COX模型

▲
Cox比例风险模型 比例风险模型 比例
（2）对单因素进行评价： ）对单因素进行评价：
对因素xj而言，当它由xj 变化到xj*时，
ln RR
j
▲
ˆ = β j ( x *j − x ∆ ) j
ˆ βj
RR j = e
ˆ β j ( x *j − x ∆ ) j
∆ RR j = e ← x* − x = 1
1
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3.RR值的计算和意义
影响因素由X 变化到X* 时，有
m
▲
h(t )* h0 (t )e j=1 RR = = m ∆ h(t ) ∑ βˆ j x ∆j h0 (t )e j=1
j ∑ βˆ j ( x*j − x ∆ ) m
∑ βˆ j x*j
m
ln RR =
ˆ S0 (ti ) = exp[− H0 (ti )]
公式中 H 0 (t i ) 为在 t i 时刻的基础累计风险函数，其估计公式为
ˆ H 0 (t i ) = ∑
t k <ti
s∈R (t I )
dk ∑ exp( β ′X s )
d k 为在 t i 时刻的死亡人数。
(3) 生存概率(survival probability)：记为p，指往 后活满一个时段的可能性大小（1- q ）。年生存概率 表示往后再活一年的机会大小，其计算公式为：
p = 1 − q = 该年活满一年人数 年初观察例数
若年内有截尾，则分母用校正人口数。
生存率及其标准误
(１) 生存率 生存率(survival rate)：记为S(t)，是指病人经历 给定的t个单位时间之后仍存活的概率。生存率其实质是累 积生存概率(cumulative probability of survival)。若无截尾 数据，其公式为：
．
生存曲线的比较
利用死亡数和死亡率函数推断k个总体生存曲线是否不同 利用死亡数和死亡率函数推断 个总体生存曲线是否不同 ？ 比较方法： 比较方法： ①Log rank检验 检验
．其基本思想是实际死亡数与期望死亡
数进行比较 （H0:总体生存率曲线相同):
(A − T )2 χ2 = ∑ T
H0成立时，服从自由度为（k -1）的χ2分布！
SE ( S ( t k )) = S ( t k )
j =1
∑
k
q
j
p jn j
(3) 生存曲线 生存曲线(survival curve)：是指将各个时 点的生存率连接在一起的曲线图。曲线形状分两种 类型： ①阶梯型 阶梯型：小样本资料用直接法估计的生存曲线； 阶梯型 ②折线型 折线型：大样本资料用频数表法估计的生存曲线。 折线型
三、基本原理
类似Logistic回归分析构造一个所 谓的偏似然函数L=… 使得L或lnL最大的βj即为所求。
Cox比例风险模型 比例风险模型 比例 四、基本方法
最大偏似然函数法
五、参数解释
1. 偏回归系数βj 的意义 与指标的计量单位有关，从而无实际 的解释意义。
Cox比例风险模型 比例风险模型 比例
S (t ) = P (T ≥ t ) = t时刻仍存活的例数 观察总例数
其中,T为病人的存活时间。 如果含有截尾数据，则观察总例数将难以确定，应利用 概率乘法原理估计生存率： S (t k ) = P(T ≥ t k ) = p1 p 2 L p k
(2) 生存率的标准误 采用Greenwood‘s 生存率的标准误： 法估计生存率的标准误，其公式为：
②Breslow检验 ．可看作是对Log rank检验 的一种加权． 检验 Log rank检验
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数学模型： 数学模型：
h(t ) = h0 (t ) e
m
∑β j X j
j =1
m
h(t ) ln = ∑βjX j ho (t ) j =1
其中，h0(t) 称为基础风险函数 基础风险函数
生存时间 1. 完全数据 完全数据(complete data)
在追踪观察中，当观察到了某观察对象的明确结局时， 该观察对象所提供的关于生存时间的信息是完整的，这种生 存时间数据称为完全数据。
2. 截尾数据(censored data) 截尾数据
在实际追踪观察中，由于某种原因无法知道观察对象的 确切生存时间，这种生存时间数据称为截尾数据。
半数生存期及其四分位数间距
半数生存期 (median survival time)：又称中数生存期， 记为T50，其定义为： T50 ＝生存率为0.5时所对应的时间
折线图） tk ，分组资料频数表法（ T50 = 1 阶梯图 2 (tk +tk+1 ) ，不分组资料直接法（
它表示有并且只有50%的个体可活这么长 它表示有并且只有50%的个体可活这么长 50% 时间，它反映生存期的平均水平。 时间，它反映生存期的平均水平。
