多元线性回归模型的预测
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§3.4 多元线性回归模型的预测
一、E(Y0)的置信区间 二、Y0的置信区间
对于模型
Yˆ Xβˆ
给定样本以外的解释变量的观测值
X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预 测值：
Yˆ0
X
βˆ
0
它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。
但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估 计值，而不是预测值。
0.00828
0.00285 0.00001 0.00001
0.00828 0.00001 0.00004
X0 (XX) 1 X0 0.3938
于是E(Ŷ2001）的95%的置信区间为:
1776 .8 2.093 705 .5 0.3938
或
（1741.8，1811.7）
同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为
2
2
中国居民人均收入-消费支出二元模型例中： 2001年人均GDP：4033.1元，
于是人均居民消费的预测值为
Ŷ2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）
实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%
预测的置信区间 ：
1.88952 (XX)1 0.00285
2
2
其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。
二、Y0的置信区间
如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：
e0 Y0 Yˆ0
容易证明
E(e0 ) E(X0β 0 X0βˆ ) E(0 X0 (βˆ β)) E(0 X0 (XX)1 Xμ)
0
Var(e0 ) E(e02 )
E(0 X0 (XX)1 Xμ)2 2 (1 X0 (XX)1 X0 )
2 X0 (XX) 1 X0
容易证明
Yˆ0 ~ N (X0β, 2X0 (XX) 1 X0 )
Yˆ0 E(Y0 ) ~ t(n k 1)
ˆ X0 (XX) 1 X0
于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：
Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0 E(Y0 ) Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0
e0服从正态分布，即
e0Biblioteka Baidu~ N(0, 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
ˆ
2 e0
ˆ 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
构造t统计量
t Yˆ0 Y0 ~ t(n k 1)
ˆ e0
可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：
Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0 Y0 Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0
1776 .8 2.093 705.5 1.3938
或
（1711.1, 1842.4）
为了进行科学预测，还需求出预测值的置信 区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。
一、E(Y0)的置信区间
易知
E(Yˆ0 ) E(X0βˆ ) X0 E(βˆ ) X0β E(Y0 ) Var(Yˆ0 ) E(X0βˆ X0β)2 E(X0 (βˆ β)X0 (βˆ β))
Var(Yˆ0 ) E(X0 (βˆ β)(βˆ β)X0 ) X0 E(βˆ β)(βˆ β)X0
一、E(Y0)的置信区间 二、Y0的置信区间
对于模型
Yˆ Xβˆ
给定样本以外的解释变量的观测值
X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预 测值：
Yˆ0
X
βˆ
0
它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。
但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估 计值，而不是预测值。
0.00828
0.00285 0.00001 0.00001
0.00828 0.00001 0.00004
X0 (XX) 1 X0 0.3938
于是E(Ŷ2001）的95%的置信区间为:
1776 .8 2.093 705 .5 0.3938
或
（1741.8，1811.7）
同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为
2
2
中国居民人均收入-消费支出二元模型例中： 2001年人均GDP：4033.1元，
于是人均居民消费的预测值为
Ŷ2001=120.7+0.2213×4033.1+0.4515×1690.8=1776.8（元）
实测值（90年价）=1782.2元，相对误差：-0.31%
预测的置信区间 ：
1.88952 (XX)1 0.00285
2
2
其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。
二、Y0的置信区间
如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：
e0 Y0 Yˆ0
容易证明
E(e0 ) E(X0β 0 X0βˆ ) E(0 X0 (βˆ β)) E(0 X0 (XX)1 Xμ)
0
Var(e0 ) E(e02 )
E(0 X0 (XX)1 Xμ)2 2 (1 X0 (XX)1 X0 )
2 X0 (XX) 1 X0
容易证明
Yˆ0 ~ N (X0β, 2X0 (XX) 1 X0 )
Yˆ0 E(Y0 ) ~ t(n k 1)
ˆ X0 (XX) 1 X0
于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：
Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0 E(Y0 ) Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0
e0服从正态分布，即
e0Biblioteka Baidu~ N(0, 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
ˆ
2 e0
ˆ 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
构造t统计量
t Yˆ0 Y0 ~ t(n k 1)
ˆ e0
可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：
Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0 Y0 Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0
1776 .8 2.093 705.5 1.3938
或
（1711.1, 1842.4）
为了进行科学预测，还需求出预测值的置信 区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。
一、E(Y0)的置信区间
易知
E(Yˆ0 ) E(X0βˆ ) X0 E(βˆ ) X0β E(Y0 ) Var(Yˆ0 ) E(X0βˆ X0β)2 E(X0 (βˆ β)X0 (βˆ β))
Var(Yˆ0 ) E(X0 (βˆ β)(βˆ β)X0 ) X0 E(βˆ β)(βˆ β)X0