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高等工程数学 PPT
( p, q) 在 Re p>0,Re q>0 内为全纯函数.
18
函数满足如下重要性质:
性质4.对称性 ( p, q) (q, p) 性质5. 与 的关系
( p, q) ( p ) ( q ) ( p q )
19
(1.8)
(1.9)
Section 3. 误差函数
了解特殊函数的定义，熟悉特
殊函数的基本性质
为后续学习打下基础 特殊函数也广泛应用于工程科
学中。
5
内容简介
积分变换理论包括
F－氏变换 L－氏变换 其它变换。如：小波变换等。
6
内容简介
积分变换理论意义
直接用来求解微分方程 广泛应用于其它工程科学。如
振动力学、电工学、无线电技 术等等。
C1
2 (t z )
2
dt
1
(1.15)
4i sin
(t 1)
C2
2 ( z t)
dt
(1.16)
其中,C1为沿(- ,-1)切开的t平面上的一条正向闭 曲线,且含1, z为内点. C2为在t平面上沿负向 绕1一周,沿正向绕点-1一周的8字形闭曲线.
23
本章参考书目
个领域中常用的应用数 学方法
为今后学习其它工程课
程奠定必要的数学基础
2
内容简介
特殊函数(高等函数)
积分变换理论
泛函与变分法
曲线与曲面造型
3
内容简介
特殊函数(高等函数)定义
某些特定形式含参数积分
某些偏微分方程的特征函数 椭圆函数
4
内容简介
高等工程数学
括加法、数乘、减法、转置、乘法（包括方阵的正 整数幂）、逆矩阵以及分块运算。 －本讲重点和难点是矩阵的乘法。 3、特殊矩阵 －零矩阵Om×n 、单位矩阵E、数量矩阵aE、对角矩阵、对 称矩阵、反对称矩阵 (上、下)三角矩阵
线性方程组
本讲重点 1、线性方程组的解法,解的情况的判定 2、齐次和非齐次方程组解的结构,特别是基础解系的概 念
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
高等工程数学
机电工程系 郭隐彪
目 录
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
第一部分 矩阵论 第二部分 数值计算方法
第一部分 矩阵论
第一章 线性代数基本知识 第二章 方阵的相似化简 第三章 向量范数和矩阵范数 第四章 方阵函数与函数矩阵 第五章 矩阵分解 第六章 线性空间和线性变换
第二部分 数值计算方法
第一章 误差的基本知识 第二章 线性方程组的数值解法 第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算 第四章 计算函数零点和极值点的迭代法 第五章 函数的插值与最佳平方逼近 第六章 数值积分与数值微分 第七章 常微分方程数值解法
第一章 线性代数基本知识
§1.1 向量和向量空间 §1.2 矩阵及其运算 §1.3 矩阵的初等变换及其应用 §1.4 线性方程组 §1.5 特征值与特征向量
第五章 矩阵分解
§5.1 方阵的三角分解 §5.2 方阵的正交（酉）三角分解 §5.3 矩阵的奇异值分解
第六章 线性空间和线性变换
§6.1 线性空间 §6.2 线性变换 §6.3 内积空间及两类特殊的线性变换
向量和向量空间
1、向量的内积、长度、夹角和正交等 2、关于向量组的线性相关性 3、关于向量组的极大无关组和向量组的秩
线性方程组
本讲重点 1、线性方程组的解法,解的情况的判定 2、齐次和非齐次方程组解的结构,特别是基础解系的概 念
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
高等工程数学
机电工程系 郭隐彪
目 录
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
第一部分 矩阵论 第二部分 数值计算方法
第一部分 矩阵论
第一章 线性代数基本知识 第二章 方阵的相似化简 第三章 向量范数和矩阵范数 第四章 方阵函数与函数矩阵 第五章 矩阵分解 第六章 线性空间和线性变换
第二部分 数值计算方法
第一章 误差的基本知识 第二章 线性方程组的数值解法 第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算 第四章 计算函数零点和极值点的迭代法 第五章 函数的插值与最佳平方逼近 第六章 数值积分与数值微分 第七章 常微分方程数值解法
第一章 线性代数基本知识
§1.1 向量和向量空间 §1.2 矩阵及其运算 §1.3 矩阵的初等变换及其应用 §1.4 线性方程组 §1.5 特征值与特征向量
第五章 矩阵分解
§5.1 方阵的三角分解 §5.2 方阵的正交（酉）三角分解 §5.3 矩阵的奇异值分解
第六章 线性空间和线性变换
§6.1 线性空间 §6.2 线性变换 §6.3 内积空间及两类特殊的线性变换
向量和向量空间
1、向量的内积、长度、夹角和正交等 2、关于向量组的线性相关性 3、关于向量组的极大无关组和向量组的秩
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h
lim f(0h)f(0)lim h 1,
h 0
h
h h 0
y y x
o
x
f(0h )f(0 ) h
lim
lim1.
