线性规划-整数规划.
线性规划Lindo软件-整数规划
定制化不足
对于特定领域的整数规划问题， 可能需要针对具体问题对软件进 行定制化开发。
未来研究的方向与展望
算法改进
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化 Lindo软件的算法，提高求解速度和精度。
扩展应用领域
随着整数规划问题的多样化，未来可以进一步拓展 Lindo软件的应用领域，如金融、物流、能源等领 域。
整数规划的求解方法
分支定界法
通过不断分割可行解空间和排除不可行解空 间来逼近最优解。
割平面法
通过逐步构建整数解来逼近最优解，适用于 小规模问题。
回溯法
通过添加割平面来缩小可行解空间，最终找 到最优解。
Lindo软件求解法
使用Lindo软件进行整数规划求解，具有高效 、稳定、易操作等优点。
04
使用Lindo软件进行整数规划
在求解结果查看界面中，可以查看问题的最优解、最优值、变量取值等信 息。
可以使用软件提供的图表功能，绘制变量取值与目标函数之间的关系图， 以便更好地理解问题的解。
05
案例分析
案例一：简单的整数规划问题
问题描述
01
考虑一个简单的整数规划问题，目标是最小化目标函数，同时
满足一系列线性约束条件。
解决方案
• 易用性：用户界面友好，操作简单，无需复杂的编程知识 即可使用。
Lindo软件在整数规划中的优势与限制
依赖性
Lindo软件的功能和性能高度依赖 于计算机硬件配置，高性能计算 机是求解大规模问题的必要条件。
模型限制
对于某些特殊类型的整数规划问 题，如非凸或非线性问题，Lindo 软件的求解效果可能有限。
在约束条件设置界面中，根据问题数据设置相 应的约束条件，如“less than”、“equal to”或“greater than”。
离散优化中的整数规划与线性规划
离散优化中的整数规划与线性规划离散优化是运筹学中的一个重要分支，研究如何寻找在一定限制条件下最优解的问题。
整数规划和线性规划是离散优化的两个主要方法，本文将对它们进行详细介绍和比较。
一、整数规划整数规划是一种在决策变量中引入整数限制的优化方法。
与线性规划相比，整数规划更符合实际问题的特性，能够解决更多实际应用中的优化问题。
在整数规划中，决策变量取值只能是整数，这意味着解集是一个离散的点集，而不是一个连续的区域。
整数规划可以应用于很多领域，如物流问题、生产计划、项目调度等。
以物流问题为例，整数规划可以帮助确定最优的货物配送路线，减少运输成本。
整数规划的求解方法主要有分枝定界法、割平面法、整数规划松弛法等。
二、线性规划线性规划是整数规划的一种特殊情况，即决策变量可以取任意实数值。
线性规划是一种在线性约束条件下寻找最优解的方法。
线性规划在数学上有较为完备的理论基础，并且具有较好的计算性质。
线性规划的应用十分广泛，如资源配置、生产计划、投资组合等。
以资源配置为例，线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，实现资源的有效利用。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、内点法、对偶法等。
三、整数规划与线性规划的比较整数规划和线性规划在求解方法和应用领域上存在一些差异。
首先，在求解方法上，整数规划通常比线性规划更难求解。
由于整数规划的解集是一个离散的点集，所以需要经过更多的搜索和计算才能找到最优解。
其次，在应用领域上，整数规划更加灵活，可以应对更复杂的问题。
整数规划可以通过在决策变量中引入整数限制，更好地满足实际问题的约束条件。
而线性规划则更适用于连续变量的优化问题。
最后，整数规划和线性规划在计算效率上也存在差异。
线性规划的求解方法较为成熟，可以在较短的时间内找到最优解。
而整数规划的求解时间较长，通常需要使用一些特殊的算法来加快计算速度。
四、总结离散优化中的整数规划和线性规划是两种重要的优化方法。
整数规划通过在决策变量中引入整数限制，能够更好地解决实际问题。
Matlab求解线性规划和整数规划问题
Matlab求解线性规划和整数规划问题标题：Matlab求解线性规划和整数规划问题引言概述：Matlab是一种功能强大的数值计算软件，广泛应用于各个领域的数学建模和优化问题求解。
本文将介绍如何使用Matlab求解线性规划和整数规划问题，并结合实例详细阐述求解过程。
一、线性规划问题的求解1.1 定义线性规划问题：线性规划是一种优化问题，目标函数和约束条件均为线性函数。
通常包括最大化或最小化目标函数，并满足一系列约束条件。
1.2 确定决策变量和约束条件：根据问题的实际情况，确定需要优化的决策变量和约束条件。
