人教版初中数学第19章 矩形、菱形与正方形四边形最值问题常见考题

四边形最值问题

类型一、将军饮马

1.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，BE=2, EC=1, 点P在BD上，则PE+PC的最小值是.

2.如图，在正方形ABCD中，P是BD上的一个动点，E在BC上，且BE=1，CE=2，则PE+PC 的最小值为。

3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A、6

B、23

C、3

D、26

类型二、点到直线距离垂线段最短

1.在边长为2菱形ABCD中，∠ABC=60°，M、N分别为线段BC和BD上两个动点，则MN+CN 的最小值是。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上

的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最

小值为_________

3.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB

于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．

类型三、平行线间的距离为最值

1.如图，菱形ABCD的边长为5，面积为20，P为CD边上一动点

（异于C、D），点M、N分别在BD、BC上运动，则PM+MN的

最小值为.

2.如上左图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，则PM＋PN的最小值为________

类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值

1.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，

当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状

保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离

为（）

A、2+1

B、5

C、145

5

D、

5

2

2.如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON 上运动，当正方形的边长为2时，OD的最大值为.

3如图，正方形ABCD的边长为4，点P为边AD上一动点，AE⊥BP，垂足为E，连DE，求DE的最小值.

4.如上右图，E、F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是_________

5.如上右图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿,MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是。

类型五、中位线+三点共线求最值

1.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D在AC上，且AD=8，将线段AD 绕点A旋转至D

B'的中点，连结CF，则线段CF的最大值为多少？

A'，F为D

2. 如图，在△ABC中，AC=4，点F为BC边的中点，BD=6，点E为AD边的中点，将线段BD绕点D旋转，则EF的最小值是．

类型六、旋转+三点共线求最值

1.如图，P A=2，PB=4，以AB为一边做正方形ABCD，使P，D两点落在直线AB的两侧，当∠APB变化时。

（1）当∠APB=90°时，求PD的长；

（2）求PD的最大值

2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD

上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结AM、CM、EN。

（1）求证：△AMB≌△ENB

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由。

3..如图，△ABC为等边三角形，P为外部一点．若PB＝5，P A＝2，则PC的最小值为多少？

4..如图，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，

AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，则AP的最大

值为．