函数的最值与导数PPT优秀课件
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3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
《函数的最值与导数》PPT课件
4
函数在闭区间上的最值：含参+讨论
4.已 知 函 数f ( x) x4 4x3 ax2 1在 区 间[0,1]上 单 调 递 增, 在 区 间 [1,2)上 单 调 递 减. (1)求a的 值;(2)在 区 间[2,2]上 求 函 数 的 最 大 值 与 最小 值. 5.已 知 函 数f ( x) x3 3x2 9x a. (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 为20,求 它 在 该 区 间 上 的 最 小值. 6.已 知a是 实 数,函 数f ( x) x2( x a). (1)若f (1) 3,求a的 值 及 曲 线y f ( x)在 点(1, f (1))处 的 切 线 方 程; (2)求f ( x)在 区 间[0,2]上 的 最 大 值. 7.若f ( x) ax3 6ax2 b, x [1,2]的 最 大 值 为3,最 小 值 为 29, 求a, b的 值.
e f ( x) m恒 成 立,求 实 数m的 取 值 范 围.
6
2 2.求函数f ( x) x 2 x ( x [0,4])的最大值与最小值.
当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时，其最 大值、最小值在区间端点处取得.
3.求函 数f ( x) xe x ( x ) 的最 大值与 最小值.
当f(x)为连续函数且在(a,b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以断 定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a,b)也 可以是无穷区间——单峰函数
问题：在闭区间内怎样找函数的最大值和最小值？
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；
函数在闭区间上的最值：含参+讨论
4.已 知 函 数f ( x) x4 4x3 ax2 1在 区 间[0,1]上 单 调 递 增, 在 区 间 [1,2)上 单 调 递 减. (1)求a的 值;(2)在 区 间[2,2]上 求 函 数 的 最 大 值 与 最小 值. 5.已 知 函 数f ( x) x3 3x2 9x a. (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 为20,求 它 在 该 区 间 上 的 最 小值. 6.已 知a是 实 数,函 数f ( x) x2( x a). (1)若f (1) 3,求a的 值 及 曲 线y f ( x)在 点(1, f (1))处 的 切 线 方 程; (2)求f ( x)在 区 间[0,2]上 的 最 大 值. 7.若f ( x) ax3 6ax2 b, x [1,2]的 最 大 值 为3,最 小 值 为 29, 求a, b的 值.
e f ( x) m恒 成 立,求 实 数m的 取 值 范 围.
6
2 2.求函数f ( x) x 2 x ( x [0,4])的最大值与最小值.
当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时，其最 大值、最小值在区间端点处取得.
3.求函 数f ( x) xe x ( x ) 的最 大值与 最小值.
当f(x)为连续函数且在(a,b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以断 定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a,b)也 可以是无穷区间——单峰函数
问题：在闭区间内怎样找函数的最大值和最小值？
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；
函数的最值与导数公开课课件
在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点
人教A版(选修1-1)《函数的最值与导数》PPT课件
2020年10月2日
5
y
图2
y f(x)
a x 1 x 2 ox 3
x4
b
x5 x
函数y=f (x)在区间[a,b]上
最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
2020年10月2日
6
一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。
2020年10月2日
最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
2020年10月2日
18
例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x) 解：设f(x)=x-ln(1+x).
当 x 0 时 ,f(x) 1 1x 0 1 x 1 x
又因为f(x)在x=0处连续， 所以f(x)在x≥0上单调递增， 从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0 即x>ln(1+x).
2020年10月2日
22
(x1)[1x2x2 2(x1)] (x1)2(21x2x) (x1)31x22x
令 f (x) =0,解得x=1,
在x=1附近 f (x) 由负到正
当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值
所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0
从而 ln x11(x1)212(1x)3
7
怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进Biblioteka 比较即可。2020年10月2日
8
例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。
高中数学选择性必修二 课件 5 3 2 第2课时函数的最大(小)值与导数课件(共58张)
[跟进训练] 1．已知函数 f (x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
[解] (1)因为 f (x)＝excos x－x，所以 f ′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f ′(0)＝0. 又因为 f (0)＝1，所以曲线 y＝f (x)在点(0，f (0))处的切线方程为 y＝1.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函 数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多 个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点 取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为 最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数 f (x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若 在这一点处 f (x)有极大值(或极小值)，则可以判定 f (x)在该点处取得 最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
4．函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是( ) A．1 B．2 C．0 D．－1 A [设 f (x)＝3x－4x3，∴f ′(x)＝－12x2＋3＝3(2x＋1)(1－2x)． ∵x∈[0，2]，∴当 x＝12时，f ′(x)＝0. 又 f (0)＝0，f 12＝1，f (2)＝－26， ∴函数 y＝3x－4x3 在区间[0，2]上的最大值是 1.]
