九年级数学上册复习资料

《二次根式》复习
【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2
=a （a ≥0）； 5.二次根式的运算：
⑴二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=
b a b
a b a
【基础训练】
1．化简：（1）72=__ _； （2）222524-=_ __； （3）61218⨯⨯=__ _；
（4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420
=-。

2. 化简：（1） (宁夏)825-= ； （2） （黄冈）5x -2x =_____ _；（3）(大庆)
； （4）(荆门)
＝________；
（5）（厦门）
． （6）．（广州）3的倒数是 。

3. (聊城)下列计算正确的是（ ） A ．
B ． 39=-
C ．
D ．
4．（中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________；
5. 比较大小：３
10。

6. (黑龙江)函数
中，自变量的取值范围是 ．
7.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（ ）
A 、2－x
B 、x+2
C 、x －2
D 、1x －2
8.（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A.21a + B.
1
2
C.8
D.27 9．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）
A ．2112与
B ．2718与
C ．3
13与 D ．5445与 10.(08，乐山)已知二次根式
与
是同类二次根式，则的α值可以是（ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8 11．（大连）若b a y b a x +=-=
,，则xy 的值为（ ）
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a - 12.（遵义）若230a b -+-=，则2
a b -= ． 13．（遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是（ ）
A ．点P
B ．点Q
C ．点M
D ．点N
14.计算：
（1）（长春） （2）
==a a 2 a （a ＞0） a -（a ＜0）
0 （a =0）；
（3）（上海）． （4）（庆阳）．
15.先将
2
2
x x --÷322x x x -化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值。

16.（广州）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，
化简 ：2
2
2
()a b a b ---
【能力提高】 17.( 济宁)若
，则的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 18.(济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和
，点
关于点
的对称点为点
，
则点所表示的数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
19．先阅读下列的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将
2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22
m n a +=且
mn b =，则2a b ±可变为22
2m n mn +±，即变成2
()m n ±开方，从而使得
2a b
±化简。

例如： 52
6±=3226++
=
2
2
2
(3)(2)223(32)
++⋅=+，∴
2526(32)32±=+=+
请仿照上例解下列问题： （1）526
-； （2）
423+
《一元二次方程》复习
一、基础知识回顾：
1．一元二次方程必须满足的三个条件：① ；② ；③ 。

不满足其中任何一个条件的方程都 一元二次方程。

实例解答：下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=（a ≠0）；②2
4
30x x
+
-=；③2
5
40x x -+=；④2
3x x = ⑤5xy －x+6=0；⑥mx 2=4x+1中，一元二次方程的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．一元二次方程的一般形式为 （ ）。

当 时，是不含一次项的一元二次方程；当 时，是不含常数项的一元二次方程；当 时，是一次项和常数项的一元二次方程。

实例解答：①把方程2)5)(2(-=-+x x 化为一般形式为 ，其中二次项系数
是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

②若0992)1(1
2
=--++x x m m
是一个
一元二次方程，则m 的值为 。

③ 若kx 2+x=k 2+6的一个根是2，则k 的值是 。

3．解一元二次方程的方法有① ；② ；③ ；④ 。

4．已知方程0)(2
=+++pq x q p x 可化为（ ）（ ）=0， 则x 1= ，x 2= 。

5．练方法：（1）x （x-3）=3x-8（配方法）（2）7
12=-+)x )(x (（公式法）（3）0324322
=+-+)x ()x (
6．根与系数的关系：
①基本型：方程02
=++q px x 的两根为21x x 、，则=+21x x ，21x x •= ； ②一般型：方程20ax bx c ++=（a ≠0）的两根为21x x 、，则=+21x x ，
21x x •= 。

实例解答：
（1）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程04322
=--x x 的两实数根。

求下列各式的：
①2
22
1x x +； ②2
112x x x x +； ③)1)(1(21++x x ； ④2
21)(x x -。

（2）求证：无论m 为何值，方程012
=-+-m mx x 总有实数根。

思路归纳：要证明一元二次方程①有两个不相等的实数根，只要推导出△ ；②有两个相等的实数根，只要推导出△ ；③没有实数根，只要推导出△ ；④总有实数根，只要推导出△ 。

二、方程应用题：
1．单（双）循环问题：设参与数量为x ，总次数为a 时，则①单循环问题的方程是 ；②双循环问题的方程是 。

2．平均增长（下降）率问题：设增长（下降）前的数量为a ，增长（下降）后的数量为b ，增长（下降）次数为n ，平均增长（下降）率为x 时，则①平均增长（下降）率问题的方程是 ；②平均增长（下降）次数是2时，方程是 。

