高考数学模拟考试试题文
2024届高三数学模拟检测(广东专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（广东专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
2168πcm
C．3
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
⎫
对称
⎪
⎭
单调递减
与平面ABP夹角的余弦值．
2 21
y
b
+=的焦距为2，1F 的周长为8．。
2024年高考数学仿真模拟(一)含解析(题型同九省联考,共 19 个题)
2024年高考仿真模拟数试题（一） 试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（ ） A ．150B ．120C ．75D ．68A ．672B ．864C ．936D ．1056说法正确的是（ ）（ ）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．10．已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（ ）11．已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．2024年高考仿真模拟数试题（一）带答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7A ．150B ．120C ．75D ．68此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ， 又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选D.5．有7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（ ）种站排方式． A ．672 B ．864 C ．936 D ．1056A ．P 的轨迹为圆B ．P 到原点最短距离为1C ．P 点轨迹是一个菱形D ．点P 的轨迹所围成的图形面积为4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．A ．()0f 的值为2B ．()()4f x f x +−≥C ．若()13f =，则()39f =D ．若()410f =，则()24f −=答案 ABC解析 对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+ ，解得()01f =或()02f =， 若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．O O 当外接球的球心O在线段12 =OO h四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题及答案
全国新高考一卷地区2024届普通高等学校招生模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，且复数2024i 6z =，则下列说法中正确的是（ ）. A ．复数z 为实数 B ．2024i i = C ．复数z 为纯虚数D ．6i z =−2．已知集合{}31,Z A x x k k ==+∈，则下列表示正确的是（ ）. A ．2A −∈ B ．2023A ∉ C ．231k A +∉D ．35A −∉3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为上，则该球的表面积为（ ） A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π4．若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了u 和v 两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛u 和v 两位同学各答1题.已知u 同学每轮答对的概率是45，v 同学每轮答对的概率是34，每轮竞赛中u 和v 两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为（ ）. A ．39200B ．129200C ．12950D ．39506．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左顶点为M ，点,A B 均在E 上，且点,A B 关于点y 轴对称，若直线,MA MB 均存在斜率，且斜率之积为18，记E 的离心率为e ，则2e =（ ）.A ．18B 4C ．78D ．147．若直线π4x =是πsin()4y x ω=−(0)>ω的一条对称轴，且在区间π[0,]12上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．38．设函数()f x 在R 上满足()()22f x f x −=+，()()77f x f x −=+，且在区间[]07，上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为（ ）. A ．806 B ．810 C ．807 D ．811二、多选题9．如图，在下列给出的正方体中，点M N ，为顶点，点O 为下底面的中心，点P 为正方体的棱所在的中点，则OP 与MN 不垂直的是（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知直线2:0l mx ny r +−=与圆222:C x y r +=，点(),P m n ，则下列命题中是假命题的是（ ）.A ．若点P 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离B ．若点P 在圆C 内，则直线l 与圆C相交C ．若点P 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切D ．若点P 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （m >0）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b （mod m ）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若0122222222222222C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，a ≡b （mod 10），则b 的值可以是（ ）. A ．2019 B ．2023 C ．2029 D ．2033三、填空题12．已知向量a 与b 相互垂直，且3a =，2b =，则()()a b a b +⋅−= . 13．已知符号“lim ”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①0sin lim1x xx→=；②1lim(1)e xx x →+=，则依据两个公式，类比求0sin cos lim x x xx→= ；1sin cos 0lim(1sin 2)x xx x →+= .14．已知函数()2e e e x x xg x x x =−−，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题15．当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业､创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y （单位：万元）情况，如表所示.(1)根据5月至9月的数据，求y 与t 之间的线性相关系数（精确到0.001），并判断相关性；(2)求出y 关于t 的回归直线方程（结果中b 保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.附：相关系数公式：()()nniii it t y y t y nt yr−−−==∑∑.0.75r >，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）②一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==−=−∑∑，a y bx =−. 2.91≈. 16．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，2n na b n−=. (1)证明：数列{}n b 也为等差数列；(2)若13a d ==，数列{}n c 是以数列{}n b 的公差为首项，2为公比的等比数列，数列{}n n b c 的前n 项和n T ，证明：1n T ≥.17．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．已知1(2,0)F −，2(2,0)F ，点P 满足122PF PF −=，记点P 的轨迹为E .直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.(1)无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(,0)M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值；(2)在（1）的条件下，求MPQ 面积的最小值.19．已知当π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()πx f x =，()sin g x x =，()h x x =.(1)证明：()()()f x g x h x ＜＜； (2)已知()()()0f x g x h x −−＜，证明：()π()2πh x g x −＞（π可近似于3.14）.参考答案：1．A【分析】借助复数的运算法则计算即可得. 【详解】()()1012101220242i i 11==−=，故6z =，故A 正确，B 、C 、D 错误. 故选：A. 2．A【分析】令31k +分别为选项中不同值，求出k 的值进行判定. 【详解】当1k =−时，2x =−，所以2A −∈，故A 正确； 当674k =时，367412023x =⨯+=，所以2023A ∈，故B 错误； 当1k =或0k =时，23131k k +=+，所以231k A +∈，故C 错误； 当12k =−时，123135x =−⨯+=−，所以35A −∈，故D 错误. 故选：A 3．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =故121d d −=或121d d +=，1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．4．A【分析】将1ab =代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论． 【详解】若a ，b 都是正数，且1ab =∴11888422222b a a b a b a b a b a b +++=++=+=+++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立， 故选：A. 5．D【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可. 【详解】若u 和v 两位同学答对4道题，则其概率为224395425⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若u 和v 两位同学答对3道题，则其概率为22143134212255444550⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故u 和v 两位同学至少答对3道题的概率为92139255050+=. 故选：D. 6．C【分析】根据题意得到,,M A B 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于,a b 的齐次方程，从而得解.【详解】由题可得(),0M a −，设()()0000,,,A x y B x y −.则20002200018AM BMy y y k k x a a x a x ⋅=⋅==+−−， 又222222000022222118x y y a x b a b b a a −+=⇒=⇒=， 则22222287a b c a b b ==−=,. 则222227788c b e a b ===. 故选：C 7．C【分析】根据给定条件求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=−含0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是πsin (0)4y x ωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则ππππ,Z 442k k ω−=+∈，即43,Z k k ω=+∈，由πππ242x ω−≤−≤，得π3π44x ωω−≤≤，则πsin()4y x ω=−在π3π[,]44ωω−上单调递增， 而πsin()4y x ω=−在区间π[0,]12上不单调，则3ππ412ω<，解得9ω>， 综上，ω的最小值为11. 故选：C 8．B【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间[]20232023−，上根的个数. 【详解】因为()()22f x f x −=+，所以()()4f x f x −=+， 又()()77f x f x −=+，所以()()14f x f x −=+， 所以()()414f x f x +=+，即()()10f x f x =+， 所以函数()f x 的周期为10，在区间[]07，上只有()()130f f ==， 所以()0f x =在(]4,7上无解， 则()70f x −=在(]0,3上无解，又()()77f x f x −=+，所以()70f x +=在(]0,3上无解，，即()0f x =在(]7,10上无解， 即一个周期[]0,10内，方程的根只有1,3，闭区间[]20202020−，上含有404个周期，此时有4042808⨯=个根， 在区间(]20202023，内，()()()()202110,202330,f f f f ==== 对于区间[)2023,2020−−，根据周期等价于区间[)7,10，该区间上无解， 故方程()0f x =在闭区间[]20232023−，上根的个数为810. 故选：B. 9．CD【分析】建立适当空间直角坐标系，利用空间向量分析判断即可. 【详解】设正方体的棱长为2，对A ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,2,2),(0,2,0),(0,0,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−−=−−，则2020MN OP ⋅=+−=， 所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故A 错误；对B ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,0,2),(1,1,1)MN OP =−=−，则2020MN OP ⋅=+−=， 所以MN OP ⊥，即MN OP ⊥，故B 错误；对C ：建立如图所示空间直角坐标系，则(0,2,0),(0,0,2),(2,1,2),(1,1,0)M N P O ， 可得(0,2,2),(1,0,2)MN OP =−=，则0040MN OP ⋅=++≠， 所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故C 正确；对D ：建立如图所示空间直角坐标系，则(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1),(1,1,0)M N P O ， 可得(2,2,0),(1,1,1)MN OP =−=−，则2200MN OP ⋅=++≠， 所以MN 与OP 不垂直，即MN 与OP 不垂直，故D 正确.故选：CD. 10．AB【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可. 【详解】对于A ，因为点(),P m n 在圆C 外，所以222m n r +>，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==<，所以直线l 与圆C 相交，故命题A 是假命题；对于B ，因为点(),P m n 在圆C 内，所以222m n r +<，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，故命题B 是假命题； 对于C ，因为点(),P m n 在圆C 上，所以222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题C 是真命题；对于D ，因为点(),P m n 在直线l 上，所以2220m n r +=−，即222m n r +=，则圆心()0,0C 到直线l 的距离为d r ===，所以直线l 与圆C 相切，故命题D 是真命题； 故选：AB. 11．AC【分析】先利用二项式定理化简得223a =；再利用二项式定理将()11221139101==−展开可得到a 除以10所得的余数是9，进而可求解.【详解】因为()22012222222222222222C C 2C 2C 2123a =+⋅+⋅++⋅=+=()()112211011110101101019101111111111111139101C 10C 10C 10C 10C 10C 10C 19==−=⨯−⨯++⨯−=⨯−⨯++−+所以a 除以10所得的余数是9. 又因为a ≡b （mod 10） 所以b 除以10所得的余数是9.而2019201109=⨯+，2023202103=⨯+，2029202109=⨯+，2033203103=⨯+ 故选：AC. 12．5【分析】根据向量的数量积运算法则即可求解.【详解】()()2222325a b a b a a b b a b +⋅−=⋅−⋅=−=−=，故答案为：5 13． 1 2e【分析】根据题意，结合极限的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由极限的定义知：①0sin lim1x xx→=；②10lim(1)e x x x →+=， 因为sin cos sin 22x x x x x =，sin 2t x =，可得sin 2sin 2x tx t=， 则00sin cos sin limlim 1x t x x tx t→→==；又因为12sin cos sin 2(1sin 2)(1sin 2)x x x x x +=+，令sin 2t x =，可得22sin 2(1sin 2)(1)x t x t +=+， 所以12122sin cos 0lim(1sin 2)lim(1)lim (1e [)]x xt t x t t x t t →→→+=+=+=.故答案为：1；2e . 14．()20,5e−【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，在()2e e e x x x g x x x =−−中，()()2e 2x g x x x '=+−，当()0g x '=时，解得2x =−或1，当()0g x '<即2<<1x −时，()g x 单调递减， 当()0g x '>即<2x −，1x >时，()g x 单调递增，∵()()()2222222e 2e e 5e g −−−−−=−−−−=，()1111e e e e g =−−=−，当()()22,1e 0xx g x x x −=−−，方程()g x k =有三个不同的实根， ∴()02k g <<−即205e k −<<， 故答案为：()20,5e−.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略()()22,1e 0xx g x x x −=−−这个条件.15．(1)0.962r ≈−，y 与t 具有很强的线性相关关系(2)0.28 3.12y t =−+，10月收入从预测看不能突破1.5万元，理由见解析【分析】（1）直接套公式求出y 与t 之间的线性相关系数，即可判断； （2）套公式求出系数b 、a ，即可得到回归方程，并求出10月份的收入. 【详解】（1）（1）由5月至9月的数据可知1234535t ++++==，3 2.4 2.22 1.82.285y ++++==，51132 2.43 2.2425 1.831.4i i i t y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410i i t t=−=++++=∑，()522222210.720.120.080.280.480.848ii y y =−=++++=∑，所以所求线性相关系数为550.962i it y t yr −===≈−∑.因为相关系数的绝对值0.9620.9620.75r =−=>， 所以认为y 与t 具有很强的线性相关关系.（2）由题得522222211234555i i t ==++++=∑，51522215 3.1453 2.28 2.80.285553105i ii i i t y t yb t t==−−⨯⨯−====−−⨯−∑∑，所以()2.280.283 3.12a y bt =−=−−⨯=， 所以y 关于t 的回归直线方程为0.28 3.12y t =−+. 当6t =时，0.286 3.12 1.44y =−⨯+=，因为144 15<．．，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元. 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）通过计算1n n b b +−为定值可证明等差数列；（2）先求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求n T ，根据n T 的结构即可证明不等式.