历年高考立体几何大题试题
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2015年高考立体几何大题试卷
1.【2015高考新课标2,理19】
如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在11A B ,
11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方
形.
(1题图)
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值.
2.【2015高考,16】 如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,已知BC AC ⊥,1CC BC =,设1AB 的中点为D ,E BC C B =11 .求证:(1)C C AA DE 11//平面; (2)11AB BC ⊥.
(2题图)
(3题图)
3. 【2015高考,理19】如图所示,在多面体111A B D DCBA ,四边形11AA B B ,
11,ADD A ABCD 均为正方形,E 为11B D 的中点,过1,,A D E 的平面交1CD 于F.
(Ⅰ)证明:1//EF B C ; (Ⅱ)求二面角11E A D B --余弦值.
A
B C
D E
A
B
C
D D C
A E
F A
B
C B
4. 【2015高考,22】如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边
形ABCD 为直角梯 形,2
ABC BAD π
∠=∠=
,2,1PA AD AB BC ====
(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值;
(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长
(4题图)
G F B
A
C
D
E
(5题图)
5 .【2015高考,理17】如图,在几何体ABCDE 中,四边形ABCD 是矩形,AB 平面BEC ,
BE
EC ,AB=BE=EC=2,G ,F 分别是线段BE ,DC 的中点.
(Ⅰ)求证://GF 平面ADE ; (Ⅱ)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.
6.【2015高考,理17】如图,在三棱柱111ABC A B C --中,90BAC ∠=,2AB AC ==,
14A A =,1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 为11B C 的中点.
(1)证明:1A D ⊥平面1A B C ;
(2)求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.
P A B
C
D
Q
(6题图)
(7题图)
7.【2015高考,理17】如图,在三棱台DEF ABC -中,2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点. (Ⅰ)求证://BD 平面FGH ;
(Ⅱ)若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥= ,45BAC ∠= ,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.
8 .【2015高考,理17】 如图,在四棱柱1111ABCD
A B C D 中,侧棱
1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,
12,5AC
AA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.
(I)求证://MN 平面ABCD ; (II)求二面角1
1D AC B 的正弦值;
(III)设E 为棱11A B 上的点,若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1
3
,求线段1A E 的长
N
1
D
(8题图)
题(19)图
P
C
E
D
B
A
(9题图)
9.【2015高考,理19】 如题(19)图,三棱锥P ABC -中,PC ⊥平面
,3,.,2
ABC PC ACB D E π
=∠=
分别为线段,AB BC 上的点,且
2 2.CD DE CE EB ====
(1)证明:DE ⊥平面PCD (2)求二面角A PD C --的余弦值。
10 .【2015高考,理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC 的中点为M ,GH 的中点为N
(1)请将字母,,F G H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由) (2)证明:直线//MN 平面BDH (3)求二面角A EG M --的余弦值. (10题图)
11 .【2015高考,理19】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD -中,
侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,过棱PC 的中点E ,作EF PB ⊥交PB 于点F ,连接,,,.DE DF BD BE
(Ⅰ)证明:PB DEF ⊥平面.试判断四面体DBEF 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写
出结论);若不是,说明理由;
(Ⅱ)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3,求DC
BC
的值.
(11题图)
12 .【2015高考,理18】如图1,在直角梯形CD AB 中,D//C A B ,D 2
π
∠BA =
,
C 1AB =B =,
D 2A =,
E 是D A 的中点,O 是C A 与BE 的交点.将∆ABE 沿BE 折
起到1∆A BE 的位置,如图2. (I )证明:CD ⊥平面1C A O ;
(II )若平面1A BE ⊥平面CD B E ,求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值.
13.【2015高考新课标1,理18】如图,,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC . (Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
(13题图)
O F
E
C
B
A
(14题图)