向量： (1) AC ；(2) AD ； (3) AD － AB ； (4) AB ＋ CF ； (5) BF － BD .
①＋②，得 EF ＋ EF ＝ CF ＋ DC ＋ ED ＋ BF ＋ AB ＋ EA ＝( CF ＋ BF )＋( ED ＋ EA)＋( AB ＋ DC )． ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴ ED ＋ EA＝0， CF ＋ BF ＝0. ∴ EF ＋ EF ＝ AB ＋ DC .
解析：选 A ①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，
a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④
当a与b共线，且方向相同时成立．
3.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它 的中心，其中 OB ＝b， OC ＝c，则 EF 等于 ________．
法二：如图，在平面内取点O， 连接AO，EO，DO，CO，FO，BO，则 EF ＝ EO ＋ OF ＝ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴ DE ＝ EA， BF ＝ FC . ∴ EF ＋ EF ＝ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ＋ EA＋ AO ＋OB ＋ BF ＝ DE ＋ AO ＋ OB ＋ FC ＋ EA＋ AO ＋ OB ＋ BF ＝( AO ＋ OB )＋( DA＋ AO ＋ OB ＋ BC ) ＝ AB ＋( DO ＋ OC )＝ AB ＋ DC .
向量的减法运算及其几何意义
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后按照相反方向延长得到的。
表示方法
用“-”号表示向量减法，例如，向量AB - 向量CD = 向量AD。
向量减法的几何意义
减法运算的几何意义是将一个向量平 移到另一个向量的终点，然后按照相 反方向延长。
在坐标系中，向量减法的几何意义表 现为向量坐标的相减。
计算方法
对于任意向量a，其模的计算公式为 |a| = √(x^2 + y^2)，其中x和y分别 是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的表示方法
坐标表示法
在二维平面中，向量可以用有序对(x, y)表示；在三维空间中，向 量可以用有序三元组(x, y, z)表示。
箭头表示法
在平面或空间中，用带箭头的线段表示向量，箭头的指向代表向 量的方向。
向量加法的性质
交换律
向量加法满足交换律，即a+b=b+a。
无单位元
向量加法没有单位元，即不存在一个向量与 任何向量相加都等于该向量本身。
结合律
向量加法满足结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)。
无逆元
向量加法没有逆元，即不存在一个向量与任 何向量相加都等于零向量。
03
向量的减法运算
向量减法的定义
02
向量的加法运算
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。表示方法用三角源自法则或平行四边形法则表示向量加法。
向量加法的几何意义
平行四边形法则
将两个向量首尾相接，形成一个平行四边形，新向量为对角 线。
三角形法则
将第一个向量延长至终点，与第二个向量起点相接，形成三 角形，新向量为对角线。
向量减法运算及其几何意义汇总
向量减法运算及其几何意义汇总向量减法是数学中一种常见的运算方式，用于计算两个向量之间的差值。
它在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面将详细介绍向量减法的定义、计算方法以及其几何意义。
1.向量减法的定义向量减法是指通过对两个向量进行相应元素之间的减法运算，得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法记作A-A，等于将向量A取反后与向量A进行加法运算。
即：A-A=A+(-A)2.向量减法的计算方法向量的减法通过对应分量的相减来完成。
设有两个向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，则向量减法的计算公式为：A-A=(A1-A1,A2-A2,A3-A3)例如，对于向量A=(3,4,5)和A=(1,2,3)，它们的减法运算结果为：A-A=(3-1,4-2,5-3)=(2,2,2)3.向量减法的几何意义向量减法在几何上有重要的意义，可以表示位移、速度、加速度等物理量。
下面分别介绍它们的几何意义：3.1位移位移可以用向量来表示，通过一个点从起始位置到达终点位置的位移向量。
向量减法可以用来计算两个位置之间的位移向量。
设有两个位置A 和A，它们的坐标表示分别为A(A1,A1,A1)和A(A2,A2,A2)，则A-A即为A到A的位移向量。
例如，若A(1,2,3)为起始位置，A(4,6,8)为终点位置，则位移向量A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.2速度速度是定义为单位时间内位移的向量，可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，所产生的平均速度向量为A-A，即终点位置向量减去起始位置向量。
通过向量减法可以计算得到物体在单位时间内的平均速度向量。
例如，若物体从A(1,2,3)移动到A(4,6,8)，所产生的平均速度向量为A-A=(4-1,6-2,8-3)=(3,4,5)。
3.3加速度加速度是定义为单位时间内速度的改变率，也可以用向量来表示。
当物体从位置A移动到位置A时，速度变化的向量为终点速度向量减去起始速度向量。
向量的减法运算及其几何意义
向量的减法运算及其几何意义设有两个向量A和B，分别表示为A=(a1,a2,a3)和B=(b1,b2,b3)。
则A减去B的结果为一个新的向量C，表示为C=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
例如，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
要计算A减去B，我们将A的分量减去B的分量，得到C=(3-4,2-1)=(-1,1)。
几何上，向量的减法运算可以通过向量的几何表示进行解释。
向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度则表示向量的大小。