【详解】（1）∵2n na b n−=， ∴2n n b a n =−，∴()()1112122n n n n n n b b a n a n a a +++⎡⎤−=−+−−=−−⎣⎦， 又∵数列{}n a 是公差为d 的等差数列， ∴1n n a a d +−=， ∴12n n b b d +−=−，∴数列{}n b 是以2d −为公差的等差数列； （2）∵13a d ==，∴112321b a =−=−=，2321d −=−=， ∴数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴1(1)1n b n n =+−⨯=，∴数列{}n c 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴11122n n n c −−=⨯=，∴1·2n n n b c n −=， ∴1121112222n n T n −−−=⨯+⨯++⨯①，∴2n T =()21112122n n n n −−⨯+++⨯⨯−②，∴②−①得，11222n n n T n n −=−−−−⨯+⨯()11222n n n n −=−+++⨯+⨯12212n n n −=−+⋅−122n n n =−+⋅()121n n =−+，∵1n ≥且n 为正整数， ∴10n −≥，20n ＞，∴()1211nn T n =−+≥（当1n =时取等）.17．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ， 由三棱柱111ABC A B C 可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NKMK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， （2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥， 而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥， 若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NKMN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面11ABB A ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =， 而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅， 所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥， 而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ===⨯.18．(1)1m =−(2)9【分析】（1）由双曲线定义即可得点P 的轨迹方程，设出直线l 方程，联立双曲线方程可得与x 有关韦达定理，借助向量垂直数量积为0可计算出M 点坐标；（2）借助弦长公式与点到直线的距离公式可表示出面积，再借助换元法计算即可得解. 【详解】（1）由12122PF PF F F −=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支，设轨迹E 的方程为22221(1)x y x a b−=≥，0a >，0b >，2c =，22a =，23b ∴=，故轨迹E 的方程为221(1)3y x x −=≥，当直线l 的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =−，()11,P x y ，()22,Q x y ，与双曲线方程联立2213(2)y x y k x ⎧−=⎪⎨⎪=−⎩，可得()222234430k x k x k −−++=， 有()()24222122212230Δ16434304034303k k k k k x x k k x x k ⎧−≠⎪=−−+>⎪⎪⎪⎨+=>⎪−⎪+⎪⋅=>⎪−⎩，解得23k >， ()()()12121MP MQ x m x m y y x m ⋅=−−+=−.()()()221222x m k x x −+−−()()()22221212124k x x k m x x m k =+−++++()()()222222214342433k k k kmmk k k +++=−++−−2223(45)3m k m k −+=+− ()()222245313m m k m k −−+−=−MP MQ ⊥，0MP MQ ∴⋅=，故得()()22231450m k m m −+−−=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧−=∴⎨−−=⎩解得1m =−，∴当1m =−时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，可得(2,3)P ，则(2,3)Q −， 此时有()()3312121−⋅=−−−−−，即此时结论也成立，综上，当1m =−时，MP MQ ⊥；（2）由（1）知(1,0)M −，当直线l的斜率存在时，()2122613k PQ x k +=−=−，点M 到直线PQ 的距离为d，则d =1||2MPQSPQ d ∴===令23(0)k t t−=>，则MPQS=10t>，9MPQS ∴=>， 当直线l 的斜率不存在时，13692MPQS =⨯⨯=， 综上可知，MPQS的最小值为9.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.19．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，求导得到函数单调性，得到sin x x >，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πx x ＜，构造πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，二次求导得到单调性，得到π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，证明出()(),(0)π2f x g x x ∈＜，，证明出不等式；（2）变形得到0ππ(2)sin x x −−<，两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：πsin 2πx x −＞，证明出不等式.【详解】（1）令π()()()sin ,02F x h x g x x x x ⎛⎫=−=−∈ ⎪⎝⎭，，∴()1cos 0F x x =−>'在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，∴()F x 在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴()(0)0F x F =＞， ∴sin x x >，∴π()(),(0)2g x h x x ∈＜，，要证()()f x g x ＜，只需证2sin πxx ＜， ∵π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴只需证2sin πxx＜，令πsin 2()x G x x =−，π(0)2x ∈，，∴2cos sin ()x x x G x x −'=，∴22cos tan cos cos ()(tan )x x x x xG x x x x x−'==−，令()tan M x x x =−，π(0)2x ∈，，∴2221cos 1()1cos cos x M x x x −'=−=， 又∵当π(0)2x ∈，时，20cos 1x ＜＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0M x '＜，∴()M x 在(0)π2，上单调递减，∴()(0)0M x M =＜，∴当π(0)2x ∈，时，()0G x '＜，∴()G x 在(0)π2，上单调递减∴π()02G x G ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞，∴2sin πx x ＜， ∴()(),(0)π2f xg x x ∈＜，，∴综上所述，当π(0)2x ∈，时，()()()f x g x h x ＜＜，证毕.（2）∵当π(0)2x ∈，时，()()()0f x g x h x −−＜，∴2sin 0πxx x −−＜， ∴2sin 0πππx x x−−＜，∴0ππ2)i π(s n x x−−＜，①将①式两边同时乘以π得到：0ππ(2)sin x x −−<，② ∵20π−＜，但当π(0)2x ∈，时，sin 0x >，∴(2)s πin 0x −<，将②式两边同时除以(2)s πin 0x −<得到：(2)sin 0(2)n ππsi πx xx−−>−，∴0πsin 2πx x −>−， ∴πsin 2πx x −＞， ∴当π(0)2x ∈，时，()π()2πh x g x −＞，证毕. 【点睛】方法点睛:证明不等式或比较两函数大小，需构造函数，并根据导函数得到函数单调性，结合特殊点函数值得到结论.。
备战2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2024届山东省联合模拟考试数学试题(解析版)
2024年全国普通高考模拟考试数学试题2024．5注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（）A.3B.3.5C.4D.5【答案】C 【解析】【分析】利用百分位数的求法计算即可.【详解】易知730% 2.1⨯=，则该组数据的第三个数4为第30百分位数.故选：C2.已知集合{}|12024A x x =-≤≤，{}|1B x a x a =+≤≤()0a >，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（）A.()0,2024 B.(]0,2024 C.()0,2023 D.(]0,2023【答案】B 【解析】【分析】由A B ⋂≠∅，则集合B 中最小元素a 应在集合A 中，即可得到a 的取值范围.【详解】由题意A B ⋂≠∅，再由0a >，所以集合B 中最小元素a 应在集合A 中，所以02024a <≤，即a 的取值范围是(]0,2024.故选：B.3.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，点P 在C 上，若P 到直线=3y -的距离为5，则PF =（）A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义先确定准线及焦点，计算即可.【详解】由题意可知()0,1F ，抛物线的准线为1y =-，而PF 与P 到准线的距离相等，所以()()5133PF =----=.故选：C4.某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（）A.120B.72C.64D.48【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得.【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为2334A 62A 127=⨯=.故选：B5.已知5a = ，4b = ，若a 在b 上的投影向量为58b - ，则a 与b 的夹角为（）A.60° B.120°C.135°D.150°【答案】B 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可.【详解】易知a 在b上的投影向量为cos ,55cos ,88a b a b a b a b b b ⋅=-⇒=- ，而51cos ,82b a b a =-⋅=-，所以a 与b 的夹角为120 .故选：B6.已知圆()22:200M x y ay a ++=>的圆心到直线322x y +=M 与圆()()22:221N x y -++=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.内含【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求a 的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【详解】圆M ：2220x y ay ++=⇒()222x y a a ++=，所以圆心()0,M a -，半径为a .==，且0a >，所以112a =.又圆N 的圆心()2,2N -，半径为：1.所以2MN ==，912a -=.由922<，所以两圆内含.故选：D7.已知等差数列{}n a 满足22144a a +=，则23a a +可能取的值是（）A.2-B.3- C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据题意，令12cos a θ=，42sin a θ=，由等差数列的下标和性质结合三角函数的性质求解即可.【详解】设12cos a θ=，42sin a θ=，则1243π)4a a a a θ=+++=，所以23[a a ∈+-，故选：A.8.已知函数()1cos 4221f x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，则21y x =-与()f x 图象的所有交点的横坐标之和为（）A.12B.2C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】先用诱导公式化简函数，然后变形成一致的结构，再换元，转化成新元方程根的横坐标之和，分别画图，找出交点横坐标的关系，再和即可.【详解】由题意化简()11cos 4sin(4)22121f x x x x x πππ⎛⎫=-+=+ ⎪--⎝⎭11sin(42)sin 2(21)2121x x x x πππ=-+=-+--，21y x =-与()f x 图象有交点，则1sin 2(21)2121x x x π-+=--有实根，令21t x =-，则12t x +=，则化为1sin 2t t t π+=，即1sin 2t t tπ=-的所有实根之和，即()sin 2g t t π=与1()h t t t =-所有交点横坐标之和，显然()g t 是周期为1的奇函数，()h t 为奇函数且在(0,)+∞上为增函数，图像如图所示，显然，一共有6个交点123456,,,,,t t t t t t ，它们的和为0，则12345612345616322t t t t t tx x x x x x ++++++++++=⨯+=，故选：D .二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知1z ，2z 为复数，则（）A.1212z z z z +=+ B.若12z z =，则2121z z z =C.若11z =，则12z -的最小值为2 D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =【答案】BD 【解析】【分析】通过列举特殊复数验证A ；设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，通过复数计算即可判断B ；设()1i,,R z a b a b =+∈，由复数的几何意义计算模长判断C ；由120z z ⋅=得120z z =，即可判断D.【详解】对于A ，若121i,1i =+=-z z ，则121i 1i 2z z +=++-=，121i 1i z z +=++-=1212z z z z +≠+，故A 错误；对于B ，设()1i,,R z a b a b =+∈，则()2i,,R z a b a b =-∈，所以()()2212i i z z a b a b a b =+-=+，而2221z a b =+，所以2121z z z =，故B 正确；对于C ，设()1i,,R z a b a b =+∈，因为11z =，所以221a b +=，所以()1i 22a b z =-+===-，因为11a -≤≤，所以1549a ≤-≤，所以12z -的最小值为1，故C 错误；对于D ，若120z z ⋅=，所以120z z ⋅=，所以120z z =，所以10z =或20z =，所以12,z z 至少有一个为0，故D 正确.故选：BD10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（）A.()15P A =B.()1|3P B C =C.事件A 与B 是互斥事件D.事件B 与C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件,,A B C 的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以()2326C 31C 155P A ===；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以()2326C 3411C 155P B =-=-=；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以()2326C 22C 5P C =⨯=；A B +表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以()1P A B +=；BC 表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以()2326C 1C 5P BC ==.因为()()()|P BC P B C P C =12=，故B 错误；因为()()()P A B P A P B +=+，所以,A B 互斥，故C 正确；因为()()()P BC P B P C ≠⋅，所以,B C 不独立，故D 错误.故选：AC11.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，过C 的右焦点2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，1F AB 的内切圆分别切直线1F A ，1F B ，AB 于点P ，Q ，M ，内切圆的圆心为I，半径为，则（）A.CB.切点M 与右焦点2F 重合C.11F BI F AI ABI S S S +-=△△△D.17cos 9AF B ∠=【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据渐近线方程求出2a =，得到离心率；B 选项，由双曲线定义和切线长定理得到22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，得到切点M 与右焦点2F 重合；C 选项，根据双曲线定义和1F AB 的内切圆的半径得到11F BI F AI ABI S S S +-=△△△；D 选项，作出辅助线，得到112tan 4PI AF I PF ∠==，利用万能公式得到答案.【详解】A 选项，由题意得112a =，解得2a =，故离心率c e a ===A 正确；B 选项，11,,AP AM F P FQ QB BM ===，由双曲线定义可得1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，两式相减得1122AF BF AF BF -=-，即22AP BQ AM BM AF BF -=-=-，故切点M 与右焦点2F 重合，B 正确；C 选项，1F AB 的内切圆的半径为2r =故()111111111122222F BI F AI ABI S S S F A r F B r AB r F A F B AB +-=+-=+- ()11112424222F A AM F B BM a =-+-=⨯=C 错误；D 选项，连接1F I ，则1F I 平分1AF B ∠，其中111224F P AF AP AF AF a =-=-==，故112tan 4PI AF I PF ∠==，所以2221111212112c i os cos co s s c s n s s in o in AF I AF IAF I AF I AF I AF IAF B ∠-∠∠-=∠=+∠∠∠2212212141tan 71tan 9214AF I AF I ⎛⎫-⎪-∠⎝⎭===+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用双曲线定义和切线长定理推出切点M 与右焦点2F 重合，从而推理得到四个选项的正误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为10，则=a ___________．【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项计算即可.【详解】易知二项式5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项公式为()5152155C C rr rr rr r T x a x a x ---+=⋅=⋅，显然1r =时，115C 102a a =⇒=.故答案为：213.若函数()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为___________．【答案】π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）【解析】【分析】利用和（差）角公式化简，再判断1sin 02ϕ+≠，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求出ϕ.【详解】因为()()πcos sin 3f x x x ϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭ππcos cos sin sin sin coscos sin 33x x x x ϕϕ=+++1cos cos sin sin 22x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若1sin 02ϕ+=，则cos 2ϕ=±，所以()0f x =或()f x x =，显然不满足()f x 的最大值为2，所以1sin 02ϕ+≠，则()()f x x θ=+，（其中3cos 2tan 1sin 2ϕθϕ+=+），依题意可得2213sin cos 422ϕϕ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即sin 2ϕϕ+=，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，解得πZ π2,6k k ϕ=+∈.故答案为：π6（答案不唯一，满足πZ π2,6k k ϕ=+∈即可）14.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2AB =，AF =，若PA PE ⊥，当四面体PAQE 体积最大时，则该四面体的内切球半径为___________．【答案】222-或84352362+-【解析】【分析】先确定P 点的轨迹，确定四面体P AQE -体积最大时，P ，Q 点的位置，再利用体积法求内切球半径.