四年级奥数第32讲容斥原理初步(二)
奥数四年级--容斥问题(二)
练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1.容斥原理的基本概念2.与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)
容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。
小学四年级奥数 容斥原理
容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。
)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B 类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。
用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。
1．先包含——A＋B＋CA∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。
2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。
3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。
例250名同学面向老师站成一行。
老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
问：现在面向老师的同学还有多少名？求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。
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238人
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2021/7/26
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
上都没有达到优秀，其余每人至少有一个科 目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和 人数如下表：
（1）7人；（2）3人；（3）27人
16
2021/7/26
练 10、某班50名同学中，参加体育队的有20人， 习 参加文艺队的有26人，既没有参加体育组也
没有参加文艺队的有12人，那么参加体育队 且没有参加文艺队的有多少人？既参加体育 队又参加文艺队有多少人?
12人，8人
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为什么呢？
篮球15人
6人
短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人
6人
游泳 18人
因为三个项目都达到优秀的人数在前面的算式中 加了三次，又减了三次。如果不加上去，就少算 了短跑、游泳、篮球都达到优秀的人数。
解：(17+18+15)-(6+6+6)+2
= 50-18+2 = 34（人） 34+4=38（人） 答：全班一共有38人
6人
短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人
6人
游泳 18人
3
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经 运用容斥定理 典 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 题 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到
优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+
奥数容斥原理
容斥原理一
试一试：
某班学生每人家里至少有空调和电脑
两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？
41+34-27=48（人）
41
27
34
容斥原理
一个班有45名学生，订阅《小学生数
学报》的有15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有6人。 （1）订阅报纸的总人数是多少？ 15+10-6=19人
足球
排球
游泳
A+B+C+D+E+F+G=六（1）班人数
只 参 加 足 球 训 练
↓ ↓
只 参 加 游 泳 训 练
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
只 参 加 排 球 训 练
既 参 加 足 球 又 参 加 游 泳
既 参 加 足 球 又 参 加 排 球
既 参 加 游 泳 又 参 加 排 球
三 种 都 参 加
↓ 共 七 块
15 4 12 数学 语文来自只有数学得满分 数学得满分 两种都得满分
方法一、二、三是 分块计数的方法；方法 得满分的同学 四不考虑重复，先相加，再去重。
上题中语文满分人数是12，数学满分人数是 15，一门满分的人数应该是27，但我们重复 计算了语文数学都是满分人数4，所以应该减 去4，答案就是23 结论：（公式一） 如果被计数的事物有A、B两类，那么， A类或B类事物个数= A类事物个数+ B类事物 个数—既是A类又是B类的事物个数。
6、六年级（2）班有48名学生，其中会骑自 行车的有27个，会游泳的有18人，既会骑自 行车又会游泳的有10人。问两样都不会的有 多少人？
小学四年级奥数 第31讲：容斥原理初步(一)
【例1】(★★)
网校老师共50人报名参加了羽毛球或乒乓球的训练，其中参加羽毛球训练的有30人，参加乒乓球训练的有35人，请问：两个项目都参加的有多少人？
容斥原理初步(一)
【例2】(★★★)
一个班30人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。
已知做完语文作业的有20人；做完数学作业的有23人。
这些人只完成数学作业的有多少人？
【例3】(★★★)
网校老师组织理财培训，报名股票培训的有23人，报名基金培训的有32人，两项都报名的有8人，两项都没有报名的有5人，那么网校老师有多少人？ 【例4】(★★★)
网校组织40名老师参加趣味运动会，参加同心协力项目的有26人，参加万众一心项目的有18人，两个项目都没参加的有6人，两个项目都参加的有多少人？
1
【例5】(★★★)
网校老师60人组织春游。
报名去香山的有37人，报名去鸟巢的有42人，两个地点都没有报名的有8人，那么只报名其中一个地点的有多少人？【例6】(★★★)
1~100中是2或5的倍数的数有多少个？
【例7】(★★★)
1~100中既不是3的倍数，也不是4的倍数的数有多少个？
【例8】(★★★★)
写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，第一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？
本讲总结
巧用文氏图，找准每一样。
重复就减去，少算要加上。
不重也不漏，计数你最棒！
重点例题：例3，例6，例8
2。
小学四年级奥数竞赛：容斥原理
课题容斥原理年级4授课对象编写人时间学习目标利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
学习重点、难点（1）找出题干中物品对应的量；（2）合理构造抽屉（简单问题中抽屉明显，找出即可）；（3）利用抽屉原理1、抽屉原理2解题。
教学过程T （测试）1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？S （归纳）容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
Nab NbNaE （典例）例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。
小学奥数计数问题之容斥原理知识点
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到 a2×4+a3=26 由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解： 当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22 又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3 因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。 然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2=6人。
经典例题：
例1、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队，且每 人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队 的有()人. 考点：重叠问题. 分析：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理，有20+12+10-6-2-x=30，解方程即可. 解答：解：如图所示，设既参加是球队又参加排球队的人数为x，则依容斥原理， 有20+12+10-6-2-x=30， 解得x=4. 故答案为：4. 点评：此题考查学生依据容斥原理解答问题的能力. 例2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出 第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1 人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是() 解答：根据"每个人至少答出三题中的一道题"可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2 题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。 分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123 由(1)知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…① 由(2)知：a2+a23=(a3+a23)×2……② 由(3)知：a12+a13+a123=a1-1……③ 由(4)知：a1=a2+a3……④ 再由②得a23=a2-a3×2……⑤ 再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
奥数训练专题——容斥原理2