h 0
h
h h 0
即 f (0 )f (0 ), 函y数 f(x)在 x0点不 . 可
四、导数的几何意义
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
4
4
2. 2
例3 求函 yx数 n(n为正 )的 整导 .数数
解 (xn)lim (xh)nxn
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
h 0
2 !
即(xn)nn x 1.
更一般地 (x ) x 1 . ( R )
例如,
y x
f(x0)
0( x 0 ) y f(x 0 ) x x
l x 0 i y m l x 0 i [ f m ( x 0 ) x x ] 0
函f(数 x )在x 0连 点 . 续
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 连续函数不存在导数举例
1. 函 数 f(x)连 续 ,若f(x0)f(x0)则 称x0点 为函f(数 x)的角,函 点数在角点 . 不
xx0
切线 MT的斜率为 ktan lim f(x)f(x0). x x0 xx0
二、导数的定义
定义 设函数 y f ( x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数 y f ( x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函 数 y f ( x)在点 x0处的导数, 记为y x x0 ,
高等工程数学课件--3.1 拓扑空间
开邻域为},{a, b}, X {a
。
定义3.1.4 设( X , ) 是一个拓扑空间，xn } X 是一序 {
列， X 。如果任给x的邻域U，都存在正整数N，当 x
n N 时，有 xn U ，则称x是序列 { xn }的极限, 或称
{ xn } 收敛于x，记为 lim xn x n
{(0,1) (0,1)} {(1, 2) (1, 2)}
不能表示为 Ai B j ( Ai , B j ) .
设 ( X 1 , 1 ), ( X 2 , 2 )是两个拓扑空间，令
( Ai B j ) | i I , j J i, j
i
A ; 有A ;
i i i
扑 一起称为拓扑空间，记为( X , ) 。
例3.1.1 实数集 R 上的拓扑 { A | A R, 且 A 能表示开区间之并} 例3.1.2 R n上的拓扑 { A | A R n , x A, 0,U ( x, ) A}
例3.1.6 设 ( R, ) 是拓扑空间，对任意 x R ，则开区 间簇 ( x 1 , x 1 ) | n 1, 2, 是x的邻域基。 n n
定义3.1.6 设 ( X , )是一个拓扑空间，如果存在一簇 开集 ，使得对任意 A ，有 A Bi , Bi ， 则称 是拓扑空间 ( X , ) 的拓扑基，简称 为拓扑空间
称 (W , W ) 为 ( X , ) 的子拓扑空间或拓扑子空间，并称
W 为 诱导的拓扑。
规定：W是拓扑空间X的子拓扑空间意指W上的拓扑
由X上的拓扑所诱导。
定理3.1.6 设 (W , W ) 是拓扑空间 ( X , ) ，则
高等工程数学课件--第1章 集合与映射
定义1.2.3 设X、Y、Z是三个非空集合，并设 有两个映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , 由 f1 , f 2 确定 X 到 Z 的映射 f3 : x f2 ( f1 ( x))( x X ) 称为映射 f1 和 f 2 的乘积(product)，记为 f 3 f 2 f1 定理1.2.1 设有映射 f1 : X Y , f2 : Y Z , f3 : Z W , 则
lim An Ak .
n k 1
如果 An n 1是单调递减集合序列，则
lim An Ak .
n k 1
1.2 映 射(mapping)
定义1.2.1 设X、Y是两个非空集合，如果存在一
个X 到Y 的对应法则 f ，使得对 X中的每一个元素 x 都有Y中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是X 到Y的一个映射,记为 y f (x).