决策变量表示问题中需要求解的未知量，约束条件限制了决策变量的取值范围。
1.3 使用Matlab求解线性规划问题：利用Matlab提供的优化工具箱，使用线性规划函数linprog()进行求解。
通过设置目标函数系数、约束条件和边界条件，调用linprog()函数得到最优解。
二、整数规划问题的求解2.1 定义整数规划问题：整数规划是在线性规划的基础上，决策变量限制为整数值。
整数规划问题在实际应用中更具有实际意义，例如资源分配、路径选择等。
2.2 确定整数规划问题的特点：整数规划问题通常具有离散性和复杂性，需要根据实际情况确定整数规划问题的特点，如整数变量的范围、约束条件等。
2.3 使用Matlab求解整数规划问题：Matlab提供了整数规划函数intlinprog()，通过设置目标函数系数、约束条件和整数变量的范围，调用intlinprog()函数进行求解。
三、线性规划问题实例分析3.1 实例背景介绍：以某公司的生产计划为例，介绍线性规划问题的具体应用场景。
3.2 定义决策变量和约束条件：确定决策变量，如产品的生产数量，以及约束条件，如生产能力、市场需求等。
3.3 使用Matlab求解线性规划问题：根据实例中的目标函数系数、约束条件和边界条件，调用linprog()函数进行求解，并分析最优解的意义和解释。
线性规划与整数规划模式
线性规划与整数规划模式介绍在线性规划（Linear Programming）中，我们寻求一组决策变量的最优值，以使得对应的线性目标函数取得最大或最小值，同时满足一组线性约束条件。
然而，有些情况下，我们需要求解的决策变量只能取整数值，而不能取非整数值。
这就引入了整数规划（Integer Programming）。
线性规划和整数规划都是数学编程方法，主要用于优化问题的求解。
在现实生活中，我们经常遇到需要优化某个目标函数或满足一组约束条件的问题，例如资源分配、生产排程、运输问题等。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、模型建立方法以及求解算法。
线性规划基本概念在线性规划中，我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。
•决策变量：表示需要优化的变量，可以是任意实数值。
•目标函数：表示我们希望最大化或最小化的线性函数。
•约束条件：表示对决策变量的线性限制，可以是等式或不等式。
模型建立方法模型建立是线性规划的关键步骤，需要根据具体问题进行数学建模。
1.定义决策变量：确定需要优化的变量，并给出变量的取值范围。
2.建立目标函数：根据问题要求，将目标转化为线性函数。
3.建立约束条件：将问题的限制条件转化为一组线性不等式或等式。
4.确定问题类型：确定是最大化问题还是最小化问题。
5.完善模型：考虑特殊约束条件，如非负约束、整数约束等。
求解算法一般来说，线性规划可以使用各种方法进行求解，常见的算法包括：1.单纯形法（Simplex Method）：通过在可行域内移动到更优解的方式求解线性规划问题。
2.内点法（Interior Point Method）：通过在可行域内寻找内点的方式求解线性规划问题。
3.分支定界法（Branch and Bound）：将整数规划问题转化为多个线性规划子问题，通过不断分支和界定来搜索可行解空间。
4.割平面法（Cutting Plane Method）：通过添加额外的约束条件来逼近整数解的方法。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
典型的整数线性规划问题
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－1 模型
(IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x1(x1 80) 0
x2=0 或 80
x2 (x2 80) 0
x3=0 或 80
x3 (x3 80) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP）
NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。
丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4
丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2
戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
