复变函数-第7章 拉普拉斯变换

例13 求: f(t)tetcost的 Lap变 lac 换 e
解1: ℒ costs2s2, 由象函数的位移性质,
得
ℒ
et
cost
s (s)22,
再由象函数的微分性质,
ℒ f(t)ℒ tet cost
s
(s
)2 tco ts s2 s2 (ss2 2 2 2 )2
顺便可得
sint
1
0
t
dt 0
1s2dsarctans02
7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理
(1) [0, ) 上的卷积定义
若函数 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) ,满足 t 0 时都为零,
则 f 1 ( t ) f 2 ( t ) f1()f2(t )d
0
f1()f2(t
例17 已知 f1ttm ,f2ttn,(m ,n为正整数)
求 在 [0, ) 上的卷积 f1(t) f2(t).
解 因为 ℒ f 1 ( t ) f 2 ( t ) F 1 ( s ) F 2 ( s )
ℒ tmℒ
tn
m! sm1
n! sn1
m ! n! smn2
所以
f1(t)f2(t)ℒ
1sm m!nn!2
(m
m!n! n
1)!
ℒ
1(m n 1)! smn2
m!n! tmn1 (mn1)!
7.3 拉普拉斯逆变换
根据拉普拉斯变换的定义
ft2 1j
jFsestds
j
t0
右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复 变函数的积分,但计算比较麻烦.
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、 部分分式法、查表法等.
例6 求正弦函数 f(t)sinkt (k R )的拉氏变换
解: ℒ f(t) 0 sikn e tsd t t 1 s0 sikn d t set
1 se ss t ikn 0 t k 0 ck oe ts sd t t
k s0 co ke stsd t tsk 20 co kst d st e
例9 求: f(t)3t4co2ts的 Lap变 lac 换 e 。
解: ℒ f(t) ℒ 3t4 ℒ co2st
4! s 3 s5 s2 4
72 s s5 s2 4
7.2.2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t) a 0
则
ℒ f (at)
1 a
F
s a
ℒ 1F(as) af (at)
所以 ℒ eatsinkt(sak)2k2 ℒ eattn(sna!)n1
7.2.4微分性质
(1) 原象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s),
则 ℒ f( t) s F ( s ) f( 0 ) ( R e s C )
一般地, ℒ f ( n ) ( t ) s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) L L f ( n 1 ) ( 0 )
aa ,aa (a )
或
f
(t)tℒ1sF(s)dsa
a
(a
0), a
0,
a
(a
)
a (a 0,但可为） 0
一般地
ℒ
[f(t)]
ds
dsLL
ds F(s)
tn 1s44s4244s43
n次
推论
若 ℒ f (t) F (s),
且积分
s
F (s)ds
收敛
则
f(t)dt
F(s)ds
如 ℒ sin2ts22 4 Res0 ℒ cos3ts2s9 R es0
例7 求: f(t)et(t)etu (t)(0)
的 Lap 变 la换 ce。
解: ℒ f(t)0 f(t)esd t t
0 e t( t ) e tu ( t ) e s d t t
0 (t)e (s )td t0 e (s )tdt
7.3.1 利用拉普拉斯变换对和性质求拉普拉斯 逆变换
一些常用函数的拉氏变换对
特别地,当 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) L L f(n 1 )( 0 ) 0 时,
ℒ f(n)(t)snF(s)
可以证明
ℒ (n)(t) sn
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s), 则
F(s) ℒ tf (t )
从而 ℒ tf(t)F(s) ℒ 1F(s)tf(t)
s
所以 ℒ u(t b)1esb
s
（2）象函数的位移性质
若 ℒ f (t ) F (s), a 为实常数，
则
ℒ eat f(t)F(sa)
例11 求 ℒ eat sin kt, ℒ e a t t n ( n 为正整数).
解: 因为
ℒ
sinkt s2
k k2
ℒ
t n
n! s n1
两次分部 积分
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.1 线性性质
设 ℒ f1 (t ) F1 ( s ) ℒ f2 (t ) F2 (s) , 为常数 则
ℒ f 1 ( t) f2 ( t) F 1 ( s ) F 2 ( s )
ℒ 1 F 1 ( s ) F 2 ( s ) f 1 ( t) f 2 ( t)
)d
0t
f1()f2(t
)d
t
f1()f2(t
)d
0t f1()f2(t)d
称为函数 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) 在 [0, ) 上的卷积.
卷积满足下列性质
1) f1(t)f2(t)f2(t)f1(t)
2) f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) ] f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t )
0
t 0
t 1
例2 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换
解: ℒ u (t) e std t 1e st 1 R es 0
0
s 0s
u t 1 (Rse)(0)
s
例3 求函数 f (t) ek t的拉氏变换 k R .