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 第2课时 函数的最大(小)值与导数
学习目标
核心素养
1.理解函数的最值的概念．(难点) 1.通过函数最大(小)值存在性的
2．了解函数的最值与极值的区别 学习，体现直观想象核心素养．
《函数的最值与导数》课件
连续性
如果函数在某个区间内连续，则该区间内的最值要么出现在区间 的端点，要么出现在函数的不可导点。
函数最值的分类
极大值
在某个区间内，函数先递 减后递增，极大值出现在 递减到递增的转折点。
极小值
在某个区间内，函数先递 增后递减，极小值出现在 递增到递减的转折点。
局部最值
在某个区间内，函数先递 增后递减或先递减后递增 ，局部最值出现在递增或 递减的转折点。
导数的定义与性质
总结词
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线 斜率。导数具有一些重要的性质，如连续性、可导性和导数 的计算法则。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜 率。导数具有连续性和可导性，这是函数在某一点光滑性的 表现。此外，导数还有一些基本的计算法则，如链式法则、 乘积法则、商的法则等。
无界函数的最大最小值
01
02
定义
求法
对于定义域无界的函数，其最大值和 最小值是指在整个定义域上的最大和 最小值。
对于开区间上的无界函数，其最大和 最小值可能不存在；对于半开半闭区 间上的无界函数，其最大和最小值可 能存在于区间端点上。
03
注意事项
对于无界函数的最大最小值的求解， 需要注意函数的性质和定义域的特点 ，以及数学上的严格定义和证明。
Part
03
利用导数求函数最值
一元函数最值
定义
一元函数在某区间上的最值点， 满足在该点处导数等于0或不存在 ，且该点两侧导数变号。
求法
先求导数，令导数等于0，解得驻 点；再判断驻点是否为最值点， 通过区间两端点的函数值与驻点 处的函数值比较得出。
注意事项
导数等于0的点不一定是最值点， 也可能是极值点；最值也可能出 现在区间端点上。
如果函数在某个区间内连续，则该区间内的最值要么出现在区间 的端点，要么出现在函数的不可导点。
函数最值的分类
极大值
在某个区间内，函数先递 减后递增，极大值出现在 递减到递增的转折点。
极小值
在某个区间内，函数先递 增后递减，极小值出现在 递增到递减的转折点。
局部最值
在某个区间内，函数先递 增后递减或先递减后递增 ，局部最值出现在递增或 递减的转折点。
导数的定义与性质
总结词
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线 斜率。导数具有一些重要的性质，如连续性、可导性和导数 的计算法则。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜 率。导数具有连续性和可导性，这是函数在某一点光滑性的 表现。此外，导数还有一些基本的计算法则，如链式法则、 乘积法则、商的法则等。
无界函数的最大最小值
01
02
定义
求法
对于定义域无界的函数，其最大值和 最小值是指在整个定义域上的最大和 最小值。
对于开区间上的无界函数，其最大和 最小值可能不存在；对于半开半闭区 间上的无界函数，其最大和最小值可 能存在于区间端点上。
03
注意事项
对于无界函数的最大最小值的求解， 需要注意函数的性质和定义域的特点 ，以及数学上的严格定义和证明。
Part
03
利用导数求函数最值
一元函数最值
定义
一元函数在某区间上的最值点， 满足在该点处导数等于0或不存在 ，且该点两侧导数变号。
求法
先求导数，令导数等于0，解得驻 点；再判断驻点是否为最值点， 通过区间两端点的函数值与驻点 处的函数值比较得出。
注意事项
导数等于0的点不一定是最值点， 也可能是极值点；最值也可能出 现在区间端点上。
第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT
2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②
第3节导数与函数的极值、最值课件
极大值，也是最大值 f(1)＝3e，函数无极小值.
4.(2021·新乡三模)某冷饮店的日销售额 y(单位：元)与当天的最高气温 x(单位：℃，
20≤x≤40)的关系式为 y＝1190x2－310x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为
(C )
A.907 元
B.910 元
C.915 元
D.920 元
解析 ∵y＝1190x2－310x3，20≤x≤40， ∴y′＝159x－110x2＝－110x(x－38). ∴当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时， y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减， ∴当x＝38时，函数取值最大值，∴ymax＝1190×382－310×383≈915.
