《高等数学第三章》PPT课件
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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
《高等数学第三章》ppt课件
中值定理与导数的应用
12
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
中值定理与导数的应用
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
中值定理与导数的应用
16
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
《高等数学(上册)》课件 第三章
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使
高等数学第三章第八节方程的近似解课件.ppt
内容小结
作图法 1. 隔根方法 二分法
二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法
一般迭代法
1 2 x
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
2. 二分法
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)在(, )单调递增, 又
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2,)
称为牛顿迭代公式
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法
若用一常数代替 f (xn1), 即用平行
a
线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式. o
bx
例如用 f (x0 ) 代替 f (xn1), 得
故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :
高等数学第三章第一节中值定理课件.ppt
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使
高数课件第三章
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec xsc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
第三节 初等函数
一、基本初等函数
1、 幂函数 y x
(是常数)
y x
(1,1)
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
2、指数函数
1 x y( ) a
y ax
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)
(0,1)
3、对数函数 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
高等数学-第3章课件
第二节 洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么 极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节 函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节 函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与 极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)
高职课件《高等数学》第三章导数的应用课件
a
ab
例3.1.4
当x
0,
π 2
时，证明不等式
x
tanx
x cos2 x
。
解 将不等式化为1
tanx 1 x cos2x
，其中
tanx x
tanx tan0 x0
。显然，设
f
x tanx
，
由于x
0,
2
，则函数在
0, x 上连续。又因为
f
'
x
1 cos2
x
， 则函数在 0, x 内可导。故函数在 0, x 内至少存在
x
lnx
x 12
。
lnx'
解 原式 lim
lim
1
0
x x 12 ' x 2x(x 1)
0 注意：洛必达法则Ⅱ与Ⅰ使用方法相同，但只适用于0 和 型的极限，
每做一步都要检验是否为此两种类型之一，否则是不能使用洛必达
法则的。 另外，有时也会出现两个法则同时使用的情况。
f 'x
此外，当洛必达法则的第三个条件
证 设f x ax3 bx2 cx ，则 f x在 0, x0 上连续，且 f ' x 3ax2 2bx c 在 0, x0 内存在， f 0 f x0 ，函数 f x满足 罗尔定理的条件，故在 0, x0 内至少存在一点 ，使得
f ' 3a 2 2b c 0
用
如下变换进行转化:
由于
f
x
e gx
lnf xgx
egx lnf x
，
所以
lim f
x
gx
lim elnf xgx
lim g x lnf x
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).
中山大学《高等数学》课件-第三章
6. 导数的应用
(1) 求极限； (2) 证明不等式； (3) 判别方程的根； (4) 几何应用
1) 切线与法线； 2) 平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径； 3) 三点 (极值点、最值点、拐点); 4) 两性 (单调性、凹凸性); 5) 一线 (渐近线). (5) 物理应用
四个重要定理的关系图
柯西定理
例6 分析：
例6 证明：
例 证：
f (x) 在（0，+ ）上单调增加，故当 x > 0 时，必有
亦即
//
第三章及习题选讲
知识结构图
关 系
导数
基本公式 高阶导数
微微 分分
几何意义
求导法则
常见函数求导 求导的应用 中值定理及应用
Cauchy 中值定理
洛必达法则
Lagrange 中值定理
Taylor 中值定理
Rolle 定理
常用的 泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
拉格朗日
罗尔定理
泰勒中值定理
麦克劳林展开
二、重点、难点及易错点解析
（一）、 导数定义的充分性分析
说明：
（二）、利用罗尔定理证明的问题 (1)适用范围
(2)构造辅助函数的常规方法 1)逐项还原法
(2)构造辅助函数的常规方法 1)逐项还原法
2)组合还原法 3)两端同乘除因子、同加减因子后再组合
3)两端同乘除因子、同加减因子后再组合
（三） 利用微分法证明不等式问题方法分析 1、利用单调性
1、利用单调性
2、利用函数的最值
3、利用中值定理
3、利用中值定理
注意：此题也可用单调性证明
《高等数学》 课件 高等数学第三章
（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学 第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学 第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在， 所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学 第三章. 第二节
第 24 页
例11 求 lim x．x x0
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注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
h
3
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 )x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
h
19
练习题答案
一 、 1、 区 间 端 点 及 极 值 点 ；
2 、 最 大 值 y ( 4 ) 80 , 最 小 值 y ( 1 ) 5 ；
3 、 1 0 , 6 ； 4 、 arctan , f
3
V
R3 24 2
4 2 4 6 ,(0,2 ).
