第02讲 常用逻辑用语-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第02讲常用逻辑用语一、考情分析1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.二、知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为⌝p，读作“非p”)名称全称命题存在性命题形式结构对M中的所有x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，⌝p(x0)∀x∈M，⌝p(x)[方法技巧]1.区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AB )两者的不同.2.A 是B 的充分不必要条件⇔綈B 是綈A 的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.三、 经典例题考点一 充分条件与必要条件的判断【例1-1】（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【例1-2】（2019·上海市七宝中学高一月考）已知函数()f x 定义域是R ，那么“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数()f x 为R 上的增函数⇒不等式()(0.001)f x f x <+恒成立，反之不成立，∴“()f x 是增函数”是“不等式()(0.001)f x f x <+恒成立”的充分不必要条件.故选：A【例1-3】（2020·全国高三月考）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12n n n a a S +=，所以当2n 时，()111(1)2n n n a a S ---+=，所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①， 所以当3n 时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()12n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件.故选：C.规律方法 充要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二 全称量词与存在量词【例2-1】（2019·江苏省高二期中）命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为（ ） A ．[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>B ．[]1,3x ∀∉-，2320x x -+>C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+>D ．[]01,3x ∃∉-，200320x x -+>【答案】A【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．【例2-2】（2019·辽宁省高二期中（理））设命题:p x R ∃∈，22x x > ，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈， 22x x >B ．x R ∃∈，22x x <C ．x R ∀∈，22x x ≤D ．x R ∃∈，22x x ≤【答案】C【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题， 即x R ∀∈，22x x ≤.规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 考点三 充分条件、必要条件的应用【例3-1】（2020·山东省高二期末）已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系．【答案】充分不必要【解析】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-．()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+{}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.【例3-2】（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二月考）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）（2）或.【解析】（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求； （2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解，即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分 (2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分当时，解集为空集，不满足题意 9分 当时，，此时集合则，解得12分当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥15分 综上9144a a ><-或16分 规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. (3)数学定义都是充要条件. [思维升华]1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}； ①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若B A ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，否定的规律是“改量词，否结论”. [易错防范]1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.四、 课时作业1．（2020·青海师范大学附属第二中学高二月考（理））“复数()a bi a b +∈R ，为纯虚数”是“0a =”的（ ） A ．充分条件，但不是必要条件 B ．必要条件，但不是充分条件 C ．充要条件D ．既不是充分也不是必要条件2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2018·浙江省效实中学高二期中）已知直线1:(1)10l ax a y +++=，22:0l x ay ++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019·陕西省高二期末（文））已知O ，A ，B ，C 是不同的四个点，且=OA xOB yOC +，则“1x y +=”是“A ，B ，C 共线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））方程22123x y m m +=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是( )A ．30m -<<B ．13m -<<C ．34m -<<D ．23m -<<6．（2020·天津市宁河区芦台第一中学高三一模）已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ） A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤7．（2020·四川省新津中学高二月考）设x 为实数，命题p ：x R ∀∈，2210x x ++≥，则命题p 的否定是（ ）A ．p ⌝：x R ∃∈，2210x x ++<B ．p ⌝：x R ∃∈，2210x x ++≤C ．p ⌝：x R ∀∈，2210x x ++<D ．p ⌝：x R ∀∈，2210x x ++≤8．（2019·陕西省高二期末（文））命题“任意2,20x R x x ∈-≥”的否定是__________.9．（2019·涟水县第一中学高三月考（文））命题“2000(1,2),+m 40x x x ∃∈+≥满足不等式”是假命题，则m的取值范围为__________。