3．数字问题：①若个位上数字、十位上数字、百位上数字分别为a 、b 、c ，则这个数为100c+10b+a ；②扎实掌握整数、奇数、偶数等数量关系，还
有 。

4．面积、体积问题：①牢记几何图形的面积和体积公式；②注意图形的拼、拆、平移等变换。

三、典例分析： 1．如果方程（m+2）2
2-m x
－x+3=0是关于x 的一元二次方程，那么m= 。

2. 一元二次方程x 2-4x+1=0化为(x+a)2=b 的形式为 。

3．已知关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0），且9a －3b+c=0，那么方程必有一个解是___ _____。

4． 关于x 的一元二次方程2x 2-3mx+m 2=0的一个根是1，则m 值为 。

5． 若（2x+3y ）2+3（2x+3y ）+2=0，则2x+3y 的值为___ ____。

6.一元二次方程x 2-x+2=0的根的情况是（ ）
A 、有两个相等的实数根；
B 、有两个不相等的实数根；
C 、无实数根；
D 、只有一个实数根。

7．若关于x 的方程02=++c bx x 的两根为2,121=-=x x ，则方程c bx x ++2
分解因式 的结果是 。

8．某个化肥厂今年一月份化肥产量是a 吨，以后每个月比上一月增产的百分率为x ，则二月份的产量为 吨，三月份的产量为 吨；①若三月份产量为b 吨，列方程为 ；②若一季度产量为c 吨 ，列方程为 。

9．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共进行了110场，共有多少队参加比赛？如果设有x 队参加比赛，则根据题意列出的方程是 。

10．一个凸多边形共有27条对角线，它是几边形？
11．两个数的和为26，积为168，求这两个数。

12．某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
13.要在长32m ，宽20m 的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积 共570m 2，问道路宽应为多宽？
14．有一张长方形的桌子,长6m,宽3m,有一块台布的面积是桌面面积的2倍,并且铺在桌面上时,各边垂下的长度相同,求台布的长和宽各是多少? 15．服装店在销售发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每天盈利40元。

为了迎“六一”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销量，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
《图形的旋转》复习
1、概念：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
(1)旋转前后的两个图形是全等形；(2)两个对应点到旋转中心的距离相等 (3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
4、中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
6、坐标系中的中心对称
一、选择题 1、（泸州）如图1，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋
转到△P ’
BA ，则∠PBP ′的度数是( ）
x
y
1
2 4
3 0 -
--1 2 3 A B 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
2、(陕西省) 如图2，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，△A ′OB ′可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的，若点A ′在AB 上，则旋转角α的大小可以是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3、（桂林市、百色市）如图3所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转90°，得△A ′B ′O ，则点A ′的坐标为 （ ）． A ．（3，1） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（1，3）
4、、（甘肃白银）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形
5、（台州市）单词NAME 的四个字母中，是中心对称图形的是 （ ） A ．N B ．A Ｃ．M D ．E
6、（2009年广西钦州）某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰梯形、菱形等四种方案，你认为符合条件的是（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．等腰梯形 D ．菱形
7、（锦州）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )
A B C D
8、 (四川省内江市)已知如图4所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180O
后得到图5，则旋转的牌是（ ） 9、(成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在 （ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (c)第三象限 (D)第四象限 10、（崇左）已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ， 将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为（ ）．
A ．()a b -，
B ．()a b -，
C ．()b a -，
D ．()b a -， 11、（河南）如图6所示，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.
月牙①绕点B 顺时针旋转900
得到月牙②，则点A 的对应点A ’的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2，4） C.（4，2） D.（1，2） 12、（新疆）下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
13、（淄博市）如图7，点A ，B ，C 的坐标分别为(01)(02)(30)-，，，，，．
从下面四个点M(3,3)，N(3,-3)，P(-3,0), Q(-3,1)中选择一个点，以A ，B ，C 与该点为顶点的四边形不是中心对称图形，则该点是（ ）A ．M B ．N C ．P D ．Q 二、填空题1、（2009肇庆）在平面直角坐标系中，点P(2,-3)关于原点对称点P ′的坐标是 ． 2、（湖北十堰市）如图8，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，4)，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是 ．
3、(梅州市)如图10所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
4、（衡阳市）点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135º到点B ，那么点B 的坐标是 _________ ．
5、（枣庄市）如图11，直线4
43
y x =-
+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB △绕点A 顺时针旋转90°后得到AO B ''△，则点B '的坐标是 ．
三、解答题 1、（娄底）如图13所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O 点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC 关于y 轴对称的四边形OA 1B 1C 1，并写出点B 1的坐标是 . （2）画出四边形OABC 绕点O 顺时针方向旋转180°后得到的四边形OA 2B 2C 2.
2、(潍坊)在如图14所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出ABC △绕点O 逆时针旋转90°后
图10 O 甲
图14 图13
A
B O x y O 'B '
图11 图9
图8 图7 图6
图4 图5
A ．
B ．
C ．
D ．
的A B C '''△． 4、（长春）图①、图②均为76⨯的正方形网格，点A B C 、、在格点上． （1）在图①中确定格点D ，并画出以A B C D 、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画一个即可）（3分） （2）在图②中确定格点E ，并画出以A B C E 、、、为顶点
的四边形，使其为中心对称图形．（画一个即可）（3分） 3、（株洲市）如图15，在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，6OA AB ==，将OAB ∆绕点O 沿逆时针方向旋转90︒得到11OA B ∆． （1）线段1OA 的长是 ，1AOB ∠的度数是 ； （2）连结1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形； （3）求四边形11OAA B 的面积．
圆的整章综合复习
一、知识要点： 1、圆的定义：
（1）在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的
图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2、点和圆的位置关系：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r ⇔>；（2）点在圆上d r ⇔=；（3）点在圆内d r ⇔<。