【详解】如图：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，BE ⊂平面ABEF ，且BE AB ⊥，所以BE ⊥平面ABCD .AP ⊂平面ABCD ，所以BE AP ⊥，又⊥PE AP ，,PE BE ⊂平面PBE ，所以AP ⊥平面PBE ，PB ⊂平面PBE ，所以AP PB ⊥.又P 在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹是如图所示的以AB 为直径的半圆，作PH AB ⊥于H ，则PH 是三棱锥P AQE -的高.所以当AQE 的面积和PH 都取得最大值时，四面体PAQE 的体积最大.此时Q 点应该与B 或F 重合，P 为正方形ABCD 的中心.如图：当Q 点与B 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 1PEQ S = ，1PAQ S = ，APE V 中，因为AP PE ⊥，2AP =，2PE =，所以2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：2222222r ==+.如图：当Q 点与F 重合，P 为正方形ABCD 的中心时：13P AQE AQE V S PH -=⋅ 1213=23=，2AQE S = 3PEQ S = ，1PAQ S = ，2APE S = .设内切球半径为r ，由()13P AQE AQE APE APB PQE V S S S S r -=+++⋅ 得：22231r =++84352362+--=.综上可知，当四面体PAQE 的体积最大时，其内切球半径为：222-或84352362+-.故答案为：222或84352362+-【点睛】关键点点睛：根据PA PE ⊥得到P 点在以AE 为直径的球面上，又P 点在正方形ABCD 及其内部，所以P 点轨迹就是球面与平面ABCD 的交线上，即以AB 为直径的半圆上.明确P 点轨迹是解决问题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()()1ln f x x kx =-．（1）若曲线()f x 在e x =处的切线与直线y x =垂直，求k 的值；（2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）1k =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，结合题意有，()()e ln e 1f k ='-=-，即可求解k 值；（2）对函数求导，分0k >和0k <两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.【小问1详解】因为()()1ln f x x kx =-，0k ≠，所以()()ln f x kx =-'，曲线()f x 在e x =处的切线与y x =垂直，所以()()e ln e 1f k ='-=-，得1k =；【小问2详解】由()()1ln f x x kx =-得()()ln f x kx =-'，当0k >时，()f x 的定义域为()0,∞+，令()0f x '=得1x k=，当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1,x k ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '<所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 的定义域为(),0∞-，令()0f x '=得1x k=当1,x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,0x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>所以()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0k >时，()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；当0k <时，()f x 在1,k ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点．（1）证明：111C D B E ⊥；（2）若1124BC B C ==，1B E =，求直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）连接1EC ，可得1AB C E ⊥，由已知得11AB B C ⊥，所以得AB ⊥平面11B C E ，可得11C D ⊥平面11B C E ，则可得111C D B E ⊥；（2）以点E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出1BC的坐标及平面11CDD C 的一个法向量n的坐标，由1BC 和n夹角的余弦值的绝对值即为直线1BC 与平面11CDD C 所成角正弦值，由向量夹角的余弦公式算出，再算出直线1BC 与平面11CDD C 所成角的余弦值.【小问1详解】连接1EC ，因为1ABC 为等边三角形，所以1AB C E ⊥，因为ABCD 为正方形，所以AB BC⊥在四棱台1111ABCD A B C D -中，11//BC B C ，所以11AB B C ⊥，又1111111,,B C C E C B C C E ⋂=⊂平面11B C E ，所以AB ⊥平面11B C E ，因为11//AB C D ，所以11C D ⊥平面11B C E ，因为1B E ⊂平面11B C E ，所以111C D B E ⊥；.【小问2详解】因为底面ABCD 为正方形，1ABC 为等边三角形，所以4AB BC ==，所以1C E =因为1B E =，112B C =，所以2221111C B B E C E +=，所以111B E B C ⊥，又由（1）111C D B E ⊥，且11111C D B C C = ，1111,C D B C ⊂平面1111D C B A ，所以1B E ⊥平面1111D C B A ，即1B E ⊥平面ABCD ，取CD 的中点F ，连接EF ，以点E 为坐标原点，以EB ，EF，1EB 分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0B ，()2,4,0C，(10,2,C ，()2,4,0D -，所以(12,2,BC =-，(12,2,CC =-- ，()4,0,0CD =-，设(),,n x y z = 是平面11CDD C 的一个法向量，所以100n CC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22040x y x ⎧-+-+=⎪⎨=⎪⎩，得()n = ，直线1BC 与平面11CDD C所成角正弦值为113BC n BC n⋅==⋅，则直线1BC 与平面11CDD C3=.17.已知数列{}n a 满足12a =，1nn n a a d q +-=⋅，*n ∈N ．（1）若1q =，{}n a 为递增数列，且2，5a ，73a +成等比数列，求d ；（2）若1d =，12q =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）12d =（2）()1171332nnn a --=+⋅【解析】【分析】（1）利用数列{}n a 为单调递增数列，得到1n n a a d +-=，再根据2，5a ，73a +成等比数列，得到28230d d +-=，即可求出的值.（2）由数列{}21n a -是递增数列得出21210n n a a +-->，可得()()2122210n n n n a a a a +--+->，但2211122n n -<，可得212221n n n n a a a a +--<-．可得()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭；由数列{}2n a 是递减数列得出2120n n a a +-<，可得()1112n n n naa ++--=，再利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.【小问1详解】因为12a =，且{}n a 为递增数列，所以1n n a a d +-=，所以{}n a 为等差数列，因为2，5a ，73a +成等比数列，所以()()2114263a d a d +=++，整理得28230d d +-=，得12d =，34d =-，因为{}n a 为递增数列，所以12d =.【小问2详解】由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①但2211122n n -<，所以212221n n n n a a a a +--<-．②又①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，④由③，④即知，()1112n n n na a ++--=，于是()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- ()1211111112221222212n nn --⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+-++=++ ()1171332nn --=+⋅，故数列{}n a 的通项公式为()1171332nnn a --=+⋅．【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）数列{}n a 为等差数列，利用等差数列的性质即可；（2）根据数列{}21n a -是递增数列得，21210n n a a +-->，数列{}2n a 是递减数列得，2120n n a a +-<，综合数列{}21n a -和{}2n a 即可得()1112n n n naa ++--=，最后利用累加法可求出数列{}n a 的通项公式.18.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点为A ，左焦点为F ，点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且以AB为直径的圆经过点F ．（1）求C 的方程；（2）过点()5,0G -的直线l 交C 于D ，E 两点，线段DE 上存在点M 满足DM GE DG EM ⋅=⋅，过G与l 垂直的直线交y 轴于点N ，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）221189x y +=（2）7【解析】【分析】（1）根据已知条件和椭圆中,,a b c 的关系，求出,,a b c 的值，可得椭圆的标准方程.（2）设直线l ：()5y k x =+，再设()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，把直线方程代入椭圆方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，表示出12x x +，12x x ，并用,,120x x x 表示条件DM GE DG EM ⋅=⋅，整理得0x 为定值；再结合弦长公式表示出GM ，利用两点间的距离公式求GN ，表示出GMN 的面积，利用基本（均值）不等式求最值.【小问1详解】由题意知()0,A b ，(),0F c -，因为点4,3b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，所以2221619b a b+=⇒218a =，由以AB 为直径的圆经过点F ，知0FA FB ⋅= ，得22403b c c -+=①，又222b c a +=②，由①②得3c =，3b =，所以C 的方程为：221189x y +=.【小问2详解】如图：由题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()5y k x =+，且()11,D x y ，()22,E x y ，()00,M x y ，将()5y k x =+代入221189x y +=，整理可得()2222122050180kxk x k +++-=，()()()2222Δ2041250180kk k =-+->，解得77k -<<，由根与系数的关系可得21222012k x x k +=-+，2122501812k x x k -=+，根据DM GE DG EM = ，得01120255x x x x x x -+=-+，解得()22221212021225018202525121218201051012k k x x x x k k x k x x k ⎛⎫-+-⎪++++⎝⎭===-++-++，设与直线l 垂直的直线方程为()15y x k=-+，令0x =，则5y k =-，即50,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故GN ==，()1855GM =--=，记GMN 面积为S ，则12S GM GN =⨯==7272==，当且仅当1k =±时取等号，所以GMN 面积的最小值为7．【点睛】方法点睛：圆锥曲线求取值范围的问题，常见的解决方法有：（1）转化为二次函数，利用二次函数在给定区间上的值域求范围；（2）转化为不等式，利用基本（均值）不等式求最值；（3）转化为三角函数，利用三角函数的有界性求取值范围；（4）转化为其它函数的值域问题，通过分析函数的单调性求值域.19.设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n n i M a a a a a i n i =∈≤≤∈N L，从集合n M 中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）求3M 中(),2d A B =的点对的个数；（2）从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）【答案】（1）12对（2）①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk kk D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【小问1详解】当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.【小问2详解】①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n nn n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯⨯+⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且1C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n n n n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
2024届福建省厦门第一中学高考模拟(最后一卷)数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟考数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量()23,X N σ ，且()24P x m<<=，()15P x n<<=，则()25P x <<的值为（）A.2m n + B.2n m - C.12m - D.12n -【答案】A 【解析】【分析】由正态分布曲线的性质即可得解.【详解】()()()()()112523352415222m n P x P x P x P x P x +<<=<≤+<<=<<+<<=.故选：A.2.已知101mx A x mx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，若2A ∈，则m 的取值范围是（）A.1122m -≤< B.1122m -≤≤ C.12m ≤-或12m >D.12m ≤-或12m ≥【答案】A 【解析】【分析】将2x =代入101mx mx +≤-，然后转化为一元二次不等式求解可得.【详解】因为2A ∈，所以21021m m +≤-，等价于()()21210210m m m ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得1122m -≤<.故选：A3.若抛物线2y mx =的准线经过双曲线222x y -=的右焦点，则m 的值为（）A.4- B.4C.8- D.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】因为双曲线222x y -=的右焦点为()2,0，又抛物线2y mx =的准线方程为4mx =-，则24m -=，即8m =-.故选：C4.已知三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2AB =，3BC =，4CD =，5BD =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.29π4 B.19π2C.29πD.38π【答案】C 【解析】【分析】取BD 中点E ，根据已知可得E 为BCD △的外心，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，可得O 为三棱锥外接球的球心，计算球的半径，由球的表面积公式可得结果.【详解】在BCD △中，因为3BC =，4CD =，5BD =，所以222BC CD BD +=，所以BC CD ⊥，取BD 中点E ，则E 为BCD △的外心，且外接圆的半径为1522r BD ==，过E 作底面的垂线OE ，使12OE AB =，又AB ⊥平面BCD ，则O 为三棱锥外接球的球心，所以外接球的半径2222529144R OE BE =+=+=，所以三棱锥外接球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=，故选：C.5.1024的所有正因数之和为（）A.1023B.1024C.2047D.2048【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，1010242=，则1024的所有正因数之和为11012101(12)2222204712⨯-++++==- .故选：C6.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是2121⨯大小的特殊的几何图形，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有4412种不同的码，假设我们1万年用掉15310⨯个二维码，那么所有二维码大约可以用（）（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）A.11710万年 B.12010万年C.12310万年D.12510万年【答案】A 【解析】【分析】利用取对数法进行化简求解即可．【详解】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则44144115152lg lg lg2(lg3lg10)441lg2lg3154410.3010.47715117310x ==-+=--≈⨯--≈⨯，即11710x ≈万年．故选：A ．7.在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为1210x x x ､､､，乙班的十个人成绩分别为1210,,,y y y .假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（）A.中位数一定不变，方差可能变大B.中位数可能改变，方差可能变大C.中位数一定不变，方差可能变小D .中位数可能改变，方差可能变小【答案】A 【解析】【分析】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，中位数不变，再设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，根据公式得到合并后平均数为ω，方差为2s '，2222211(()22s s x y s ωω=+-+-≥'，得到结论.【详解】不妨设12101210,x x x y y y ≤≤≤≤≤≤ ，则1210x x x ､､､的中位数为562x x +，1210y y y ､､的中位数为562y y +，因为565622x x y y ++=，所以5566x y y x ≤≤≤或5566y x x y ≤≤≤，则合并后的数据中位数是562x x +或者562y y +，所以中位数不变.设第一组数据的方差为2s ，平均数为x ，第二组数据的方差为2s ，平均数为y ，合并后总数为20，平均数为ω，方差为2s '，{}22222110()10(1010s s x s y ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦'⎣⎦+222222221111((((.2222s x s y s x y s ωωωω⎡⎤⎡⎤=+-++-=+-+-≥⎣⎦⎣⎦如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大.故选：A.8.若曲线1exax y +=有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a 的值为（）A.14B.4C.13D.3【答案】A 【解析】【分析】设切点0001(,)ex ax x +，利用导数的几何意义求得切线方程，将原点坐标代入，整理得20010ax x ++=，结合Δ0=计算即可求解.【详解】设1()e x ax y f x +==，则1()e xax a f x -+-'=，设切点为0001(,)e x ax x +，则0001()e x ax a f x -+-'=，所以切线方程为0000011()e e x x ax ax a y x x +-+--=-，又该切线过原点，所以00000110(0)e e x x ax ax a x +-+--=-，整理得2010ax x ++=①，因为曲线()y f x =只有一条过原点的切线，所以方程①只有一个解，故140a ∆=-=，解得14a =.