运筹学与优化中的整数规划与线性规划对比分析
运筹学与优化中的整数规划与线性规划对比分析运筹学与优化是一门研究如何利用数学方法来优化决策的学科。
在运筹学与优化领域中，整数规划和线性规划是两种常用的数学模型。
本文将对整数规划和线性规划进行比较和分析，探讨它们在应用中的异同点以及各自的优势和劣势。
首先，我们来看整数规划。
整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的数学方法。
在整数规划中，决策变量必须取整数值，这导致整数规划比线性规划要更加复杂。
整数规划可以用来解决很多实际问题，例如生产调度问题、资源分配问题和路线选择问题等。
整数规划的一个重要应用领域是物流运输问题。
在物流运输中，有时需要决定在某一段时间内应该购买多少辆卡车，以满足快速变化的运输需求。
这个问题可以被建模为一个整数规划问题，目标是最小化成本或最大化利润。
与整数规划相比，线性规划是一种在决策变量可以取任意实数值的情况下求解优化问题的方法。
线性规划在运筹学与优化中被广泛应用。
线性规划的求解方法相对较为简单，可以通过线性规划软件来求解。
线性规划常被用来解决资源分配问题、产品混合问题和生产计划问题等。
一个典型的线性规划问题是生产计划问题，其中目标是最大化产量或最小化生产成本，同时满足一系列约束条件，例如原料和人力资源的限制。
整数规划和线性规划在应用中有一些明显的异同点。
首先，整数规划相对于线性规划来说更加复杂，因为整数规划需要考虑决策变量取整数值的限制。
这使得整数规划的问题规模更大，求解难度更高。
其次，整数规划可以更好地描述某些实际问题，例如一些离散决策问题，而线性规划更适用于某些具有连续决策变量的问题。
此外，整数规划常常需要更长的计算时间来求解，而线性规划则可以在较短的时间内得到结果。
尽管整数规划和线性规划在应用中有一些区别，它们也有一些共同之处。
首先，整数规划和线性规划都是数学模型，通过最大化或最小化某个特定的目标函数来进行决策。
其次，整数规划和线性规划都可以通过数学方法来求解。
虽然整数规划的求解方法相对复杂一些，但仍然可以被有效地求解出来。
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
离散优化中的线性规划与整数规划
离散优化中的线性规划与整数规划离散优化是运筹学领域中的关键分支，旨在解决基于离散决策变量的优化问题。
在离散优化中，线性规划和整数规划是两个重要的方法。
本文将介绍这两种规划方法的定义、应用和解决技术，并探讨它们在离散优化中的应用领域。
1. 线性规划线性规划是一种用于解决线性约束下的目标最优化问题的方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和一组线性约束条件。
线性规划的数学模型可以表示为：\[\begin{align*}\text{最小化}\quad & c^Tx \\\text{约束条件}\quad & Ax \leq b \\\text{以及}\quad & x \geq 0\end{align*}\]其中，$c$ 是目标函数的系数向量，$x$ 是决策变量向量，$A$ 是约束条件的系数矩阵，$b$ 是约束条件的右侧向量。
线性规划方法可以通过单纯形法、内点法等算法进行求解。
它在供应链管理、市场营销、资源分配等多个领域有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，线性规划可以帮助确定最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或者满足资源约束。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它将决策变量限制为整数。
整数规划解决的问题更贴近实际情况，因为在许多实际问题中，决策变量只能是整数值。
整数规划的数学模型可以表示为：\[\begin{align*}\text{最小化}\quad & c^Tx \\\text{约束条件}\quad & Ax \leq b \\\text{以及}\quad & x \in Z^n\end{align*}\]其中，$Z^n$ 表示整数集。
与线性规划类似，整数规划也可以使用各种算法进行求解，如分支定界法、割平面法等。
虽然整数规划的求解过程更加困难，但它在许多实际问题中非常有用。
例如，在项目管理中，整数规划可以帮助确定最佳的资源分配方案、工作安排等。
运筹学中的线性规划与整数规划算法