3、与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

4）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。

（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（圆心不同）
（6）等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

4、同圆或等圆的半径相等。

二、课堂作业：
1、填空题（1）到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆。

（2）正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。

2、选择题（1）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
A 、2a b +
B 、 2a b -
C 、 2a b +或2
a b - D 、 a +b 或a -b
（2）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、解答题：判断矩形的四个顶点是否在同一个圆上？
2 圆的对称性（1）
一、知识要点：
1、圆是以圆心对称中心的中心对称图形。

2、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相
图① 图②
等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

（与半径无关） 二、课堂作业：
1、填空题（1）如图1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B ＝70°，∠C 度数是
（2）如图2，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠BOC ＝40°，∠AOE 的度数是 （3）如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，OE ⊥AB ， OF ⊥CD ，则EB ＝ ，ED ＝ 。

2、选择题:在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA=2∠COD ，则下列式子中能成立的是( ) (A)AB ＝2CD ； (B)AB ＜2CD (C) AB ＜2CD ； (D) AB ＞2CD ；
3、解答题：
如图4，是一个圆和一个矩形组成的图形，要求画一条直线， 同时把圆与矩形的面积等分，应如何分割？请保留作图痕迹。

2 圆的对称性（2）
一、知识要点：
1、圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。

2、分析定理的题设和结论。

题设 结论
()⎧⎫⎪
⇒⎬⎨⎭⎪
⎩直线直径平分弦
直线过圆心（直径）直线平分弦所对优弧直线垂直于弦直线平分弦所对劣弧
注意：题设中的两个条件缺一不可。

3、垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧
4、推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
二、课堂作业：
1、填空题（1）已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB＝ ； （2）已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的
1
3
，则弦AB 的长为 cm ，圆心到弦
AB 的距离为 cm ；
2、选择题:（1）在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为( )
(A)42；(B) 82；(C)24；(D)16；
（2）下列语句中，正确的有( )⑴相等的圆心角所对的弧相等； ⑵平分弦的直径垂直于弦；
⑶长度相等的两条弧是等弧；⑷经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；
(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个；
3、解答题：
（1）已知如图1，直线AB 与⊙O 交于C ，D ，且OA=OB 。

求证：AC=BD 。

（2）如图2，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=1cm ，
EB=5cm ，∠DEB=600
，求CD 的长。

3 圆周角（1）
一、知识要点：1、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

2、在一个圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

3、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

相等的圆周角所对的弧相等。

二、课堂作业：
1、填空题:（1）如图四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOC ＝100°，则∠A ＝ ° （2）如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝65°，则∠AOC ＝ ° （3）如图，已知⊙O 的弦AD 、CB 交于点E ，AC ︵的度数为60°，BD ︵
的度数为100°，则∠AEC ＝ 。

2、选择题 （1）半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为( )(A) 5cm ；(B) 43cm ； (C) 6cm ； (D) 33cm ；
（2）中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连结五等分点而得
（如图）．五角星的每一个角的度（ ）（A ）30°（B ）35°（C ）36°（D ）37°
3、解答题：1）在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x ＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
2）如图5，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ， 求证：∠ACB=2∠BAC 。