解:ℒ f( t) e k te s td t e ( s k ) td t 1 R e s k
0
0
s k
ekt 1 sk
(Rse) (k)
例4 求单位斜坡函数 t0t
t0tut的拉氏变换
t0
解:ℒ ( t) 0 te s td t 1 s te s t 0 1 s 0 e s td t s 1 2 R e s 0
(t)
tu(t)
1 s2
(Rse)(0)
例5 求幂函数 tn n 1的拉氏变换
若函数 f ( t ) 满足下列条件
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
t 0 时, f (t) 0 Ⅱ 当 t时,f ( t ) 的增长速度不超过某一指数函
数,亦即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得
ftM ect 0t
成立,则函数 f ( t ) 的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f(t)是以2为周期的函数，个且在一
周
期
内
的
表
达f (t式 ) 为 c0o
st
0t t 2
求: ℒ f(t)
解:
ℒ
f (t)
1 1e2s
02
f(t)estdt
1e12s 0cotsestdt
1
1 e 2
s
(e
ss
s)
s(1 e s ) 1 e 2 s
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用
7.1 拉普拉斯变换
7.1.1拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f ( t ) 当 t 0 有定义,而且积分
f (t)estdt (s 是一个复参量） 0
在 s 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的
e(s)t
e(s)t
t0 s
0
1s s s (R s e )(0)
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f ( t ) 是周期为 T 的周期函数,即
f (t T ) f(t) (t0)
当 f ( t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1 1es T
T f(t)estdt
n次
(2) 象函数的积分性质
复数中的∞是对应与复平面上的 无穷远点,实部、虚部与幅角的 概念对它均无意义,但它的模则
规定为正无穷大,即|∞|=+∞
若
ℒ f (t) F (s),
且积分 F (s)ds 收敛 s
则
ℒ
[ f (t)]
F(s)ds
关 于的 四 则 运 算 作 如 下：规 定
t
s
函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
我们称上式为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F ( s ) 叫做 f ( t ) 的拉氏变换,象函数.
f ( t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数,f ( t ) =ℒ 1 F (s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
7.2.3位移性质
（1）象原函数的位移性质(延迟性质)
若 ℒ f (t ) F ( s ) t 0 为非负实数，则
ℒ f(t t0) e s0tF (s)
ℒ 1 e s0 F t(s ) f( t t0 )
例10 求函数 u(tb) 1 0
tb (b0)的拉氏变换 tb
解: 因为 ℒ u(t)F(s)1
0t1e(t)d et 0ted
et(et 1) 1et
(2)拉氏变换的卷积定理
若 ℒ f1 ( t ) F1 ( s ), ℒ f 2 (t ) F2 (s),
则
ℒ f1(t)f2(t)F 1(s)F 2(s)
ℒ 1 F 1 (s)F 2 (s)f1 (t)f2 (t)
注：上述定理可推广到有限个函数的情形
0t
0
例14
求
ℒ
t
0
sin t
t
dt
在ℒ
f (t) t
0
f (t) estdt t
解 因为
ℒ
sin t
1 s2 1
sF(s)ds中令s 0即得。
ℒ [sitnt]ss2 1 1d sarctans s 2arctans
所以 ℒ 0t stitndt(2arcts)asn
arctsaniln1is 2 1is
s k 2e sc t k o0 ts k 0 sk in e t sd t t
则 sinktestdtkk2 sinktestdt
0
s2 s2 0
所以 ℒ sinkts2 kk2 R es0
即
sinkt
s2
k k2
(Rse)(0)
同理可得
coskt
s2
s k2
(Rse)(0)
解: ℒ tn 0 tne std t s n n 1 1 R e s 0
当 n 为正整数时,
(m) 0ettm1dt (m0)
ℒ tnsnn!1
Res 0 且(m1)m(m)(递推公）式
当m为 正 整 数 时 (， m1) m!
tn
n! s n1
(Rs)e0 (,n N )
在半平面 Res>C上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内F s 为解析函数
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解: ℒ
( t) ( t) e s d t t( t) e s d t e t st 1
ℒ f(t) ℒ t e tcots ((s s )) 2 2 2 22
7.2.5 积分性质
(1) 象原函数的积分性质
若
ℒ f (t) F (s),
则 ℒ [ t f (t)dt] F(s)
0
s
ℒ
1F(s) s
t 0
f (t)dt
一般地
ℒ [10td 4t40td4t4L2L404t f4(t)4d3t]s1nF(s)
3) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 3 ( t )
4) f 1 (t) f2 (t) f 1 (t)f2 (t)
例15 对函数 f1 t 1 , f2(t) et 计算[0, )上的卷积
解: f1 (t)f2 (t) 0 tf1 ()f2 (t)d
一般地,有 F(n)(s)(1)nℒ tnf(t)
从而 ℒ tnf(t) (1)nF(n)(s)
例12 求函数 ℒ t sin kt
解:
因为 ℒ
sinkt
s2
k k2
所以,
ℒ
tsinktddss2 kk2
2ks s2k2
2
同理,
ℒ
tcosktddss2 sk2
s2k2 s2k2 2