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x11080
套，
每月总收入为
R(x)
(x2)050
x11080
h
9
R(x)(x2)068 1x0
R (x) 6 8 1 x 0 (x2) 0 1 1 0 70
x 5
R(x)0 x35（0唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
最大收入为R(x)(350 2)068 31500 108(元 90 )
s(16) 8 0. s(16)409为 6 极大 . 值
3
3 217
故s(16)409为 6 所有三角形 最中 大.面 者积 3 27
h
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
h
14
思考题
若 f (a)是f (x)在[a,b]上的最大值或最 小值，且f (a)存在，是否一定有f (a) 0？
二 、 x 3 时 函数有最小值 27.
三 、14.
四、 r 3 v , h 23 v ;
2
2
五、(2a, 4a2). 39
d : h 1 :1.
h
20
h
10
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
点击图片任意处播放\暂停
h
11
解 如图,
y
设所求切P(点 x0,y为 0),
则切P线 T 为
o
y y 0 2 x 0 (x x 0 ),
得唯一驻点 t1.5.
故得我 B处军 发从 起 1.5追 分击 钟后 射 . 击
h
7
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的 函数值即为所(或 求最 的)小 值 最．
h
8
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
h
17
5、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏 斗 ， 问 留 下 的 扇 形 的 中 心 角 为 _________ 时 ， 做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
________________ 考 察 区 间 为 ________ _______.
二 、求函数 y x 2 54 ( x 0 )的最值 . x
P
A
T B
Cx
y0 x02, A(12x0, 0), C(8, 0), B (8,1x 6 0x0 2)
S AB 1 2 C (8 1 2x 0)1 (x 0 6 x 0 2) (0x08)
h
12
令 S 1 4 (3 x 0 2 6x 0 4 1 1 6) 6 0 , 解得 x0136 , x016(舍)去 .
一、最值的求法
若函数 f(x)在[a,b]上连续，除个处 别可 点导 外， 处 并且至多有有为 限零 个的 导点 数f， (x)在 则[a,b] 上的最大值与在 最. 小值存
y
y
y
oa
bx o a
bx oa
h
bx
2
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
点击图片任意处播放\暂停
h
6
解 (1)建立敌我相距函数关系
设t 为我军从 B处发起
s(t )
A
追击至射击的(时 分)间. 0.5公里
敌我相距函数 s(t )
B
s (t)(0 .5 t)2 (4 2 t)2 4公里
(2)求ss(t)的最小.值点
s(t)
5t7.5
.
(0.5t)2(42t)2
令 s(t)0,
三
、
求
数
列
n 10 2n
的
最
大
项
.
四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高
h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
h
18
五、由yx2,y0 , xa(a0)围成一曲边三角形 OA， B在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲 线yx2的切线与OA， OB围成的三角形面积最大.
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
h
4
y2 x 33 x 2 1x 2 14
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
h
5
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
h
15
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 yf(x)x x[0,1] 在 x0有最小值，但 f(0)10
h
16
练习题
一、填空题： 1、 最 值 可 _____________处 取 得 . 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____； 最 小 值 为 __________. 3 、 函 数 y 100 x 2 在 [0,8]上 的 最 大 值 为 ______ ______； 最 小 值 为 ___________. 4 、 设 有 重 量 为 5kg 的 物 体 ， 置 于 水 平 面 上 ， 受 力f 的 作 用 而 开 始 移 动 ， 摩 擦 系 数 =0.25 ， 问 力f 与 水 平 线 的 交 角 为 _____ 时 ， 才 可 使 力f 的 大 小 为 最 小 ， 则 此 问 题 的 目 标 函 数 为 ______________， 讨 论 区 间 为 _____________.
h
3
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 )x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
h
19
练习题答案
一 、 1、 区 间 端 点 及 极 值 点 ；
2 、 最 大 值 y ( 4 ) 80 , 最 小 值 y ( 1 ) 5 ；
3 、 1 0 , 6 ； 4 、 arctan , f
3
V
R3 24 2
4 2 4 6 ,(0,2 ).