3 圆周角（2）
一、知识要点：
1、半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。

2、90°的圆周角所对的弦是圆的直径。

3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 二、课堂作业：
1、填空题:1）如图1，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点且∠EOD ＝45°， A 是DC 延长线上一点，AE 交半圆于B ，如果AB ＝OC ，则∠EAD ＝
2）圆中一弦的长恰好是半径的2倍，则这条弦所对的圆周角的度数是 。

2、选择题:（1）在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为( )
(A) 42；(B) 82； (C) 24； (D) 16；
（2）如图2，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，
AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是( )
(A)30° ； (B) 35°； (C) 45°； (D) 70°；
3、解答题：如图3，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ︵= AF ︵
,BF 和AD 交于点E 。

（1）说明AE 与BE 的大小关系，并证明这一结论。

（2）AB 2
＝2AD ·AE ，这个结论能否成立，为什么？
（3）若A 、F 是半圆的三等分点，BC ＝12，求AE 的长。

4 确定圆的条件 一、知识要点：1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆
2、经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
3、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．
4、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。

二、课堂作业：
1、填空题（1）已知△ABC 中，∠Ａ＝800，若点Ｏ是△ABC 的外心，则∠BOC ＝ ；
D O
C B
A 图1
D
O C
B
A 图2 E D O
C B
A
第3
（2）一个直角三角形斜边长为10cm ，内切圆半径为1cm ，则这个三角形周长是 ； 2、选择题（1）下列命题正确的是（ ）
（A ）三点确定一个圆 （B ）三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 （C ）圆有且只有一个内接三角形（D ）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点。

（2）下列四边形中，一定有外接圆的是（ ）（A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）梯形
3、解答题：
（1）⊙O 的半径5r cm =，圆心O 到直线的AB 距离3d OD cm ==。

在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD cm =，4QD cm >，4RD cm <。

P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎么样的？
（2）如图1，已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若5AC cm =，12BC cm =，求△ABC 的外接圆半径。

5 直线和圆的位置关系（1） 一、知识要点：
直线与圆的位置关系只有以下三种：
设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，
若d r > 直线l 与⊙O 相离；
若d r = 直线l 与⊙O 相切； 若d r < 直线l 与⊙O 相交；
二、课堂作业： 1、填空题
（1）已知圆的半径为10厘米，直线和圆只有一个公共点，圆心到直线的距离是 （2）如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB 的位置关系是 . 2、选择题
（1）直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） （A ） 相切 （B ） 相交 （C ）相离 （D ）相切或相交
（2）已知等腰梯形ABCD 上底AD 长为3，下底BC 长为11，一腰AB 长为5，以A 为圆心，AD 为半径的圆与底BC 的位置关系是（ ）
（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）以上都不对 3、解答题：
（1）已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.
直线l 和圆分别有几个公共点？分别说出直线l 与圆的位置关系。

（2）图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB 交小圆于点C 、D ，大圆的弦EF 与小圆相切于点C ，ED 交小圆于点G ，设大圆的半径为10cm ，8EF cm =，求小圆的半径r 和EG 的的长度。

5 直线和圆的位置关系（2）
一、知识要点：1、经过圆的半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

2、证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线.若直线过圆上某一点， 则连半径，证垂直；若直线与圆的公共点没有确定，则作垂直，证半径.
3、直径垂直于经过切点的切线。

二、课堂作业：1、填空题：⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长63,以3为半径的同心圆
与直线AB 的位置关系是______. 2、解答题：
（1）如图P 是圆O 外一点，连PO 交圆O 于C ，弦AB ⊥OP 于D ，若CAP DAC ∠=∠求证：PA 是圆O 的切线。

（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，AC ＝AB ，⊙O 交BC 于D 。

DE ⊥AC 于E ，DE 是⊙O 的切线吗？为什么？
（3）如图3所示,AB 是⊙O 的直径,AE 平分∠BAC 交⊙O 于
点E,过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D,试判断△AED 的形状,并说明理由.
5 直线和圆的位置关系（3）
一、知识要点：1、我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
二、课堂作业：
1、填空题（1）如图1，AD 、AE 、CB 都是⊙O 的 切线，AD=4，则ΔABC 的周长是 。

（2）如图2，AB 为⊙O 的直径，CA ⊥AB ，CD=1cm ， DB=3cm ，则AB=______cm 。

2、选择题（1）△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ，CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ）
A ．2
48cm B ．2
96cm C ．2108cm D ．2
32cm （2）正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） （A ）1:2 （B ）2：1 （C ）4：1 （D ）3：1
3、解答题：
如图3，AB 、CD 与半圆O 切于A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。

