最新241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
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高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义PPT课件
解： | BC | 8
A
| CA| 7
120
Bபைடு நூலகம்
7
120
60
8
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 2 0
87(1)28 2
例题：
在△ABC中，a4,b9,C30，求 BCCA
解： | BC | 4
A
| CA| 9
150
B
9
150
30
4
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 5 0
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
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学法指导
• 1.多动脑筋 • 2.数形结合 • 3.总结基本题型 • 4.限时训练
cos180 练1习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 1 8 0 ， a b 2714
( 2 ) |a | 1 0 , |b | 1 5 , 1 8 0 ， a b 1015 150
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 1 8 0 ， a b 8216
• 总结规律：a ,b 反 向 a b |a ||b |
49( 3)18 3 2
cos900 练习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 9 0 ， a b 0
( 2 ) |a | 1 0 ,|b | 1 5 , 9 0 ， a b 0
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 9 0 ， a b 0
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
(3)若不平行的两个非零向量 a,b 满足|a|=|b|,则( ab)(a+b)=0.( ) (4)若 a,b 平行,则 a· b=|a||b|.(
答案:(1)× (2)× (3) (4)×
)
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一向量数量积的运算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,试求: (1)a· b; (2)(a+b)· (a-b); (3)(2a-b)· (a+3b)
a· b>0 符号 a· b=0 a· b<0 夹角公式 cos θ= |������ || ������ |
������ · ������
θ∈ 0, θ=
π 2 π 2
π 2
θ∈
,π
做一做2 (1)若|a|=4,|b|=3,a· b=-6,则a与b的夹角等于( A.150° B.120° C.60° D.30° (2)等腰直角三角形ABC中, |������������|=|������������ |=2,则������������ ·������������ =
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1 若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a· (a+b) 等于( )
A.
1 2
B.
3 2
C.1+
3 2
D.2
解析:∵|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°, 1 ∴a· a=|a|2=1,a· b=|a||b|cos 60°= .
做一做 1 (1)已知|a|= 3,|b|=2 3,a 与 b 的夹角是 120°,则 a· b等 于( ) A.3 B.-3 C.-3 3 D.3 3 π (2)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 ,则 b 在 a 上的投影 为 1 2
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
���Ԧ���
������ ���Ԧ���
������ = ���Ԧ��� ���Ԧ��� cos( ������������° + 30°)
F θ
s
如果一个物体在力 ���Ԧ��� 的作用下产生位 移 ���Ԧ��� ，那么力 ���Ԧ��� 所做的功为：
������ = |���Ԧ���||���Ԧ���| cos ������
叫做向量 ������ 在 ���Ԧ��� 方向上（ ���Ԧ��� 在 ������ 方向上）的投影.
并且规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即 ���Ԧ��� ⋅ 0 = 0 。
B
|������������1| = |������| cos ������
������
θ O
���Ԧ��� A
B1
投影也是一个数量，不是向量；
当θ= 180º时，���Ԧ��� 与 ������ 反向；
θ
O
���Ԧ���
A
当θ= 90º时，���Ԧ��� 与 ������ 垂直，记作 ���Ԧ��� ⊥ ������ .
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学重点： 平面向量数量积的概念、用平面向
量数量积表示向量的模及夹角； 教学难点：
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������ .
θ为 ���Ԧ���与 ������ 的夹角.
向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
���Ԧ��� ⋅ ������ = |���Ԧ���||������| cos ������
当0°≤θ ＜ 90°时���Ԧ��� ⋅ ������ 为正； 当90°＜θ ≤180°时 ���Ԧ��� ⋅ ������ 为负。
高一数学《241平面向量数量积的物理背景及含义》
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒（2）力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）. 并规定0向量与任何向量的数量积为0.⋅探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0︒时投影为 |b |； 当θ = 180︒时投影为 -|b |.3．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，1、a ⊥b ⇔ a ⋅b = 02、当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； 当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| |a ⋅b | ≤ |a ||b | cos θ =||||b a b a ⋅ 探究：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、讲解范例：例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a |=12， |b |=9，254-=•b a ，求a 与b 的夹角。
241平面向量数量积的物理背景及其含义--高一数学必修425315
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
241平面向量数量积的物理背景及其含
适用于教师试讲、学校演讲、教学课件、说课大赛
思考6：对于两个非零向
A
量a与b，设其夹角为θ，
a
那么︱a︱cosθ的几何意
义如何？
O
θ |a|cosθ A1
b
B
思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向 上的投影.那么该投影一定是正数吗？向 量b在a方向上的投影是什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝量积 a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？
数量积a·b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积，
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)
3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数 量积中,若 a 0 ，且 a b 0 ,不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
高中数学2.4.1平面向量数量积和物理背景及其含义课件新人教A版必修4
＝2，求：①a·b; ②(a＋b)·(a－2b)． uuur uuur
(2)如图，设正三角形 ABC 的边长为 2，AB＝c，BC ＝a， uur CA＝b，求 a·b＋b·c＋c·a.