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人•其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人•而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好•问：既爱打篮球又爱打排球的有几人3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动•其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3. 5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人•求参加文艺小组的人数.（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项•其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42 人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人（6级）&新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出•如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人7、五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍,既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数.8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项.其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人.问：有多少人只爱好科学和文艺两项只爱好体育的有多少人9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡, 6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕.2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕.问：三种都带了的有几人只带了一种的有几个9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀.若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生有几个人既会游泳，又会滑冰11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓; 11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子•如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有______人摘了山莓；②有______ 人同时摘了三种水果；③ 有_____人只摘了山莓；④ 有_____ 人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有______人只摘了草莓•12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人•那么，参加B组的有多少人13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个.其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛图形中的重叠问题1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条. 已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长3、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米图34、如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.5、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积. &三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是10平方 厘米•三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米•问：图中阴影部分面积之和是多少 7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于 60平方厘米•阴影部分的 面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多 少平方厘米8、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片， 它们重叠在一起，露在外面的总面积为 38 •若A 与B 、B 与C 的公共部分的 面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3 •求A 与C 公共部 分的面积是多少容斥原理在数论问题中的应用1、在1〜100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个2、在自然数1~100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个3、在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个1210厘米, 10CA •B ■■■ 10'4、在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数.5、以105为分母的最简真分数共有多少个它们的和为多少7、分母是385的最简真分数有多少个并求这些真分数的和8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有____________ 个.9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个10、50名同学面向老师站成一行.老师先让大家从左至右按1，2，3,…，49, 50依次报数; 再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转.问：现在面向老师的同学还有多少名11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1, 2, 3,…，2000, 然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关, 第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券•按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔.那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________ .15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段.16、一根1-8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍容斥原理中的最值问题1、将1〜13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的后把13个区域中，然每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星•如果每条线段上恰有 那么在这个五角星上红色点最少有多少个 3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球•那么，这个 班至少有多少学生这三项运动都会4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20 人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 _________ 人.2 3 45、60人中有3的人会打乒乓球，4的人会打羽毛球，5的人会打排球，这三项运动都会的人有 22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人& 图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名.已知这 100本书中有甲、乙、丙签名的 分别有33, 44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为 29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为 中的任何一人借阅过7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始，按顺 序往后读.已知甲读了 75个故事，乙读了 60个故事，丙读了 52个故事.那么甲、乙、丙 3 人共同读过的故事最少有多少个琢40 I 孔乙35 1 乙268、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100盆花浇水，已知甲浇了 30盆，乙浇了75盆，丙浇了 80盆，丁浇了 90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆恰好被 1个 人浇过的花最多有多少盆1994个点被染成红色,36本.问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙 乙9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水•已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3 人都浇过的花最少有多少盆。
奥数容斥问题
奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。
通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。
本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。
首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。
在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。
具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。
接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。
假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。
利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。
具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。
根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。
上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。
交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。
了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。
例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。
请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。
根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。
小学四年级奥数题：容斥问题
小学四年级奥数题：容斥问题
容斥原理是四年级奥数中的难题之一，那么这类型的题目应该如何解决呢下面就是小编为大家整理的容斥的四年级奥数题目，希望对大家有所帮助!
习题一
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
习题二
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。
问绳子共被剪成了多少段。
解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。
注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。