若 B A ，则称 A\B 为B 在A中的余集或B c 的补集，记为 B 。
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合, Ai (i I )为集合X的 子集，则
(1) A ( B C ) ( A B) ( A C ); A ( B C ) ( A B) ( A C );
（2） f 是X 到 Y的满映射当且仅当 Y R( f ).
非空集合，X 到自身的双映射称为X的一 一变换(one-to-one transformation)；如果X 是有限集，X 的一一变换称为X 的置换 (permutation)。
非空集合X 上的恒等映射是一个双映射。 例. 微分算子，积分算子，矩阵。
定理1.2.3 映射f :X→Y是可逆映射的充分必 要条件是 f 是X到Y的双映射。 定理1.2.4 设映射f : X→Y ， g :Y→Z，则 (1) 如果 f 和 g 都是单映射，则g f 是单映射；
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所得曲线a, b两端点的函数值相等.
第7页/共175页
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
F( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点,使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
第14页/共175页
例4 设函数f ( x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 证明:
至少存在一点 (0,1),使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
证 分析: 结论可变形为
f (1) f (0) 10
f () 2
f ( x) ( x 2 )
x .
设 g( x) x2 ,
xa ,
xa
在 U 0(a, )内任取一点x, 在以 a 与 x 为端点的区间上,
f1( x), F1( x)满足柯西中值定理的条件, 则有
f ( x) f ( x) f (a) f ( ) F ( x) F ( x) F (a) F ( )
(在x与a之间)
当x a时, a,
lim f ( x) A, xa F ( x)
x0 1
第19页/共175页
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理 时所求得的点 总是位于区间的正中间 .
三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x 1 x2 2
( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nbn1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
第6页/共175页
几何解释:
y
C
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
高等工程数学课件--第2章 代数结构与线性空间
定理2.1.1设A, B是两个非空集合。 （1）若A上的代数运算 适合结合律，则对任意 n(n 3) 个元 素
a1 ,, an A ， a1 a2 an有意义。
（2）如果A上的代数运算 同时适合结合律和交换律，则对任意
n(n 2) 个元素 a1 ,, an A ，a1 an中元素的次序可以交换
e 定理2.2.9 设G与 G是两个群， 与e分别是 G与G的单位元，是G到G的一个同态映射， 则 (1) (e) e； (2) 对a G, (a 1 ) ( (a)) 1 .
定义2.2.10 设G与 G是两个群， e分别是 e与 G与G 的单位元，是G到G 的一个同态映射，
则称G按代数运算 成为半群，或简称G为半群，记为 (G, )。 如果半群G上的代数运算 还适合交换律, 则称G为交换半群或 Abel半群。 例. (1) (N, +), (N, )是半群； (2) ( Rnn , ), ( Rnn , ) 是半群。
定义2.2.2 设 (G, ) 是一个半群, 如果存在
为A到B的一个同态满映射。对集合A和B的代数运算 和 ，
如果存在A到B的一个同态满映射，则称A与B同态。
如果 是A到B的一个同态映射，并且是A到B的双映射，则称
为A到B的一个同构映射。对集合A和B的代数运算 和 ，如果存 在A到B的一个同构映射，则称A与B同构，记为 A B 。
(2) 整数加法群(Z, +)是由1生成的无限阶 循环群。
定理2.2.8 整数加法群Z的每个子群H都是循环群，
即H = {0}或 数。 ，其中m是H中最小正整 H span(m)
一般来说，群G的任意子集A不一定是的子群， 但群G一定有包含A的子群（如G本身）。 G的所 有包含A的子群之交记为span(A)，由定理2.2.5知， span(A)是包含A的最小子群（即若H是包含A的子 span( A）。称span(A)为由A生成的子群， )H 群，则 A中的元素称为生成元。
高等工程数学——中山大学
1) 特征向量法
设 AC
nn
, 如果 i 是 A 的单特征值, 则对应一
阶Jordan块 J i i ; 如果 i 是 A 的 ri ri 1 重特征
值, 则对应 i 有几个线性无关的特征向量, 就有几个 以 i 为对角元素的Jordan块, 这些Jordan块的阶数 之和等于 ri . 由 A 的所有特征值对应的Jordan块构成 的Jordan矩阵即为 A 的Jordan标准形. 2) 初等变换法 3) 行列式因子法
利用内积可以定义向量的长度和正交:
定义: 设 x 1 , 2 ,, n C n , 令
T
x
2
x, x k
k 1
n
2
称 x 2 为向量 x的长度或2范数. 定理 1.19: 设 x, y C , C , 则
n
(1) 当 x 0时, x 2 0 ; 当 x 0 时, x 2 0 (2) x x 2
i
1 i r r i i
的矩阵称为 ri 阶Jordan块. 由若干个Jordan块构成
的分块对角阵 J diagJ 1 , J 2 ,, J s 称为Jordan矩阵.