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[例 3] (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且
|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
(2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，
a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
[解]
π (1)3
(2)由已知条件得aa＋－34bb··77aa－－52bb＝＝00，，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简即得 2t2＋15t＋7<0， 画出 2t2＋15t＋7＝0 的图象，如图．
[随堂即时演练]
1．下列命题：
(1)若 a≠0，a·b＝a·c，则 b＝c；
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量 a，b，c 都成立；
(3)对任一向量 a，有 a2＝|a|2.
(5)|a·b| ≤ |a||b|.
2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律)． (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (结合律)． (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
[例 1] (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|
10.忽视向量共线条件而致误 [典例] 设两个向量 e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1 与 e2 的夹角为π3，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为________．
(2)如图，设正三角形 ABC 的边长为 2，AB＝c，BC ＝a， uur CA＝b，求 a·b＋b·c＋c·a.
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[例 3] (1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且
|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
(2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，
a－4b 与 7a－2b 互相垂直，求 a 与 b 的夹角．
[解]
π (1)3
(2)由已知条件得aa＋－34bb··77aa－－52bb＝＝00，，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简即得 2t2＋15t＋7<0， 画出 2t2＋15t＋7＝0 的图象，如图．
[随堂即时演练]
1．下列命题：
(1)若 a≠0，a·b＝a·c，则 b＝c；
(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量 a，b，c 都成立；
(3)对任一向量 a，有 a2＝|a|2.
(5)|a·b| ≤ |a||b|.
2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝ b·a (交换律)． (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (结合律)． (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c (分配律)．
[例 1] (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b|
10.忽视向量共线条件而致误 [典例] 设两个向量 e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1 与 e2 的夹角为π3，若向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角，则实数 t 的取值范围为________．
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
高一数学人必修课件平面向量数量积的物理背景及其含义
06
平面向量数量积的应用
在几何中的应用
计算向量的模长
通过平面向量数量积的定义，可以计算向量的模长，即向量的大 小。
判断向量的垂直关系
如果两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直。
计算向量的夹角
通过平面向量数量积的公式，可以计算两个向量之间的夹角。
在物理中的应用
01
02
03
计算物体的位移
在物理学中，位移可以表 示为向量，通过平面向量 数量积可以计算物体的位 移大小和方向。
在平面直角坐标系中，向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起 点坐标。
数量积的坐标计算公式
设两个向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，它们的夹角为θ，则
数量积的坐标计算公式为： a·b=x1x2+y1y2·cosθ。
当两个向量的夹角为90°时， cosθ=0，所以a·b=0。这说明两
培养学生的向量运算 能力和解决实际问题 的能力。
了解平面向量数量积 的物理背景，理解其 在物理中的应用；
课件内容概述
01
02
03
04
平面向量数量积的定义 和性质；
平面向量数量积的运算 规则；
平面向量数量积的物理 背景及其含义；
平面向量数量积的应用 举例。
02
平面向量的基本概念与性质
平面向量的定义
个垂直的向量的数量积为零。
当两个向量同向时，cosθ=1， 所以a·b=x1x2+y1y2。这说明两 个同向的向量的数量积等于它们
模的乘积。
坐标计算数量积的举例
举例1
已知向量a=(2,3)， b=(4,5)，求a·b。
解
根据数量积的坐标计算公 式，有 a·b=2×4+3×5=8+15=2 3。
高中数学 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教
A1
叫做向量 b 在 a
方向上的投影.
B
B
B
b
O
a
B1 A
当为锐角时
投影为正值;
b
B1 O a A 当为钝角时
投影为负值;
b
O(B1) a A
当为直角时
投影为0;
投影与数量积的结果都是数量.