故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若1b c >>，01a <<，则下列结论正确的是（）A.a a b c <B.log log b c a a >C.a a cb bc <D.log log c b b a c a>【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得，由幂函数性质可判断A;由对数函数性质可判断B;由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【详解】对于A ：∵01a <<，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，且1b c >>，∴a a b c >，故选项A 错误；对于B ：∵01a <<，∴函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，又∵1b c >>，∴log log log 10a a a b c <<=，∴110log log b c c a>>，即0log log b c a a >>，故B 正确；对于选项C ：∵01a <<，则10a -<， 幂函数1a y x -=在(0,)+∞上单调递减，且1b c >>，∴11a a b c --<，∴a a cb bc <，故选项C 正确；对于选项D ：由选项B 可知：0log log b c a a >>，∴0log log b c a a <-<-，∵1b c >>，∴(log )(log )b c c a b a -<-，∴log log c b b a c a <，故D 错误.故选：BC.10.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切，则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()eeyxf x f y f x y +=+，且()11f =，则（）A.()00f =B.()21ef -=C.()e xf x 为奇函数D.()f x 在()0+∞，上具有单调性【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，令0x y ==即可判断A ，令1x =，1y =-，即可判断B ，令y x =-结合函数奇偶性的定义即可判断C ，令y x =即可判断D 【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000eef f f =+，即()00f =，故A 正确；对B ：1x =，1y =-，则有()()()1111e 11e f f f -+--=，即()()()1e 1e0f f f =-+，由()00f =，()11f =，故()01e ef =-+，即()21e f -=-，故B 错误；对C ：令y x =-，则有()()()eexx f x f f x x x --=+-，即()()()e 0e x x x f f x f -=+-，即()()e exxf x f x --=-，又函数()f x 的定义域为R ，则函数()e x f x 的定义域为R ，故函数()e xf x 为奇函数，故C 正确；对D ：令y x =，则有()()()eexxf x f x f x x +=+，即()()22exf x f x =，即有()()22e x f x f x =，则当ln 2x =时，有()()ln 22ln 221ln 2e f f ==，即()()2ln 2ln 2f f =，故()f x 在()0,∞+上不具有单调性，故D 错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，则tan2θ=______．【答案】43【解析】【分析】利用复数()2cos isin 1iz θθθ+=∈+R 的实部为0，求出tan 2θ=-，再利用二倍角公式得出结论．【详解】 复数()()()()()()2cos isin 1i 2cos sin sin 2cos i2cos isin 1i 1i 1i 2z θθθθθθθθθ+-++-+===∈++-R 的实部为0，2cos sin 0,tan 2θθθ∴+=∴=-．22tan 44tan21tan 143θθθ-∴===--．故答案为：43．13.已知空间中有三点()0,0,0O，()1,1,1A -，()1,1,0B ，则点O 到直线AB 的距离为______.【答案】305【解析】【分析】求出,OA AB 的坐标，求出cos ,OA AB，根据点O 到直线AB 的距离为sin ,OA OA AB 即可求解.【详解】因为()0,0,0O ，()1,1,1A -，()1,1,0B ，所以()()1,1,1,0,2,1OA AB =-=-,所以OA AB == ，()()1012113OA AB ⋅=⨯+-⨯+⨯-=-.所以cos ,OA ABOA AB OA AB⋅==-所以10sin ,5OA AB === .所以点O 到直线AB的距离为sin ,55OA OA AB ==.故答案为：305.14.设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.【答案】2t ≤【解析】【分析】分情况讨论a 不同取值时函数2()u x x ax b =++在[0，4]上的范围，从而确定()f x 的最大值，将对任意实数a ，b ，总存在实数0[0x ∈，4]使得不等式0()f x t 成立，转化为min ][()max t f x ≤恒成立，即可解决．【详解】因为存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，所以max ()t f x ≤，因为对于任意的实数a ，b ，max ()t f x ≤,所以min ][()max t f x ≤恒成立，设()f x 的最大值为M （b ），令2()u x x ax b =++，二次函数的对称轴为2a x =-，当<02a-，即a>0时，()u x 单调递增，此时()16+4+b u x a b ，当28b a ≥--时，M （b ）16+4+a b =，当28b a <--时，M （b ）b =-，从而当0a >时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）2+8>8min a =，当40a -<£时，()u x 在[0，)2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()1644a b u x a b -+≤≤++，所以当21288b a a =--时，2min 1()2888M b a a =-++≥.当84a -≤≤-时，()u x 在[0，2a -上单调递减，在[2a-，4]上单调递减，2()4a b u x b -+≤≤，所以当218b a =时，2min 1()28M b a =≥.当a ＜-8时，()u x 单调递减，16+4a+()b u x b ≤≤，当28b a ≤--时，M （b ）164a b =---，当28b a >--时，M （b ）b =，从而当a ＜-8时，28b a =--时M （b ）取最小值，M （b ）28>8min a =--.综合得min ()2M b =.所以2t ≤.故答案为：2t ≤【点睛】本题主要考查函数的图象和性质的应用，考查函数的单调性和最值，考查恒成立和存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.用1，2，3，4，5这五个数组成无重复数字的五位数，则（1）在两个偶数相邻的条件下，求三个奇数也相邻的概率；（2）对于这个五位数，记夹在两个偶数之间的奇数个数为X ，求X 的分布列与期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，利用排列数公式求出()n A ，()n AB ，最后根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】设A =“数字2，4相邻”，设B =“数字1，3，5相邻”，则数字2，4相邻时的五位数有2424A A 48=个，数字2，4相邻，数字1，3，5也相邻的五位数的个数为232232A A A 24=，则()()()241482n AB P B A n A ===；【小问2详解】依题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，由题意知“X 0=”表示2个偶数相邻，则()242455A A 20A 5P X ===，“1X =”表示2个偶数中间共插入了1个奇数，则()21323355A C A 31A 10P X ===，“2X =”表示2个偶数中间共插入了2个奇数，则()22223255A A A 12A 5P X ===；“3X =”表示2个偶数中间共插入了3个奇数，则()232355A A 13A 10P X ===，所以X 的分布列为X0123P2531015110则X 的期望为()231101231510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.16.已知在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，11AA =.（1）已知E ，F 分别为棱1AA ，BC 的中点，求证：//EF 平面11A B C ；（2）求直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1510【解析】【分析】（1）G 为1B C 中点，通过证明1//EF A G ，证明//EF 平面11A B C ；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值.【小问1详解】取1B C 中点G ，连接1A G ，FG .G ，F 分别为1B C ，BC 中点，1//GF BB ∴且112GF BB =，又E 为1AA 中点，11//A E BB ∴且1112A E BB =，1//GF A E ∴且1GF A E =，故四边形1A EFG 是平行四边形，1//EF A G ∴.而EF ⊄平面11A B C ，1A G ⊂面11A B C ，//EF ∴平面11A B C .【小问2详解】如图以A 为坐标原点，AC ，1AA 分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，)3,1,0B，)13,1,1B ，()0,2,0C ，则())1110,2,1,3,1,0A C AB =-= .设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z = ，则1112030A C n y z A B n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得3y =，3z =-，(1,3,3n ∴=-.又)13,1,1A B =- ，1332315cos ,1054A B n ∴=⨯.即直线1A B 与平面11A B C 所成角的正弦值是1510.17.三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.（1）证明：3sin 33sin 4sin x x x =-；（2）若11sin101n n ⎛⎫︒∈⎪+⎝⎭，，*n ∈N ，求n 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5n =【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及倍角公式证明即可；（2）将sin10︒转为方程314302x x -+=的一个实根，通过函数的单调性及零点存在性定理即可求解.【小问1详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x=+=+()22sin cos cos 12sin sin x x x x x=⋅+-()2332sin 1sin sin 2sin 3sin 4sin x x x x x x =-+-=-；【小问2详解】由（1）可知，31sin 303sin104sin 102︒︒︒=-=，即sin10︒是方程314302x x -+=的一个实根.令()31432f x x x =-+，()()()212332121f x x x x '=-=+-，显然10sin10sin 302︒︒<<=，当102x <<时，()0f x <′，所以()31432f x x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又3114066f ⎛⎫⎛⎫=⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31111174305552250f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11sin10,65︒⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即5n =.18.已知圆22:(1)16A x y ++=和点()1,0B ，点P 是圆上任意一点，线段PB 的垂直平分线与线段PA 相交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）点D 在直线4x =上运动，过点D 的动直线l 与曲线C 相交于点,M N .（ⅰ）若线段MN 上一点E ，满足ME MD ENDN=，求证：当D 的坐标为()4,1时，点E 在定直线上；（ⅱ）过点M 作x 轴的垂线，垂足为G ，设直线,GN GD 的斜率分别为12,k k ，当直线l 过点()1,0时，是否存在实数λ，使得12k k λ=若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12λ=【解析】【分析】（1）根据中垂线的性质可得42QA QB AB +=>=，由椭圆的定义可知动点Q 的轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而求出轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点E 在定直线330x y +-=上；（ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断.【小问1详解】由题意知圆心(1,0)A -，半径为4，且QP QB =，2AB =，则42QA QB QA QP PA AB +=+==>=，所以点Q 的轨迹为以,A B 为焦点的椭圆，设曲线的方程为()222210x y a b a b+=>>，则24,22a c ==，解得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】（ⅰ）因为直线l 的斜率一定存在，设直线l 的方程为y kx m =+，因为D ()4,1在l 上，所以41k m +=，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222348430k x kmx m +++-=，()()()()22222Δ81634348430km k m k m =-+-=-+>，设112200(,),(,),(,)M x y N x y E x y ，则()21212224383434m km x x x x k k--+==++，，由ME MD EN DN =得10102244x x x x x x --=--，化简得()()1212120428x x x x x x x ⎡⎤+-=-+⎣⎦，则()202224388428343434m km km x k k k --⎛⎫⎛⎫⨯-⨯=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得00330kx m x ++-=，又因为00y kx m =+，所以00330x y +-=，所以点E 在定直线330x y +-=上.（ⅱ）因为直线y kx m =+过()1,0，所以0k m +=，直线方程为y kx k =-，从而得()4,3D k ，1(,0)G x ，由（ⅰ）知，()221212224383434k k x x x x k k-+==++，2122113,4y k k k x x x ==--，所以()()()()12121212122121214444333x kx k k y x x x x x k x x k x x k x x -----+=⨯==---()()()22222222222222224384434413434282344334k k x x k x k k k k k x k x x k ---+-+-++===⎡⎤⎡⎤⎛⎫+-⎣⎦--⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦，所以存在实数12λ=，使得1212k k =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.19.对于数列{}n a ，数列{}1n n a a +-称为数列{}n a 的差数列或一阶差数列.{}n a 差数列的差数列，称为{}n a 的二阶差数列.一般地，{}n a 的k 阶差数列的差数列，称为{}n a 的1k +阶差数列.如果{}n a 的k 阶差数列为常数列，而1k -阶差数列不是常数列，那么{}n a 就称为k 阶等差数列.（1）已知20，24，26，25，20是一个k 阶等差数列{}n a 的前5项.求k 的值及6a ；（2）证明：二阶等差数列{}n b 的通项公式为()()()()()121321111222n b b n b b n n b b b =+--+---+；（3）证明：若数列{}n c 是k 阶等差数列，则{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，即0kin ii c nλ==∑（其中iλ（01i k = ，，，）为常实数）【答案】（1）3k =，610a =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义直接进行求解，得到3k =，并根据二阶差数列的第4项为5-，求出一阶差数列的第5项为10-，得到方程，求出610a =；（2）令1n n n d b b +=-，根据二阶等差数列的定义得到112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，再利用累加法求出()()()()()321211112212n b n n b b b n b b b =---++--+；（3）数学归纳法证明出()1,nmi S m n i==∑为n 的1m +次多项式，利用引理可证出结论.【小问1详解】{}n a 的一阶差数列为4，2，1-，5-；二阶差数列为2-，3-，4-；三阶差数列为1-，1-，1-为常数列，故{}n a 为三阶等差数列，即3k =，二阶差数列的第4项为5-，故一阶差数列的第5项为10-，即6510a a -=-，故610a =.【小问2详解】令1n n n d b b +=-，因为{}n b 是二阶等差数列，所以112213212n n n n d d d d d d b b b ----=-==-=-+ ，因此()()()()()()1122113212112n n n n n d d d d d d d d n b b b b b ---=-++++-+=--++- ，所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-++++-+ 1211n n d d d b --=++++ ()()()()()()321211231021n n b b b n b b b =-+-+++-++--+ ()()()()()321211112212n n b b b n b b b =---++--+，命题得证.【小问3详解】证明：先证一个引理：记()1,nmi S m n i==∑，(),S m n 是n 的1m +次多项式，数学归纳法：当1m =时，()()11,12312S n n n n =++++=+ 是n 的2次多项式，假设(),S k n 是n 的1k +次多项式，对0,1,,1k m =- 都成立，由二项式定理，()11101C mm m k k m k n nn +++=+-=∑，规定001=，将n 取0，1，2，…，n ，得101-=，()110111C 1mm k km k ++=+-=∑，()111212C2mm m kkm k +++=+-=∑，……，()11101C mm m k km k n nn +++=+-=∑，求和可得()()111110011C1C2CC ,mmmmm k kk kk k k m m m m k k k k n n S k n +++++====+=++++=∑∑∑∑ ，则()()()()()111101C ,1C ,,m m k m m k mn n S k S m n n m S m -+++=+-=+=∑，故()()()11101C ,,1m m k m k n S k n S m n m -++=+-=+∑是n 的1m +次多项式，引理得证.回到本题，由（2）可知，2阶等差数列的通项是n 的2次多项式，假设k 阶等差数列{}n c 的通项公式是n 的k 次多项式，对于1k +阶等差数列，它的差数列{}n c '是k 阶等差数列，即0kin i i c n λ='=∑，故1111101n k nn i iii i jc c c c jλ--===⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭∑∑∑，由引理可知，此为n的k次多项式，命题得证.【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。
江西省抚州市金溪县2023届高三高考仿真模拟考试数学(文)试题
【详解】因为 f (-x) =sin -x -cos(-2x) =sin x -cos2x =f (x) ，所以 f ( x) 是偶函数，则 A
正确；
答案第31 页，共22 页
A．直线 OA 与双曲线 C 有交点 B．若 MF1 = 2b ，则 AM = 2a - b
C．若 MF2 = 4 AF2 ，则 C 的渐近线方程为 y =±3 x 4
D．若| NF2 = 4 AF2 | ，则 C 的离心率为 2 6 3
二、填空题
ì x - y +1³ 0 z = x -3y
13．若
(2)若 l 与 C 交于 M，N 两点，点 P(-1,1) ，求
1 PM
+
1 PN
的值.
23．已知函数 f ( x) = x -1 - x + 3 . (1)求不等式 f ( x) £ 2 的解集； (2)设函数 f(x)的最大值为 M，若 a，b，c 均为正数，且 abc = M ，求 ( a + b)2 + c2 的最小
(2)记三棱柱
ABC
-A1B1C1
的体积为V1 ，三棱锥 C1
-
ADE
的体积为V2
，求
V2 V1
.
19．随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了 生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习 观、生活观.某校高一年级 1000 名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均
f
æ çè
2023 ö 3 ÷ø
=
-2
.
