初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

初三数学反比例函数的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答案
一、反比例函数
1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等
于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：
（1）一次函数和反比例函数的解析式；
（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．
【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，
∴b=1，
∴一次函数解析式为：y=x+1，
∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，
∴n=1+1，
∴n=2，
∴点A的坐标是（1，2）．
∵反比例函数的图象过点A（1，2）．
∴k=1×2=2，
∴反比例函数关系式是：y=
（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，
∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2
【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．
2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点
A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，
∴k=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣，
∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，
∴﹣2m=﹣6，
∴m=3，
∴B（3，﹣2），
∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+1
（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，
设点Q（n，﹣），
∴﹣ =﹣n+c，
∴c=n﹣，
∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，
∴P（1，n﹣﹣1），
∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，
∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），
∴AB2=50，
∵AB=PQ，
∴50=2（n﹣1）2，
∴n=﹣4或6，
∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．
3．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．
（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；
（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；
（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．
【答案】（1）解：∵A（5，0），
∴OA=5．
∵，
∴，解得OC=2，
∴C（0，﹣2），
∴BD=OC=2，
∵B（0，3），BD∥x轴，
∴D（﹣2，3），
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴，
设直线AC关系式为y=kx+b，
∵过A（5，0），C（0，﹣2），
∴，解得，
∴；
（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，
在△OAC和△BCD中
∴△OAC≌△BCD（SAS），
∴AC=CD，
∴∠OAC=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，
∴AC⊥CD；
（3）解：∠BMC=45°．
如图，连接AD，
∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，
∴BD∥x轴，
∴四边形AEBD为平行四边形，
∴AD∥BM，
∴∠BMC=∠DAC，
∵△OAC≌△BCD，
∴AC=CD，
∵AC⊥CD，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BMC=∠DAC=45°．
【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.
4．如图，已知A是双曲线y= （k＞0）在第一象限内的一点，O为坐标原点，直线OA交双曲线于另一点C，当OA在第一象限的角平分线上时，将OA向上平移个单位后，与双曲线在第一象限交于点M，交y轴于点N，若 =2，
（1）求直线MN的解析式；
（2）求k的值．
【答案】（1）解：∵OA在第一象限的角平分线上，
∴直线OA的解析式为y=x，
∴将OA向上平移个单位后，N（0，），
可设直线MN的解析式为y=x+b，
把N（0，）代入，可得b= ，
∴直线MN的解析式为y=x+
（2）解：如图所示，过A作AB⊥y轴于B，过M作MD⊥y轴于D，则∠MDN=∠ABO=90°，
由平移可得，∠MND=∠AOB=45°，
∴△MDN∽△ABO，
∴ = =2，
设A（a，a），则AB=a，
∴MD= a=DN，
∴DO= a+ ，
∴M（ a， a+ ），
∵双曲线经过点A，M，
∴k=a×a= a×（ a+ ），
解得a=1，
∴k=1．
【解析】【分析】（1）第一三象限角平分线为y=x,向上平移为y=x+b,可求出N点坐标，代入y=x+b，即可求出;（2）通过作垂线构造相似三角形，即△MDN∽△ABO，把A、M坐标代入解析式即可求出a,进而求出k.
5．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m=4，n=20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】（1）①当x=4时，
∴点B的坐标是（4，1）
当y=2时，由得得x=2
∴点A的坐标是（2，2）
设直线AB的函数表达式为
∴解得
∴直线AB的函数表达式为
②四边形ABCD为菱形，理由如下：如图，
由①得点B（4，1），点D（4，5）
∵点P为线段BD的中点
∴点P的坐标为（4，3）
当y=3时，由得，由得，
∴PA= ，PC=
∴PA=PC
而PB=PD
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵BD⊥AC
∴四边形ABCD是菱形
（2）四边形ABCD能成为正方形
当四边形ABCD时正方形时，PA=PB=PC=PD（设为t，t≠0），
当x=4时，
∴点B的坐标是（4，）
则点A的坐标是（4-t，）
∴，化简得t=
∴点D的纵坐标为
则点D的坐标为（4，）
所以，整理得m+n=32
【解析】【分析】（1）①分别求出点A，B的坐标，运用待定系数法即可求出直线AB的表达示；
②由特殊的四边形可知，对角线互相垂直的是菱形和正方形，则可猜测这个四边形是菱形或是正方形，先证明其为菱形先，则需要证明四边形ABCD是平行四边形，运用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理证明会更好些；再判断对角线是否相等，若不相等则不是正方形；（2）要使m，n有具体联系，根据A,B，C，D分别在两个函数图象，且
由正方形的性质，可用只含m的代数式表示出点D或点C的坐标代入y= ，即可得到只关于m和n的等式．
6．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。

