第一节留数定理 优质课件

积分 f zdz 在l以外的区域上没有f(z)的有限远奇点,将f(z)在 l 无限远的邻域上展为洛朗级数,并代入积分式,可得
f zdz l
l

k -
ak
zk

dz
除k=-1项外,其他各项为零,则有
l f zdz -2ia-1 2i- a-1 2i Re sf
l
其中a-1就称为f(z)在z0的留数, 记作Resf(z0),
即
1
Res f (z0 ) 2i C f (z) d z
Res f (z0 ) a-1
3
2 留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 b1,b2,...,bn 外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简 单闭曲线, 则
去心邻域0<|z-z0|<R内包含z0的任意一条正向简单闭
曲线l的积分
f (z)d z
一般就不等于零. l
2
因此将f(z)在此邻域内 展开为洛朗级数
1
2i
(z
l
-
a ) -1dz

0, •••(l不包围 a )
1,
•••
( l 包围
a
)
f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1


limz
z 1
-
1
z
ze z 2-
1
ze z

lim z 1
z

1
e 2
10
2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则
f (z)
a-m (z - z 0)m
a-m1 (z - z )-m1
0
L
a-1 z - z0
a0
a1(z - z0) L
k
0 dz= a-1 2 i =2 i a-1
l
l0 k -
a-1 =Resf( z0 )
5
② l包围多个孤立奇点时：
f (z) d z f (z) d z f (z) d z L f (z) d z.
l
l1
l2
ln
1
2πi
l
f (z) d z Res f (b1) Res f (b2 ) L Res f (bn )
① l 包围一个 f(Z)的孤立奇点Z0 时
( z - z )
f (z)=
ak
k -
k
0
Cauchy 定理知： f (z)dz = f (z)dz
l
l0
又Q
1
2i

l
dz
z -a
=
0
1
(l不包围a） (l包围a )
f ( z )dz
=
z-z ) ak (
第四章 留数定理
第1节 第2节
第3节
留数定理 应用留数定理计 算实变函数定积分 计算定积分补充例题
1
§4.1 留数定理
一. 留数及留数定理
1. 留数
如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理
f (z) d z 0.
l
但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个
0
)
f
(
z
Baidu Nhomakorabea
)
=
a-1
=Resf(
z0
)
9
对于 f(z) 可表示为形式
P(z)
f(z)=
Q(z)
时，且
P(z),Q(z) 在 z 0 点是解析的， Q( z0 )=0, Q ' ( z 0 ) ≠0, P( z0 )≠0
罗毕达法则
则有：
Re sf (z0 )
lim ( z
zz0
-
z0
)
f
(z)
1 (z - a)n dz 0•••(n -1)
2i l
+a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...
后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下 a -1 (z-z0 )-1
的一项等于 2 ia-1 外, 其余各项积分都等于零, 所以
f (z) d z 2 π ia-1.
(1)+(2)可得
0 2if z在所有各点的留数之和
即函数在全平面上所有各点的留数之和为零,这里所有的点 包括无限远点和有限远的奇点.
8
二. 留数的计算方法
（一）可去奇点的留数： 对于可去奇点由定义知：Resf(z0)=0
（二） 极点的留数
1. 如果z0为f(z)的一阶极点（单极点）, 则
=
lim ( z
zz0
-
z0
)
P(z0 Q(z0
) )
=
P(z0 ) Q' (z0 )
例
Re
s

z
ze z 2-
1
,-1


lim z
z-1

1
z
ze z 2-
1

ze z
lim z-1
2z


e -1 2
Re
s

z
ze z 2-
1
,1
n
留数定理将回
f (z) d z 2 π i Res f (bj ). 路积分化为被
l
j 1
积函数在回路
D
所围区域上各
奇点留数之和
bn ln
b1
l3 b3
l1 b2
l2
l
4
[证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的 正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有
(z - z0)m f (z) a-m a-m1(z - z0) L a-1(z - z0)m-1 a0(z - z0)m a1(z - z0)m+1 L
lim(z
zz0
f
(z) =


a
(z- z
)k
k -1 k
0
= a-1 (z-z0)-1+ a0 + a1 (z - z0) + a2 (z-z0)2 +……
( z - z ) f(z)= 0
a-1 + a0 (z - z0) + a1 (z-z0)2 + a2 (z-z0)3 +……
lim
z z0
(
z
-
z
(1)
-a-1定义为f(z)在无限远点的留数 Re sf ,留数定理对于无限
远点也成立,但要注意,即使无限远点不是奇点, Re sf
也可不为零
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如果f(z)只有有限个奇点,则所有有限远奇点必在某个圆的内部
z R, 在环域 R z 内任取一个回路l,则由留数定理得
l f (z)dz 2if z在所有有限远点的留数之和 (2)
n
即 f (z) d z 2 π i Res f (bj ).
l
j 1
求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环 域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知 道奇点的类型, 对求留数可能更有利.
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3. 无穷远点的留数
设函数f(z)在无限远点的邻域上解析,来计算绕 的正向回路