(2) 死亡概率 死亡概率(mortality probability)：记为q，是指往后一 个时段内死亡的可能性大小(概率预测往后的、即将发生的情 况)。年死亡概率的计算公式为：
q = 年内死亡数 年初观察例数
若年内有截尾，则分母用校正例数：
校正例数 = 年初例数 − 截尾例数 2） （
死亡率反映年平均死亡强度，而死亡概 死亡率反映年平均死亡强度， 率表示往后一年死亡的机会大小。 率表示往后一年死亡的机会大小。
Cox比例风险模型 比例风险模型 比例
一、基本概念
生存时间(survival time)：从某种起始事 生存时间 件到达某终止事件所经历的时间跨度。 件到达某终止事件所经历的时间跨度。
对于追踪研究，生存时间就是追踪观察持续的时间。生存时间 常用符号t表示。 例如，临床上冠心病病人在两次发作之间的时间间隔；流行病 学中，从开始接触危险因素(如饮用了含有病菌的饮料)到发病所经 历的时间；动物实验中，从开始给药到动物死亡所经历的时间等。
消除xj量纲的影响2.标准化偏回归系数β源自 的意义1x′ij =
xij − x j sj
（1）取 “+”，则随xj 的增大h(t)也增大,即促进“死亡” 的 发生，缩短生存时间，为“不利因素”； 取 “-”，则随xj 的增大h(t)降低,即抑制 “死亡” 的 发生，延长生存时间，为“保护因素”。 （2）大小 ：∣ βj ∣越大，则xj 对“死亡”风险的影
四分位数间距:记为Q，表示中间半数病人生存 四分位数间距 期的分布范围，它反映生存期的离散程度，其定义为： Q＝T25－T75 式中，T25和T75分别是25百分位数和75百分位数．
生存率的估计
小样本生存率的估计： 小样本生存率的估计：Kaplan-Meier法 ，又 法 称乘积极限法(Product-limit method) 大样本生存率的估计：寿命表法． 大样本生存率的估计：寿命表法． 寿命表有现时和定群之分，估计生存率用 的是定群寿命表法(cohort life table)。
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二、基本思想
用模型去描述实际资料时，须使 得理论结果与实际结果尽可能的一致。
资料整理格式
i 1 2 n
x1 x11 x21 xn1
x2
...
t t1 t2 tn
δ δ1 δ2 δn
x12 ... x22 ... …... xn2 ...
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截尾数据
截尾数据又可分为随机截尾数据 定时截尾数据 随机截尾数据和定时截尾数据 截尾数据 随机截尾数据 定时截尾数据。
可在追踪随访期内任何时点上发生截尾的生存时间数据 称为随机截尾数据 随机截尾数据(random censoring data)。 随机截尾数据 在预先确定了观察终止时点后得到的截尾数据便称为定 定 时截尾数据或称右截尾数据(right censoring data)。 时截尾数据
统计描述
死亡率、死亡概率、 死亡率、死亡概率、生存概率
(1)死亡率 死亡率(mortality rate, death rate) 记为m， 死亡率 表示在某单位时间里的平均死亡强度（频率表示 过去的、已发生的情况）。年死亡率的计算公式 为：
年内死亡数 m= × 1000 年平均人口数
0
00
其中， 年平均人口数 = （年初人口数 + 年底人口数） 2
若RRj >1，则xj 促进“死亡”的发生，缩短生 存时间，为“不利因素”； 若RRj <1，则xj 抑制“死亡”的发生，延长生 存时间，为“保护因素”。 若RRj =1，则xj 为非影响因素。
Cox比例风险模型 比例风险模型 比例 六.筛选影响因素 筛选影响因素
常用方法有（1）前进法； （2）后退法； （3）逐步法：有进有出， 双向筛选。 筛选影响因素的统计量是：
似然比统计量 G=2（lnL k+1-lnL k）
它服从自由度为1的卡方分布。
生存率的估计:目的是对群体定量地进行预后评价。由于生存率与基础 生存率相关，故只要估计出基础生存率，再结合各因素的偏回归系数就可 以估计出生存率， 即
S (t , X
) = [S 0 ( t ) ]exp(
βX )
常用的 Breslow 法：
截尾数据
产生截尾数据的原因： 产生截尾数据的原因：
1）观察对象失访或”死于”其它原因； 2）观察对象的生存期超过了研究终止期； 3）在动物实验中，有时预先规定观察期限，虽 然有一部分动物在到达实验终止期时尚未出现规定 的终止事件，但仍停止实验；或者当出现了预先规 定的终止事件的动物数后实验停止，则这一部分残 存动物的生存时间就是截尾数据。
∑
j =1
ˆ β j ( x *j − x ∆ ) j