对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b= = - + = + ,
又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．
（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．
【答案】（1）a=b
（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .
当D与O重合时或a=b时，等式成立.
（3）解： ,
当DE最小时S四边形ADFE最小.
过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，
所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.
【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

7．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y= （m≠0）的图象有公共点A（1，a）、D（﹣2，﹣1）．直线l与x轴垂直于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B、C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象回答，x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数经过点D（﹣2，﹣1），
∴把点D代入y= （m≠0），
∴﹣1= ，
∴m=2，
∴反比例函数的解析式为：y= ，
∵点A（1，a）在反比例函数上，
∴把A代入y= ，得到a= =2，
∴A（1，2），
∵一次函数经过A（1，2）、D（﹣2，﹣1），
∴把A、D代入y=kx+b （k≠0），得到：，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1
（2）解：如图：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，
∵直线l⊥x轴，N（3，0），∴设B（3，p），C（3，q），
∵点B在一次函数上，∴p=3+1=4，
∵点C在反比例函数上，∴q= ，
∴S△ABC= BC•EN= ×（4﹣）×（3﹣1）= ．
【解析】【分析】由反比例函数经过点D（-2，-1），即可求得反比例函数的解析式；然后求得点A的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
结合图象求解即可求得x在什么范围内，一次函数的值大于反比例函数的值；
首先过点A作AE⊥x轴交x轴于点E，由直线l与x轴垂直于点N（3，0），可求得点E，B，C的坐标，继而求得答案．
8．如图，已知矩形OABC中，OA=3，AB=4，双曲线y= （k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于D、E，且BD=2AD
（1）求k的值和点E的坐标；
（2）点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE=90°？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD= ，
又∵OA=3，
∴D（，3），
∵点D在双曲线y= 上，
∴k= ×3=4；
∵四边形OABC为矩形，
∴AB=OC=4，
∴点E的横坐标为4．
把x=4代入y= 中，得y=1，
∴E（4，1）；
（2）解：（2）假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m．
∵∠APE=90°，
∴∠APO+∠EPC=90°，
又∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90°，
∴△AOP∽△PCE，
∴，
∴，
解得：m=1或m=3，
∴存在要求的点P，坐标为（1，0）或（3，0）．
【解析】【分析】（1）由矩形OABC中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值，继而求得点E的坐标；（2）首先假设存在要求的点P坐标为（m，0），OP=m，CP=4﹣m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．
9．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、，，其中、
是方程的两根，且，过点的直线与抛物线只有一个公共点
（1）求、两点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）如图2，点是线段上的动点，若过点作轴的平行线与直线相交于点，与抛物线相交于点，过点作的平行线与直线相交于点，求的长. 【答案】（1）解：∵x1、x2是方程x2-2x-8=0的两根，且x1＜x2，
∴x1=-2，x2=4，
∴A（-2，2），C（4，8）
（2）解：①设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，2）在直线l上，
∴2=-2k+b，
∴b=2k+2，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+2①，
∵抛物线y= x2②，
联立①②化简得，x2-2kx-4k-4=0，
∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴△=（2k）2-4（-4k-4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，
∴k=-2，
∴b=2k+2=-2，
∴直线l的解析式为y=-2x-2；
②平行于y轴的直线和抛物线y= x2只有一个交点，
∵直线l过点A（-2，2），
∴直线l：x=-2
（3）解：由（1）知，A（-2，2），C（4，8），
∴直线AC的解析式为y=x+4，
设点B（m，m+4），
∵C（4.8），
∴BC= |m-4|= （4-m）
∵过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E，与抛物线相交于点D，
∴D（m， m2），E（m，-2m-2），