运筹学中的线性规划与整数规划算法运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它集合了数学、计算机科学和经济学等多个学科的理论和方法。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最常用的一类问题求解方法。
本文将重点讨论运筹学中的线性规划和整数规划算法。
线性规划是一种通过线性数学模型来实现决策优化的方法。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性关系。
目标函数表示要优化的目标，约束条件则限制了决策变量的取值范围。
线性规划的基本思想是通过调整决策变量的取值，使得目标函数达到最大或最小值。
线性规划的求解方法主要有两种：单纯形法和内点法。
单纯形法是一种通过在顶点间移动来寻找最优解的方法。
它从一个可行解开始，然后通过交替移动到相邻的顶点来逐步优化目标函数值。
而内点法则是一种通过将目标函数与约束条件转化为一组等价的非线性方程组，通过迭代方法逼近最优解的方法。
内点法相对于单纯形法而言，在求解大规模问题时速度更快。
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划问题更接近实际问题，因为很多情况下我们只能从离散的选择中进行决策。
然而，整数规划的求解难度要远远高于线性规划。
因为整数规划问题的解空间是离散的，不再是连续的顶点，这导致了求解整数规划的困难。
为了解决整数规划问题，提出了许多算法，其中最著名的是分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种通过将整数规划问题分解为一系列线性规划子问题来求解的方法。
它通过将整数规划问题不断分解为子问题，并利用线性规划的求解方法求解子问题。
割平面法则是一种在单纯形法的基础上引入额外的不等式约束来加强整数规划问题的求解方法。
割平面法通过将不等式约束添加到线性规划模型中，逐步缩小解空间，最终找到整数规划问题的最优解。
除了分支定界法和割平面法之外，还有一些其他的整数规划求解方法，如启发式算法和元启发式算法。
启发式算法是一种基于经验和启发知识的求解方法，它通过模拟生物进化、社会行为等过程来搜索整数规划问题的解。
第4章 线性整数规划
线性整数规划的概念 例：用集装箱装运甲、乙两种货物，每种货物每包的体积、 重量和收益见下表。集装箱体积为 24m3 ，允许的最大 重量 14 吨，问每个集装箱应装两种货物各多少包才能
使收益最大?
货物 甲 乙 每包体积 (m3) 5 4 每包重量 (吨 ) 2 5 收益 (元/包) 1000 1500
线性整数规划的概念
二、线性整数规划的数学模型
在线性规划模型：
max S CX AX b s .t . X 0
中，若增加自变量取整数约束条件，则可得到线性整数 规划的数学模型：
max S CX AX b s.t . X 0且为整数
解：①解原问题的松弛问题P0： max S 40 x1 90 x2
9 x1 7 x2 56 s.t .7 x1 20 x2 70 x , x 0 1 2
分枝定界法 可用图解法求解。最优解为xl=4.809，x2=1.817，S=355.89 根据松弛问题的最优解可以确定原问题的目标函数值的 上界为S =355.89或 S =355，下界为 S =0（由于目标函数的 系数均为整数且大于0）。 ②将P0分解为两个子问题Pl和P2(分枝)
P3 的最优解为 x1=4 ， x2=2 ， S=340 ，因已得到一个整数 解，即原问题的一个可行解，故原问题目标函数下界 为：S=340。 P4的最优解为x1=1.428，x2=3，S＝327.12，S4 327
分枝定界法
因S4 S，故没有必要继续对 P4分枝，应将 P4剪掉(称为剪枝 )。
线性整数规划的概念
三、整数规划的解法概述
由于对变量的整数约束限制了通常的连续型方法的应 用，因此，人们在刚接触整数规划问题时，往往会产 生两种原始的求解设想： ①因为纯整数规划的可行解是有限的，因此，可采用一 一比较的方法(穷举法)找出最优解； ②先不考虑整数约束，解相应的连续型问题 ( 松弛问题 ) ， 然后用“四舍五入”的办法凑得一个较好的整数解作 为最优解。 这两种设想往往是行不通的。穷举法效率太低，只有 当可行解较少时才能行得通，当可行解很多时，需要 花很长的时间。凑整法不一定能得到问题的最优解。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
02线性规划--整数规划概论
整数规划-分支定界法
例：求解整数规划：
max z 5x1 8x2
s.t.
