初中数学实际问题与二次函数详解与练习(含答案)

初中数学：实际问题与二次函数_详解与练习(含答

案)

初中数学专项训练：实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、只围二边的矩形的面积最值问题

例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。

(1)设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；

(2)当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？

分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。

解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

根据题意，得：；

又＞＜x＜18

＞0

（2）中，a= -1＜0，∴y有最大值，

时，即当

故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、只围三边的矩形的面积最值

例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养

鸡场的面积最大？

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式

解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（

根据题意，得：）（米），； 22

＞又＜x＜50 ＞

中，＜0，∴y有最大值， 222

b即当时，

625平方米。 2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为

点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

3、围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

2 (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

2 (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

解得：

当时，20-x=4；当时，20-x=16 由题意得：

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为

围成两个正方形的面积为ycm，

根据题意，得：，

中，a= 2＞0，∴y有最小值，

，4

时，即当

＞

故两个正方形面积的和不可能是12cm.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

2

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当

水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽

4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式

是 .

图（1）图

【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解

2析式为：y=ax，利用待定系数法求解.

试题解析：设此函数解析式为：y=ax，a¹

则-2=4a 即得a=-2y=-12x. 20；那么（2，-2）应在此函数解析式上． 112，那么y=-x． 22

考点：根据实际问题列二次函数关系式.

练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与

2水平距离x（米）之间的关系是请回答下列问题： 4

(1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）

答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．