什么时候为正，
什么时候为负？
a a b 例1、计算a • b 以及 在 b 上的投影。（ 为 和 的夹角）
人教版普通高中课程标准实验教科书A版·必修4
2.4.1 平面向量数量积 的物理背景及其含义
问题：物理中力对物体所做的功是 什么？
F
θ S
F W S | F || S | cos
2.4 平面向量的数量积
第一课时
平面向量数量积的物理背景及其含义
学习目标：
（1）理解平面向量数量积和投影的概念 及数量积的几何意义；
数量积性质与运 算律
1. (a b)c 与 a(b c)相等吗？
2. 若 a b 0, 则 a 0 或 b 0，对吗？ 或 a b.
3.若a c b c, c 0, 则 a b ，对吗？
（注意不能等号两边约去 c ）
(a b) c 0.
自主探究：
类似？
例2. (1)(a b)2
a 5
a b
0°
5 4
投影
2
30°
23
90° 120° 180°
0 -2 -4
b 4 数量积 20 10 3 0
-10 -20
0° 60° 90° 150° 180°
a 3 投影
6
3
0
数量积 18 9
人教版(A版)高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学课件 (共21张PPT)
(× ）
6.若a ·b= a ·c ,则b≠c,当且仅当a=0时成立 ( × ）
7对任一向量a,有a2=|a|2
(√ ）
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例1．证明（1） (ab)2a22abb2；
22
（2） (ab)(ab)ab.
证明:（1） (a b) 2 (ab)(ab)
aaabbabb
2
2
a 2abb
（2）(ab)(ab) aa-abba-bb
22
a b
典例分析
平面向量数量积的物理背景及其含义
例2．已知 | a | 6 ，| b | 4 ，a 与 b 的夹角为 60 o ，
求 (a2b)(a3b).
解： (a2b)(a3b) aaab6bb |a|2ab6|b|2 |a|2|a||b|co 6s 0 6|b|2 62641642 2
平面向量数量积的物理背景及其含义
定义 已知两个非零向量 a 与b ，我们把数量 | a|| b| cos 叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，
记作 a b ，即 ab|a||b|cos，
其中是 a 与 b 的夹角．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
1.“ ”是数量积运算符号，不能省略也不能用“ ”代替； 2. 数量积 a b 的结果是一个实数.
向量的数量积
交换律
abba
abba
(ab)ca(bc)
结合律 (a)bca(b)c (a ) b a (b ) a b
分配律 (ab)cacbc (ab)cacbc
再探定义
平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
高中数学必修四1：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
探究点1 投影的概念
投影的作图:
B
B
B
b θ B1
B1
OaA
b
θ
OaA
bθ
O
aA
| b |cos 0
O
A
B
| b |cos b
| b |cos 0
| b |cos 0
B
A
O
| b |cos = b
典例精讲：
已知三坐标A（1，2），B（3，5），C(3,9),那么向量AC与AB方向上的投影是 _______ . 解析：向量AC在AB方向上的投影是实数，利用投影公式| AC | cos AC, AB 求解
|λ a |=|λ|r| a | r λ>0时λ a 与 a
方向相同；λ<0时λ
r a与
r a 方向相反；λ=0时λ
r a
=0
探究点3 运算规律
结合r律： r λ(μ a )=(λμ) a
第一分r配律：r r
(λ+μ) a =λ a+μ
第二分配律：λ(
ra a
+
r b
r )=λ a
+λ
r b
拓展提升：
第二章 平面向量 2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
高中数学必修4·精品课件
知识回顾
夹角的范围 数量积 性质
运算律
0
a
b
|
a||
b|
cos
a·a=|a|2 （简写 a2 = |a|2）
或 | a| a a
(1) a ·b= b ·a (交换律)
(2)
(ar )
r b
ar
r
(b)
高一数学人教A版必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2
＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴2a－|ab＋·ba|＋b＝12.
明目标、知重点
探究点三 平面向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成 立吗？ 答 a⊥b⇔a·b＝0. 思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什 么？特别地，a·a等于什么？ 答 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a·a.
明目标、知重点
1234
3.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的值是
________. 解析 易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2， C＝90°. cos B＝153， ∴cos〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)
明目标、知重点
＝－cos B＝－153. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B) ＝13×5×－153＝－25. 答案 －25
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
明目标、知重点
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
cos θ＝|aa|·|bb|.
明目标、知重点
例3 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|. 解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝225. |a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×225＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2
＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴2a－|ab＋·ba|＋b＝12.
