江苏省天一中学高三月考数学试题

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江苏省无锡市天一中2018_2019学年高三数学11月月考试卷含答案解析

�� = {1,2,3,5},�� = {2,3,6}，则�� ∪ �� = _______．
2．命题：“ ∃�� > 0,使得�� + 1 > 0”的否定为__________.
1 ‒ ��
�� =
3．函数
�� 的定义域为_________.
8．已知函数��(��) = ��(�� ∈ [0,��])与函数
3 的图象交于��,��,��三点，则Δ��的面积为________.
9．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数 a 满足 f（2|a-1|）＞f（
班级
姓名
准考证号
考场号
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2018-2019 学年江苏省无锡市天一中学高三 11 月月考数学试题
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
16．如图，在 △ ��中，已知�� = 7，∠�� = 45 ∘ ，��是边��上的一点，�� = 3，∠�� = 120 ∘ ，求：

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

江苏省天一中学2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．112．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点，则的最大值为（）A ．3B ．6C ．9D ．123．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤4．设函数()21010 0x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（）A ．(]0101，B ．(]099，C ．(]0100，D ．()0+∞，5．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（）A ．52-B ．2-C ．2D ．726．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+8．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（） A 62- B 21C 62+ D 219．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．53210．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+iB ．1i -C ．1133i --D ．1133i -+11．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.112．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省天一中学2023届高三年级第一学期四校联考数学试卷

江苏省天一中学2023届高三年级第一学期四校联考数学试卷 2022.12.22注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分。

调研时间120分钟。

2．将选择题的答案填涂在答题卡的对应位置，非选择题的答案写在答题卡的指定栏目内。

一、单项选择题：共8题，每题5分，共40分。

每题只有一个选项最符合题意。

1. 若集合A ={x|log 21x≥−1}，B ={x ∈R|x 2∉A}，则A ∩B =( )A. {x|x <−√2或√2<x ≤2}B. {x|x <−√2或x ≥0}C. ⌀D. {x|√2<x ≤2}2. 若z−21+i=i ，则z(z −+1)的实部为( )A. 1B. 2C. 3D. 103. 若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)在(0,π)恰好存在两个零点和两个极值点，则( )A. 74≤ω≤94B. 74<ω≤94C. 74≤ω<94D. 94<ω<1145. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为( ) (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A. 6B. 7C. 8D. 96. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上一点．若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 19B. 13C. 1D. 37. 已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，点Q 在圆F 1：(x +c)2+y 2=14a 2，其中c 为椭圆C 的半焦距，若|PQ|的最大值恰好等于椭圆C 的长轴长，则椭圆C 的离心率为( )A. √2−1B. 34C. 23D. 128. 已知a ，b ，c ∈(0,1)，且a 2−2lna +1=e ，b 2−2lnb +2=e 2，c 2−2lnc +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a二、多选题：本大题共4小题，共20分。

无锡市天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测数学试题(含解析)

