线性规划-整数规划.

3
4 5
100
130 260
60
80 180

问如何投资才能使收 益最大？
投资问题的数学模型：0－1规划

设01变量为决策变量，即xi=1表示项目i被选中， xi=0表示项目i被淘汰，则模型可表示为
max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 210 x1 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 ≤ 600 x1 x2 x3 ≥ 1 s.t. x3 x4 1 x ≤ x 1 5 xi 取 0 或1，i 1, ,5

可通过计算每一物品的重要性系数和重量 的比值ci/ai来解决。
布点问题

共同目标：满足公共要 求，布点最少，节约投 资费用。

地 点
一 区
二 区
三 区
四 区
五 区
六 区
学校、医院、商业区、消防 队等公共设施的布点问题。
一 区
二 区 三 区
0
10 16
10
0 24
16
24 0
28
32 12
27
17 27

设01为决策变量，当表示i地区设站，表示i 地区不设站。这样根据消防车15分钟赶到现 场的限制，可得到如下模型
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 ≥1 x1 x2 x x x6 ≥ 1 2 1 x3 x4 ≥1 s.t. x3 x4 x5 ≥1 x4 x5 x6 ≥ 1 x2 x5 x6 ≥ 1 xi 取 0 或 1 ，i 1, , 6
纯整数规划：如果所有决策变量都要求取 整数，则称为“纯整数规划”
0－1整数规划：所有决策变量仅限于取 0 或 1 两个整数，这种规划问题称为“0-1规划” 混合整数规划：如果仅有一部分的决策变 量要求取整数，则称为“混合型整数规划”。
整数规划模型应用举例
排班问题（人力资源配置问题）
例：邮局每天需要的职工数因业务忙闲而异，据 统计邮局一周内每天需要的人数如下表。排班 要符合每周连续工作5天，休息2天的规定。问 如何排班可使用人最少。
58.4
52.8 59.1 57.0
解： 设i=1，2，3，4分别表示甲、乙、丙、丁；j=1， 2，3，4分别表示仰泳、蛙泳、蝶泳、自由泳。并 设 xij= 0，表示 i 不参加 j 1，表示 i 参加 j 据题意，此题的数学模型为：
目标： min z 75.5 x11 86.8 x12 66.6 x13 58.4 x14 65.8 x21 66.2 x22 57.0 x23 52.8 x24 67.6 x31 84.3 x32 77.8 x33 59.1x34 74.0 x41 69.4 x42 60.8 x43 57.0 x44 约束方程： x1 j x2 j x3 j x4 j 1 xi1 xi 2 xi 3 xi 4 1 xij 0 或 1 ( j 1,2,3,4) (i 1,2,3,4)
5 15
2 18
6 14
12 8
2 4
4 10
背包问题的数学模型： 0－1规划

解：设01变量表示携带物品i，表示不携带 物品i，则问题可写为
maxZ 20 x1 15x2 18x3 14 x4 8x5 4 x6 10x7 5 x1 5 x2 2 x3 6 x4 12 x5 2 x6 4 x7 ≤ 25 s.t. xi 取 0 或 1，i 1, 2,,7
背包问题

目标：在不超过一定重量的前提下，使所携 带物品的重要性系数之和最大 。 例：登山队员需携带的物品及每一件物品 的重量和重要性系数见下表。假定允许携带 的最大重量为25千克，试确定一最优方案。
数据 物品 项目 重量(千克) 重要系数 食品 氧气 冰镐 绳索 帐篷 照相器材 通信设备
5 20
20
10 21

例：某市6个区，希望设 置最少消防站以便节省 费用。条件：

必须保证在城区任何地方发 生火警时，消防车能在15分 钟之内赶到现场。各区之间 消防车行驶的时间见右表。
四 区
五 区 六 区
28
27 20
32
17 10
12
27 21
0
15 25
15
0 14
25
14 0

请确定设站方案。
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布点问题的数学模型： 0－1规划
游泳运动员的选拔
例：甲乙丙丁是4名游泳运动员，他们各种姿势的 100m游泳成绩见下表。为组成一个4×100m混合 泳接力队，怎样选派运动员，方能使接力队的游 泳成绩最好？
运动员 仰泳 蛙泳 蝶泳 自由泳
甲
乙 丙 丁
75.5
65.8 67.6 74.0
86.8
66.2 84.3 69.4
66.6
57.0 77.8 60.8
X=(1.3, 3.3, 2, 7.3, 0, 3.3, 5)T , z=22.3 X*=( 7, 5, 1, 8, 0, 2, 0) T , z=23
投资问题

5个投资项目；600万 元资金，投资受到约 束：

项目
投资额(万 元)
期望收益 (万元)
1 2
210 300
150 210

(1) 项目1、2和3至少一 项被选中； (2) 项目3和4只能选一 项； (3) 项目5选中的前提 是1必须被选中。
第四章
整数规划
整数规划问题的提出
整数规划模型与一般的线性规划模型 的区别仅在于：整数规划的变量要求 部分的或全部的为整数。例如：
max Z x1 x2 14 x1 9 x2 51 6 x1 3 x2 1 x , x 0且为整数 1 2
依照决策变量取整要求的不同，整 数规划可分为纯整数规划、 0－1整 数规划、混合整数规划。
一 17 二 13 三 15 四 19 五 14 六 16 日 11
(纯整数规划问题)
解：设xi为第i天开始上班的人数： Min：z=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7 s.t. x1 +x4+x5+x6+x7≥17 x1+x2 +x5+x6+x7≥13 x1+x2+x3 +x6+x7≥15 x1+x2+x3+x4+ +x7≥19 x1+x2+x3+x4+x5 ≥14 x2+x3+x4+x5+x6 ≥16 x3+x4+x5+x6+x7≥11 xi≥0 （ i=1,2,…,7）