明目标、知重点
探究点三 平面向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成 立吗？ 答 a⊥b⇔a·b＝0. 思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什 么？特别地，a·a等于什么？ 答 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a·a.
明目标、知重点
1234
3.在△ABC 中，|A→B|＝13，|B→C|＝5，|C→A|＝12，则A→B·B→C的值是
________. 解析 易知|A→B|2＝|B→C|2＋|C→A|2， C＝90°. cos B＝153， ∴cos〈A→B，B→C〉＝cos(180°－B)
明目标、知重点
＝－cos B＝－153. ∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos(180°－B) ＝13×5×－153＝－25. 答案 －25
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
明目标、知重点
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
cos θ＝|aa|·|bb|.
明目标、知重点
例3 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为π3，求|a＋b|，|a－b|. 解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×12＝225. |a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2 ＝ 25＋2×225＋25＝5 3. |a－b|＝ a－b2＝ |a|2－2a·b＋|b|2
版高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理
答案
思考2
向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同.
答案Biblioteka 梳理(1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影：
向量b在a方向上的投影 向量a在b方向上的投影
|b|cos θ |a|cos θ
(3)a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|的co乘s θ积.
知识点三 平面向量数量积的性质
思考1
向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.
答案
思考2
非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号 由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60° ，则B→D·C→D等于
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a， ∠BCD＝120°. ∴B→D·C→D＝(B→C＋C→D)·C→D ＝B→C·C→D＋C→D2
＝a·a·cos 60°＋a2＝32a2.
|a|cos θ＝－3，
解
∵ |b|cos
θ＝－32，
∴a|b·b| ＝－3， a|a·b| ＝－32，
即－ －||ba9|9| ＝ ＝－ －323， ，
∴||ab||＝ ＝63， . ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
思考2
向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？ 答案 由投影的定义知，二者不一定相同.
答案Biblioteka 梳理(1)条件：向量a与b的夹角为θ. (2)投影：
向量b在a方向上的投影 向量a在b方向上的投影
|b|cos θ |a|cos θ
(3)a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与 b在a的方向上的投影|b|的co乘s θ积.
知识点三 平面向量数量积的性质
思考1
向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？ 答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.
答案
思考2
非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号 由什么来决定？ 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
跟踪训练 1 已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60° ，则B→D·C→D等于
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a， ∠BCD＝120°. ∴B→D·C→D＝(B→C＋C→D)·C→D ＝B→C·C→D＋C→D2
＝a·a·cos 60°＋a2＝32a2.
|a|cos θ＝－3，
解
∵ |b|cos
θ＝－32，
∴a|b·b| ＝－3， a|a·b| ＝－32，
即－ －||ba9|9| ＝ ＝－ －323， ，
∴||ab||＝ ＝63， . ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
图 2－4－1
2．数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于a的长度|a|与 b 在 a 方 向上的投影 |b|cos θ 的乘积.
【问题导思】 已知两个非零向量 a，b，θ 为 a 与 b 的夹角．
1．若 a·b＝0，则 a 与 b 有什么关系？
【提示】 a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°， a⊥b.
2．非零向量 a·b＝0⇔a⊥b 是非常重要的性质，它对于 解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌 握．
已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b| ＝2，求：(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|. 【思路探究】 利用 a·a＝a2 或|a|＝ a2求解．
平面向量数量积的物理背景及其含义
【问题导思】 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图．
1．如何计算这个力所做的功？ 【提示】 w＝|S||F|cos θ.
2．力 F 在位移方向上的分力是多少？ 【提示】 |F|cos θ. 3．力做功的大小与哪些量有关？
【提示】 与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹
角有关．
已知两非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则把数 量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或 内积 )， 记作 a·b ，即 a·b＝|a||b|cos θ . 规定零向量与任一向量的数量积均为 0 .
1.投影的概念 如图 2－4－1 所示：O→A＝a，O→B＝b，过 B 作 BB1 垂直 于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝ |b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，|a|cos θ 叫做向 量 a 在 b 方向上的投影．
2．数量积的几何意义： a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于a的长度|a|与 b 在 a 方 向上的投影 |b|cos θ 的乘积.
【问题导思】 已知两个非零向量 a，b，θ 为 a 与 b 的夹角．
1．若 a·b＝0，则 a 与 b 有什么关系？
【提示】 a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°， a⊥b.
