江苏省南通市崇川区2019-2020学年第一学期九年级数学期末试卷 解析版

2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）
1．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：D．：1
2．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x+1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3 3．已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
4．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．
5．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70°
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sin B的值是（）
A．B．C．D．
7．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）
A．10πB．C．πD．π
8．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一
年中应停产的月份是（）
A．1月，2月B．1月，2月，3月
C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A．2B．C．D．
二．填空题（共8小题）
11．抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．
12．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是．
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）．
14．如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k
的值为．
15．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是．
16．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝，BC＝12，则AD的长．
17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．
18．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于．
三．解答题
19.如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图
象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
20.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
21.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
22.已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图
（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
23.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为
2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
24.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交
DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
25.如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，
C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
26.定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，
N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x 轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2B．1：4C．1：D．：1
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
2．抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x+1）2﹣3C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝（x﹣1）2+3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2；
由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
3．已知反比例函数的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出k的取值范围，再判断出函数所在的象限．
【解答】解：将点（m，3m）代入反比例函数得，
k＝m•3m＝3m2＞0；
故函数在第一、三象限，
故选：B．
4．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是．
故选：B．
5．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为（）
A．40°B．45°C．60°D．70°
【分析】根据切线的性质得到∠BAC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点D，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝20°，
由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ABC＝40°，
故选：A．
6．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sin B的值是（）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：如图，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴sin B＝＝＝．
故选：A．
7．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（）
A．10πB．C．πD．π
【分析】由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．
【解答】解：如图所示：
在Rt△ACD中，AD＝3，DC＝1，
根据勾股定理得：AC＝＝，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l＝＝π．
故选：C．
8．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y＝﹣n2+15n﹣36，那么该企业一年中应停产的月份是（）
A．1月，2月B．1月，2月，3月
C．3月，12月D．1月，2月，3月，12月
【分析】求出利润为0时n的值，即令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，解方程得到n1＝3，n2＝12，所以3月和12月要停产，然后根据二次函数的性质得到抛物线开口向下，则n ＝1和n＝2时，y＜0，于是得到该企业一年中应停产的月份还有是1月，2月．
【解答】解：令y＝0，则﹣n2+15n﹣36＝0，
∴n2﹣15n+36＝0，
∴（n﹣3）（n﹣12）＝0，
∴n1＝3，n2＝12，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴n＝1和n＝2时，y＜0，
∴该企业一年中应停产的月份是1月，2月，3月，12月．
故选：D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝
【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，得到EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC＝5a，所以有x＝5a，即a＝x；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到y＝×a ×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
【解答】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC＝a，则AC＝4a，
∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°，
∴∠1＝∠3，
而∠ACB＝90°，AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE，
∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，
∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，
在Rt△DEC中，DC＝5a，
∴x＝5a，即a＝x，
又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴y＝×a×4a+×4a×4a＝10a2＝x2．
故选：C．
10．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A．2B．C．D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
11．抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．
【分析】由抛物线y＝2x2+8x+m与x轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程2x2+8x+m＝0，根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，由此即可得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴△＝0，
∴b2﹣4ac＝82﹣4×2×m＝0；
∴m＝8．
故答案为：8．
12．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是120°．
【分析】根据旋转的性质及等边三角形的性质求解．
【解答】解：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，
根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为360°÷3＝120°．
故答案为：120°．
13．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB＝10米，则该圆锥的侧面积是60π平方米（结果保留π）．
【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝lr，求得答案即可．
【解答】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，
∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，
∴S扇形＝lr＝×12π×10＝60π米2，
故答案为60π．
14．如图，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y＝的图象上，CD平行于y轴，S△OCD＝，则k 的值为3．
【分析】把x＝2代入y＝x﹣2求出C的纵坐标，得出OM＝2，CM＝1，根据CD∥y 轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
【解答】解：∵点C在直线AB上，即在直线y＝x﹣2上，点C的纵坐标为﹣1，∴代入得：﹣1＝x﹣2，
解得，x＝2，即C（2，﹣1），
∴OM＝2，
∵CD∥y轴，S△OCD＝，
∴CD×OM＝，
∴CD＝，
∴MD＝﹣1＝，
即D的坐标是（2，），
∵D在双曲线y＝上，
∴代入得：k＝2×＝3．
故答案为：3．
15．“上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是0.4．
【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可．
【解答】解：两位数一共有99﹣10+1＝90个，
上升数为：
12，13，14，15，16，17，18，19，
23，24，25，26，27，28，29，
34，35，36，37，38，39，
45，46，47，48，49，
56，57，58，59，
67，68，69，
78，79，
89，
共8+7+6+5+4+3+2+1＝36个．
概率为36÷90＝0.4．
故答案为：0.4．
16．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝，BC＝12，则AD的长8．
【分析】在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝，接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝，然后利用AD ＝12x进行计算．
【解答】解：在Rt△ADC中，sin C＝＝，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝＝5x，
∵cos∠DAC＝sin C＝，
∴tan B＝，