定理1.9(Jordan): 设 A C nn 则 A 一定与一个 , Jordan矩阵 J 相似. 且这个Jordan矩阵 J 除Jordan 块的排列顺序外由 A 唯一决定. 将方阵 A C nn 相似变换为Jordan标准形的方法:
答案: 正规矩阵
定义: 设 A C nn , 若 A 满足 AH A AAH ,
则称 A 为正规矩阵.
酉矩阵, 正交阵; Hermite阵, 实对称阵; 反Hermite
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
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误差分析
中南大学数学科学与计算技术学院
.
1
第一章 数学建模与误差分析
1
数学与科学计算
2
数学建模及其重要意义
3
数值方法与误差分析
4
误差的种类及其来源
5
绝对误差和相对误差
6
有效数字及其误差的关系*
7
误差的传播与估计
8
算法的相对稳定性*
.
2
§1 数学与科学计算
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 P ( x ) 改成
P ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) x a n 2 ) x a 2 ) x a 1 ) x a 0
来计算时，只要做 n 次乘法和次加法即可。
对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。 但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当， 不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的 传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不 合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
.
10
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算 结果精度所产生的巨大影响。
例1.3.1 计算
3
2 1
x
2 1
可用四种算式算出：
6
x
2 1
x 99 70 2
6
1 x 2 1
x
1
99 70 2
如果分别用近似值 27 51.4和 217121.4166L
.
7
§3 数值方法与误差分析
❖ 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、 计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过 框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。
1 0.166667 6
(12)6 0.005020 29
12 0.005046 2378
.
12
❖ 由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同， 有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。因此，在研究 算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算 中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概 念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。
选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计 算多项式
P (x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 a 0
的值时，若直接计算 aixi(i0,1,L,n) 再逐项相加，共需做
12(n1)nn(n1) 次乘法和 n 次加法。
2
.
8
n 10 时需做55次乘法和10次加法。
模型检验
与实际现象、数据比较
确保模型的合理性、适用性
模型应用
实际问题
.
6
1.2.3 数学建模意义
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着 与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的 广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展， 数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重 要意义。
数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产 生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处理 各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助 人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测 。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问 题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的 方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的 新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工 具。
准 备
搜集有关信息 掌握对象特征
模 型
针对问题特点和建模目的
假
设
作出合理的、简化的假设
.
形成一个比较清晰的数学问题
在合理与简化之间作出折中
5
模型构成
用数学的语言、符号描述问题 尽量使用简单的数学工具
模型求解 各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如：结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析
§2 数学建模过程及其重要意义
1.2.1 数学建模过程
现
现实问题的信息
表述
数学模型
数
实
验证
世
解释
求解 ？
学 世
界
现实问题的解答
数学模型的解答
界
实践 理论 实践
求解方法
演绎法
数值法
.
解析解
数值解
4
1.2.2 数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模
型
了解实际背景 明确建模目的
什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？
.
9
数值计算过程中会出现各种误差，可分为两大类：
数值计算误差
“过失误差”或“疏 忽误差”：算题者在
工作中的粗心大意而 产生的，例如笔误以 及误用公式等 。它完 全是人为造成的，只 要工作中仔细、谨慎 ，是完全可以避免的
“非过失误差”：在数
值计算中这往往是无法 避免的，例如近似值带 来的误差，模型误差、 观测误差、截断误差和 舍入误差等。对于“非 过失误差”，应该设法 尽量降低其数值，尤其 要控制住经多次运算后 误差的积累，以确保计 算结果的精度。
➢在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具
➢在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地
➢数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成 功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技 术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力是有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题， 它们是数学科学技术转化的主要途径”。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大 的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。了解或 掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必 需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生， 尤其是现代科技人才必备的数学素质。
.