92
x2
6
45
x1, x2 0,且为整数
我们把整数规划对应的一般线性规划称为此整数 规划的松弛问题，上例的松弛问题为：
x1 x2 6 s.t. 5xx2149x2 45
x1, x2 0,且为整数
增加约束条件一般会使最优值减小，所以原问题的最优值 为对应的整数规划的上限。
整数规划-分支定界法
第3步：求解IP1 运用单纯形法，可以求得无整数要求的IP1的最优解， x1 3, x2 3, z 39 可以看出，此最优解也为整数规划IP1的最优解，原整 数规划的最优值不可能小于39，否则肯定不为极大值。所 以，39可以作为原整数规划最优值的下限。但是，此最优 值还小于上限，所以，还需求解另一分支。
第2步：选择非整数解变量，构造附加约束条件（分支）
选取 x2 ，由于 x2 3.75 ，可以构造约束条件：
x2 3, x2 4 ，在 3 x2 4 范围内，
无整数要求的线性规划即使有最优解，也不是整数解.
(0,5)
(0,4)
(2.25 3.75) z 5x1 8x2
(0,3)
(6,0)
的下限，则可能在 (0,3)
解的附近还有整数
IP1x1 3, x2 3, z 39
最优解，还需继续
分支。
(6,0)
如果此时的最优值小于原规划的下限，则不可能有最优解，停止计算。
整数规划-分支定界法
(0,5) (0,4) (0,3)
IP2 x1 1.8, x2 4, z 41
整数线性规划问题
实 例
1
某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。
单价
销地
厂址
生产能力
建设费用
销量
设： xij 表示从工厂i 运往销地j 的运量(i=1.2…m、j=1.2…n), 在Ai 建厂 又设 yi＝ （i=1.2…m） 不在Ai 建厂 模型：
（3）0－1整数规划问题
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于种种原因，有三个附加条件： 若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个； 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
一位旅行者出发前准备在自己的背包里 携带必需的物品,已知可供选择的物品有n种, 第j种物品的重量为 公斤,其价值为 ,若 背包所带物品的总重量不得超过b公斤,问他 应如何选择所带物品，以使总价值最大。
物品
1 2 … j … n
方式
数学模型表示为： 设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数
混合整数规划问题
某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点有A1,A2…Am ，他们的生产能力分别是a1,a2,…am（假设生产同一产品）。第i个工厂的建设费用为fi (i=1.2…m), 又有n个地点B1,B2, … Bn 需要销售这种产品，其销量分别为b1.b2…bn 。从工厂运往销地的单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，即满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。
一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。
在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。
其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。
线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。
单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。
内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。
这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。
二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。
因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。
分支定界是一种常用的整数规划求解方法。
它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。
割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。
总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。
线性规划与整数规划
线性规划与整数规划线性规划（linear programming）是一种优化问题的数学建模方法，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的极值。
线性规划的解决方法与整数规划（integer programming）有很大的联系，整数规划是线性规划的一种特殊形式，在选择决策变量时，限制其取值为整数。
线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
一、线性规划线性规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X \geq 0$其中，$C$是一个列向量，$X$是一个列向量，$A$是一个矩阵，$B$是一个列向量。
在上述模型中，$C^TX$表示我们要优化的目标函数，即我们希望最大化或最小化的线性函数。
目标函数的系数在矩阵$C$中定义。
约束条件由不等式$AX \leq B$表示。
约束矩阵$A$的每一行代表一个约束式，而约束向量$B$确定每个约束条件的边界。
最后一个条件$X \geq 0$表示决策变量$X_i$必须非负。
线性规划问题的解可以通过线性规划算法求解，如单纯形算法、内点法等。
这些算法能够有效地求解线性规划问题，但是当问题涉及到整数变量时，线性规划就无法得到整数解，这时就需要使用整数规划来解决。