2．非零向量 a·b＝0⇔a⊥b 是非常重要的性质，它对于 解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌 握．
已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝4，|b| ＝2，求：(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|. 【思路探究】 利用 a·a＝a2 或|a|＝ a2求解．
平面向量数量积的物理背景及其含义
【问题导思】 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图．
1．如何计算这个力所做的功？ 【提示】 w＝|S||F|cos θ.
2．力 F 在位移方向上的分力是多少？ 【提示】 |F|cos θ. 3．力做功的大小与哪些量有关？
【提示】 与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹
角有关．
已知两非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则把数 量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或 内积 )， 记作 a·b ，即 a·b＝|a||b|cos θ . 规定零向量与任一向量的数量积均为 0 .
1.投影的概念 如图 2－4－1 所示：O→A＝a，O→B＝b，过 B 作 BB1 垂直 于直线 OA，垂足为 B1，则 OB1＝ |b|cos θ . |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影，|a|cos θ 叫做向 量 a 在 b 方向上的投影．
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241平面向量数量积的物理 背景及其含义--高一数学必
修425315
问题提出
t
p
1 2
5730
1.向量的模和夹角分别是什么概念？
当两个向量的夹角分别为0°，90°，
180°时，这两个向量的位置关系如何？
2.任意两个向量都可以进行加、减运 算，同时两个向量的和与差仍是一个向 量，并且向量的加法运算满足交换律和 结合律.由于任意两个实数可以进行乘法 运算，我们自然会提出，任意两个向量 是否也可以进行乘法运算呢？对此，我 们从理论上进行相应分析.
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
2.实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a 可 a以求向量的模，在 字符运算中是一种常用方法.
4.利用向量的数量积可以解决有关平行、 垂直、夹角、距离、不等式等问题，它 是一个工具性知识点，具有很强的功能 作用.
作业： P108 习题2.4A组：
1，2，3，7，8.
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关 系如何？为什么？
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
思考4：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？ 它可以转化为哪些运算？
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
已知向量a、b、c 满足运算律：
（1）a·b＝b·a （交换律）
（2）（a+b)c=a.c+b.c (分配律）
ห้องสมุดไป่ตู้
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b a·b＝0
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？ 当a与b反向时，a·b等于什么？特别地， a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ a a .
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
(a·b)·c≠a·(b·c)（无结合律）
思考5：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.
修425315
问题提出
t
p
1 2
5730
1.向量的模和夹角分别是什么概念？
当两个向量的夹角分别为0°，90°，
180°时，这两个向量的位置关系如何？
2.任意两个向量都可以进行加、减运 算，同时两个向量的和与差仍是一个向 量，并且向量的加法运算满足交换律和 结合律.由于任意两个实数可以进行乘法 运算，我们自然会提出，任意两个向量 是否也可以进行乘法运算呢？对此，我 们从理论上进行相应分析.
3
4
小结作业
1.向量的数量积是一种向量的乘法运算， 它与向量的加法、减法、数乘运算一样， 也有明显的物理背景和几何意义，同时 还有一系列的运算性质，但与向量的线 性运算不同的是，数量积的运算结果是 数量而不是向量.
2.实数的运算性质与向量的运算性质不 完全一致，应用时不要似是而非.
3. 利用︱a︱＝ a 可 a以求向量的模，在 字符运算中是一种常用方法.
4.利用向量的数量积可以解决有关平行、 垂直、夹角、距离、不等式等问题，它 是一个工具性知识点，具有很强的功能 作用.
作业： P108 习题2.4A组：
1，2，3，7，8.
结束语
谢谢大家聆听！！！
17
思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关 系如何？为什么？
︱a·b︱≤︱a︱︱b︱
思考4：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？ 它可以转化为哪些运算？
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
已知向量a、b、c 满足运算律：
（1）a·b＝b·a （交换律）
（2）（a+b)c=a.c+b.c (分配律）
ห้องสมุดไป่ตู้
探究（二）：平面向量数量积的运算性质
思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b， 则a·b等于多少？反之成立吗？
a⊥b a·b＝0
思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？ 当a与b反向时，a·b等于什么？特别地， a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱； 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱； a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝ a a .
cos
ab
| a || b |
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
(a·b)·c≠a·(b·c)（无结合律）
思考5：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
（成立）证明见书p105例题2
思考6：对于向量a，b，如何求它们的夹
角q？ 如已知︱a︱=12, ︱b︱=9,a.b=-
54√2,求向量a与b的夹角q.