高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A ={x |−2<x <5}，B ={x |1−2x >3}，则A B =( )A ．(−2,−1) B ．(−2,1) C ．(1,5) D ．(−1,5)2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BCAC=上面可得sin126(°= )ABC D 江苏省天一中学2024-2025学年10月份阶段性检测6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A ab c=+，tan 2B b a c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．38．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线 B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形12．（5分）设1e，2e 为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为．14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长． 18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N在线BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C −−的正弦值．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．天一高二上第一次检测数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合{|25}A x x =−<<，{|123}B x x =−>，则(A B = ) A ．(2,1)−−B ．(2,1)−C ．(1,5)D ．(1,5)−【分析】先求出集合B ，然后结合集合的交集运算即可求解．【解答】解：{|25}A x x =−<<，{|123}{|1}B x x x x =−>=<−，则{21}A B x =−<<− ．故选：A ．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）不等式101xx+− 的解集为( ) A ．{|1x x 或1}− B ．{|11}x x − C ．{|1x x 或1}x <− D ．{|11}x x −<【分析】不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，由此求得不等式的解集．【解答】解：不等式等价于101x x +− ，即(1)(1)0x x +− ，且10x −≠，解得11x −< ，故不等式的解集为{|11}x x −< ，故选：D ．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 3．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为( ) A ．6−B ．6C ．8D ．8−【分析】利用偶函数的性质，将方程转化为2(||)(||)3x f x f x +=+，再利用()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数，从而得到23x x x +=−+或23x x x +=+，然后化简变形，然后由韦达定理求解即可．【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()(||)f x f x f x =−=，又函数的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上为单调递增函数，则2()()3x f x f x +=+等价于2(||)(||)3x f x f x +=+，所以23x x x +=−+或23x x x +=+，即2420(3)x x x ++=≠−或2220(3)x x x +−=≠−，设2420(3)x x x ++=≠−的两个根为m ，n ，则4m n +=−，设2220(3)x x x +−=≠−的两个根为a ，b ，则2a b +=−，所以满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为426−−=−．故选：A ．【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查了函数奇偶性的应用以及单调性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．4．（5分）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为( )A ．B ．C ．D ．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果．【解答】解：函数()2cos f x x x =，()2cos ()f x x x f x −=−=−，所以函数是奇函数，排除B 、D ，当0x →时，函数()2cos 0f x x x =>，函数的图象在第一象限，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，这类问题，一般通过函数的定义域，值域，单调性、奇偶性，以及函数的图象经过的特殊点判断．5．（5分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ABC ∆中，BC AC=上面可得sin126(°= )A BC D 【分析】由顶角是36°的等腰三角形底边与腰的比值可得18°的正弦值，再由诱导公式可得sin126cos36°=°，再由二倍角公式，求出126°的正弦值．【解答】解：由BC AC =ABC ∆为等腰三角形且顶角36°，所以sin18°，2sin126cos3612sin 18°°−° 故选：C ．【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题． 6．（5分）设ABC ∆的三边长为BC a =，CA b =，AB c =，若tan 2A a b c=+，tan 2B ba c =+，则ABC ∆是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】利用正弦定理可得sin sin 1cos B C A +=+与sin sin 1cos A C B +=+，两式作差后平方，可得sin 2sin 2A B A B =⇒=或2A B π+=，从而可得答案．【解答】解：在ABC ∆中，若tan 2A a b c=+，则sin sin 1cos sin sin A AA B C =++，整理得sin sin 1cos B C A +=+①；又tan2B ba c=+，同理可得sin sin 1cos A C B +=+② ①−②得，sin sin cos cos B A A B −=−，即sin cos sin cos A A B B +=+， sin 2sin 2A B ∴=，A B ∴=或2A B π+=，则ABC ∆是等腰三角形或直角三角形，故选：C ．【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（5分）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C −中．11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为( )AB C ．1+D ．3【分析】将立体图展开成平面图，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，即可得到AC ′即为1AP PC +的最小值，解三角形即可．【解答】解：连接1BC ，得△11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将△11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C ′，连接AC ′，则AC ′即为1AP PC +的最小值，由题意可知11AA =，AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，得112A B BC A C′′===， 1160AA B BA C ′∠=∠=°，所以在△1AA C ′中，AC ′=故选：B ．【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题． 8．（5分）第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年02月04日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为( )A ．34B C ．916D 【分析】设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，外层椭圆设为22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，分别与两个椭圆方程联立，求解42221249()16b k k a −，然后求解离心率即可．【解答】解：设内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆，可设成，22221(1)()()x y m ma mb +=>，设切线的方程为1()y k x ma =+，切线的方程为1()y k x a =+与22221x y a b +=联立得，22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +++−=，由△0=，则221221(1)b k a m =×−，同理22222(1)b k m a =−，所以42221249()16b k k a −，因此e =．故选：B ．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）在空间四点O ，A ，B ，C 中，若{OA ，OB，}OC 是空间的一个基底，则下列说法正确的是( )A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线 C ．O ，A ，B ，C 四点不共面D ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线【分析】根据基底的含义，非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，从而可得结论．【解答】解：因为{OA ，OB ，}OC是空间的一个基底，所以非零向量OA ，OB ，OC不在同一平面内，即O ，A ，B ，C 四点不共面，所以A 、C 、D 选项说法正确，B 错误．故选：ACD ．【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题．10．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的两个顶点分别为1(,0)A a −，2(,0)A a ，P ，Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b −，且四边形12A PA Q 的面积为12A PA Q ，则双曲线C 的方程为( )A ．2212x y −=B ．2212y x −=C ．22142x y −=D ．22124x y −=【分析】四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××，再根据内切圆的周长可以求出内切圆的半径，再利用内切圆半径×周长2÷=四边形12A PA Q 的面积，进而得到关于a ，b 的两个方程，求解即可得答案．【解答】解：四边形12A PA Q 的面积为∴142a b ×××ab = 记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则2r π=，得r =∴2cr =，∴c =，又2223c a b =+= ，得1a b ==，或1a b = =C 的方程为2212x y −= 或2212y x −=．故选：AB ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形12A PA Q 的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题．11．（5分）如图，在三棱锥P ABC −中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PA PC ⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是α，β，γ，PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆的面积分别为PAB S ∆，PAC S ∆，PBC S ∆，ABC S ∆，则以下说法正确的是( )A ．222sin sin sin 1αβγ++=B ．222cos cos cos 1αβγ++=C ．PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D ．ABC ∆是锐角三角形【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>，可判断；选项D ，设PA x =，PB y =，PC z =，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断．【解答】解：如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF −，则PM 与平面PAB ，PAC ，PBC 所成的角分别是αβγ，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设DE a =，DI b =，DP c =则222222sin sin sin 1αβγ++=++，故选项A 正确；222222cos cos cos 2αβγ++=++，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，由三垂线定理可得，MN AB ⊥，由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON >，故PAB OAB S S ∆∆>，同理PAC OAC S S ∆∆>，PBC OBC S S ∆∆>， PAB PAC PBC ABC OBC OAC OAB S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++，故选项C 正确；不妨设PA x =，PB y =，PC z =，则AB AC BC 在ABC ∆中，cos 0,cos 0,cos 0A BC=>>>，因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确．故选：ACD ．【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力等知识，属于中等题．12．（5分）设1e，2e为单位向量，满足12|2|e e − ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为( )A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出12e e ⋅的范围，然后结合向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【解答】解：因为1e ，2e为单位向量，且满足12|2|e e −所以124412e e −⋅+ ，即1234e e ⋅ ，所以121212()(3)44a b e e e e e e ⋅=+⋅+=+⋅，221212||()22a e e e e =+=+⋅ ，221212||(3)106b e e e e =+=+⋅ ，则22212122212121212(44)4(1)()424228cos (1)(1)33329||||(22)(106)5353534e e e e a b a b e e e e e e e e θ+⋅+⋅⋅====−−=+⋅+⋅+⋅+⋅+×故选：CD ．【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为【分析】利用对立事件的概率公式求解即可．【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为115，所以至少取得一个红球的概率为11411515−=．故答案为：1415．【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题． 14．（5分）若复数z 满足|32|1z i −+=，则|62|z i −−的最小值为 4 ．【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可．【解答】解：因为复数z 满足|32|1z i −+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以(3,2)C −为圆心，半径为1的圆，又|62|z i −−表示复数z 对应的点Z 与点(6,2)P 之间的距离，所以|62|z i −−的最小值为11514PC −=−=−=．故答案为：4．【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15．（5分）已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2.s 若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22s x −的最大值为 1− ．【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【解答】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21s ，一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，∴131x x =+，2219s s =， 131x + ，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，∴23194x s +=+， ∴21133s x =−， 222211111()33636s x x x x −=−−=−−−，又 211033s x =− ，∴1x ，故当1x =时，22s x −取得最大值，最大值为1−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查方差与平均数的求解，掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．16．（5分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC ∆的外心，且有AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A −+=，若AO xAB y AC =+，x ，y R ∈，则2x y −=3− ．【分析】设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得B ，A ，C ，再将AO xAB y AC =+ 的两边点乘AB ，AC，运用向量数量积的定义和性质，可得x ，y 的方程组，解方程组得x ，y 的值，计算即可．【解答】解：设三角形的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB BC AC +，sin (cos cos sin 0C A C A +=，可得c a +，sin cos cos sin C A C A C +，即为sin()C A C +，即有sin B C =，可得b =，a c =，222222231cos 222c a b c c c B ac c +−+−===−，可得120B =°，30A C ==°，若AO xAB y AC =+可得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即有22212c xc y =，化为231x y +=，...①又可得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即有22233322c xc y c =+⋅，化为21x y +=，...② 由①②解得1x =−，1y =，所以21213x y −=−−×=−．故答案为：3−．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定义和性质，以及三角形函数的化简和求值问题，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知圆C 的方程：22240x y x y m +−−+=．（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆22:(3)(1)16D x y +++=相外切时，求直线:240l x y +−=被圆C 所截得的弦MN 的长．【分析】（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围；（Ⅱ）根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值，结合直线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）圆C 的方程可化为22(1)(2)5x y m −+−=− …（2分）令50m −>，得5m <．…（4分）（Ⅱ）圆22:(1)(2)5C x y m −+−=−，圆心(1,2)C ，半径r=圆22:(3)(1)16D x y +++=，圆心(3,1)D −−，半径4R =…（6分）圆C 与圆D 相外切∴4=+，解得4m = …（8分）圆心(1,2)C 到直线:240l x y +−=的距离为d =…（10分）||MN ∴= …（12分）【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）已知向量(1,2)a =−，||b = （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b −⋅+ 的值．【分析】（1）根据题意，可得(,2)b a λλλ==−，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，求出a b ⋅的值，又由数量积的运算性质计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，若b a λ=，则(,2)b a λλλ==− ，又由||b =2520λ=，解可得2λ=±，又由0λ<，则2λ=−，则(2,4)b −；（2）根据题意，向量(1,2)a =−，则||a = ，又由||b = a 与b 的夹角为23π，则2cos 53a b π⋅=− ，22()(2)2102055a b a b a b a b −⋅+=−−⋅=−+=− ．【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题． 19．（12分）已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =−，949S b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点(2,,1)n n n n P a c +−，(n n Q b ，1−，1)，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，5342b b b =− ，221q q ∴=−，得12q =，1q =−（舍)，又112b =，∴1112n n n b b q −==． 949S b = ，∴541992a ×=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d−===−， 4(1)331n a n n ∴=+−×=+．（2）由（1）得31na n =+，12n nb =． n n OP OQ ⊥ ，∴210n n n n n a b bc +−−=，∴312n n n c +=． ∴234710312222n n n T +=+++…+，① ①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++…+，②①−②得2312311111(1)4333311111131131737223()31222222222222222212n n n n n n n n T n n n n ++++−++++=+++…+−=++++…+−=+×−=−−． ∴3772n nn T +=−．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题． 20．（12分）“绿水青山，就是金山银山．”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同．设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元．（Ⅰ）设第n 年的投入为n a 万元，旅游业收入为n b 万元，写出n a ，n b 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：20.301lg ≈，30.477)lg ≈【分析】（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，根据条件中的数列{}n a 的首项和公比直接写出通项公式，设数列{}n b 的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知{}n a ，{}n b 均为等比数列，数列{}n a 的首项为1200，公比为4120%5−=，所以141200()5n n a −=⋅，设数列{}n b 的公比为q ，显然q 0>，q ≠1．所以三年内旅游业总收入为3400(1)15251q q−=−，即261116q q ++=，所以21616450q q +−=，解得54q =或94q =−（舍) 所以15400()4n n b −=⋅．（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入．则经过n 年，总投入为41200[1()]456000[1()]4515n n −=−−，经过n 年，旅游业总收入为5400[1()]541600[()1]5414n n −=−−，所以541600[()1]6000[1()]45n n −>−，化简得4515()4()19054n n ⋅+⋅−>，设4()(01)5n tt <<，代入上式得2151940t t −+>，解此不等式，得t 1>（舍去）或t 415<，即44()515n <，解得45422(35)3231 5.915225321lg lg lg lg lg n log lg lg lg −+−−>==≈−−，由此得n 6 ．所以至少经过6 年，旅游业的总收入才能超过总投入．【点评】本题考查等比数列及其前n 项和的实际应用，考查学生的应用数列模型的能力和运算能力，属中档题．21．（12分）已知三棱锥M ABC −中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在线BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C −−的正弦值．【分析】（1）只需证明OB AC ⊥及OB OM ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：( 1)如图所示：连接OM ，AC ，OM 相交于O ，在ABC ∆中：2,ABBC AC ===90,ABC BO ∠=°，OB AC ⊥．在MAC ∆中：MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且OM =在MOB ∆中：BO OM MB =，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥，故OB ⊥平面AMC ；（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz −如图所示．因为MA MB MC AC ====，2ABBC ==则(0,A B C M ，由23BN BC =所以，N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则(,,)0,(,,)0AN m x y z x y AM m x y z ⋅=⋅= ⋅=⋅=+令y =(1)m −− ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB = 为平面AMC 的法向量，所以(1)m −− 与OB = 所成角的余弦为cos ,m OB <>= ．所以二面角的正弦值为2|sin ,|m OB <>== ．【点评】本题考查线面垂直的判定及二面角正弦值的求法，考查空间向量在立体几何中运用，属于常规题目．22．（12分）已知圆22:4O x y +=和定点(1,0)A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =−≠与曲线C 交于不同两点M ，N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：||||AP AQ =．【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【解答】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取(1,0)A ′−．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA ′的中点，C 为AP 中点，所以||2||A P OC ′=．所以||||222224||2PA PA OC AC OC CD OD AA ′+=+=+==>′=，所以动点P 的轨迹是以A ，A ′为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =−=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=；（2）证明：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由22(4)3412y k x x y =− +=，得2222(34)3264120k x k x k +−+−=，依题意△2222(32)4(34)(6412)0k k k =−−+−>，即2104k <<， 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k −=+，为12121212121212(4)(4)[5()8]1111(1)(1)MA NA y y k x k x k x x x x k k x x x x x x −−−+++=+=+=−−−−−− 222212641232[2()5()8]34340(1)(1)k k k k k x x −⋅−⋅+++=−−，所以直线MP 倾斜角与直线NQ 倾斜角互补，即OAP OAQ ∠=∠．因为OA PQ ⊥，所以||||AP AQ =．【点评】本题考查轨迹方程的求法，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

