《组合数学》 工学研究生1

西安电子科技大学

研究生课程考试试题

考试科目：组合数学

考试日期：考试时间：120 分

考试方式：闭卷任课教师：

学生姓名：学号：

一、 （10分）请计算多项式8

322⎪

⎭

⎫

⎝⎛++-c b a 的展开式中2

22c b a

和22

bc a

两项的系数。

① ()22

2232121!2!2!2!2!8⎪⎭

⎫

⎝⎛-＝22680 ……………………………………………………………… 5分

② ()32

232121!3!2!1!2!8⎪⎭

⎫

⎝⎛-＝－22680 ……………………………………………………… 5分

二、 （10分）满足不定方程4321

x x x x +++＝62的整数解共有多少组？其中要求31

-≥x ，

52≥x ，03≥x ，04≥x 。

① 做变换11

x y =＋3, 22x y =－5, 33x y =,44x y = (2)

分 ② 原方程化为4321y y y y +++＝60 (2)

分

③ 问题等价于从4种相异元素中可重复地选60个元素的组合问题 ……………………………… 3分

④ 答案为60

1604C -+＝3

63C ＝

!

60!3!

63 (2)

分

⑤ 结果为39711 ………………………………………………………………………………………… 1分 三、 （10分）一位学者要在一周内安排38个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时，最多工作10

个小时。问共有多少种不同的安排方案？假设一周有5个工作日。

① 分析问题，写相应的（普）母函数 …………………………………………………………… 4分

()x G ＝()5

106

5

x

x x

+++

② 母函数展开得 ()x G ＝25x

＋526

x ＋…＋67638

x

＋…＋50

x

…………………………… 4分

()x G ＝()5

52

25

1x

x

x x

++++

＝25

x

(1＋2x ＋32

x ＋43

x ＋54

x ＋65

x ＋…＋10

x )3

5

0⎪⎭

⎫

⎝⎛

∑=i i x （系数对称）

＝25x (1＋3x ＋62x ＋103x ＋154x ＋215x ＋256x ＋277x ＋…＋15

x )2

5

0⎪

⎭

⎫ ⎝⎛∑=i i x

＝25

x

(1＋4x ＋10

2x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x ＋

14610x ＋…＋20x )⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑=5

0i i x

＝25x (1＋4x ＋102x ＋203x ＋354x ＋565x ＋806x ＋1047x ＋1258x ＋1409x ＋

14610x ＋…＋20x )⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑=5

0i i x

＝25x (1＋5x ＋152x ＋353x ＋704x ＋…＋78013

x ＋…＋524

x

＋25

x

)

＝25

x

＋526

x

＋1527

x

＋3528

x

＋7029

x

＋…＋78038

x ＋…＋549

x ＋50

x

③ 答：共有780种选法 …………………………………………………………………………… 2分 四、 （10分）把4个颜色不同的糖果分给甲、乙、丙3位小朋友，且甲、乙、丙每人分得的糖果数最多

分别为3、3、4颗。那么，有多少种不同的分法？

方法I ：用母函数

① 分析问题，写相应的（指）母函数 ……………………………………………………………… 4分

()x G e ＝2

32!3!2!11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x ⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

+++!4!114x x ② 母函数展开()x G e ＝1＋3!1x ＋ (79)

44

x ＋…＋4200!1001x ………………………………… 4分

③ 答：共有79种分法 ……………………………………………………………………………… 2分 方法II ：用排列

① 每个小朋友无上限，有4

3=81种分法 ……………………………………………… 4分 ② 不符合要求的分法有甲或乙独分4颗2种情况 ………………………… 4分 ③ 所有有81-2=79种分法 ……………………………………………………… 2分

五、 （10分）求递推关系022324321

=++------n n n n n a a a a a 的通解。

① 特征方程2232234

++--x x x x

＝0 ………………………………………………… 3分

② 特征根 q ＝1，－1，1＋3，1－3 ………………………………………………………… 3分

③ 通解

()()

()n

n

n

n C B A a 3

1D 311-+++-+=…………………………… 3分

④ 其中A 、B 、C 、D 为任意常数 ………………………………………………………………… 1分 六、 （10分）某人有99根相同的铅笔，他每天送给某个小朋友一根或两根，那么他可以有多少种方式

把这99根铅笔送完？

① 设送完n 根铅笔的不同方式共有n a 种，分析问题 ……………………………… 3分 分两种可能的情况：（1）第1天送1根，此类方式共有1-n a 种；（2）第1天送2根，此类方式共有2-n a 种。

② 建立递推关系 ()

⎩⎨

⎧==≥+=--2

,13,2121a a n a a a n n n …………………………………………… 3分

③ 解得 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+++1

11

25125151n n n n F a ………………………………… 2分 ④ 答：⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1001009925

125151a ……………………………… 2分