要进行向量的减法，在数学坐标系上，我们先将第一个向量A的起点放置在坐标原点，然后将A的尖端移动到相应的位置。
然后，我们将第二个向量B的起点放置在A的尖端，将B的尖端移动到相应的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果。
例如，在数学坐标系中，考虑向量A=(3,2)和B=(4,1)。
首先，将A 的起点放在原点，将A的尖端移动到坐标(3,2)的位置。
然后，将B的起点放在A的尖端，将B的尖端移动到坐标(4,1)的位置。
最后，连接A的起点和B的尖端，我们得到的向量就是A减去B的结果，即向量C=(-1,1)。
1.平移：向量的减法就好比是将一个向量平移一段距离再固定终点。
例如，在上述示例中，向量A减去向量B后得到向量C，可以看作是将向量A从原来的位置平移了一段距离再固定终点。
2.相反方向：向量的减法还可以理解为两个向量的相反方向的叠加。
当一个向量与另一个向量做减法时，可以将其中一个向量旋转180度，然后将它与另一个向量相加。
这个运算结果的向量方向与两个向量相反，且长度等于两个向量的差的长度。
3.差向量：向量的减法得到的结果称为差向量，它表示由一个向量指向另一个向量的方向和大小。
差向量的起点与被减去的向量的起点一致，终点与减去的向量的终点一致。
向量的减法在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在几何学中，向量的减法常用于表示点的位移、距离、速度和加速度等概念。
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（2）AB AC DB C
A.AD B.AC C.CD D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a,b表
示向量AC, DB.
D
C
b
解: AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
证明：b c a OA
D
C
c
b
O
Aa
B
证明：b c DA OC OC CB OB b c a OB AB OB BA OA
例5.在四边形ABCD中，设AB
a,
AD
b,
BC
c,
试用a,
b,
c表示向量CD.
A
思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量a的相反向量
可以怎样表示？ －a
思考2：－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？
－（－a）=a 规定：零向量的相反向量仍是零向量.
思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的
相反数.据此原理，向量a－b可以怎样理解？
定义：a－b＝a＋（－b）
思考4：两个向量的差还是一个向量吗？
3. 作图验证： (a b) a b .
B
C
b
D
a .
O
ab b
ab
a
A
F
E
练习2 (1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
练习3:如图,已知向量AB a, AD b，DAB 120o， 且 | a || b | 3，求 | a b | 和 | a b | .
|
a
b
|
3，| a
b
|
3
3
C
O
D b
`
120o
a
B
A
练习4.在三角形ABC中，点D，E，F分别为各边的中 点则 AB AD BC BE CF ___.
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. (2)向量减法的几何意义:
b a
B
b
O
b
ab
a
A
a (b)
C
D
(3)向量减法的三角形法则:
a b的 作 图 方 法:
b a
B
ab
b
O
a
1 .在 平 面 内 任 取 一 点 O
2.作 OA a,OB b A 3.则 向 量 BA a - b
A
解：AB AD BC BE CF
F
E
AB BC ( AD BE CF )
BD C
AC 0
AC
向量减法的几何意义: a b OA OB BA, 表示 从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
共起点，连终点，指被减
想一想：
(1) 上 图 中，如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量，
那么所得向量是什么？
O
a
A
b
ba
B
( 2) 如 图 ，a // b ，怎 样 作 出 a b ?
变式训练一：当a ,b 满足什么条件时，
a +b与a b垂直？___| a__|_|_b__| ____
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
|a +b|=|a b|？___a_和__b_互__相__垂__直________
例4：如图平行四边形ABCD, AB a, DA b,OC c,
a
B
c
b
D
C
b a c
练习1. 如图，已知 a 、b，求作 a b .
（1）
a
（2）
b ab
b
a
b
ab
（3）
a
b
ab b
（4）
b a
b
b ab
2. AB AD DB BA BC CA BC BA AC OD OA AD OA OB BA
B
a
A b
A a
b
. OB a b
O
O b B
BA a b
OB a b .
O
A
B
b
b
b A b
例１：已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
b a
d c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题：
（1）AB BC AD D
思考5：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差向量，
求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a，b， c，若a+c＝b，则c等于什么？
a+c＝ b c = b －a
已知：两个力的合力为 F ,其中一个力为 F1,
求：另一个力 F2
F1 F2 F
F2 F F1
F F2
F1
(1)向量减法的定义: a b a (b)
向量的减法运算及其几何意义
a
O
a
B
b
O
a
b
B
b
A
C
A
三角形法则
首尾相接，和向量从第一个向量的起 点指向第二个向量的终点.
平行四边形法则
起点相同，和向量从共同的起点 指向该点所对的顶点.
对于零向量和任一向量a我们规定： 0a a
交换律:
结合律:
a + b = b + a (a+b)+c = a+(b+c)