线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122...i i i i in in D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n =1122...i i i i ni ni D a A a A a A =+++ 1,2,...,i n =例1、计算行列式224041353123251-----二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AX B = XA B = AXB C = 若系数矩阵可逆，则1X A B -= 1X BA -= 11X A CB --= 切记不能写成11X A B C --=或C X AB= 求逆矩阵的方法：1、待定系数法()AB E BA E ==或2、伴随矩阵法11A A A-*=其中A *叫做A 的伴随矩阵，它是A 的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。

112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A A *⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3、初等变换法()()1A E E A -−−−−→初等行变换例2、解矩阵方程315614165278910X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3、解矩阵方程 X AX B =+ ，其中 010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ 112053B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭三、解齐次或非齐次线性方程组设()ij m n A a ⨯=，n 元齐次线性方程组0AX =有非零解()r A n ⇔<n 元齐次线性方程组0AX =只有零解()r A n ⇔=。

当m n =时，n 元齐次线性方程组0AX =只有零解0A ⇔≠。

当m n =时，n 元齐次线性方程组0AX =有非零解0A ⇔=。

当m n <时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组0AX =的解1,...,t ξξ满足：（1）1,...,t ξξ线性无关， （2） 0AX =的每一个解都可以由1,...,t ξξ线性表示。

则1,...,t ξξ叫做0AX =的基础解系。

定理1、设m n A ⨯，齐次线性方程组0AX =，若()r A r n =<，则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于n r -。

齐次线性方程组的通解11...n r n r x k k ξξ--=++ 1,...,n r k k R -∈设()ij m n A a ⨯=，n 元非齐次线性方程组AX B =有解()()r A r A ⇔=。

唯一解()()r A r A n ⇔==。

无数解()()r A r A n ⇔=<。

无解()()r A r A ⇔≠。

非齐次线性方程组的通解11...n r n r x k k ξξη--=+++， 1,...,n r k k R -∈例4、求齐次线性方程组12341234123420202220x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪+++=⎩的通解例5、求非齐次线性方程组1234123412343133445980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解。

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当λ为何值时，齐次线性方程组0020x y z x y z x y z λλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩有非零解，并求解。

例7、已知线性方程组12312321232222x x x x x x x x x λλ-++=-⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，问当λ为何值时，它有唯一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性12,,...,s ααα线性相关12,,...,(2)s s ααα⇔≥中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。

⇔存在不全为0的数12,,...,s k k k 使得1122..0s s k k k ααα+++=。

()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭列有非零解 ()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭行有非零解()12///12,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解 ()12,,...,s r s ααα⇔< ()///12,,...,s r s ααα⇔< 12,,...,s ααα线性无关12,,...,(2)s s ααα⇔≥中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

⇔若1122..0s s k k k ααα+++=，则12...0s k k k ====。

()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭列只有零解 ()1212,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭行只有零解()12,,...,s r s ααα⇔= ()12///12,,...,0...s s k k k ααα⎛⎫⎪ ⎪⇔= ⎪ ⎪⎝⎭()///12,,...,srs ααα⇔=特殊的，n 个n 维向量12,,...,n ααα线性相关⇔12,,...,0n ααα=或120...n ααα=。

n 个n 维向量12,,...,n ααα线性无关⇔12,,...,0n ααα≠或120...nααα≠。

例8、已知向量组()1,2,1t α= ，()22,,0t α=，()31,1,1α=-，讨论t 使该向量组 （1）线性相关 （2）线性无关 六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组12:,,...,s A ααα，若从A 中选出r 个向量构成向量组120:,,...,r i i i A ααα满足：（1）0A 线性无关 （2） A 中的每一个向量都能由0A 线性表示，条件（2）换一句话说A 的任意1r +个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A 中向0A 任意添加一个向量（若有的话），所得的向量组都线性相关。

则0A 叫做A 的极大线性无关向量组，简称极大无关组。

向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩， 记作()12,,...,s r r ααα= 求向量组的秩的方法： （1） 扩充法（2） 子式法 12...m m nααα⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()12,,...,m n m ααα⨯ 最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。

（3） 初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。

例9、设向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,3)αααα''''==---=----=求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。

七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题1P AP B -=相似矩阵的性质:1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。

特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。

2、 相似矩阵有相同的秩。

秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。

3、 相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。

4、若A 与B 相似，则k A 与k B 相似，k N ∈，则()A ϕ与()B ϕ相似。

11111()...k k k B P AP P APP AP P AP P A P -----===n A 与12n λλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似 ⇔n A 有n 个线性无关的特征向量12,,...,n p p p ，且以它们为列向量组的矩阵P 使1P AP -=Λ， 12,,...,n λλλ分别为与12,,...,n p p p 对应的n A 的特征值。

若n A 有n 个互不相等的特征值12,,...,n λλλ，则n A 一定与12n λλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似。

n A 与Λ相似⇔对应于n A 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。

()n r E A k λ⇔--= 其中k 为λ的重数例10、设矩阵12422421A x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭与50000004B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似 （1） 求x 与y ；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP B -=。

例11、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00111100a A ，问a 为何值时，矩阵A 能相似对角化。

例12、设三阶矩阵A 的特征值为11λ=，22λ=，33λ=，对应的特征向量依次为()/11,1,1η=，()/21,2,4η=，()/31,3,9η=，求矩阵A 。

例13、设三阶实对称矩阵A 的特征向值1,1,1- ，与特征值1-对应的特征向量为()11,1,1α'=-，求A 。

八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵例14、化二次型222123123121323(,,)564610f x x x x x x x x x x x x =++---为标准型，并求所用可逆线性变换的矩阵。

例15、化二次型123121323(,,)226f x x x x x x x x x =+-为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。