江苏省无锡市天一中2018-2019学年高三11月月考数学试卷

㈠䦸吠和
㈠䦸吠 t 䦸㈮ t 存在相同的极值点，
而
在
㈠
䦸㈮处有极大值，
吠
所以
䦸㈮吠
㈠
，所以
ㄼ
㈠ ㄼ，故答案为 3.
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程㈠ h㤰求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在㈠ h 的根 h左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在 h处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在 h处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.
10．
3
【解析】试题分析：由 tanxtany 2 可得 sinxsiny 2 .又因为 sinxsiny 1 所以 cosxcosy 1 .
cosxcosy
3
6
又因为 cos x y cosxcosy sinxsiny 1 .又因为 0 y x 所以 0 x y .所以
㈠吠 t 是偶函数，则实数㈠______．
吠
6．已知 t h，函数
㈠䦸吠和
㈠䦸吠 t 䦸㈮ t 存在相同的极值点，则
㈠________．
7．已知函数㈠吠sin t
t hh.若 ㄼ ㈠ h㤰吠㈠吠，则实数的最小值为______.
8．已知函数㈠ sin
h㤰与函数
㈠㈮ tan 的图象交于㤰〳㤰三点，则〳的面
㤰
h 有零点，且所有零点的和不 th
14．设函数 h ㈠䦸 h 䦸䦸则的取值范围是____．
t 吠 t ㈮（ h）．若存在 h 䦸㈮，㈮，使 hh h，

江苏省天一中学2018-2019学年高三11月月考(含详细解答)

江苏省天一中学2018-2019高三11月月考一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．．1.设集合，则_______．【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.命题：“使得”的否定为__________.【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“”的否定是，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.函数的定义域为_________.【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.曲线在处的切线的斜率为_________.【分析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，由得,，即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5.若函数是偶函数，则实数______．【分析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，，即，解得，当时，是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6.已知，函数和存在相同的极值点，则________．【分析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.【详解】，则，令，得或，可得在上递增；可得在递减，极大值点为，极小值点为，因为函数和存在相同的极值点，而在处有极大值，所以，所以，故答案为3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7.已知函数.若，则实数的最小值为______.试题分析：由题意得,实数的最小值为考点：三角函数周期8.已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________．【解析】联立方程与可得，解之得，所以，因到轴的距离为，所以的面积为，应填答案。

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题(解析版)

江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

江苏省无锡市天一中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．72．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（）A ．2B ．5C ．1D ．36．已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=+-（0>ω，0ϕπ<<）的一个零点是3π，函数()y f x =图象的一条对称轴是直线6x π=-，则当ω取得最小值时，函数()f x 的单调递增区间是（）A ．3,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．53,336k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） C ．22,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．2,236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 7．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23C π=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为A ．(0,1)B ．(0,2)C ．1(,2)2D ．(1,3)8．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3609．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．54D ．3211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为21)，则b c +=（） A ．5B ．22C ．4D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省天一中学2019-2020学年上学期高三年级十二月份调研考试含附加题(含答案)

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.设全集{|5,*}U x x x N=<∈，集合{1A=，3}，{3B=，4}，则()UC A B=_____.2.已知i是虚数单位，若复数(12)()z i a i=++的实部与虚部相等，则实数a的值为．3. 函数2()log(1)f x x=-的定义域为_____.4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．5.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．7.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____．8.已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为．9.已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =，则线段BD 的长为．11.已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是．12.已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵．（1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．17.（本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．19.（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．（1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =_____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．解：{1A =，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，(){2}U C AB ∴=2.已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为．答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值．解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006.如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可．解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y-=的右焦点，则p =____．分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68.已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为．答案：分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+-+=+-，()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，则()2sin()284f ππ-=-=-=故答案为：．9.已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．则1029220a =+⨯=．故答案为：20．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =，则线段BD 的长为．分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，再由余弦定理可得：BC =然后设(01)BD BC λλ=剟，结合平面向量的线性运算可得： 213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =设(01)BD BC λλ=剟，则()()DE DF BE BD DC CF =-+11()[(1))22AB BC BC AC λλ=---- 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+212187λλ=-+134=，解得：14λ=，即14BD BC =，即线段BD ，． 11.已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是．答案：分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程，根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB = 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =-r =；综上，r 的取值范围是．故答案为：． 12.已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--，令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，则21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14x =-（舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()g x g ∴…（1）4=-，()4(4)4x a a x x a a x h x e e e e ----=--=-+-=-…（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．13.已知函数32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或210x ax -+=①∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，则22ln e xa x =②，设22ln ()e x h x x =（0x >），32(12l n )'()e xh x x -=∴当x ∈时,'()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时,'()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为．答案：2分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113tan tan tan 28h A B C h ++=+=…，（当且仅当1328h h=，即h =二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A的纵．（1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A ，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=从而cos α=．（1）3cos()cos4πα-=cos α3sin 4π+sinα34π，(==．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是，所以cos β=sin β==于是sin()sin αβ+=cos αcos β+sin α(2β=．因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17.（本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则1r <…义域为{|1r r <…，（2）254()f r r r=+，1r <…解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-，所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则1r <…{|1r r <…，（2）设254()f r r r=+，1r < (2)54()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =，当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=．答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知b =12c a=，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程．（2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：（1）由题意知b =12c a=，所以b a =，解得2a =，所以椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19.（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列．（1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=；解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍）即11b =- （3）解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =…；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-…⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-…⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+；解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈．（1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22xaxe x bx +…，由于0x >，所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立．设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2，所以22b ln -…2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--…20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >．又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ；（2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；．解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩4x y -=，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)．（1）(0AD =，2，0)，(EF =-12，1)，所以异面直线EF ，AD=．（2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(CM =，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ．因为(3AE =，0，0)，3(AF =，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=．取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=；则2122351 (1)5C CP XC===，436(2)51025P X==⨯=，43228(3)(1)5105125P X==⨯-⨯=，43342(4)(1)5105125P X==⨯-⨯=，X∴的分布列为：162842337 ()1234525125125125E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

天一中学数学试题及答案

天一中学数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程 \(x^2 - 5x + 6 = 0\) 的解？A. \(x = 1\)B. \(x = 2\)C. \(x = 3\)D. \(x = 4\)答案：B2. 函数 \(y = 2x + 3\) 的斜率是多少？A. 2B. 3C. -2D. -3答案：A3. 已知 \(a = 5\)，\(b = 3\)，求 \(a^2 - b^2\) 的值。

A. 16B. 22C. 19D. 25答案：C4. 圆的方程为 \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\)，该圆的半径是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A5. 计算 \(\sin(30^\circ)\) 的值。

A. 0.5B. 0.866C. 0.25D. 0.75答案：A6. 集合 \(A = \{1, 2, 3\}\) 和 \(B = \{2, 3, 4\}\) 的交集是什么？A. \(\{1, 2, 3\}\)B. \(\{2, 3\}\)C. \(\{3, 4\}\)D. \(\{1, 4\}\)答案：B7. 计算 \(\log_2(8)\) 的值。

