九年级上册数学总复习资料

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九年级数学上册知识点总结

第二十一章 一元二次方程

21.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2；③是整式方程。

知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式： ax + bx + c = 0(a

≠ 0). 其中， ax 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次

项， b 是一次项系数； c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

（1） ） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开

平方。 一般 地， 对于形如 x =a(a ≥ 0) 的方 程， 根 据平 方根 的定义 可解 得

x 1= a ,x 2= a .

（2） ） 直接开平方法适用于解形如

x =p 或(mx+a) =p(m ≠0) 形式的方程，如果 p ≥ 0，就可

以利用直接开平方法。

（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2

2

（4） ） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数

的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（ 1） 把常数项移到等号的右边；

⑵方程两边都除以二次项系数；

⑶ 方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； ⑷ 若等号右

边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

2

2

（1） ） 一般地，对于一元二次方程 a x +bx+c=0(a ≠ 0) ，如果 b -4ac ≥0，那么方程的两个

根为 x=

2a

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2） ） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax +bx+c=0(a ≠ 0) 的过程。

（3） ） 公式法解一元二次方程的具体步骤：

① 方程化为一般形式： ax 2

+bx+c=0(a ≠0) ，一般 a 化为正值

②确定公式中 a,b,c 的

值，注意符号；

③求出 b -4ac 的值；

④若 b -4ac ≥ 0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，

若 b -4ac ＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

2

b b

4ac

2

2

2 2

2

2

式子 b -4ac 叫做方程 ax

=b 2

-4ac.

2

+bx+c=0(a ≠ 0) 根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△

△＞ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠0) 有两个不相等的实数根

一元二次方程 △=0，方程 ax +bx+c=0(a ≠0) 有两个相等的实数根

根的判别式

△＜ 0，方程 ax +bx+c=0(a ≠ 0) 无实数根

21.2 ． 3 因式分解法

知识点一 因式分解法解一元二次方程

（1） ） 把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求

两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） ） 因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；

③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；

④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程

方 法 名称 理论依据 适用范围

直接开平

平方根的意

形如 x 2

=p 或（ m x+n ） 2

=p(p

2

方法 义

≥0)

配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法

所有一元二次方程

因式分解 当 ab=0，则 a=0 一边为 0，另一边易于分解 法

或 b=0

成两个一次因式的积的一

元二次方程。

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程 x +px+q=0的两个根为 x 1 ,x 2, 则有 x 1+x 2 =-p,x 1x 2=q.

2

b c 若一元二次方程 a x+bx+c=0(a ≠ 0) 有两个实数根 x 1,x 2, 则有 x 1+x 2=，

,x 1x 2=

a

a

22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1） ） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间

的等量关系。

（2） ） 设：是指设元，也就是设出未知数。

（3） ） 列：就是列方程，这是关键步骤 , 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相

等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4） ） 解：就是解方程，求出未知数的值。

（5） ） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） ） 答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型

（1） ） 数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-1 ， x +1。

三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为 x ，则另两个数分别为 x-2,x+2 。