排列组合题的方法总结
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排列组合题的常用方法
排列组合问题是高考的必考题,它与实际生活联系紧密,但题型多样,思路灵活,不易
掌握。解排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题还是组合问题,还是排列与组
合的混合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理,实践证明,掌握
题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径。下面就谈一谈
解排列组合应用题的一些常用方法。
1 直接法
乘法-分清主次
例 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有
( )种.
(A )34A (B )34 (C )43 (D )34C
正解:四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由
乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.
2判断排列还是组合
例1:有大小形状相同的3个红色小球和5个白色
小球,排成一排,共有多少种不同的排列方法?
正解:8个小球排好后对应着8个位置,题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红
球,剩下的位置给白球,由于这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题.这样共有:
5638=C 排法
例2 圆周上共有15个不同的点,过其中任意两点连
一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各?
分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问题化
为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有=1365(个)
例3.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命
中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种.
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.=20种
例4.6 个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1
瓶,一共有多少钟不同的带法.
解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题.=126种
例 5 三个相同的红球和两个不同的白球排
成一行,共有多少种不同的方法?
分析:先认为三个红球互不相同,共种方法。而由于三个红球所占位置相同的情况下,
共有变化,因而共2
5A =20种。 例6)从6台原装计算机和5台组装计算机
中任意选取5台,其中至少有原装与组装计
算机各两台,则不同的取法有 种.
正解:由分析,完成第一类办法还可以分成两步:第一步在原装计算机中任意选取2
台,有26C 种方法;第二步是在组装计算机任意选取3台,有35C 种方法,据乘法原理共有
3526C C ⋅种方法.同理,完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程
共有+⋅3526
C C 3502536=⋅C C 种方法. 例7. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间
的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中
路线前进,则从M 到N 有多少种不同的走法?
分析:对实际背景的分析可以逐层深入
(一)从M 到N 必须向上走三步,向右走五步,共走八步。
(二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。
(三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。 从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,
∴ 本题答案为:38C =56
练习题1:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马
路,从A 走到B 的最短路径有多少种?(3735C =) B A 练习题2 某城市街道呈棋盘形,南北向大街5
条,东西向大街4条,一人欲从西南角走
到东北角,路程最短的走法有多少种.
解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题.
=35(种) 例题8:
1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加
了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法
的种数为=⨯67 42
例9 一个楼梯共18个台阶12步登完,可
一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一
共有多少种不同的走法.
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为6个
相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.=924(种).
例10.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列
的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。
分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方
法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有26C 24C 2
2C =90种 例题11:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身
高逐渐增加,共有多少排法? 510C
.3先选后排法
例1:有甲乙丙三项任务,甲需2人承
担,乙丙各需1人承担,从10人中选派
4人承担这三项任务,不同的选派方法
有( )A.1260种 B.2025种
C.2520种
D.5054种
分析:先从10人中选出2人
例题2.四个不同的小球全部放入三个不同
的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种()
例3. 四个不同小球放入编号为1,2,3,
4的四个盒子,则恰好有一个空盒的放法有
几种?
解析:方法一:这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒,所以必有一个盒子要放
2个球,故可分为两步进行:第一步先选,从4个球中任意选两个球,有24C 种选法,从4
个盒子中选出3个有34C 种选法;第二步排列,把选出的2个球视为一个元素,与其余2个
球共3个元素对选出的3个盒子作全排列,有33A 种排法。所以满足条件的放法共有24C 4
4A
=144种。 例题4. 某市植物园要在30天内接待20
所学校的学生参观,但每天只能安排一
所学校,其中有一所学校人数较多,要
安排连续参观2天,其余只参观一天,
则植物园30天内不同的安排方法有
()(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
其余的就是19所学校选28天进行排列)