【详解】因为 f（x）为 R 上的奇函数，所以 f (1+ x) = f (-x) = - f ( x) ，
2023-2024学年四川省高考热身考试数学(文)模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年四川省高考热身考试数学（文）模拟试题（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20,1,A a =，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则=a （）A.1或2-B.2-C.1-或2D.2【正确答案】B【分析】分析可知A B ⊆，利用集合的包含关系可出关于a 的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数a 的值.【详解】因为{}20,1,A a=，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则B A ⊆，所以，21a -=或22a a =-，若21a -=，则1a =，此时，21a =，集合A 中的元素不满足互异性，故1a ≠；若22a a =-，可得220a a +-=，因为1a ≠，则2a =-，此时，24a =，合乎题意.因此，2a =-.故选：B.2.已知12i z a =+，22i z b =+，(),a b ∈R ，若()()1122i 413i z z z z ++=+，则（）A.2a =，3b =B.2a =-，3b =-C.2a =，3b =±D.2a =-，3b =±【正确答案】C【分析】由已知可得112z z a +=，2224z z b =+，代入根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，112i 2i 2z z a a a +=++-=，2222224z z b b =+=+，所以()()()21122i 24i 413i z z z z a b ++=++=+，所以有224413a b =⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=-⎩.故选：C.3.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A.支出最高值与支出最低值的比是6：1B.利润最高的月份是2月份C.第三季度平均收入为50万元D.1～2月份的支出的变化率与10～11月份的支出的变化率相同【正确答案】B【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是6:1，A选项正确；2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C 选项正确；1～2月份的支出变化率为60303021-=-，10～11月份的支出变化率为5020301110-=-，故变化率相同，故选项D正确.故选：B4.已知πsin sin22θθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则tanθ=（）A.2- B.1- C.1 D.2【正确答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sinθ、cosθ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tanθ的值.【详解】因为πsin sin sin cos22θθθθ⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2sin 22cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.5.函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的部分图像大致为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】先判断函数()f x 的奇偶性排除选项C 、D ；再由ππln 022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，即可求解.【详解】函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，且()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，其函数图像关于()0,0对称，所以选项C 、D 错误；又ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=>⎪⎝⎭，所以选项B 错误；故选：A.6.过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A.()()22122x y ++-= B.()()22225x y -+-=C.()()22122x y -+-= D.()()22225x y ++-=【正确答案】C【分析】分析可知，圆心在直线2y =上，设圆心为(),2C t ，根据圆与直线1y x =-相切以及圆过点A 可得出关于t 的等式，解出t 的值，即可得出所求圆的方程.【详解】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.7.已知a ，b 是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，现有以下四个命题：①//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//b a a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；④//b a b a αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭．其中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】若a b αα⊥⊥，，则//a b ，故①正确；若a a αβ⊥⊥，，则//αβ，故②正确；若b a b α⊥⊥，，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，则在平面α内存在直线c ，使得//a c .又,b c αα⊥∈，所以b c ⊥，所以a b ⊥r r，故④正确.所以正确的个数有3个.故选:C.8.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【正确答案】C【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.9.已知34a =，1b =-，3ln 2c =，则（）A.c b a<< B.a c b<< C.b<c<aD.c<a<b【正确答案】A【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出1<-，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以，()110f f =->=，即1<-，因为9e 4<，则32<，所以，3ln ln 12c b =<=，又因为2749e416⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则74>314a b =>=，故c b a <<.故选：A.10.已知双曲线C ：22221x y a b-（a >0，b >0）左，右焦点分别为12F F ，，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A.2B.C.3D.4【正确答案】D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF SS=求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan b MOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF SS==⨯⨯⨯=，故选：D11.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h =（）A.cos sin()sin()a αγαγβ-- B.sin sin()sin()a αγαγβ--C.cos sin()sin()a αγβγα-- D.sin sin()sin()a αγβγα--【正确答案】D【分析】在PAB 中，根据正弦定理求得sin()sin()a PB αβγα-=-，结合PQ PC CQ =+，即可求解.【详解】在PAB 中，ππ,()()22PAB BPA αβαγγα∠=-∠=---=-，由正弦定理得sin()sin()PB a αβγα=--，可得sin()sin()a PB αβγα-=-，过点B 作BD AQ ⊥，可得sin CQ BD a β==所以sin sin()sin sin sin()a PQ PC CQ PB a αγβγβγα-=+=⋅+=-.故选：D.12.若函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+B.()0,eC.()()0,11,+∞ D.()()0,11,e 【正确答案】C【分析】设()ln f x x x =，求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出()y f x =的大致图象，将函数()g x 的零点个数转化为函数函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象交点个数，分析函数与直线情况，即可得实数a 的取值范围.【详解】令()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，则()ln 1f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示．由题知函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象恰有2个交点，易知点()1,0为()y f x =与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-，所以当01a <<，直线()1y a x =-与与曲线()y f x =有2个交点；当1a >时，直线()1y a x =-与曲线()y f x =有2个交点．综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()1,a λ= ，()2,1b =，若()2//a b b + ，则λ=________．【正确答案】12##0.5【分析】求出向量2a b +的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数λ的值.【详解】因为()1,a λ= ，()2,1b =，则()()()21,22,15,2a b λλ+=+=+ ，因为()2//a b b + ，则()225λ+=，解得12λ=.故答案为.1214.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S =__________.【正确答案】17【分析】由314a a =可得24q =，再由求和公式求比值即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314a a =，可得23114a a a q ==，即24q =，所以()()84844112111141711q S q q S q a a q--=+=+==--.故17.15.如图，ABCD 是边长为2的正方形，其对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD沿对角线BD 折叠，使点A 所对应点为'A ，'2A OC π∠=.设三棱锥'A BCD -的外接球的体积为V ，三棱锥'A BCD -的体积为'V ，则'VV =__________．【正确答案】4π【分析】由题知球心为O,求得球的体积，再求锥的体积，则比值可求【详解】由题 OA OB OD OC ='==,易知三棱锥A'BCD -的外接球的球心为O ，∴R =，∴82πV 3=，A'到底面BCD ，∴1V 23=⨯⨯=，∴V4πV'=.故答案为4π本题考查球与三棱锥的体积，外接球问题，明确球心位置是突破点，准确计算是关键，是基础题16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为__________．【正确答案】【详解】由题意，设22(,),(,)A a a B b b ，则220m a m b m a m b --+=--，即110m a m b+=++，所以2a b m +=-，又221a b k a b a b-==-+，所以12k m m m -=--≤-=．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线的斜率公式和基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中正确推算k m -的表达式和运用基本不等式是解答的关键．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某学习APP 的注册用户分散在A 、B 、C 三个不同的学习群里，分别有24000人、24000人、36000人，该APP 设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A 、B 、C 三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配多少人？（2）设匹配的7名学员分别用：1m 、2m 、3m 、4m 、5m 、6m 、7m 表示，现从中随机抽取出2名学员参与新的游戏．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M 为事件“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”，求事件M 发生的概率．【正确答案】（1）应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配2人、2人、3人（2）（ⅰ）答案见解析（ⅱ）1621【分析】（1）利用分层抽样可求得A 、B 、C 三个学习群分别匹配的人数；（2）（i ）利用截距法可列举出所有的可能抽取的结果；（ii ）确定事件M 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件M 发生的概率.【小问1详解】解：三个学习群人数比例为24000:24000:360002:2:3=，因此，应从A 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从B 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从C 学习群匹配的人数为3737⨯=人.【小问2详解】解：（ⅰ）所有可能的结果为：()12,m m 、()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()34,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m 、()56,m m 、()57,m m 、()67,m m ，共21种；（ii ）“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”抽取的2名学员不是来自同一个学习群”包含的基本事件有：()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m ，共16种，所以其概率为()1621P M =.18.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，π2A ≠，且cos sin 0a C C b -+=．（1）求A ；（2）若22b a ac =+，求证：△ABC 是直角三角形．【正确答案】（1）π6（2）证明见解析【分析】（1）由正弦定理边化角可得sin cos sin sin 0A C A C B C -+=，然后根据两角和的公式以及辅助角公式，即可推得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据A 的取值范围，即可得出答案；（2）由余弦定理结合已知可推得0c a -+=.正弦定理边化角可得1sin 02C B -+=.又5π6C B =-，代入化简可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.然后根据B 的范围，即可得出π3B =，进而得出π2A B +=，即可得出证明.【小问1详解】由已知及正弦定理得sin cos sin sin 0A C A C B C --+=.因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin C A C A C =+.因为sin 0C ≠cos A A +=，整理有πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0πA <<，所以ππ7π666A <+<，所以ππ63A +=或π2π63A +=，所以，π6A =或π2A =.因为π2A ≠，所以π6A =.【小问2详解】由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c =+-=+.又因为22b a ac =+，所以20c ac +=，整理可得0c a +=.因为1sin 2A =，由正弦定理得1sin sin 02C B -+=.因为π5ππ66B C +=-=，所以5π6C B =-，所以5π1sin 062B B ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，整理得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以ππ66B -=，所以π3B =，所以π2A B +=，即ABC 是直角三角形.19.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥，45A ∠=︒．将四边形CDEF 沿EF翻折，使得C ，D 分别到1C ，1D 的位置，并且1BC =（1）求证：11ED BC ⊥；（2）求点E 到平面11ABC D 的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）在图甲中AB ⊥BC ，在图乙中1EF FC ⊥，EF BF ⊥，从而有EF ⊥平面1BC F ，则1EF BC ⊥，再分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，通过22211C F BC BF +=，得到11BC C F ⊥，从而证得1BC ⊥平面11C D EF 即可．（2）过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，易得1C Q ⊥平面BEF ，从而有113sin 602C Q C F =⋅︒=，再由11E ABC C ABE V V --=求解.【小问1详解】证明：∵在图甲中，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝2EF ＝4CD ＝4，AB ⊥BC ，∴在图乙中有，1EF FC ⊥，EF BF ⊥，又1FC 与BF 是平面1BC F 内的交线，∴EF ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，∴1EF BC ⊥，如图，分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，易知111MF C D ==，∴1EM =，又145FED BAE ∠∠==︒，∴111C F D M EM ===，同理2BF EN AN ===，又1BC =∴22211C F BC BF +=，则11BC C F ⊥，又EF 与1C F 是平面11C D EF 内的交线，∴1BC ⊥平面11C D EF ，ED 1在面C 1D 1EF 内，∴11BC ED ⊥．【小问2详解】由（1）知EF ⊥平面1BC F ，AB ∥EF ，所以知AB ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，所以1AB BC ⊥，则1112ABC SAB BC =⨯⋅=，11sin 4544222ABESAB AE =⨯⋅⋅︒=⨯⨯=，过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，由（1）知EF ⊥平面1BC F ，且EF ⊂平面ABFE ，所以平面1BC F ⊥平面ABFE ，又平面1BC F平面ABFE BF =，C 1Q 在面BC 1F 内，所以1C Q ⊥平面ABFE ，又EF ⊂平面ABFE ，所以1C Q EF ⊥，又BF 与EF 是平面ABF 内的交线，∴1C Q ⊥平面BEF ，113sin 602C Q C F =⋅︒=，由11E ABC C ABE V V --=，得111133ABC ABES h S C Q ⋅=⋅，23431332h h =⨯⇒=，∴点E 到平面11ABC D 的距离为1．20.已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与椭圆2C ：2212xy +=的离心率相等，1C 的焦距是．（1）求1C 的标准方程；（2）P 为直线l ：4x =上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线1C 的交点A ，B 满足PA AT PBTB=？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22142x y +=（2）存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA ATPB TB=【分析】（1）由已知求出2C 的离心率为2，又c =，即可得出4a =.根据,,a b c 的关系，即可得出答案；（2）设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y ，先求出直线AB 与x 轴重合时，满足条件的T 点坐标；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+.根据已知可推得0PA TB PB AT ⋅-⋅=，代入坐标整理可得()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与1C 的方程可得()()2222240m y mty t +++-=，根据韦达定理得出坐标关系，代入（*）式，整理化简可得()()2110t m -+=，求出1t =，检验即可得出答案.【小问1详解】因为椭圆222:12x C y +=2=，又椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与椭圆222:12x C y +=的离心率相等，1C 的焦距是，所以2c =，c =所以，222c a a ==，所以2a =，2222b a c =-=，所以，1C 的标准方程为22142x y+=.【小问2详解】设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 与x 轴重合时，设()2,0A ，()2,0B-，()4,0P ，则2PA =，6PB =，2AT t =-，2TB t =+，由已知PA ATPBTB =，可得221263t t -==+，解得1t =或4t =（舍去），所以，()1,0T ；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+，则有4ms t =-.,,,P A B T 四点共线，由PA AT PBTB=结合图象可知，0PA TB PB AT ⋅-⋅=，于是有，()()()()()()()()1212212140400x x t y s y x x t y s y --+--+--+--=，化简得：()()()1212121222480x x y y t x x s y y t +-++-++=，变形得：()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与椭圆的方程22142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()()2222240m y mty t +++-=，当()()222244240m t m t ∆=-+->时，由韦达定理可得12221222242mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将上式与4ms t =-共同代入（*），化简得：()()2110t m -+=，即1t =，且此时0∆>成立，故存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA AT PBTB=．方法点睛：设直线AB 方程为x my t =+，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.然后根据已知，化简可得出()()2110t m -+=.因为m 的任意性，所以必有1t =，即可得出答案.21.已知函数()()()2ln ,11f x x g x a x ==--.（1）当14a =时，求函数()()()F x f x g x =-的最大值；（2）当14a =-时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【正确答案】（1）3ln 24+（2）1y x =-【分析】（1）代入14a =，然后求出()F x '，进而可得单调性求出最值；（2）代入14a =-，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.【小问1详解】当14a =时,()()()()22ln 11l 11134424n F x f x g x x x x x x ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣++⎦，()()()22111222221x x x x x x xF x x '∴+=---+-++==，令()0F x '>，得02x <<，令()0F x '<，得2x >，∴求函数()F x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()()max 32ln 21134244ln 242F x F ⨯∴==-+⨯+=+；【小问2详解】当14a =-时，()()221115114424g x x x x =---=-+-，设函数()ln f x x =上一点为()11,ln x x ，又()1f x x'=，()111f x x '∴=，∴函数()ln f x x =上过点()11,ln x x 的切线方程为：()1111ln y x x x x =-+，即111ln 1y x x x =+-，设函数()g x 上一点为2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，又()1122g x x '=-+，()221122g x x '∴=-+∴过点2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的切线方程为：()222221111522424y x x x x x ⎛⎫=-- ++⎪--⎝⎭，即22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= ，若111ln 1y x x x =+-与22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= 为同一直线，则212211112215ln 144x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1211x x =⎧⎨=-⎩,∴公切线的方程为.1y x =-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为88x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），点()4,0P ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，射线l 的极坐标方程为()π06θρ=≥．（1）写出曲线1C 的极坐标方程；（2）若l 与1C ，2C 分别交于A ，B （异于原点）两点，求△PAB 的面积．【正确答案】（1）2cos232ρθ=（2）5【分析】（1）由参数方程可得2226416x t t =++，2226416y t t =+-，进而即可推得2232x y -=，根据公式即可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）将π6θ=分别代入1C ，2C 的极坐标方程得出8A ρ=，3B ρ=，进而得出弦长5AB =.然后求出点()4,0P 到射线的距离d ，即可得出答案.【小问1详解】由1C 的参数方程得2226416x t t =++，2226416y t t=+-，所以2232x y -=.又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2cos232ρθ=，所以1C 的极坐标方程为2cos232ρθ=.【小问2详解】将π6θ=代入曲线1C 的极坐标方程2cos232ρθ=可得8A ρ=，将π6θ=代入曲线1C的极坐标方程ρθ=可得3B ρ=，所以5A B AB ρρ=-=.又射线l的直角坐标方程为3y x =30y -=，所以点()4,0P 到射线的距离为2d ==，所以1125522PAB S d AB =⋅⋅=⨯⨯=△.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()R f x x a x a a =++-∈，．（1）若1a =，求函数()f x 的最小值；（2）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，即可求函数()f x 的最小值；（2）因为2A ∉，所以f ()25>，即225a a ++->，分类讨论，即可求a 的取值范围．【小问1详解】因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2．【小问2详解】因为2A ∉，所以()2f 5>，即225a a ++->，当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52a <-，所以52a <-；当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；当2a >时，不等式可化为225a a ++->，解得52a >，所以52a >；综上，a 的取值范围为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学(文)试题