A. 3B. 2C. 1D. 0答案：B8. 函数 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) 在 \(x = 1\) 处的导数是多少？A. 0B. -1C. 1D. 2答案：A9. 向量 \(\vec{a} = (3, -4)\) 和 \(\vec{b} = (-4, 3)\) 的点积是多少？A. -7B. 25C. -25D. 7答案：C10. 计算 \(\sqrt{49}\) 的值。

A. 7B. -7C. 49D. 4答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知 \(\tan(\theta) = 2\)，求 \(\sin(\theta)\) 的值。

答案：\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)12. 计算 \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\) 的结果。

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三(上)11月月考数学试卷

2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）11月月考数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设集合A={1.2.3.5}.B={2.3.6}.则A∪B=___ ． 2.（填空题.5分）命题：“∃x ＞0.使得x+1＞0”的否定为___ 3.（填空题.5分）函数 y =√1−xx的定义域为___ ． 4.（填空题.5分）曲线y=x-sinx 在 x =π2 处的切线的斜率为___ 5.（填空题.5分）若函数 f (x )=2x +m2x 为偶函数.则实数m=___ ．6.（填空题.5分）已知a ＞0.函数f （x ）=x （x-a ）2和g （x ）=-x 2+（a-1）x+a 存在相同的极值点.则a=___ ．7.（填空题.5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）．若 f (π3)=0，f (π2)=2 .则实数ω的最小值为___ ．8.（填空题.5分）已知函数f （x ）=sinx （x∈[0.π]）和函数g （x ）= 13 tanx 的图象相交于A.B.C 三点.则△ABC 的面积为___ ．9.（填空题.5分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数.且在区间（-∞.0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （- √2 ）.则a 的取值范围是___ ．10.（填空题.5分）已知0＜y ＜x ＜π.且tanxtany=2. sinxsiny =13.则x-y=___ ．11.（填空题.5分）在平行四边形ABCD 中. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3.则线段AC 的长为___ ． 12.（填空题.5分）已知 π4 ＜α＜ π2 . π4 ＜β＜ π2 .且sin 2αsin 2β=sin （α+β）cosαcosβ.则tan （α+β）的最大值为___ ．13.（填空题.5分）设a≠0.e 是自然对数的底数.函数f （x ）= {ae x −x ，x ≤0x 2−ax +a ，x ＞0 有零点.且所有零点的和不大于6.则a 的取值范围为___ ．14.（填空题.5分）设函数f （x ）=（x-a ）|x-a|-x|x|+2a+1（a ＜0.）若存在x 0∈[-1.1].使f （x 0）≤0.则a 的取值范围为___ ．15.（问答题.14分）已知sinθ+cosθ= √3−12 .θ∈（- π4 . π4）．（1）求θ的值：（2）设函数f （x ）=sin 2x-sin 2（x+θ）x∈R .求函数f （x ）的单调增区间．16.（问答题.14分）如图.在△ABC 中.已知AC=7.∠B=45°.D 是边AB 上的一点.AD=3.∠ADC=120°．求：（1）CD 的长；（2）△ABC 的面积．17.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy 中.已知向量 a =（1.0）. b ⃗ =（0.2）．设向量 x =a +（1-cosθ）b ⃗ . y =-k a + 1sinθ b⃗ .其中0＜θ＜π．（1）若k=4.θ= π6 .求 x • y 的值；（2）若 x || y .求实数k 的最大值.并求取最大值时θ的值．18.（问答题.16分）对于函数f （x ）.若在定义域内存在实数x.满足f （-x ）=-f （x ）.则称f （x ）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f （x ）=ax 2+2x-4a （a∈R ）.试判断f （x ）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f （x ）=2x +m 是定义在区间[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若f （x ）=4x -m•2x+1+m 2-3为定义域R 上的“局部奇函数”.求实数m 的取值范围．19.（问答题.16分）如图.A、B是海岸线OM、ON上的两个码头.Q为海中一小岛.在水上旅游km．线AB上.测得tan∠MON=-3.OA=6km.Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km. 7√105（1）求水上旅游线AB的长；（2）海中P（PQ=6km.且PQ⊥OM）处的某试验产生强水波圆P．生成t小时的半径为r=6√6t32 km.若与此同时.一艘游轮以18 √2 km/小时的速度自码头A开往码头B.试研究强水波是否波及游轮的航行？20.（问答题.16分）已知函数f（x）=（4x+2）lnx.g（x）=x2+4x-5．（1）求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（2）证明：当x≠1时.曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x∈（0.k]时.不等式（2k+1）•f（x）≤（2x+1）•g（x）恒成立.求实数k的取值范围．2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）11月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设集合A={1.2.3.5}.B={2.3.6}.则A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2.3.5.6}【解析】：直接利用集合的并集的定义求解即可．【解答】：解：集合A={1.2.3.5}.B={2.3.6}.则A∪B={1.2.3.5.6}．故答案为：{1.2.3.5.6}．【点评】：本题考查集合的基本运算.并集定义的应用.是基础题． 2.（填空题.5分）命题：“∃x ＞0.使得x+1＞0”的否定为___ 【正确答案】：[1]∀x ＞0.x+1≤0【解析】：根据含有量词的命题的否定定义即可得到结论【解答】：解：全称特称量词命题的否定：量词互换再否定结论．故：“∃x ＞0.使得x+1＞0”的否定为：∀x ＞0.x+1≤0 故答案为：∀x ＞0.x+1≤0【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定.比较基础． 3.（填空题.5分）函数 y =√1−xx的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（0.1]【解析】：直接由根式内部的代数式大于等于0.分式的分母不等于0.求解即可答案．【解答】：解：要使原函数有意义. 则 {1−x ≥0x ＞0.解得0＜x≤1．∴函数y= √1−x√x的定义域为：（0.1]．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法.考查了不等式的解法.是基础题．4.（填空题.5分）曲线y=x-sinx在x=π2处的切线的斜率为___【正确答案】：[1]1【解析】：根据题意.求出函数的导数.进而求出y′ |x=π2的值.由导数的几何意义分析可得答案．【解答】：解：根据题意.曲线y=x-sinx.其导数y′=1-cosx.则有y′ |x=π2 =1-cos π2=1.即曲线y=x-sinx在x=π2处的切线的斜率k=1；故答案为：1．【点评】：本题考查利用导数分析切线的斜率.关键是掌握导数的几何意义.属于基础题．5.（填空题.5分）若函数f(x)=2x+m2x为偶函数.则实数m=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：直接根据偶函数的定义得到2−x+m2−x = 2x+m2x.即可得到所求的值．【解答】：解：由题意. 2−x+m2−x = 2x+m2x.∴m=1.故答案为1．【点评】：本题重点考查了偶函数的概念和基本性质.属于基础题．6.（填空题.5分）已知a＞0.函数f（x）=x（x-a）2和g（x）=-x2+（a-1）x+a存在相同的极值点.则a=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由函数f（x）=x（x-a）2和g（x）=-x2+（a-1）x+a存在相同的极值点.则f′（x）=0.g′（x）=0.存在相同的根.求出根讨论即可得a的值．【解答】：解：∵f′（x）=3x2-4ax+a2=（x-a）（3x-a）=0.∴x=a.或x= a3.∵g′（x）=-2x+a-1=0.∴x= a−12.∵函数f（x）=x（x-a）2和g（x）=-x2+（a-1）x+a存在相同的极值点. ∴则f′（x）=0.g′（x）=0.存在相同的根.∴a= a−12或a3= a−12.∴a=-1或a=3.∵a＞0.∴a=3．经检验当a=3时符合题意．故答案为：3．【点评】：本题考查函数极值点的含义.关键是转化为f′（x）=0.g′（x）=0存在相同的根.属于中档题．7.（填空题.5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f(π3)=0，f(π2)=2 .则实数ω的最小值为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：直接利用f(π3)=0，f(π2)=2 .列出方程.然后求解ω的值.求出最小值．【解答】：解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f(π3)=0，f(π2)=2 .所以2sin（ω× π3+φ）=0.2sin（ω× π2+φ）=2．ω× π3+φ=kπ.ω× π2+φ=2kπ +π2.所以π6ω=kπ +π2.所以实数ω的最小值为：3．故答案为：3．【点评】：本题考查三角函数解析式的求法.三角函数值的应用.考查分析问题解决问题的能力．8.（填空题.5分）已知函数f（x）=sinx（x∈[0.π]）和函数g（x）= 13tanx的图象相交于A.B.C 三点.则△ABC的面积为___ ．【正确答案】：[1] √23π【解析】：根据题意.令sinx= 13tanx.结合x∈[0.π]求出x的值.得出三个点A、B、C的坐标.即可计算△ABC的面积．【解答】：解：根据题意.令sinx= 13 tanx.即sinx（1- 13cosx）=0.解得sinx=0.或1- 13cosx=0.即sinx=0或cosx= 13．又x∈[0.π].∴x=0或x=π.或x=arccos 13 .∴点A（0.0）.B（π.0）.C（arccos 13. 2√23）.