5 直线和圆的位置关系（4）
一、知识要点：
1、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．
2、三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
3、注意：三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．
4、菱形一定有内切圆。

这是因为菱形的对角线平分每一组对角。

二、课堂作业：
1、填空题（1）已知直角三角形的两直角边分别为3和4，则这个三角形的内切圆半径是 （2）三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是
2、选择题（1）与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ）
A 、三条中线的交点，
B 、三条角平分线的交点，
C 、三条高的交点，
D 、三边的垂直平分线的交点。

（2）△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系是 （ ） （A ）∠FDE=
21∠A （B ）∠FDE+21∠A=180（C ）∠FDE+2
1
∠A=90 （D ）无法确定 3、解答题：（1）等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。

（2）如图1，PA 、PB 是，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的
切线，切点为P ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm =，70P ∠=︒， （1）求PEF 的周长；（2）求EOF ∠的度数。

6 圆和圆的位置关系 一、知识要点：
1、用数量关系识别两圆的位置关系：设两圆的半径分别为R,r,圆心距为d
（1）两圆外离d R r ⇔>+； （2）两圆外切d R r ⇔=+； （3）两圆相交R r d R r ⇔-<<+； （4）两圆内切d R r ⇔=-；
（5）两圆内含0d R r ⇔≤<-；
2、已知相切两圆半径分别为2cm 和5cm ，则两圆的圆心距为_________
二、课堂作业：
1、填空题（1）已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10cm ，其中⊙A 的半径为4cm ，⊙B 的半径为
（2）两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8cm ，那么这两圆相交时圆心距的范围
是
2、选择题 （1）两圆的圆心距d ＝４，两圆的半径分别是方程x 2
－５x ＋６＝０的两个根，则两圆的位置关系是（ ） A 、外离 B 、外切 C 、相交 D 、内切 （2）两圆半径长分别是R 和r(R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程
0)d R (rx 2x 2
2=-+-有两相等的实数根，则两圆的位置关系是_________
A ．一定内切
B ．一定外切
C ．相交
D ．内切或外切
（3）两圆同心，半径分别为9cm 和5cm ，另有一个圆与这两圆都相切，则此圆半径为___________
A ．2cm
B ．7cm
C ．2cm 或7cm
D ．4cm 3、解答题：
已知两个等圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O1经过⊙O 2，求∠O 1AB 的度数
7 正多边形与圆
一、知识要点：
1、各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形 有n(n ≥3)条边，就叫正n 边形．
2、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
二、课堂作业： 1、填空题
（1）正n 边形的内角和为________，每一个内角都等于________，每一个外角都等于________.
（2）正n 边形的一个外角为24°，那么n=________，若它的一个内角为135°，则n=________．
（3）若一个正n 边形的对角线的长都相等，则n=________．
（4）正八边形有________条对称轴，它不仅是________对称图形，还是________对称图形．
2、判断题：
（1）各边都相等的多边形是正多边形．（ ）
（2）每条边都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ） （3）每个角都相等的圆内接多边形是正多边形．（ ）
3、解答题： (1)已知：如图，正三角形，求作：正三角形ABC 的外接圆和内切圆。

(2)已知：如图，正五边形，求作：正五边形的外接 圆和内切圆。

(要求：保留痕迹，不写作法)
4．解答题：
求证：一个六边形有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个六边
形是正六边形． 8 弧长及扇形的面积
一、知识要点：
1、若设⊙O 半径为R ，n °圆心角所对弧长l ，则弧长公式是
2、在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积的计算公式是：
3、又因为扇形的弧长l = ，扇形面积还可以写成 ， 二、课堂作业：
1、填空题（1）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_____； （2）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______ （3）在⊙O 中，如果120°的圆心角所对应的弧长为
3
2
π，则⊙O 的半径为_______ 2、选择题（1）如果圆的半径为6,那么600
的圆心角所对的弧长为 ( ) A 、π B 、2π C 、3π D 、6π
（2）已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为（ ）
3、解答题：（1）正三角形的边长是6，求它的内切圆和外接圆的周长。

（2）如图1，圆的半径是6 cm ，弧CD 所对的圆心角是600
，弦CD 与直径AB 平行，求阴影部分的面积。

9 圆锥的侧面积和全面积
一、知识要点：
1、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．其中底面是一个 ，侧面是一个 ，。