一、单选题二、多选题1. 同时抛掷两枚骰子，正面朝上的点数都大于3的概率是（ ）A．B．C．D．2. 抛物线的焦点为F ，点P 是C 上一点，若，则点P 到y 轴的距离为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，b =2，，则c =（ ）A．B．C．D．4. 已知当时，函数取得极大值，则（ ）A．B．C．D．5.已知集合，，且，则的取值集合为（ ）A．B．C．D．6. 已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）A．B．C．D．7. 在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）A ．34B ．40C ．44D ．488. 已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10. 2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（）A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（文）试题江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（文）试题三、填空题四、解答题11.已知函数，则（ ）A．B．C．D．12.如已知是自然对数的底数， 则不能推出恒成立的不等式是（ ）A．B．C．D．13.已知数列中，，，则________，数列的前2023项和________．14. 已知，若，则______．15.已知函数，若函数和的图象关于点对称，且对任意，恒成立，则________．16.已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；(2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.①求证：直线恒过一定点；②设的面积为，求的最大值.17. 已知数列，，满足，，，，成等差数列．（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，记数列的前项和为，求．18. 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点P （2，0）的直线l 交抛物线C 于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点.（1）当x 1+x 2＝8时，求直线l 的方程；（2）若过点P （2，0）且垂直于直线l 的直线l '与抛物线C 交于M ，N 两点，记△ABF 与△MNF 的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的最小值.19. 已知椭圆C ：的上顶点为B ，O 为坐标原点，为椭圆C 的长轴上的一点，若，且△OPB 的面积为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与椭圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN的斜率分别为，，且，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标，求出△AMN 面积的最大值．20. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，且，E 为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥体积的最大值.21. 已知椭圆（），其左，右焦点分别为，，离心率为，点，又点在线段的中垂线上．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别为，，点在直线上（点不在轴上），直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于，线段的中点为，证明：.。
广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试题(教师版)
2024年汕头市普通高考第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名､准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号､姓名和科目.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.“12a >”是“12a <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件求解即可.【详解】因为112122a a a>⇒>⇒<，而12a <推不出12a >，例如1a =-满足12a <，但12a >不成立，所以“12a >”是“12a<”的充分不必要条件，故选：A2.在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（）A.21B.24C.27D.30【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解即得.【详解】令插入的3个数依次为123,,a a a ，即1233,,,,15a a a 成等差数列，因此22315a =+，解得29a =，所以插入的3个数之和为1232327a a a a ++==.故选：C3.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，10b =，则结合a 的值，下列解三角形有两解的为（）A.8a =B.9a = C.10a = D.11a =【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B=，所以310sin 2sin b A B a a a===，因为三角形有两解，所以sin 1B <，且b a >，因此由选项知，只有9a =符合.故选：B4.()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（）A.42B.35C.7D.1【答案】A 【解析】【分析】写出展开式通项，令x 的指数为3，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()71x +的展开式通项为()17C 0,1,2,,7rrr T x r +=⋅= ，因为()()()7773311111x x x x x -=⎛⎫++++ ⎝⎭+⎪，在()7C 0,1,2,,7rrxr ⋅= 中，令3r =，可得3x 项的系数为37C 35=；在()3377C C 0,1,2,,7k k k k x x x k --⋅=⋅= 中，令33k -=，得6k =，可得3x 项的系数为67C 7=.所以，()73111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为35742+=.故选：A.5.已知函数()ln(0,0)1m xf x m n n x+=>>--是奇函数，则12m n +的最小值为（）A.3B.5C.3+D.3+【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得1m n +=，利用基本不等式求最值即可.【详解】令01m xn x+>--，得()(1)0x m x n +-+<，故函数()f x 的定义域为()(){}10x x m x n +-+<．因为()f x 是奇函数，则其定义域关于原点对称，可得10m n -+-=，即1m n +=，此时()ln+=-m x f x m x ，可得()()lnln ln10+-+-=+==-+m x m xf x f x m x m x，可得()f x 是奇函数，即1m n +=符合题意；故12122()33n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n=，即1m =，2n =-故12m n+的最小值为3+，故选：C ．6.在复数范围内，下列命题是真命题的为（）A.若0z ≠，则z z -是纯虚数B.若22z z =-，则z 是纯虚数C.若22120z z +=，则10z =且20z =D.若1z 、2z 为虚数，则1122z z z z +∈R 【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取1z =，则1z =，所以，0z z -=，此时，z z -不是纯虚数，A 错；对于B 选项，取0z =，则22z z =-成立，但z 不是纯虚数，B 错；对于C 选项，取1i z =，21z =，则22120z z +=，但10z ≠且20z ≠，C 错；对于D 选项，若1z 、2z 为虚数，设1i z a b =+，()2i ,,,z c d a b c d =+∈R ，则1i z a b =-，2i z c d =-，所以，()()()()()()()()1122i i i i i iz z a b c d a b c d ac bd bc ad z ac bd ad bc +=+-+-+=++-+++-()2ac bd =+∈R ，D 对.故选：D.7.已知圆锥的顶点为S ，O 为底面圆心，母线SA 与SB 互相垂直，SAB △的面积为8，SA 与圆锥底面所成的角为30 ，则（）A.圆锥的高为1B.圆锥的体积为24πC.圆锥侧面展开图的圆心角为3D.二面角S AB O --的大小为45 【答案】D 【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥SO 的母线长，结合线面角的定义可判断A 选项；利用圆锥的体积公式可判断B 选项；利用扇形的弧长公式可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为SO 与底面垂直，OA 为底面圆的一条半径，则SO OA ⊥，所以，SA 与圆锥底面所成的角为30SAO ∠= ，又因为SA SB ⊥，所以，SAB △的面积为211822SA SB SA ⋅=⨯=，解得4SA =，所以，该圆锥的高为1sin 30422SO SA =⋅=⨯=，A 错；对于B 选项，该圆锥的底面半径为3cos3042OA SA =⋅=⨯=故该圆锥的体积为(2211ππ28π33V OA SO =⨯⨯=⨯⨯=，B 错；对于C 选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ，底面圆周长为2πAO ⨯=，则43π43π4SA θ===，C 错；对于D 选项，取AB 的中点E ，连接OE 、SE ，因为SA SB =，E 为AB 的中点，则SE AB ⊥，由垂径定理可得OE AB ⊥，所以，二面角S AB O --的平面角为SEO ∠，因为SO ⊥平面OAE ，OE ⊂平面AOE ，则SO OE ⊥，因为SA SB ⊥，SA SB =，则SAB △为等腰直角三角形，则22224442AB SA SB =+=+=，所以，122SE AB ==，所以，2sin 222SO SEO SE ∠===，因为090SEO ≤∠≤ ，故45SEO ∠= ，所以，二面角S AB O --的大小为45 ，D 对.故选：D.8.如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为（）A.12-B.1-C.2-D.3-【答案】C 【解析】【分析】由点P 为圆与椭圆的焦点，可得12PF PF ⊥，122PF PF a +=，结合条件，应用勾股定理即可得.【详解】连接1PF 、1QF ，由P 在以12F F 为直径的圆上，故12PF PF ⊥，P 、Q 在椭圆上，故有122PF PF a +=，122QF QF a +=，设2QF m =，则1244PF QF m ==，则有2423PQ a m m a m =-+=-，12FQ a m =-，即可得()()()2224232m a m a m +-=-，解得3a m =，故2242PF a m m =-=，则1212tan 2PF PF F PF ∠==，故()22121tan πtan 2PF k PF F PF F =-∠=-∠=-.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[)80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++.A.0.004a =B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25【答案】BCD 【解析】【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，列等式求出实数a 的值，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 选项；利用总体平均数公式可判断C 选项；利用方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1，则()23762102001a a a a a a ++++⨯==，解得0.005a =，A 错；对于B 选项，前两个矩形的面积之和为()2310500.250.5a a a +⨯==<，前三个矩形的面积之和为()237101200.60.5a a a a ++⨯==>，设计该年级学生成绩的中位数为m ，则()70,80m ∈，根据中位数的定义可得()0.25700.0350.5m +-⨯=，解得77.14m ≈，所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14，B 对；对于C 选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为62859587.56262a aa a a a⨯+⨯=++分，C 对；对于D 选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为()()22311287.5851087.59530.2544⎡⎤⎡⎤+-++-=⎣⎦⎣⎦，D 对.故选：BCD.10.已知函数()π3cos2cos 264f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，则（）A.曲线()y f x =的对称轴为ππ,6x k k =-∈Z B.()f x 在区间ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.()f x 的最大值为12D.()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为8π【答案】BC【解析】【分析】由题意利用三角恒等变换整理可得：()1πcos 426f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合余弦函数性质逐项分析判断.【详解】由题意可得：()π3313cos2cos 2cos 2cos 2sin 264224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2313311πcos 2sin 2cos 2cos 4sin 2cos 42244426x x x x x x ⎛⎫=--=-=+ ⎪⎝⎭.对于选项A ：令π4π,6x k k +=∈Z ，解得ππ,424k x k =-∈Z ，所以曲线()y f x =的对称轴为ππ,424k x k =-∈Z ，故A 错误；对于选项B ：因为ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π7π3π4,662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且cos y x =在7π3π,62⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在区间ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于选项C ：当π42π,6x k k +=∈Z ，即ππ,224k x k =-∈Z 时，()f x 取到最大值为12，故C 正确；对于选项D ：令ππ4π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,412k x k =+∈Z ，可知()f x 的零点为ππ,412k x k =+∈Z ，则()f x 在区间[]0,2π上的零点为ππ11π,,,1236⋅⋅⋅，共8个，结合A 可知，这些零点均关于直线23π24x =，所以()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和为232342ππ243⨯⨯=，故D 错误；故选：BC.11.如图，OA 是连接河岸AB 与OC 的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：①新桥BC 与河岸AB 垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与BC 相切，且圆心M 在线段OA 上；③古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量，点A C ､分别位于点O 正北方向60m ､正东方向170m 处，4tan 3BCO ∠=.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）A.新桥BC 的长为150mB.圆心M 可以在点A 处C.圆心M 到点O 的距离至多为35mD.当OM 长为20m 时，圆形保护区的面积最大【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，求出直线,AB BC 的方程，联立求出点B 的坐标判断A ；设OM t =，由题意列出不等式组80(60)80r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，再结合3680t r -=代换求得t 的范围，判断BCD.【详解】如图，以,OC OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则(170,0)C ，(0,60)A ，依题意，直线BC 的斜率43BC k =-，直线BC 方程为：4(170)3=--y x ，直线AB 的斜率134AB BC k k =-=，则直线AB 方程为3604y x =+，由4(170)33604y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得80120x y =⎧⎨=⎩，即(80,120)B，150BC ==，A正确；设OM t =，即(0,)M t (060)t ≤≤，直线BC 的一般方程为436800+-=x y ，圆M 的半径为3680t r -=，显然80(60)80r t r t -≥⎧⎨--≥⎩，由060t ≤≤，得31365r t =-，则31368053136(60)805t t t t ⎧--≥⎪⎪⎨⎪---≥⎪⎩，解得1035t ≤≤，即OM 长的范围是1035OM ≤≤，B 错误，C 正确；当10t =，即OM 长为10m 时，圆M 的半径r 最大，圆形保护区的面积最大，D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：某些实际应用问题，由题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解是解题的关键.第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第13､14题第一空2分，第二空3分.12.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，n ）都在直线1=+12y x 上，则这组样本数据的样本相关系数为___________.【答案】1【解析】【详解】试题分析：由已知，这组样本数据的样本完全正相关，故其相关系数为1.考点：变量的相关性.13.已知:C ABC 外接圆的半径为1，圆心为点O ，且满足423OC OA OB =--，则cos AOB ∠=__________，AB OA ⋅=__________.【答案】①.14##0.25②.34-##0.75-【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积.【详解】由423OC OA OB =-- 两边平方得：222164912OC OA OB OA OB =++⋅，依题意，21s 1649co AOB ∠+=+，所以1cos 4AOB ∠=；23()cos 14AB OA OB OA OA OB OA OA AOB ⋅=-⋅=⋅-=∠-=- .故答案为：14；34-14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，记平面1AD E 与平面ABCD 的交线为1l ，平面1AD E 与平面11ABB A 的交线为2l ，若直线AB 分别与12l l ､所成的角为αβ､，则tan α=__________，()tan αβ+=__________.【答案】①.12##0.5②.43##113【解析】【分析】利用平面基本事实作出直线1l ，进而求出tan α；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，延长1D E 与DC 延长线交于点F ，连接AF，则直线AF 即为直线1l ，BAF α=∠，由1//CE DD ，得CF DC =，又//AB CD ，于是1tan tan 2AFD α=∠=，由平面11//CDD C 平面11ABB A ，平面1AD E ⋂平面112ABB A l =，平面1AD E ⋂平面111CDD C D E =，则12//D E l ，又11//C D AB ，因此11C D E β=∠，1tan 2β=，所以11tan tan 422tan()111tan tan 3122αβαβαβ+++===--⨯.故答案为：12；43【点睛】关键点睛：利用平面的基本事实作出直线AF 是求出角α的关键.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n an b =，*N n ∈，数列{}n n a b +的前n 项和为n S ．（1）若2n a n =，求n S ；（2）若{}n b 是各项为正的等比数列，3n S n =，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【答案】（1）24(41)3nn S n n =++-（2）1n a =，2n b =【解析】【分析】（1）先判定数列{}n a 和{}n b 分别为等差和等比数列，进而分别得到其通项公式，从而利用分组求和的方法得到数列{}n n a b +的前n 项和n S ．（2）利用数列{}n n a b +的前n 项和3n S n =列出方程组，解之即可求得1a 、d 、1b 、q ，进而求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式．