∴△ABC的面积为12•|AB|•|y C|= 12•π•2√23= √23π.故答案为：√2π3．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.属于中档题．9.（填空题.5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数.且在区间（-∞.0）上单调递增.若实数a 满足f（2|a-1|）＞f（- √2）.则a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（12 . 32）【解析】：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可．【解答】：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数.且在区间（-∞.0）上单调递增.∴f（x）在区间[0.+∞）上单调递减.则f（2|a-1|）＞f（- √2）.等价为f（2|a-1|）＞f（√2）.即- √2＜2|a-1|＜√2 .则|a-1|＜12 .即12＜a＜32.故答案为：（12 . 32）【点评】：本题主要考查不等式的求解.根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．10.（填空题.5分）已知0＜y＜x＜π.且tanxtany=2. sinxsiny=13.则x-y=___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：由题意可得cosxcosy= 16 .进而可得cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny= 12.由余弦函数可知x-y的值．【解答】：解：由题意可得tanxtany= sinxsinycosxcosy=2.解得cosxcosy= 16 .故cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny= 16+13=12故x-y=2kπ± π3.k∈Z.又0＜y ＜x ＜π.所以0＜x-y ＜π．所以x-y= π3 故答案为： π3【点评】：本题考查同角三角函数的基本关系.以及两角和与差的余弦函数.属基础题． 11.（填空题.5分）在平行四边形ABCD 中. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3.则线段AC 的长为___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：根据题意.易得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .建立直角坐标系.设D （x.y ）.则C （0.y ）.（-x.0）.则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2=3.解出 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | 即可．【解答】：解：根据题意.得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又∵ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴ AC⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 . 又四边形ABCD 为平行四边形.建立直角坐标系如右图. 设D （x.y ）.则C （0.y ）.B （-x.0）. 则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.y ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）. 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 2=3.从而线段AC 的长为 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √y 2 = √3 . 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查向量数量积的坐标表示.建立直角坐标系是解决本题的关键.属中档题． 12.（填空题.5分）已知 π4 ＜α＜ π2 . π4 ＜β＜ π2 .且sin 2αsin 2β=sin （α+β）cosαcosβ.则tan （α+β）的最大值为___ ．【正确答案】：[1]-4【解析】：由已知可得.tanαtanβ= sinαsinβcosαcosβ = sin (α+β)sinαsinβ .然后结合和角正弦公式及同角基本关系化简可得tan （α+β）= tanα+tanβ1−tanαtanβ = (tanαtanβ)21−tanαtanβ .利用换元法.结合基本不等式可求．【解答】：解：∵ π4 ＜α＜ π2 . π4 ＜β＜ π2 .且sin 2αsin 2β=sin （α+β）cosαcosβ. ∴tanαtanβ= sinαsinβcosαcosβ = sin (α+β)sinαsinβ . =sinαcosβ+sinβcosαsinαsinβ . = tanα+tanβtanαtanβ .∴（tanαtanβ）2=tanα+tanβ.∵tan （α+β）= tanα+tanβ1−tanαtanβ = (tanαtanβ)21−tanαtanβ ① . 令t=tanαtanβ.则t ＞1. ① 可得. t 21−t =(1−t )2−2(1−t )+11−t .=1-t+ 11−t −2 . =-[（t-1）+1t−1]-2 ≤−2√(t −1)•1t−1−2 =-4.当且仅当t-1= 1t−1 即t=2时取等号.此时tanαtanβ=2. 则tan （α+β）的最大值-4．故答案为：-4．【点评】：本题主要考查了三角函数.两角和与差的三角函数及利用基本不等式求解最值.属于中档试题．13.（填空题.5分）设a≠0.e 是自然对数的底数.函数f （x ）= {ae x −x ，x ≤0x 2−ax +a ，x ＞0 有零点.且所有零点的和不大于6.则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0）∪[4.6]【解析】：分a ＞0和a ＜0两种情况.结合函数的图象讨论可得．【解答】：解：当a ＞0时.x≤0时.f （x ）=ae x -x ＞0恒成立.f （x ）无零点；x ＞0时.f （x ）=x 2-ax+a 必有零点.设为x 1.x 2.∴ {△=a 2−4a ≥0x 1+x 2=a ≤6.解得4≤a≤6；当a ＜0时.x≤0时.f （x ）=ae x -x 的零点为负值.x ＞0时.f （x ）=x 2-ax+a 的对称轴在y 轴左边.f （0）=a ＜0.f （1）=1-a+a=1＞0.f （x ）只有一个零点小于1.满足所有零点不大于6．综上a 的取值范围时（-∞.0）∪[4.6]．故答案为：（-∞.0）∪[4.6]．【点评】：本题考查了分段函数的应用.属中档题．14.（填空题.5分）设函数f （x ）=（x-a ）|x-a|-x|x|+2a+1（a ＜0.）若存在x 0∈[-1.1].使f （x 0）≤0.则a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][-3.-2+ √2 ]【解析】：化简f （x ）的解析式.判断f （x ）的单调性.讨论f （x ）的单调区间与区间[-1.1]的关系.求出f （x ）在[-1.1]上的最小值.令最小值小于或等于零解出a ．【解答】：解：∵存在x 0∈[-1.1].使f （x 0）≤0. ∴f min （x ）≤0.x∈[-1.1]．当x≤a 时.f （x ）=（x-a ）（a-x ）+x 2+2a+1=2ax-a 2+2a+1. ∴f （x ）在（-∞.a]上单调递减；当a ＜x ＜0时.f （x ）=（x-a ）2+x 2+2a+1=2x 2-2ax+a 2+2a+1. ∴f （x ）在（a. a 2）上单调递减.在（ a 2.0）上单调递增；当x≥0时.f （x ）=（x-a ）2-x 2+2a+1=-2ax+a 2+2a+1. ∴f （x ）在[0.+∞）上单调递增．（1）若 a2≤ -1.即a≤-2时.f （x ）在[-1.1]上单调递增. ∴f min （x ）=f （-1）=a 2+4a+3≤0. 解得-3≤a≤-1.∴-3≤a≤-2；（2）若 −1＜a2＜0 .即-2＜a ＜0时.f （x ）在[-1. a2 ]上单调递减.在（ a2 .1]上单调递增. ∴f min （x ）=f （ a2 ）= a 22 +2a+1≤0. 解得-2- √2 ≤a≤-2+ √2 .∴-2＜a≤-2+ √2 ．综上.a 的取值范围是[-3.-2+ √2 ]．故答案为：[-3.-2+ √2 ]．【点评】：本题考查了二次函数的单调性与最值.函数恒成立问题.分类讨论思想.属于中档题． 15.（问答题.14分）已知sinθ+cosθ= √3−12 .θ∈（- π4 . π4）．（1）求θ的值：（2）设函数f （x ）=sin 2x-sin 2（x+θ）x∈R .求函数f （x ）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（1）由sinθ+cosθ= √3−12 .可得（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ= 2−√32.可得sin2θ= −√32.结合范围θ∈（- π4 . π4 ）.即可解得θ=- π6 ．（2）由（1）可得θ=- π6 .则f （x ）=sin 2x-sin 2（x- π6 ）.利用倍角公式.两角差的余弦函数公式以及辅助角公式化简可得f （x ）= 12 sin （2x- π6 ）.令2k π−π2 ≤2x - π6 ≤2kπ+ π2 .k∈Z .解得k π−π6 ≤x≤kπ+ π3.k∈Z .可得函数的单调增区间．【解答】：解：（1）因为sinθ+cosθ=√3−12. 所以（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+sin2θ=（ √3−12 ）2= 2−√32. 即sin2θ= −√32. 又θ∈（- π4 . π4 ）. 所以2 θ∈(−π2，π2) . 所以2θ=- π3 .θ=- π6 ．（2）由（1）可得θ=- π6 . 则f （x ）=sin 2x-sin 2（x- π6 ）.所以f （x ）= 12 （1-cos2x ）- 12 [1-cos （2x- π3 ）] = 12−12 cos2x- 12 + 12 cos （2x- π3 ） =- 12 cos2x+ 12 （ 12 cos2x+ √32 sin2x ） = √34 sin2x- 14 cos2x = 12（ √32sin2x- 12cos2x ） = 12 sin （2x- π6 ）.令2k π−π2≤2x - π6≤2kπ+ π2.k∈Z . 则k π−π6 ≤x≤kπ+ π3 .k∈Z .所以函数的单调增区间为[k π−π6 .kπ+ π3].k∈Z．【点评】：本题主要考查三角函数、倍角公式与半角公式以及两角和与差公式的综合应用.考查了正弦函数的性质.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．16.（问答题.14分）如图.在△ABC中.已知AC=7.∠B=45°.D是边AB上的一点.AD=3.∠ADC=120°．求：（1）CD的长；（2）△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）在△ACD中.由余弦定理即可解得CD的值．（2）在△BCD中.由正弦定理得：BDsin∠BCD = CDsinB. BDsin75°= 5sin45°.解得BD的值.