在Rt△ABD中，∵tan B＝＝，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
17．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝
45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴＝，
∵AB＝2AD，S△ABC＝，
∴S△ADE＝，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝x tan30°＝x．
又∵S△ADE＝，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，
∴×AB×CM＝，
∠BCM＝30°，
设AB＝2k，BM＝k，CM＝k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
18．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于或．
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
【解答】解：∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，
若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
三．解答题
19.如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图
象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【考点】C3：不等式的解集；F3：一次函数的图象；GB：反比例函数综合题．
【专题】11：计算题；41：待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由B点在反比例函数y＝上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待
定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
20.甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．
（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．
（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意画图如下：
共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，
则所选的2名教师性别相同的概率是＝；
故答案为：；
（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：
所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．
21.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．
（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD＝CD；
（2）当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；R2：旋转的性质．
【专题】556：矩形菱形正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出CD＝DF；
（2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角α的度数．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴CD＝DF；
（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，
分两种情况讨论：
①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，
∵GC＝GB，
∴GH⊥BC，
∴四边形ABHM是矩形，
∴AM＝BH＝AD＝AG，
∴GM垂直平分AD，
∴GD＝GA＝DA，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝60°；
②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝60°，
∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．
22.已知⊙O是△ABC的外接圆．请根据下列条件，仅用无刻度的直尺，分别在图（1）和图
（2）中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．
（1）如图（1），AC＝BC；
（2）如图（2），直线l与⊙O相切于点D，l∥AB．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；MC：切线的性质．
【专题】559：圆的有关概念及性质；69：应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作直线OC即可．
（2）连接DA，DB，可证△DAB是等腰三角形，根据垂径定理可证，直线OD平分AB，设直线OD交AB于E，则AE＝EB，作直线EC即可．
【解答】解：（1）如图，直线OC即为所求．
（2）如图，直线EC即为所求．
23.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为
2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据sin30°＝＝，求出CF的长，根据sin60°＝，再求出BF的长，即可得出CE的长．
【解答】解：由题意得：AD⊥CE，
过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，
∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，
∴sin30°＝＝，
∴CF＝15cm，
在直角三角形ABG中，sin60°＝，
∴＝，
解得：BG＝20，
又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴FD＝BG，
∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2≈51.6（cm）．
答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．
24.（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交
DE于点P，求证：＝；
（2）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2＝DM•EN．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】16：压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出＝；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF＝CF•BG；又由DG＝GF＝EF，得GF2＝CF•BG，
再根据（1）＝＝，从而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴＝，
同理在△ACQ和△APE中，
＝，
∴＝．
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ＝，
∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF
∴DE：BC＝1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB＝1：3，
∴AD＝，DE＝，
∵DE边上的高为，MN：GF＝：，∴MN：＝：，
∴MN＝．
故答案为：．
②证明：∵∠B+∠C＝90°∠CEF+∠C＝90°，∴∠B＝∠CEF，
又∵∠BGD＝∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴＝，
∴DG•EF＝CF•BG，
又∵DG＝GF＝EF，
∴GF2＝CF•BG，
由（1）得＝＝，
∴×＝•，
∴（）2＝•，
∵GF2＝CF•BG，
∴MN2＝DM•EN．
25.如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，
C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题；65：数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可．
【解答】解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3＝a（0﹣4）2﹣1，
a＝；
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+3；
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0时，x1＝2，x2＝6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x＝4，
∴OB＝2，AB＝，BC＝4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即＝，解得CE＝，
∵＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．
26.定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，
N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．
（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°＜α＜90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；
（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x 轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】15：综合题；66：运算能力；67：推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝430°，再证出∠OMP＝∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；
（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S
＝ON•MH，即可得出结论；
△MON
（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；
当点A在x轴的正半轴上时；先求出＝，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：＝，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；
②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，
∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，
∴∠OMP+∠MPO＝150°，
∵∠MPN＝150°，
∴∠MPO+∠OPN＝150°，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴△MOP∽△PON，
∴，
∴OP2＝OM•ON，
∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；
（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，
∴OM•ON＝OP2，
∴，
∵P为∠AOB的平分线上一点，
∴∠MOP＝∠NOP＝α，
∴△MOP∽△PON，
∴∠OMP＝∠OPN，
∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，
即∠MPN＝180°﹣α；
过点M作MH⊥OB于H，如图2，
则S△MON＝ON•MH＝ON•OM sinα＝OP2•sinα，
∵OP＝3，
∴S△MON＝sinα；
（3）设点C（a，b），则ab＝4，
过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：
①当点B在y轴正半轴上时；
Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：BC＝3CA不可能，
Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：∵BC＝3CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴
∴OB＝4b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，）；
②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：∵BC＝3CA，
∴AB＝2CA，
∴＝，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴＝，
∴＝
∴OB＝2b，OA＝a，
∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，
∵∠APB是∠AOB的“相关角”，
∴OP2＝OA•OB，
∴OP＝＝＝，
∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，
∴点P的坐标为：（，﹣）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（，﹣）．。