【小问1详解】解：当2n ≥时，122(1)2n n a a n n --=--=，从而{}n a 是等差数列，2n a n =，1112242nn n n a a a n a n b b ----===，所以{}n b 是等比数列，又121242ab ===，则1444n n n b -=⨯=，所以2(22)4(14)4(41)2143n n n n n S n n +⨯-=+=++--．【小问2详解】解：{}n b 是各项为正的等比数列，设其首项为1b ，公比为q ，由2n an b =，可得2log n n a b =，则12122log log log n n n n a a b b q ++-==-，（定值）则数列{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由数列{}n n a b +的前n 项和3n S n =，可得方程组1111211311332333a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，整理得211321100d b q b q d b q b q ⎧+-=⎨+-=⎩，解得：21(1)0b q q -=，10b ≠ ，0q ≠，1q ∴=且0d =，由1123aa +=，可得11a =，则12b =，则数列{}n a 的通项公式为1n a =；数列{}n b 的通项公式为2n b =．【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题．16.已知函数()()()11ln R f x ax a x a x=--+∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线方程；（2）若()f x 既存在极大值，又存在极小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）212(1)e ey x =--；（2）(0,1)(1,)⋃+∞.【解析】【分析】（1）把1a =-代入，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求出函数()f x 的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出a 的范围.【小问1详解】当1a =-时，函数1()f x x x =--，求导得21()1f x x '=-，则21(e)1e f '=-，而1(e)e ef =--，所以曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为211(e )(1)(e)e e y x ---=--，即212(1)e ey x =--.【小问2详解】函数1()(1)ln f x ax a x x=--+的定义域为(0,)+∞，求导得222211(1)1(1)(1)()+-++--'=+-==a ax a x ax x f x a x x x x，当0a ≤时，10ax -<，由()0f x '>，得01x <<，由()0f x '<，得1x >，则函数()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，函数()f x 只有极大值(1)f ，不合题意；当0a >时，由()0f x '=，得1x =或1x a=，①若101a <<，即1a >，由()0f x '>，得10x a<<或1x >，由()0f x '<，得11x a <<，则函数()f x 在1(0,),(1,)a+∞上递增，在1(,1)a上递减，因此函数()f x 的极大值为1()f a，极小值为(1)f ，符合题意；②若11a>，即01a <<，由()0f x '>，得01x <<或1x a >，由()0f x '<，得11x a <<，则函数()f x 在1(0,1),(,)a +∞上递增，在1(1,a上递减，因此函数()f x 的极大值为(1)f ，极小值为1(f a，符合题意；③若11a=，即1a =，由()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，得()f x 在(0,)+∞上递增，函数()f x 无极值，不合题意，所以a 的取值范围为(0,1)(1,)⋃+∞.17.如图，三棱台111ABC A B C -中，侧面四边形11ACC A 为等腰梯形，底面三角形ABC 为正三角形，且1122AC AC ==.设D 为棱11AC 上的点.（1）若D 为11A C 的中点，求证：AC BD ⊥；（2）若三棱台111ABC A B C -的体积为78，且侧面11ACC A ⊥底面ABC ，试探究是否存在点D ，使直线BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为1510？若存在，确定点D 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，D 与1A 重合，理由见解析.【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）以M 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】取AC 中点M ，连结DM 、BM ，则,AC DM AC BM ⊥⊥，由,,DM BM M DM BM =⊂ 平面BDM ，得AC ⊥平面BDM ，又BD ⊂平面BDM ，所以AC BD ⊥.【小问2详解】取11A C 中点N ，连结MN ，由（1）得NMB ∠为二面角平面1A AC B --的平面角，由平面11ACC A ⊥平面ABC 得：90NMB ︒∠=，即NM BM ⊥，以M 为原点，直线,,MA MB MN 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设该棱台的高为h ，由13373)3428V h =+⋅=，得32h =，则113(1,0,0),3,0),(1,0,0),(,0,)22A B C C --，1133,0),(,0,)22CB CC == ，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =，则13013022CB n x CC n x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，得3,1,1)n =-- ，设311(,0,)222D t t =-≤≤，则3(,3,)2BD t = ，于是23|3|||152|cos ,|10||||1554t BD n BD n BD n t +⋅〈〉==⋅+，解得12t =或116t =-(舍去)，所以存在点D 满足条件，此时D 与1A 重合.18.已知点()00,M x y 为双曲线2212x y -=上的动点.（1）判断直线0012x xy y -=与双曲线的公共点个数，并说明理由；（2）（i ）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；（ii ）将双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为22220x y a b-=，请利用该方程证明如下命题：若(),T m n 为双曲线C 上一点，直线l ：221mx nya b-=与C 的两条渐近线分别交于点P Q ､，则T 为线段PQ 的中点.【答案】（1）1个，理由见解析；（2）（i ）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，借助判别式求解即得.（2）（i ）写出结论；（ii ）分0,0n n =≠讨论，直线与双曲线方程联立，利用韦达定理求解即得.【小问1详解】由点()00,M x y 在双曲线2212x y -=上，得220012x y -=，即220012x y =-由22001212x y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：22220000()(10)24y x x x x y -+-+=，则220020x x x x -+=，显然220440x x ∆=-=，所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.【小问2详解】（i ）由（1）知，直线0012x x y y -=与双曲线2212x y -=相切于点()00,x y ，所以过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.证明如下：显然2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，由0022222211x x y ya b x y ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：22222002220b b x x x b y a a -++=，于是422222222220000224440)4)4((b x b x a y a b b b y a b aa --∆=-+==，因此直线00221x x y y a b-=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>相切于点()00,x y ，所以过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.（ii ）当0n =时，直线l 的斜率不存在，由对称性知，点T 为线段PQ 的中点；当0n ≠时，设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点(,)N t s ，由22222201x y a b mx ny a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得：222222()20n m x mx a b a -+-=，由22221m n a b -=，得2220x mx a -+=，则122x x t m +==，又221mt ns a b -=，于是222(1)b m s n n a=-=，即点T 与点N 重合，所以点T 为线段PQ 的中点.【点睛】结论点睛：过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b-=.19.2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n 颗番石榴（不妨设n 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前(1)k k n ≤<颗番石榴，自第1k +颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k tn =，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P .（1）若4,2n k ==，求P ；（2）当n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.（取111ln 11n k k n k+++=+- ）【答案】（1）512；（2）P 的最大值为1e ，此时t 的值为1e.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列求出古典概率P .（2）利用全概率公式求出()P A ，再构造函数，利用导数求出最大值.【小问1详解】依题意，4个番石榴的位置从第1个到第4个排序，有44A 24=种情况，要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：①最大的番石榴是第3个，其它的随意在哪个位置，有33A 6=种情况；②最大的番石榴是最后1个，第二大的番石榴是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有222A 4=种情况，所以所求概率为6452412+=.【小问2详解】记事件A 表示最大的番石榴被摘到，事件i B 表示最大的番石榴排在第i 个，则()1i P B n=，由全概率公式知：11)))1()(|((|nni i i i i P A P A B P B P A B n ====∑∑，当1i k ≤≤时，最大的番石榴在前k 个中，不会被摘到，此时(0)|i P A B =；当1k i n +≤≤时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前1i -个番石榴中的最大一个在前k 个之中时，此时1)(|i kP A B i =-，因此1()()ln 11k k k k nP A n k k n n k=+++=+- ，令()ln (0)x n g x x n x =>，求导得11()ln n g x n x n '=-，由()0g x '=，得e n x =，当(0,e n x ∈时，()0g x '>，当(,)enx n ∈时，()0g x '<，即函数()g x 在(0,)e n 上单调递增，在(,)e nn 上单调递减，则max 1()()een g x g ==，于是当e n k =时，()ln k n P A n k =取得最大值1e ，所以P 的最大值为1e ，此时t 的值为1e.【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A 的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题.20。
2024年高考第二次模拟考试数学试题
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （ ）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（ ） A ．1 B ．1− C ．i D ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（ ）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（ ） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（ ） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（ ） A ．MN 的最小值是6B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（ ）A ． 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B． 若E E 的实轴长为1C ． 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ． 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（ ） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.。
2024年高考数学(文科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)
2024年高考数学（文科）第二次模拟考试卷及答案解析（全国卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}22,U xx x =-≤≤∈∣Z ，集合{1,1,2},{2,0,1,2}A B =-=-，则U ()A B ⋂=ð（）A ．{1,0,1}-B ．∅C ．{2,1,0}--D ．{}1-【答案】C【分析】本题首先可以根据题意求出A B ⋂，然后根据补集的概念得出结果.【详解】由题意得{}{}{}22,2,1,0,1,2,1,2U xx x A B =-≤≤∈=--⋂=Z ∣，所以，U (){2,1,0}A B =-- ð，故选：C ．2．设i 为虚数单位，若复数1i1ia -+为纯虚数，则=a （）A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】B【分析】分子分母同乘分母的共轭复数，再根据纯虚数的概念得到答案.【详解】()()()()()1i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 22a a a a --+--==-++-，所以102a -=且102a +≠，解得1a =.故选：B3．已知向量()1,0a = ，()4,b m =，若2a b - 不超过3，则m 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]3,3-D ．[]5,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和几何意义可得249m +≤，解之即可求解.【详解】由题意知，2(2,)a b m -=--，所以23a b -=，得249m +≤，即25m ≤，解得m ≤≤即实数m 的取值范围为[.故选：B4．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.5．若{}n a 是等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和，3890,0a a S +><，则{}n S 中最小的项是（）A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 【答案】B【分析】根据等差数列的前n 项和公式可得50a <，再结合等差数列的性质判断处6a 的符号，即可得出答案.【详解】因为()19959902a a S a +==<，所以50a <，因为56380a a a a +=+>，所以650a a >->，所以公差650d a a =->，故当5n ≤时，0n a <，当6n ≥时，0n a >，所以当5n =时，n S 取得最小值，即{}n S 中最小的项是5S .故选：B.6．已知函数()f x 的定义域为R ，设()()x g x e f x =．设甲：()f x 是增函数，乙：()g x 是增函数，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】D【分析】利用导数分别求出()f x 与()g x 为增函数的条件并结合充分必要条件进行判断即可求解.【详解】由题意得()f x 的定义域为R ，()()xg x f x =e 的定义域也为R ；充分性：若()f x 是增函数，则()0f x '≥恒成立，()()()()xg x f x f x ='+'e ，因为e 0x >，但()()f x f x +'的正负不能确定，所以()g x 的单调性不确定，故充分性不满足；必要性：若()g x 是增函数，则()()()()0xg x f x f x ='+'≥e恒成立，因为e 0x >，所以()()0f x f x +'≥恒成立，但()f x '的正负不能确定，所以()f x 的单调性不确定，故必要性不满足；所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，故D 正确.故选：D.7．已知点A 为椭圆M ：22143x y +=的一点，1F ，2F 分别为椭圆M 的左，右焦点，12F AF ∠的平分线交y 轴于点10,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则12AF F △的面积为（）A ．12B ．22C ．1D ．2【答案】C【分析】结合光学性质，列出直线AB 方程，即可求解答案.【详解】设点()00,A x y 且不为顶点，因为椭圆方程为22143x y +=，所以过A 的切线方程即直线DE 为00143x x y y ⋅⋅+=，即000334x y x y y =-+，由光学几何性质知，1AB DE k k ⋅=-，所以043AB y k x =，则直线AB 的方程为()000043y y y x x x -=-．令0x =，得0133B y y =-=-，所以01y =．所以1212112AF F S =⨯⨯=△.故选：C8．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D9．已知双曲线222:33C x y m -=的一条渐近线l 与椭圆222:1(0)x y E a b a b+=>>交于A ，B 两点，若12||F F AB =，（12,F F 是椭圆的两个焦点），则E 的离心率为（）A 1BC ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由题意求出双曲线的渐近线，则可得260AOF ∠=︒，由已知条件可得四边形12AF BF 为矩形，则22AO OF AF c ===，1AF =，再根据椭圆的定义列方程化简可求出离心率.【详解】由已知2222:13x y C m m-=，则双曲线的一条渐近线:l y =，即260AOF ∠=︒，又12F F AB =，即2OF OA =，且四边形12AF BF 为矩形，所以22AO OF AF c ===，则1AF ==，又根据椭圆定义可知122AF AF c a ++=，所以离心率1ce a ==．故选：A10．已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB ==ABCD 是边长为12的正方形，S 是四边形ABCD 及其内部的动点，且满足6PS ≤，则动点S 构成的区域面积为（）A ．B ．12πC ．24πD ．【答案】B【分析】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，推导出PE ⊥平面ABCD ，可知点S 的轨迹是以点E为圆心，半径为.【详解】取线段AB 的中点E ，连接PE 、SE ，因为PA PB ==E 为AB 的中点，则PE AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PE ⊂平面PAB ，所以，PE ⊥平面ABCD ，因为SE ⊂平面ABCD ，则PE SE ⊥，因为四边形ABCD 是边长为12的正方形，则6AE =，所以，PE ===SE ==所以，点S 的轨迹是以点E 为圆心，半径为因此，动点S 构成的区域面积为(21π12π2⨯=.故选：B.11．已知等比数列{}n a 的公比为q =n S 为其前n 项和，且*2128,N n nn n S S T n a +-=∈，则当n T 取得最大值时，对应的n 为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】利用等比数列通项公式、前n项和公式及已知得12728)2n n T +=-⨯+，应用基本不等式求最大值，并确定取值条件即可.【详解】由题设11nn a a q a +==，1(1)1n n a q S q -==-所以2128(1n n n n S S T a a +-==127128)(228)(1)(14322n +=-⨯+-≤-⨯=-，27n=，即3n =时取等号，所以当n T 取得最大值时，对应的n 为3.故选：B12．已知函数()()sin f x x ϕ=+，0πϕ<<，若函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，则ϕ的取值范围是（）A ．π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．π,8π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意分类讨论π4ϕ≥和π4ϕ<两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关知识求解答案即可.【详解】若3π04x ≤<，则3π4x ϕϕϕ≤+<+，又因为0πϕ<<，函数()f x 在3π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上存在最大值，但不存在最小值，所以当3ππ4ϕ+≥，即π4ϕ≥时，只需满足3π3π42ϕ+≤，此时π3π44ϕ≤≤，当3ππ4ϕ+<，即π4ϕ<时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则π3ππ242ϕϕ-<+-，此时ππ84ϕ<<，综上，π3π84ϕ<≤，即ϕ的取值范围是π3π,84⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，7943a a +=，且26108b b b =．则3813481a a ab b ++=-．【答案】23【分析】根据等差、等比数列的性质即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，且7943a a +=，所以842,3a =即8,32a =因为数列{}n b 是等比数列，且26108b b b =，所以368b =，即62b =，所以81382486332113a a a ab b b ++==--.故答案为：23.14．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，则关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】()(),10,1-∞-⋃【分析】由()00f =求出0a =，由奇函数的性质求出()f x 在R 上的解析式，再令()0f x <，即可求出答案.【详解】当0x ≥时，()()31f x x a x a =-++，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，所以当0x ≥时，()3f x x x =-，则当0x <时，0x ->，所以()3f x x x -=-+，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以当0x <时，()3f x x x =-，所以()3,R f x x x x =-∈，令()()()3110f x x x x x x =-=-+<，解得：01x <<或1x <-，故关于x 的不等式()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故答案为：()(),10,1-∞-⋃.15．已知数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，若1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，则1a 的取值范围为.【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先由条件得到22n n a a +-=，再将问题转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.【详解】法一：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，则数列{}21n a +，{}2n a 都是以2为公差的单调递增数列.要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，只需2132a a a a >⎧⎨>⎩，而211a a =-，312a a =+，则1111121a a a a ->⎧⎨+>-⎩，解得11122a -<<.法二：由121n n a a n ++=-，得2121n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，又211a a =-，则()21112121n a a n n a =-+-=--，()21112112n a a n n a +=++-=+，要使1n n a a +>对*n ∈N 恒成立，即2221212n n n n a a a a +++>⎧⎨>⎩，即11112212221n a n a n a n a +-->+⎧⎨+>--⎩，解得11122a -<<.