利用三角形的面积公式可求S△ABC=S△ACD+S△BCD的值．【解答】：解：（1）在△ACD中.由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC. 可得：72=32+CD2-2×3×CD×cos120°.解得CD=5．（2）在△BCD中.由正弦定理得：BDsin∠BCD = CDsinB. BDsin75°= 5sin45°.解得：BD= 5+5√32.所以：S△ABC=S△ACD+S△BCD= 12AD•CD•sin∠ADC + 12CD•BD•sin∠BDC = 12×3×5×sin120°+12×5×5+5√32×sin60°= 75+55√38．【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理在解三角形中的应用.考查了计算能力和数形结合思想.属于基础题．17.（问答题.14分）在平面直角坐标系xOy中.已知向量a =（1.0）. b⃗ =（0.2）．设向量x =a +（1-cosθ）b⃗ . y =-k a + 1b⃗ .其中0＜θ＜π．sinθ.求x• y的值；（1）若k=4.θ= π6（2）若x || y .求实数k的最大值.并求取最大值时θ的值．【正确答案】：时.用坐标表示向量x、y .代入计算即可；【解析】：（1）当k=4. θ=π6=sinθ(cosθ−1) .令f（θ）=sinθ（cosθ-1）.（2）用坐标表示出向量x、y .由x∥y .可得1k问题转化为求f（θ）的最小值．时. x =（1.2- √3）. y =（-4.4）.【解答】：解：（1）当k=4. θ=π6则x•y = 1×(−4)+(2−√3)×4 = 4−4√3．）.（2）依题意. x =（1.2-2cosθ）. y =（-k. 2sinθ=−k(2−2cosθ) .因为x∥y .所以2sinθ=sinθ(cosθ−1) .整理得. 1k令f（θ）=sinθ（cosθ-1）.则f′（θ）=cosθ（cosθ-1）+sinθ（-sinθ）=2cos2θ-cosθ-1=（2cosθ+1）（cosθ-1）．或cosθ=1.令f′（θ）=0.得cosθ=−12．又0＜θ＜π.故θ=2π3列表如下：当θ=3min √4.√9【点评】：本题考查向量的坐标运算.将问题转化为求三角函数的最小值是解题的关键.属中档题．18.（问答题.16分）对于函数f（x）.若在定义域内存在实数x.满足f（-x）=-f（x）.则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x-4a（a∈R）.试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：利用局部奇函数的定义.建立方程关系.然后判断方程是否有解即可．【解答】：解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）=-f（x）有解．（Ⅰ）当f（x）=ax2+2x-4a（a∈R）.时.方程f（-x）=-f（x）即2a（x2-4）=0.有解x=±2.所以f（x）为“局部奇函数”．（Ⅱ）当f（x）=2x+m时.f（-x）=-f（x）可化为2x+2-x+2m=0.因为f（x）的定义域为[-1.1].所以方程2x+2-x+2m=0在[-1.1]上有解．令t=2x∈[12，2] .则−2m=t+1t．设g（t）=t+ 1t .则g'（t）=1- 1t2=t2−1t2.当t∈（0.1）时.g'（t）＜0.故g（t）在（0.1）上为减函数.当t∈（1.+∞）时.g'（t）＞0.故g（t）在（1.+∞）上为增函数．所以t∈[ 12，2 ]时.g（t）∈[2，52]．所以 −2m ∈[2，52] .即 m ∈[−54，−1] ．（Ⅲ）当f （x ）=4x -m2x+1+m 2-3时.f （-x ）=-f （x ）可化为4x +4-x -2m （2x +2-x ）+2m 2-6=0． t=2x +2-x ≥2.则4x +4-x =t 2-2.从而t 2-2mt+2m 2-8=0在[2.+∞）有解即可保证f （x ）为“局部奇函数”．令F （t ）=t 2-2mt+2m 2-8.1° 当F （2）≤0.t 2-2mt+2m 2-8=0在[2.+∞）有解.由当F （2）≤0.即2m 2-4m-4≤0.解得1- √3≤m ≤1+√3 ； 2° 当F （2）＞0时.t 2-2mt+2m 2-8=0在[2.+∞）有解等价于 {△=4m 2−4(2m 2−8)≥0m ＞2F (2)＞0解得 1+√3≤m ≤2√2 ．（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上.所求实数m 的取值范围为 1−√3≤m ≤2√2 ．【点评】：本题主要考查新定义的应用.利用新定义.建立方程关系.然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键.考查学生的运算能力．19.（问答题.16分）如图.A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头.Q 为海中一小岛.在水上旅游线AB 上.测得tan∠MON=-3.OA=6km.Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km. 7√105km ．（1）求水上旅游线AB 的长；（2）海中P （PQ=6km.且PQ⊥OM ）处的某试验产生强水波圆P ．生成t 小时的半径为r=6 √6 t 32 km.若与此同时.一艘游轮以18 √2 km/小时的速度自码头A 开往码头B.试研究强水波是否波及游轮的航行？【正确答案】：【解析】：（1）利用△AOB 的面积列出等式求出OB.然后使用余弦定理求出AB ；（2）求出AP.∠PAQ .假设航行t 小时候到达D 点.使用余弦定理求出PD.比较PD 与r 的大小关系即可判断强水波是否波及航行．【解答】：解：（1）连结OQ.则S △OAQ = 12×OA × 2=6.S △OBQ = 12×OB × 7√105 = 7√1010OB ． ∵tan∠MON=-3.∴sin∠MON=3√1010 ．cos∠MON=- √1010. ∴S △AOB = 12×OA ×OB ×sin∠MON = 9√1010OB ． ∴6+7√1010 OB= 9√1010OB ．∴OB=3 √10 . ∴AB= √OA 2+OB 2−2OA •OBcos∠MON = √162 =9 √2 ．（2）在△ABO 中.由正弦定理得OBsinA=AB sin∠MON .即3√10sinA=9√23√1010.∴sinA= √22．延长PQ 交OA 于C.连结AP.则QC=2.AQ=2 √2 .cos∠AQP=-cos∠AQC=-sinA=-√22 ．∴sin∠AQP= √22． ∴AP= √AQ 2+PQ 2−2AQ •PQcos∠AQP =2 √17 ． ∵PQ sin∠PAQ=AP sin∠AQP .∴sin∠PAQ= 3√3434 ．∴cos∠PAQ= 5√3434．假设t 小时候游轮航行到D 处.连结PD.则0≤t ≤12 .AD=18 √2 t. ∴PD= √AP 2+AD 2−2AP •ADcos∠PAQ = √648t 2−360t +68 ．令f （t ）=PD 2-r 2=648t 2-360t+68-216t 3.则f′（t ）=-648t 2-1296t-360. 令f′（t ）=0解得t= 13 或t= 53 （舍）．当 0≤t ＜13 时.f′（t ）＜0.当 13 ＜t ≤12 时.f′（t ）＞0. ∴f min （t ）=f （ 13 ）=12＞0．∴PD 2-r 2＞0.即PD ＞r 恒成立． ∴强水波不会波及游轮的航行．【点评】：本题考查了正弦定理.余弦定理在解三角形中的应用.函数值的大小比较.属于中档题．20.（问答题.16分）已知函数f（x）=（4x+2）lnx.g（x）=x2+4x-5．（1）求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（2）证明：当x≠1时.曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x∈（0.k]时.不等式（2k+1）•f（x）≤（2x+1）•g（x）恒成立.求实数k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）结合导数的几何意义可求切线斜率.进而可求切线方程.（2）要证当x≠1时.曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方.即证f（x）＜g（x）恒成立.构造函数.结合导数与单调性关系即可.（3）由题意可知不等式（2k+1）•f（x）≤（2x+1）•g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x-5.构造函数H （x）=2（2k+1）lnx-（x2+4x-5）.转化为求解最值．【解答】：解：（1）f′(x)=4lnx+2x+4 .f'（1）=6.故切线方程是y=6x-6.（2）要证明当x≠1时.曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方.即证f（x）＜g（x）.（x≠1）.设F（x）=f（x）-g（x）=（4x+2）lnx-4x+5-x2.则F′（x）=4lnx+ 2x−2x令G（x）=4lnx+ 2x −2x .则G′（x）= −2(x−1)2x2≤0恒成立.∴F′（x）在（0.+∞）上单调递减且F′（1）=0.∴x∈（0.1）时.F′（x）＞0.F（x）单调递增.当x∈（1.+∞）时.F′（x）＜0.F（x）单调递减. 当x=1时.函数F（x）取得最大值F（1）=0.当x≠1时.F（x）＜F（1）=0.∴曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方.（3）由题意可知.k＞0.2x+1＞0.不等式（2k+1）•f（x）≤（2x+1）•g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x-5.令H （x）=2（2k+1）lnx-（x2+4x-5）.∴H′（x）= 4k+2x −2x−4 = −2x2−4x+4k+2x.∵y=-2x2-4x+4k+2的对称轴x=-1.开口向下.且过定点（0.4k+2）.与x轴交点的横坐标x1= −1−√2k+2（舍）.x2= −1+√2k+2 .① 当x2= −1+√2k+2＜k即k＜-1（舍）或k＞1时.此时当x∈（0.x2）时.H′（x）＞0.H（x）单调递增.当x∈（x2.k）时.H′（x）＜0.H（x）单调递减.函数取得最大值.记为H1（x）max=H1（x2）=2（2k+1）lnx2- x22 -4x2+5.由x2= −1+√2k+2 .可得2k+1= x22+2x2 .∴H1（x2）=2（x22+2x2）lnx2- x22 -4x2+5≤0.而H1′（x2）=4（1+x2）lnx2.x2∈（0.1）时.H1′（x2）＜0.H1（x2）单调递减.当x2∈（1.+∞）时.H1′（x2）＞0.H1（x2）单调递增.故H（x）在（0.k]取得最大值.记为H2（k）=2（2k+1）lnk-k2-4k+5所以H1（x2）在x2=1处取得最小值0所以只有x2=1符合题意.此时解得k=1不符合题意.舍去② 当x2=k时.解得k=1.当x∈（0.1）时.H′（x）＞0.H（x）单调递增.在（0.1]取得最大值H（1）=0.即H（x）≤0恒成立.原不等式成立.③ 当x2＞k时.解可得0＜k＜1当x∈（0.k）时.H′（x）＞0.H（x）单调递增.H（x）在（0.k]取得最大值.记为H2（k）=2（2k+1）lnk-k2-4k+5由（2）可证H2（k）与F（x）的图象相同.所以当0＜k＜1时.H2（k）＜H2（1）=0.原不等式成立实数k的取值范围（0.1]．【点评】：本题主要考查了导数几何意义的应用及利用导数与单调性关系证明不等式.求解函数最值.体现了分类讨论与转化思想的应用．。