3
按上列四种算法计算 x 值，其结.果如下表1.3.1所示。
11
序 号
算式
1 ( 2 1)6
2 9970 2
3
( 1 )6 2 1
1 4
99 70 2
表1.3.1
计算结果
2 7/5
(2)6 0.004096 5
1 ( 5 )6 0.005233 12
1 0.005076 197
2 17/12
( 5 )6 0.005233 12
中南大学数学科学与计算技术学院
.
1
第一章 数学建模与误差分析
1
数学与科学计算
2
数学建模及其重要意义
3
数值方法与误差分析
4
误差的种类及其来源
5
绝对误差和相对误差
6
有效数字及其误差的关系*
7
误差的传播与估计
8
算法的相对稳定性*
.
2
§1 数学与科学计算
若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 P ( x ) 改成
P ( x ) ( ( ( a n x ( a n 1 ) x a n 2 ) x a 2 ) x a 1 ) x a 0
来计算时，只要做 n 次乘法和次加法即可。
对于小型问题，计算的速度和占用计算机内存的多少似乎意义不大。 但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当， 不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的 传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不 合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
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10
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算 结果精度所产生的巨大影响。
例1.3.1 计算
3
2 1
x
2 1
可用四种算式算出：
6
x
2 1
x 99 70 2
6
1 x 2 1
x
1
99 70 2
如果分别用近似值 27 51.4和 217121.4166L
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7
§3 数值方法与误差分析
❖ 数值方法已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指 将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算， 以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、 计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过 框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。
1 0.166667 6
(12)6 0.005020 29
12 0.005046 2378
.
12
❖ 由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同， 有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。因此，在研究 算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算 中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概 念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。
选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计 算多项式
P (x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 a 0
的值时，若直接计算 aixi(i0,1,L,n) 再逐项相加，共需做
12(n1)nn(n1) 次乘法和 n 次加法。
2
.
8
n 10 时需做55次乘法和10次加法。
模型检验
与实际现象、数据比较
确保模型的合理性、适用性
模型应用
实际问题
.
6
1.2.3 数学建模意义
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着 与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的 广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展， 数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重 要意义。
数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产 生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处理 各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助 人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测 。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问 题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的 方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的 新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工 具。
准 备
搜集有关信息 掌握对象特征
模 型
针对问题特点和建模目的
假
设
作出合理的、简化的假设
.
形成一个比较清晰的数学问题
在合理与简化之间作出折中
5
模型构成
用数学的语言、符号描述问题 尽量使用简单的数学工具
模型求解 各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如：结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析
§2 数学建模过程及其重要意义
1.2.1 数学建模过程
现
现实问题的信息
表述
数学模型
数
实
验证
世
解释
求解 ？
学 世
界
现实问题的解答
数学模型的解答
界
实践 理论 实践
求解方法
演绎法
数值法
.
解析解
数值解
4
1.2.2 数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
模
型
了解实际背景 明确建模目的
什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？
.
9
数值计算过程中会出现各种误差，可分为两大类：
数值计算误差
“过失误差”或“疏 忽误差”：算题者在
工作中的粗心大意而 产生的，例如笔误以 及误用公式等 。它完 全是人为造成的，只 要工作中仔细、谨慎 ，是完全可以避免的
“非过失误差”：在数
值计算中这往往是无法 避免的，例如近似值带 来的误差，模型误差、 观测误差、截断误差和 舍入误差等。对于“非 过失误差”，应该设法 尽量降低其数值，尤其 要控制住经多次运算后 误差的积累，以确保计 算结果的精度。
➢在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具
➢在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地
➢数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成 功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技 术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力是有重要意义”，而“计算和建模重新成为中心课题， 它们是数学科学技术转化的主要途径”。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大 的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。了解或 掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必 需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生， 尤其是现代科技人才必备的数学素质。
.
3
按上列四种算法计算 x 值，其结.果如下表1.3.1所示。
11
序 号
算式
1 ( 2 1)6
2 9970 2
3
( 1 )6 2 1
1 4
99 70 2
表1.3.1
计算结果
2 7/5
(2)6 0.004096 5
1 ( 5 )6 0.005233 12
1 0.005076 197
2 17/12
( 5 )6 0.005233 12