二、整数规划整数规划是对线性规划的一种扩展，它的决策变量被限制为整数。
整数规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X_i \in Z$其中，$X_i \in Z$表示决策变量$X_i$必须为整数。
整数规划相比于线性规划更加困难，因为整数规划的解空间更大。
对于非线性整数规划问题，甚至可能没有有效的解决方法。
求解整数规划问题的方法也有很多，比如分支定界法、割平面法、动态规划等。
这些方法能够在有限的时间内找到整数规划问题的近似解。
然而，由于整数规划问题是NP难问题，当问题规模较大时，求解时间呈指数增长。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
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(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）
20
10 21
例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：
必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0
请确定设站方案。
布点问题的数学模型： 0－1规划
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
排班问题（人力资源配置问题）
例：邮局每天需要的职工数因业务忙闲而异，据 统计邮局一周内每天需要的人数如下表。排班 要符合每周连续工作5天，休息2天的规定。问 如何排班可使用人最少。
设01为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 ≥1 x1 x2 x x x6 ≥ 1 2 1 x3 x4 ≥1 s.t. x3 x4 x5 ≥1 x4 x5 x6 ≥ 1 x2 x5 x6 ≥ 1 xi 取 0 或 1 ，i 1, , 6
5 15
2 18
6 14
12 8
2 4
4 10
背包问题的数学模型： 0－1规划
解：设01变量表示携带物品i，表示不携带 物品i，则问题可写为
maxZ 20 x1 15x2 18x3 14 x4 8x5 4 x6 10x7 5 x1 5 x2 2 x3 6 x4 12 x5 2 x6 4 x7 ≤ 25 s.t. xi 取 0 或 1，i 1, 2,,7
第四章
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如：
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
依照决策变量取整要求的不同，整 数规划可分为纯整数规划、 0－1整 数规划、混合整数规划。
可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
布点问题
共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投 资费用。
地 点
一 区
二 区
三 区
四 区
五 区
六 区
学校、医院、商业区、消防 队等公共设施的布点问题。
一 区二 Βιβλιοθήκη 三 区010 16
10
0 24
16
24 0
28
32 12
27
17 27
3
4 5
100
130 260
60
80 180
问如何投资才能使收 益最大？
投资问题的数学模型：0－1规划
设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 210 x1 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 ≤ 600 x1 x2 x3 ≥ 1 s.t. x3 x4 1 x ≤ x 1 5 xi 取 0 或1，i 1, ,5
X=(1.3, 3.3, 2, 7.3, 0, 3.3, 5)T , z=22.3 X*=( 7, 5, 1, 8, 0, 2, 0) T , z=23
投资问题
5个投资项目；600万 元资金，投资受到约 束：
项目
投资额(万 元)
期望收益 (万元)
1 2
210 300
150 210
(1) 项目1、2和3至少一 项被选中； (2) 项目3和4只能选一 项； (3) 项目5选中的前提 是1必须被选中。
58.4
52.8 59.1 57.0
解： 设i=1，2，3，4分别表示甲、乙、丙、丁；j=1， 2，3，4分别表示仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳。并 设 xij= 0，表示 i 不参加 j 1，表示 i 参加 j 据题意，此题的数学模型为：
目标： min z 75.5 x11 86.8 x12 66.6 x13 58.4 x14 65.8 x21 66.2 x22 57.0 x23 52.8 x24 67.6 x31 84.3 x32 77.8 x33 59.1x34 74.0 x41 69.4 x42 60.8 x43 57.0 x44 约束方程： x1 j x2 j x3 j x4 j 1 xi1 xi 2 xi 3 xi 4 1 xij 0 或 1 ( j 1,2,3,4) (i 1,2,3,4)
背包问题
目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。 例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
数据 物品 项目 重量(千克) 重要系数 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备
5 20
游泳运动员的选拔
例：甲乙丙丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的 100m游泳成绩见下表。为组成一个4×100m混合 泳接力队，怎样选派运动员，方能使接力队的游 泳成绩最好？
运动员 仰泳 蛙泳 蝶泳 自由泳
甲
乙 丙 丁
75.5
65.8 67.6 74.0
86.8
66.2 84.3 69.4
66.6
57.0 77.8 60.8