试题江苏省无锡市天一中学2018--2019学年高三11月月考数学试题 Word版含解析

2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题1．设集合A ={1,2,3,5},B ={2,3,6}，则A ∪B =_______． 2．命题：“ ∃x >0,使得x +1>0”的否定为__________. 3．函数y =√1−x x的定义域为_________.4．曲线y =x −sinx 在x =π2处的切线的斜率为_________. 5．若函数f (x )=2x +a2x 是偶函数，则实数a =______．6．已知a >0，函数f (x )=x (x −a )2和g (x )=−x 2+(a −)1x +a 存在相同的极值点，则a =________．7．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0).若f (π3)=0,f (π2)=2，则实数ω的最小值为______. 8．已知函数f (x )=sinx (x ∈[0,π])与函数g (x )=13tanx 的图象交于A,B,C 三点，则ΔABC 的面积为________.9．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （−√2），则a 的取值范围是______.10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =， 1sin sin 3x y =，则x y -=______．11．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅3=，则线段AC 的长为．12．已知π4<α<π2，π4<β<π2，且sin 2αsin 2β=sin (α+β)cosαcosβ，则tan (α+β)的最大值为______．13．设a ≠0,e 是自然对数的底数，函数f(x)={ae x −x,x ≤0x 2−ax +a,x >0有零点，且所有零点的和不大于6，则a 的取值范围为______．14．设函数f(x)=(x −a)|x −a |−x |x |+2a +1（a <0）．若存在x 0∈[−1 ， 1]，使f(x 0)≤0，则a 的取值范围是____．二、解答题15．已知sinθ+cosθ=√3−12，θ∈(−π4 ， π4)．（1）求θ的值；（2）设函数f(x)=sin 2x −sin 2(x +θ)，x ∈R ，求函数f(x)的单调增区间．16．如图，在△ABC 中，已知AC =7，∠B =45∘，D 是边AB 上的一点，AD =3，∠ADC =120∘，求：（1）CD 的长；（2）△ABC 的面积.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ⃑=(1,0),b ⃑⃑=(0,2),设向量x =a ⃑+(1−cosθ)b ⃑⃑,y =−ka ⃑+1sinθb⃑⃑，其中0<θ<π. （1）若k =4，θ=π6，求x ⋅y 的值；（2）若x//y ，求实数k 的最大值，并求取最大值时θ的值.18．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x ，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数f(x)=ax 2+2x −4a(a ∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若f(x)=2x +m 是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若f(x)=4x −m2x+1+m 2−3为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 19．如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上．测得tan∠MON =−3，OA =6km ，Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km ，7√105km ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求水上旅游线AB的长；（2）海中P(PQ=6km，且PQ⊥OM)处的某试验产生的强水波圆P，生成t小时时的半径为r= 6√6t32km．若与此同时，一艘游轮以18√2km/小时的速度自码头A开往码头B，试研究强水波是否波及游轮的航行？20．已知函数f(x)=(4x+2)lnx，g(x)=x2+4x−5.（1）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）证明：当x≠1时，曲线y=f(x)恒在曲线y=g(x)的下方；（3）当x∈(0,k]时，不等式(2k+1)⋅f(x)≤(2x+1)⋅g(x)恒成立，求实数k的取值范围.2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题数学答案参考答案1．{1,2,3,5,6}【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合A={1,2,3,5},B={2,3,6},所以A∪B={1,2,3,5,6}，故答案为{1,2,3,5,6}.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或属于集合B的元素的集合.2．∀x>0,x+1≤0【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“ ∃x>0,x+1>0”的否定是∀x>0,x+1≤0，故答案为∀x>0,x+1≤0.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．(0,1]【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数y=√1−xx有意义，则{1−xx≥0x≠0⇒{(1−x)x≥0x≠0解得0<x≤1，∴函数y=√1−xx的定义域为(0,1]，故答案为(0,1].【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.4．1【解析】【分析】求出原函数的导函数，可得到曲线y=x−sinx在x=π2处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线y=x−sinx在x=π2处的切线的斜率就是曲线y=x−sinx在x=π2处的导数值，由y=x−sinx得y′=1−cosx,∴y′|x=π2=1−cosπ2=1，即曲线y=x−sinx在x=π2处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5．1【解析】【分析】由函数f(x)=2x+a2x是偶函数，利用f(−1)=f(1)求得a=1，再验证即可得结果.【详解】∵f(x)=2x+a2x是偶函数，∴f (−1)=f (1)，即2+a 2=12+2a ，解得a =1，当a =1时，f (−x )=2−x+12−x=2x+12x是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由f (x )+f (−x )=0 恒成立求解，（2）偶函数由 f (x )−f (−x )=0 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由f (0)=0 求解，偶函数一般由f (1)−f (−1)=0求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6．3 【解析】【分析】(1)求出函数y =f (x )的导数，可得极值点,通过与y =g (x )【详解】f (x )=x (x −a )2=x 3−2ax 2+a 2x ，则f′(x )=3x 2−4ax +a 2=(3x −a )(x −a )，令f′(x )=0，得x =a 或a 3，可得f (x )在(−∞,a3),(a,+∞)上递增；可得f (x )在(a3,a)递减，极大值点为a3，极小值点为a ，因为函数f (x )=x (x −a )2和g (x )=−x 2+(a −)1x +a 而g (x )在x =a−12处有极大值，所以a−12=a 3，所以 a =3，故答案为 3.【点睛】(1)确定函数的定义域；(2) 求导数f ′(x )；(3) 解方程f ′(x )=0,求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查f ′(x )在f ′(x )=0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么f (x )在x 0处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7．3 【解析】试题分析：由题意得T4≤π2−π3⇒T ≤2π3⇒ω=2πT≥3,实数ω的最小值为3考点：三角函数周期 8．√2π3【解析】联立方程f(x)=sinx 与g(x)=13tanx 可得13tanx =sinx ，解之得x =0,π,cosx =13⇒sinx =2√23，所以A(0,0),B(π,0),C(x,sinx)，因AB =π,C(x,sinx)到x 轴的距离为sinx =2√23，所以ΔABC 的面积为S =12×π×2√23=√2π3，应填答案√2π3。