故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将1n n a a +>恒成立，转化为2132a a a a >⎧⎨>⎩或2221212n n n na a a a +++>⎧⎨>⎩，从而得解.16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，且SA ⊥平面π,,3ABC SA ABC AC M ∠===是边BC 上一动点，直线SM 与平面ABC 所成角的正切值的O 的表面积为.【答案】43π【分析】根据题意，结合线面角的定义求得AM 的最小值，从而确定ABC 的形状，再利用直三棱柱的外接球的性质即可得解.【详解】将三棱锥S ABC -放入直三棱柱11SB C ABC -，则两者外接球相同，取底面11,ABC SB C 的外心为12,O O ，连接12O O ，取其中点为O ，连接1,OA AO ，如图所示，SA SA =⊥ 平面ABC ，则SMA ∠为直线SM 与平面ABC 的所成角，又直线SM 与平面ABC所以tan SA SMA AM ∠==min 3AM =，此时AM BC ⊥，在Rt ABM 中，π,33ABM AM ∠==，AB AC ∴==ABC ∴ 是边长为1223O A AM ∴==，又1122SA OO ==，222221143224OA OO O A ⎛∴=+=+= ⎝⎭则球O 的表面积为434π43π4⨯=.故答案为：43π.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．(12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =，πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A ；(2)作角A 的平分线与BC 交于点D ，且AD =b c +.【答案】(1)π3(2)6【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得b c cb +=，再运用余弦定理解方程即得.【详解】（1）因πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：1sin sin sin sin 022B A A A B ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即1sin cos sin 022B A A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.因(0,π)B ∈，故sin 0B ≠1sin 2A A =，即tan A =因(0,π)A ∈，故π3A =......................................................6分（2）因为AD 为角平分线，所以DAB DAC ABC S S S += ，所以111sin sin sin 222AB AD DAB AC AD DAC AB AC BAC ⋅∠+⋅∠=⋅∠.因π3BAC ∠=，6πDAB DAC ∠=∠=，AD =AB AC AB AC ⋅，即AB AC AB AC +=⋅，所以b c cb +=.....................................................9分又由余弦定理可得：2222π2cos()33a b c bc b c bc =+-=+-，把a =，b c cb +=分别代入化简得：2()3()180b c b c +-+-=，解得：6b c +=或3b c +=-（舍去），所以6b c +=......................................................12分18．(12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201)800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r)niix y x y --∑（（≈1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20()()iix x yy r --=∑计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020ii y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=...................................................4分（2）样本(,)i i x y (i =1，2， (20)的相关系数为20()0.943iix x y y r --=≈∑...................................................9分（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计....................................................12分19．(12分）在正方体1AC 中，E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，AC BD P =I ，11A C EF Q =I ，如图.（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11//B D M 平面EFBD ，若存在确定M 的位置，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且14AM AC =.【解析】【分析】（1）先得出PQ 为平面EFBD 与平面11AA C C 的交线，然后说明点R 是平面11AA C C 与平面EFBD 的公共点，即可得出P 、Q 、R 三点共线；（2）设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，然后证明出平面11//B D M 平面EFBD ，再确定出点M 在AC 上的位置即可.【详解】（1）AC BD P =Q I ，AC ⊂平面11AA C C ，BD ⊂平面EFBD ，所以，点P 是平面11AA C C 和平面EFBD 的一个公共点，同理可知，点Q 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，则平面11AA C C 和平面EFBD 的交线为PQ ，1A C 平面EFBD R =，1AC ⊂平面11AA C C ，所以，点R 也是平面11AA C C 和平面EFBD 的公共点，由公理三可知，R PQ ∈，因此，P 、Q 、R 三点共线；...................................................6分（2）如下图所示：设1111B D A C O =I ，过点M 作//OM PQ 交AC 于点M ，下面证明平面11//B D M 平面EFBD .E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，11//B D EF ∴，11B D ⊄Q 平面EFBD ，EF ⊂平面EFBD ，11//B D ∴平面EFBD .又//OM PQ ，OM ⊄平面EFBD ，PQ ⊂平面EFBD ，//OM ∴平面EFBD ，11OM B D O =Q I ，OM 、11B D ⊂平面11B D M ，因此，平面11//B D M 平面EFBD .下面来确定点M 的位置：E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，所以，11//EF B D ，且1EF OC Q =I ，则点Q 为1OC 的中点，易知11//A C AC ，即//OQ PM ，又//OM PQ ，所以，四边形OMPQ 为平行四边形，111111244PM OQ OC A C AC ∴====，四边形ABCD 为正方形，且AC BD P =I ，则P 为AC 的中点，所以，点M 为AP 的中点，1124AM AP AC ∴==，因此，线段AC 上是否存在点M ，且14AM AC =时，平面11//B D M 平面EFBD ...................................................12分20．(12分）已知函数()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦.(1)若12a =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线；(2)讨论()f x 的单调性；【答案】(1)10x y +-=(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分12a >-，12a <-和12a =-三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当12a =时，函数()()2e 21xf x x x =-+，则()01f =，切点坐标为()0,1，()()2e 1x f x x ='-，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线斜率为()01f '=-，所求切线方程为()10y x -=--，即10x y +-=.....................................................5分（2）()()2e 211xf x x a x ⎡⎤=-++⎣⎦，函数定义域为R ，()()()()2e 122e 21x x f x x a x a x a x ⎡⎤=+--=-+⎣⎦'，①12a >-，()0f x '>解得1x <-或2x a >，()0f x '<解得12x a -<<，所以()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减，②12a <-，()0f x '>解得2x a <或1x >-，()0f x '<解得21a x <<-，所以()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减，③12a =-，()0f x '≥恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.综上，当12a >-时，()f x 在(),1∞--和()2,a ∞+上单调递增，在()1,2a -上单调递减；当12a <-时，()f x 在(),2a ∞-和()1,∞-+上单调递增，在()2,1a -上单调递减；当12a =-时，()f x 在(),∞∞-+上单调递增.....................................................12分21．(12分）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于A ，B 两点，当A 点的横坐标为1时，点A 到抛物线的焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线AD ，BD 与C 的另一个交点分别为M ，N ，点P ，Q 分别是AB ，MN 的中点，记直线OP ，OQ 的倾斜角分别为α，β.求()tan αβ-的最大值.【答案】(1)24y x =4【分析】（1）关键抛物线的定义可得22A px +=，求出p 即可求解；（2）设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将直线:1AB x my =+112:2x AD x y y -=⋅+和直线BD ，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示121212,,y y y y x x ++，1324,y y y y ，进而可得322y y =、412y y =，由中点坐标公式与斜率公式可得2221OP m k m =+和221OQ mk m =+，则tan tan 22OP OQ k k αβ===，当π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时tan()αβ-最大，由两角差的正切公式和换元法可得()1tan ()12OQ k k k k αβ-==+，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）抛物线的准线为2p x =-，由抛物线的定义知，22A px +=，又1A x =，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；.....................................................4分（2）由（1）知，(1,0),(2,0)F D ，设222231241234,,,,,,,4444y y y y A y B y M y N y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则34341212(,),(,)2222x x y y x x y y P Q ++++，设直线:1AB x my =+，由214x my y x =+⎧⎨=⎩可得2440y my --=，2121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-，则21212111()242x x my my m y y m +=+++=++=+，直线112:2x AD x y y -=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=，211314(2()320,8x y y y -∆=-+>=-，所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得12122121222212OPy y y y mk x x x x m ++===+++，3434121222222343434122()2()221244OQy y y y y y y y m k x x y y x x y y m ++++====+++++，又因为直线OP 、OQ 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22OP OQ k k αβ===，若要使tan()αβ-最大，需使αβ-最大，则π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220OP OQ k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 1242k k k k αβαβαβ--====+++，当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以()tan αβ-的最大值为4 (12)分【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设220OP OQ k k k ==>，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。
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四川省棠湖中学2018年高考适应性考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，实数，满足(3)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．4 B ． C ． D2.已知集合2{|40}A x N x x =∈-≤，集合2{|20}B x x x a =++=，若{0,1,2,3,4,3}A B =-，则A B =（ ）A ．{1,3}-B ．C ．{3}-D ． 3.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（ ） A ．6π B ．3π C ．4πD ．23π4．若tan 24πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ． B ．3 C ．34- D ．345．已知132a -=，21log 3b =，131log 4c =，则（）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. c a b >> 6．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4 7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．48π8.已知直线:l y m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于，两点，若120ACB ∠=︒，则实数的值为（ ）A．3+或3．3+或3- C.9或 D ．8或 9.已知等差数列{}n a 的前项和为，19a =，95495S S -=-，则取最大值时的为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或510.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =为PC 的中点，则异面直线与PD 所成角的余弦值为（ ） A．10 B．5 C．39 D．3911.已知函数()sin f x x x =+，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立，则实数的取值范围是（ ）A ．[1,3]-B ．[0,3]C ．(,3]-∞D ．[0,)+∞12.已知是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．12C.3 D．2二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数，满足条件2300x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则23x y +的最大值为．14．已知{}n a 是等比数列,若)2,(2a a =，)3,(3a b =,且∥,则2435+a a a a =+.15.已知3sin()35πα-=，(,)42ππα∈，则tan α=． 16.已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是12PF F ∆的外心，若存在实数，使得120GF GF GP λ++=，则当12PF F ∆的面积为8时，的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，第22（或23）小题10分，其余每题均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程、计算步骤. 17.(本大题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ）求数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.18.(本大题满分12分)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（III ）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.(本大题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，M BC PA AC AD AB BC AD ,4,3,//=====为线段AD 上一点，MD AM 2=，为PC的中点.（Ⅰ）证明：;//PAB MN 平面 （Ⅱ）求四面体BCM N -的体积.20．(本大题满分12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点分别为，，左右焦点为分别为，，焦距为，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直，为直线P A 2与的交点，为直线P A 1与直线2MF 的交点，求证：点在一个定圆上. 21.(本大题满分12分)已知函数2()2ln f x x x ax =-+()a R ∈.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有两个不同零点，，且120x x <<，求证：12'()02x x f +<，其中'()f x 是()f x 的导函数.选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B 铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本大题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x ．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为3sin =θρ．（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设和交点的交点为，，求AOB ∆的面积.23.(本大题满分10分)已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-. （Ⅰ）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数的取值范围.四川省棠湖中学2018年高考适应性考试数学试卷（文史类）参考答案一．选择题二．填空题 13.213 14.3215.1132548+- 16.17.解：（1）∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+. 又11a =，∴1120a +=≠，10n a +≠. ∴{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知21nn a =-，∴1122(21)(21)n nnn n n a a ++=--1112121n n +=---, ∴22111212121n T =-+---31111212121n n +-+⋅⋅⋅+---- 11121n +=--. 18.解：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以1950P =． （2）设这7名学生分别为，，，，，，（大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c A ，(,)c B ，(,)d e ，(,)d A ，(,)d B ，(,)e A ，(,)e B ，(,)A B 共21种情况，其中有1名男生的有10种情况， ∴1021P =． （3）由题意得，2250(181967)11.53810.82824262525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．19.解（1）由已知得232==AD AM ，取的中点，连接TN AT ,，由为PC 中点知,221,//==BC TN BC TN ，即,AM TN =又BC AD //，即,//AM TN 故四边形AMNT 为平行四边形，于是,//AT MN 因为,,PAB MN PAB AT 平面平面⊄⊂所以,//PAB MN 平面（2）因为⊥PA 平面ABCD ，为PC 的中点，所以到平面ABCD 的距离为,21PA 取BC 得中点，连接AE ，由3==AC AB 得,5,22=-=⊥BE AB AE BC AE 由BC AM //得到BC 的距离为，故5421⨯⨯=∆BC MS ，所以四面体B C M N -的体积为.354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N20．解: （I ）21,22==e c 3,2==∴b aC ∴的方程13422=+∴y x（II ）设点),(y x N()11,y x P ()221<<-x ,则1342121=+y x ,即3442121-=-x y,2:1-=x l 直线P A 2的方程:()2211--=x x y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴24-,211x y M ,又2111+=x y k P A , 直线P A 1的方程为)1()2(211++=x x y y )2(34112-=x y k MF直线2MF 的方程为)2()1()2(3411--=x x y y由(1),(2)得：)1)(2()4(3421212-+-=x x x y y )1)(2(2-+-=x x y即0222=-++x y x 所以，点在定圆上。
21.解：（Ⅰ）解当2a ＝时，f(x)＝2lnx －x2＋2x ，f′(x)＝2x －2x ＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝f′(1)＝2， 则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.（Ⅱ）证明：∵f(x)的图象与x 轴交于两个不同的点A(x1,0)，B(x2,0)， ∴方程2lnx －x2＋ax ＝0的两个根为x1，x2，即⎩⎪⎨⎪⎧2lnx1－x21＋ax1＝0，2lnx2－x22＋ax2＝0，两式相减得a ＝(x1＋x2)－－x1－x2，又f(x)＝2lnx －x2＋ax ，f′(x)＝2x －2x ＋a ，则)221x x f +'（＝4x1＋x2－ (x1＋x2)＋a ＝4x1＋x2－ －x1－x2.下证4x1＋x2－－x1－x2＜0，即证明－x1＋x2＋ln x1x2＜0，令t ＝x1x2.因为0＜x1＜x2，所以0＜t ＜1，即证明u(t)＝－t ＋1＋lnt ＜0在0＜t ＜1上恒成立． 因为u′(t)＝－＋－－t ＋＋1t ＝1t－4＋＝－＋，又0＜t ＜1，所以u′(t)＞0，∴u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)＜u(1)＝0，从而知－x1＋x2＋ln x1x2＜0，故4x1＋x2－－x1－x2＜0，即)221x x f +'（＜0成立．22解：（I ）曲线的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x 消去参数的的直角坐标方程为：0422=+-y x x ，所以的极坐标方程为θρcos 4=（II ）解方程组⎩⎨⎧==3sin cos 4θρθρ有3cos sin 4=θθ得：232sin =θ)(62Z k k ∈+=ππθ或)(32Z k k ∈+=ππθ 当)(62Z k k ∈+=ππθ时，32=ρ，当)(32Z k k ∈+=ππθ时，2=ρ和交点的极坐标))(322()6232(Z k k B k A ∈++ππππ，、，36sin 23221sin 21=⋅⋅=∠=∆πAOB BO AO S AOB 故AOB ∆的面积.23. 解析：（Ⅰ）若a=1，则不等式()f x +()g x ≥3化为2−+|x −1|≥3． 当x≥1时，2−+x −1≥3，即−x+2≤0，(x −错误！未找到引用源。