∴BD=m+4- m2， BE=m+4-（-2m-2）=3m+6，
∵DC∥EF，
∴△BDC∽△BEF，
∴，
∴，
∴BF=6 .
【解析】【分析】（1）解一元二次方程即可得出点A，C坐标；（2）先设出直线l的解析式，再联立抛物线解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直线l的解析式；（3）设出点B的坐标，进而求出BC，再表示出点D，E的坐标，进而得出BD，BE，再判断出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF.
10．
（1）如图1所示，
在中，，，点在斜边上，点在直角边上，若，求证： .
（2）如图2所示，
在矩形中，，，点在上，连接，过点作交 (或的延长线)于点 .
①若，求的长；
②若点恰好与点重合，请在备用图上画出图形，并求的长.
【答案】（1）证明：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ .
（2）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，；
②如图所示，设，由①得，
∴，即，
整理，得：，
解得：，，
所以的长为或 .
【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明即可证得结论；（2）①仿（1）题证明，再利用相似三角形的性质即可求得结果；②由①得，设，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求得结果.
11．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°.
（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的
最小值；
（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M 的坐标.
【答案】（1）解：如图1中，
∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，
∴∠CBE=60°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，
∵C（0，- ），
∴OC= ，OF=OC•tan30°= ，CF=2OF=3 ，
由翻折可知：FO′=FO= ，
∴CO′≥CF-O′F，
∴C O′≥ ，
∴线段O′C的最小值为
（2）解：①如图2中，当B′D′=B′M=BD= 时，可得菱形MND′B′.
在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2 ，
∴OM=AM-OA=2 -3 ，
∴M（3 -2 ，0）.
②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M=2OB=6，此时AM=12，OM=12-3
，可得M（3 -12，0）.
③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO
可得，所以B′M=
则在RT△AM B′中，AM=2B′M= ，所以OM=OA-AM=3 - ，所以M（3 - ，0）.
④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′=B′D′= ，可得AM=2 ，OM=OA+AM=3 +2 ，所以M（3 +2 ，0）.
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3 +2 ，0）或（3 -12，0）或（3 -
，0）或（3 +2 ，0）
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余求出∠CBE的度数，由垂直的定义可求出∠BCE的度数，由点C的坐标求出OC的长，再在Rt△OCF中，利用解直角三角形求出OF的长；然后利用折叠的性质，可得到FO′的长，然后根据CO′≥CF-O′F，可求出线段O′C的最小值。

（2）分四种情况讨论：①如图2中，利用勾股定理求出B′M的长，可得到B′D′=B′M=BD 时，可得菱形MND′B′.，再求OM的长，就可得点M的坐标；②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意可知B′M=2OB=6，再求出AM，OM的长，可得点M的坐标；③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO；利用解直角三角形求出B′M、AM、OM的长，从而可求出点M的坐标；④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，可得到MB′=B′D′，再求出AM ，OM的长，然后可得到点M的坐标，综上所述，可得到符合题意的点M的坐标。

12．如图，已知直线y＝﹣2x+6与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，4）为抛物线的顶点，点B在x轴上
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P，使△POB≌△POC？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3
∴B（3，0）．
∵A（1，4）为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2+4，解得a＝﹣1．
∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）解：存在．
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴C（0，3）．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC．
作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠POM＝∠PON＝45°．
∴PM＝PN．
设P（m，m），则m＝﹣m2+2m+3，解得m＝．
∵点P在第三象限，
∴P（，）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）先确定出点C坐标，然后根据△POB≌△POC建立方程，求解即可。