2022年江苏省无锡市天一中学高三数学文月考试题含解析

2022年江苏省无锡市天一中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象只可能是参考答案：C2. 函数f （x）= e x﹣的图象大致为（）A．B．C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】直接利用函数的解析式，判断x＜0时，函数值，判断即可．【解答】解：函数f （x）=，当x＜0时，f （x）=＞0，看着函数的图象在x轴上方，考察选项，只有A满足题意，故选：A．3. 下列命题正确的个数是①命题“”的否定是“”；②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.A．1 B．2 C．3D．4参考答案：B4. 一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9，则这位射手至少2次击中目标的概率为（）A．0.243 B．0.729C．0.81 D．0.972参考答案：D考点：独立性重复试验及概率．5. 复数（是虚数单位）的虚部是（）A． B. C．1 D.参考答案：C6. 已知向量满足：与垂直，且，则与的夹角为（）A． B． C．D．参考答案：C7. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则（）A．66 B．99 C．110 D．143参考答案：D8. 已知x，y满足，若z=4x﹣y的最大值为，则a的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，和目标函数取得最大值时的直线方程求出交点坐标A，利用A也在直线y=3x﹣a上，代入求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=4x﹣y的最大值为，∴作出z=4x﹣y=的图象，由图象知z=4x﹣y=与y=x+，相交于A，由得，即A（，），同时A也在y=3x﹣a上，则=3×﹣a，即a=4，故选：D9.．相切．相交．相离．不确定参考答案：C10. 在复平面内，复数对应的点位于……………………………………………（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.参考答案：设正方体边长为，则，外接球直径为.12. 在△ABC 中，已知a 、b 、c 成等比数列，且，则=．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】先求a+c 的平方，利用a 、b 、c 成等比数列，结合余弦定理，求解ac 的值，然后求解．【解答】解：∵a+c=3， ∴a 2+c 2+2ac=9…① ∵a、b 、c 成等比数列： ∴b 2=ac…②又cosB=，由余弦定理：b 2=a 2+c 2﹣2accosB 可得b 2=a 2+c 2﹣ac…③ 解①代入③得b 2=9﹣2ac ﹣ac ，又b 2=ac ， ∴ac=2，=accos （π﹣B ）=﹣accosB=﹣．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力．13. 如图，直角三角形OAC 所在平面与平面交于OC ，平面P 平面，为直角，，B为OC 的中点，且，平面内一动点满足，则的取值范围是________．参考答案：【分析】根据题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量的数量积化简可得到关于的二次函数，求出二次函数在某区间上求值域即可。

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化简得：
（4分）
为求。 ⑵设
（6分）
，
， ∵
∴
（8分） ∴
或
为求
（12分）
19. 解：⑴ 由
得
，令
得
（2分） ∴所求距离的最小值即为
到直线
的距离（4分）
（7分） ⑵假设存在正数
，令
则（9分）
由得：
∵当时，，∴ 为减函数；
当时，，∴ 为增函数.
∴ （14分） ∴
∴ ∴
的取值范围为
（16分） 20. 解：⑴由条件得：
∴
（3分） ∵
∴
∴
为等比数列∴
（6分） ⑵由
的前
项和为
，若
，则
的值为 . 8．已知圆经过椭圆
的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率
=
.
9．设直线
：
的倾斜角为
，直线
：
的倾斜角为
，且
，则
的值为
.
10．已知存在实数满足
，则实数
的取值范围为
.
11．已知函数是偶函数，则此函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是
．
12．已知点
在直线
上，点
在直线
上，
中点为
，且
江苏省天一中学高三数学月考试题
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)
1．若复数满足（i是虚数单位），则=__________．
2．已知命题：“，”，请写出命题的否定:
．
3．已知，其中，则．
4．若方程的解为，则满足的最大整数
．
5．已知函数，则
.
6．函数的最小正周期是
．
7．设等差数列
24．（本小题满分12分）已知动圆与轴相切，且过点 . ⑴求动圆圆心的轨迹方程； ⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.
高三数学参考答案
19．（12分）一、填空题 1． 2．, 3． 4．2 5．1 6． 7．50 8． 9．-2 10．
11．2 12．
13．2 14．二、解答题 15[解]：证：设
∴圆上共有两个点
使△
的面积为
. （14分） 18[解] (1)乙方的实际年利润为：． (5分)
，当时，取得最大值．
所以乙方取得最大年利润的年产量 (吨)．…………………8分 (2)设甲方净收入为元，则．
将代入上式，得：． (13分) 又令，得．当时，；当时，，所以时，取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格 (元／吨)时，获最大净收入． (16分)
,连
。 ⑴∵
为菱形， ∴
为
中点，又
为
中点。 ∴
∥
（5分）又
,
∴
∥
（7分） ⑵∵
为菱形， ∴
,
（9分）
又∵
，
∴
（12分）又
∴
又
∴
（14分） 16[解]：解：⑴ ∵
，∴
， ⑵
（6分）
，
（8分） ∵
，∴
，
。 ∴
（10分）
（13分）（当
即
时取“
”）所以的最大值为,相应的
，则
的取值范围为
.
13．已知平面上的向量
、
满足
,
，设向量
，则
的最小值是
.
14．如果函数且在区间上是增函数，那么实数的取值范围是
．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．（本小题满分14分）如图四边形是菱形，
平面，
为
的中点. 求证： B A C D P Q O
⑴
∥平面
； ⑵ 平面
平面
.
16．（本小题满分14分）已知为原点，向量，， , .
得
（8分）又
∴
⑶∵
（9分）
（或由即
） ∴
为递增数列。 ∴
从而
（14分） ∴
（11分）
（16分）
附加题答案
21. (8分) 22. 解：⑴①当
时，
∴
②当
（2分）
时，
∴
③当
（4分）
时，
∴
（6分）综上该不等式解集为
23. （1）；（2）AB= 24. 解： ⑴设
(8分) (6分)
(12分)
为轨迹上任一点，则
的各项都是正数，，， . ⑴求数列的通项公式；⑵求数列的通项公式； ⑶求证： .
附加题
21．（本小题满分8分）求由曲线，，，所围成的面积．
22．（本小题满分8分）解不等式:
23．（本小题满分12分）已知两曲线，，．（1）求两曲线的交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与轴交于两点，求的长．
(14分) 17．解：⑴直线的斜率，中点坐标为，
∴直线方程为（4分）
⑵设圆心，则由在上得：
① 又直径,,，又
∴ ② （7分）
由①②解得或 ∴圆心或
∴圆的方程为或（9分） ⑶ ，
∴ 当△ 面积为时，点到直线的距离为。（12分）
又圆心到直线的距离为，圆的半径且
得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？
19．（本小题满分16分）设函数， . ⑴当时，求函数图象上的点到直线距离的最小值； ⑵是否存在正实数，使对一切正实数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分16分）设数列
(1)求证： ;⑵ 求的最大值及相应的值.
17．（本小题满分14分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段
的垂直平分线交圆
于点
和
，且. (1)求直线
的方程； ⑵求圆
的方程； ⑶设点
在圆
上，试问使△
的面积等于8的点
共有几个？证明你的结论.
18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）．（1）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获

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