《高等数学第三章》PPT课件

解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x11080
套，
每月总收入为
R(x)
(x2)050
x11080
h
9
R(x)(x2)068 1x0
R (x) 6 8 1 x 0 (x2) 0 1 1 0 70
x 5
R(x)0 x35（0唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
最大收入为R(x)(350 2)068 31500 108(元 90 )
h
10
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
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h
11
解 如图,
y
设所求切P(点 x0,y为 0),
则切P线 T 为
o
y y 0 2 x 0 (x x 0 ),
二 、 x 3 时 函数有最小值 27.
三 、14.
四、 r 3 v , h 23 v ;
2
2
五、(2a, 4a2). 39
d : h 1 :1.
h
20
三
、
求
数
列
n 10 2n
的
最
大
项
.
四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高
h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
h
18
五、由yx2,y0 , xa(a0)围成一曲边三角形 OA， B在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲 线yx2的切线与OA， OB围成的三角形面积最大.
h
17
5、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏 斗 ， 问 留 下 的 扇 形 的 中 心 角 为 _________ 时 ， 做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
________________ 考 察 区 间 为 ________ _______.
二 、求函数 y x 2 54 ( x 0 )的最值 . x
h
15
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 yf(x)x x[0,1] 在 x0有最小值，但 f(0)10
h
16
练习题
一、填空题： 1、 最 值 可 _____________处 取 得 . 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____； 最 小 值 为 __________. 3 、 函 数 y 100 x 2 在 [0,8]上 的 最 大 值 为 ______ ______； 最 小 值 为 ___________. 4 、 设 有 重 量 为 5kg 的 物 体 ， 置 于 水 平 面 上 ， 受 力f 的 作 用 而 开 始 移 动 ， 摩 擦 系 数 =0.25 ， 问 力f 与 水 平 线 的 交 角 为 _____ 时 ， 才 可 使 力f 的 大 小 为 最 小 ， 则 此 问 题 的 目 标 函 数 为 ______________， 讨 论 区 间 为 _____________.
P
A
T B
Cx
y0 x02, A(12x0, 0), C(8, 0), B (8,1x 6 0x0 2)
S AB 1 2 C (8 1 2x 0)1 (x 0 6 x 0 2) (0x08)
h
12
令 S 1 4 (3 x 0 2 6x 0 4 1 1 6) 6 0 , 解得 x0136 , x016(舍)去 .
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h
6
解 (1)建立敌我相距函数关系
设t 为我军从 B处发起
s(t )
A
追击至射击的(时 分)间. 0.5公里
敌我相距函数 s(t )
B
s (t)(0 .5 t)2 (4 2 t)2 4公里
(2)求ss(t)的最小.值点
s(t)
5t7.5
.
(0.5t)2(42t)2
令 s(t)0,
得唯一驻点 t1.5.
故得我 B处军 发从 起 1.5追 分击 钟后 射 . 击
h
7
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的 函数值即为所(或 求最 的)小 值 最．
h
8
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
s(16) 8 0. s(16)409为 6 极大 . 值
3
3 217
故s(16)409为 6 所有三角形 最中 大.面 者积 3 27
h
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
h
14
思百度文库题
若 f (a)是f (x)在[a,b]上的最大值或最 小值，且f (a)存在，是否一定有f (a) 0？
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
h
3
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 )x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
h
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练习题答案
一 、 1、 区 间 端 点 及 极 值 点 ；
2 、 最 大 值 y ( 4 ) 80 , 最 小 值 y ( 1 ) 5 ；
3 、 1 0 , 6 ； 4 、 arctan , f
p
,[0, )；
cos sin 2
5、
8 , 3
V
R3 24 2
4 2 4 6 ,(0,2 ).
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
h
4
y2 x 33 x 2 1x 2 14
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
h
5
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
一、最值的求法
若函数 f(x)在[a,b]上连续，除个处 别可 点导 外， 处 并且至多有有为 限零 个的 导点 数f， (x)在 则[a,b] 上的最大值与在 最. 小值存
y
y
y
oa
bx o a
bx oa
h
bx
2
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;