①若a＜－1时，
x (－∞，－2)
－2
－2，a2
2 a
2a，＋∞
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
此时，f(x)在x＝－2处取得极大值，符合题意.
②若 a＞0 时，当 x＜－2 或 x＞2a时，f′(x)＜0， 当－2＜x＜2a时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意； ③若2a＜－2，即－1＜a＜0 时， 当 x＜2a或 x＞－2 时，f′(x)＞0， 当2a＜x＜－2 时，f′(x)＜0， ∴f(x)在x＝－2处取得极小值，不符合题意；
常用结论
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论， 不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之 间没有必然的大小关系.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
高中数学函数的最值与导数优秀课件
栏 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；
目
开 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
关
极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是 极值．
1.3.3
问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
本 课
答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行
时 栏
比较即可．
目
开
关
1.3.3
例1 求下列函数的最值：
10，则其最小值为__－__7_1___．
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
本 课
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
时
栏
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
目
开 关
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
从而f(2，即0<a<3时，
栏 目 开
f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，
关
从而f(x)max＝80－42a<a<30<a≤2 ，
综上所述，f(x)max＝08－4aa>2 a≤2 .
1.3.3
1.3.3
小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调
当x≥1时，g′(x)≤0，
x＝1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a的取值范围是－1，＋∞.
1.3.3
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，
对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即
本 课
可．
时 栏
一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；
目
开 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
关
极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是 极值．
1.3.3
问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
本 课
答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行
时 栏
比较即可．
目
开
关
1.3.3
例1 求下列函数的最值：
10，则其最小值为__－__7_1___．
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
本 课
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
时
栏
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
目
开 关
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
从而f(2，即0<a<3时，
栏 目 开
f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，
关
从而f(x)max＝80－42a<a<30<a≤2 ，
综上所述，f(x)max＝08－4aa>2 a≤2 .
1.3.3
1.3.3
小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调
当x≥1时，g′(x)≤0，
x＝1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a的取值范围是－1，＋∞.
1.3.3
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，
对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即
本 课
可．
时 栏
一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；
高一数学函数的最值与导数PPT优秀课件
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
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2021/02/25
21
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
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2021/02/25
21
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
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分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
(B) 5x-5y-4=0
(B)(C) 5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角
为3π/4，则Ａ的坐标为
.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
表格法
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
导数的应用
函数单调性 函数的极值 函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于
３，则点Ｐ的坐标为( )
(A)(2,8)
(B) (-2,-8)
(B)(C) (-1,-1)或(1,1)
(D) (-1/2,-1/8)
(2) 若 曲 线 y=x5/5 上 一 点 Ｍ 处 的 切 线 与 直 线
y=3-x垂直，则此切线方程为( )
(A)5x+5y-4=0
x 1 （1，2）
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
练习P106、P107 6
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
导数的定义
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt
(D) –8+2Δt
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81
9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的 左右的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
(3.3.3)
复习: 函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在 一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
用导数法求解函数极值的步骤：
分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
则a的取值范围为( )
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
(B) 5x-5y-4=0
(B)(C) 5x-5y+4=0
(D)以上皆非
(3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角
为3π/4，则Ａ的坐标为
.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
表格法
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值
法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用 二次函数单调性处理
例1 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值
解法二、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
导数的应用
函数单调性 函数的极值 函数的最值
基本练习
1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的 斜率为( )
(A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8
2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) (A)y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于
３，则点Ｐ的坐标为( )
(A)(2,8)
(B) (-2,-8)
(B)(C) (-1,-1)或(1,1)
(D) (-1/2,-1/8)
(2) 若 曲 线 y=x5/5 上 一 点 Ｍ 处 的 切 线 与 直 线
y=3-x垂直，则此切线方程为( )
(A)5x+5y-4=0
x 1 （1，2）
+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2
练习P106、P107 6
思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5] 内的最小值为2，求m的值
导数的定义
导数的几何意义
导数 求导公式与法则
多项式函数的导数
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
(C) 7+2Δt
(D) –8+2Δt
8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒 时的瞬时速度为( )
(A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81
9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6， 那么a等于( )
(A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
(1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的 左右的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+a=2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
(3.3.3)
复习: 函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值.
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在 一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
用导数法求解函数极值的步骤：
分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1) 处的导数为1，于是
4a+b=1
又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c 上，从而
a+b+c=1且4a+2b+c=-1
例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点 P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛 物线准线的距离
3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为 12x-3y=16，则点P的坐标为 .
4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( 3 , 3 )，
则a的取值范围为( )