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x11080
套，
每月总收入为
R(x)
(x2)050
x11080
h
9
R(x)(x2)068 1x0
R (x) 6 8 1 x 0 (x2) 0 1 1 0 70
x 5
R(x)0 x35（0唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
最大收入为R(x)(350 2)068 31500 108(元 90 )
s(16) 8 0. s(16)409为 6 极大 . 值
3
3 217
故s(16)409为 6 所有三角形 最中 大.面 者积 3 27
h
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
h
14
思考题
若 f (a)是f (x)在[a,b]上的最大值或最 小值，且f (a)存在，是否一定有f (a) 0？
二 、 x 3 时 函数有最小值 27.
三 、14.
四、 r 3 v , h 23 v ;
2
2
五、(2a, 4a2). 39
d : h 1 :1.
h
20
h
10
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
点击图片任意处播放\暂停
h
11
解 如图,
y
设所求切P(点 x0,y为 0),
则切P线 T 为
o
y y 0 2 x 0 (x x 0 ),
得唯一驻点 t1.5.
故得我 B处军 发从 起 1.5追 分击 钟后 射 . 击
h
7
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的 函数值即为所(或 求最 的)小 值 最．
h
8
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
h
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5、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏 斗 ， 问 留 下 的 扇 形 的 中 心 角 为 _________ 时 ， 做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
________________ 考 察 区 间 为 ________ _______.
二 、求函数 y x 2 54 ( x 0 )的最值 . x
P
A
T B
Cx
y0 x02, A(12x0, 0), C(8, 0), B (8,1x 6 0x0 2)
S AB 1 2 C (8 1 2x 0)1 (x 0 6 x 0 2) (0x08)
h
12
令 S 1 4 (3 x 0 2 6x 0 4 1 1 6) 6 0 , 解得 x0136 , x016(舍)去 .
一、最值的求法
若函数 f(x)在[a,b]上连续，除个处 别可 点导 外， 处 并且至多有有为 限零 个的 导点 数f， (x)在 则[a,b] 上的最大值与在 最. 小值存
y
y
y
oa
bx o a
bx oa
h
bx
2
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
点击图片任意处播放\暂停
h
6
解 (1)建立敌我相距函数关系
设t 为我军从 B处发起
s(t )
A
追击至射击的(时 分)间. 0.5公里
敌我相距函数 s(t )
B
s (t)(0 .5 t)2 (4 2 t)2 4公里
(2)求ss(t)的最小.值点
s(t)
5t7.5
.
(0.5t)2(42t)2
令 s(t)0,
三
、
求
数
列
n 10 2n
的
最
大
项
.
四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高
h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
h
18
五、由yx2,y0 , xa(a0)围成一曲边三角形 OA， B在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲 线yx2的切线与OA， OB围成的三角形面积最大.
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
h
4
y2 x 33 x 2 1x 2 14
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
h
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例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
h
15
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 yf(x)x x[0,1] 在 x0有最小值，但 f(0)10
h
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练习题
一、填空题： 1、 最 值 可 _____________处 取 得 . 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____； 最 小 值 为 __________. 3 、 函 数 y 100 x 2 在 [0,8]上 的 最 大 值 为 ______ ______； 最 小 值 为 ___________. 4 、 设 有 重 量 为 5kg 的 物 体 ， 置 于 水 平 面 上 ， 受 力f 的 作 用 而 开 始 移 动 ， 摩 擦 系 数 =0.25 ， 问 力f 与 水 平 线 的 交 角 为 _____ 时 ， 才 可 使 力f 的 大 小 为 最 小 ， 则 此 问 题 的 目 标 函 数 为 ______________， 讨 论 区 间 为 _____________.