列一元一次方程解应用题(1)

列一元一次方程解应用题列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题．因此，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助．1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系．（2）找：找能表示题目全部含义的相等关系．（3）设：设未知数．可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单．（4）列：根据等量关系列方程．（5）解：解方程（6）验：检验方程的解和解是否符合实际问题．(7)答：怎么问怎么答．2、分析数量关系的方法（1）译式法：把题目中关键性的数量关系语句译成含有未知数的代数式．（2）列表法：用一类量作为“行”，一类量作为“列”制成表格，把已知量和未知量（用所设字母表示）“对号入座”．（3）图解法：用图形表示题目中的数量关系，例如行程问题中的线段图．3、设未知数的方法（1）直接设未知数：题目求什么就设什么．（2）间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量．（3）设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去．现将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳如下：一、和、差、倍、分问题．此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系．审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别．例1．（1）当x=________时，代数式12x-与113x+-的值相等．（2）若4a-9与3a-5互为相反数，则a2-2a+1的值为_________．（3）若2003x n+7与2004x2n+3是同类项，则n=_______．例2．（课本）某校三年共购买计算机40台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量是去年的2倍．前年这个学校购买了多少台计算机？思考：设前年购买计算机X 台．可以表示出：去年购买计算机台，今年购买计算机这三个量之间有升么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？由此你能得到什么结论？请把它写下来．例3．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人3本，则剩余20本；如果每人4本，则还缺25本，这个班有多少学生？设这个伴有x名学生．每人分3本，共分出本，加上剩余的20本，这批书共本．若每人分4本，共分出本，减去缺的25本，这批书共本．这批书的总数由几种表示法？他们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？请你列出方程：．例4．有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某个相邻数的和是-1701，这三个数个是多少？思考：1、观察这些数，考虑它们前后之间的关系，从符号和绝对值两方面观察发现规律．2、如果和其中一个数为a，那么它后面与它相邻的数是__________ ．3、谁能根据题中给定的条件找到它们的等量关系？你能列出方程来吗？．例5．小平的爸爸新买了一部手机，他从电信公司了解到现在有两种移动电话计费方式：全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0．40元/月0．60元/月他正为选择哪一种方式犹豫呢？你能帮助他做个选择吗？思考：（1）一个月内通话200分和300分，按两种计费方式个需交费多少远？（2）对于某个通话时间，两种计费方式的收费一样吗？（3）怎样选择计费方式更省钱呢？例6．某大型商场三个季度共销售DVD2800台，第一季度销售量是第二季度的，第三季度销量是第二季度的2倍，问第三季度销售DVD多少台？思考与训练：5．7．9．三个连续偶数，它们的和比最小的一个大26，则这三个连续偶数依次为___________．10．三角形的三边之比为2：3：4，其周长为45cm ，则这个三角形的三边的长分别为多少？11．某班同学到一养殖场参观，发现A 养殖区母鸡与猪的头数共70，而腿数共196，那么A 养殖区的母鸡比猪多多少？12．小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了11()1325x x x --∆-+=-，他翻了书后的答案，知道这个方程的解为x=5，于是你把被污染的数字求了出来，请把小强的计算过程写出来．13．14．数学家丢番图的生平事迹现已无据可考，仅在其墓志铭上可略知一二．其墓碑十分特殊，铭文是一首诗谜：过路的人！这儿埋藏着丢番图．请计算一下下面的数目，便可知道他多少岁时寿终正寝．他的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年，再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年后儿子出生，不料儿子只活到父亲一半的年龄，竟先其父四年而终．晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年！请你算一算，丢番图活了多大年龄？15．在程大位《算法统宗》一书中，有一道所谓的“百羊问题”：甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，于添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透．二、等积变形问题（有关简单的几何问题）此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式．“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提．常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积．例1：一块矩形耕地，大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为9600 2m，那么水渠应挖多宽？图164米162米图264米162米分析：这类问题的特点是，挖渠所占用的土地面积只与水渠的条数、渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关．为了研究问题的方便，可将分别沿东西和南北方向挖的渠道移动到一起（最好靠一边）．解：设水渠应挖x 米宽，依题意得 思考与训练：1、用40㎝长的铁丝围成一个长方形，已知长是宽的3倍，则围成的长方形的面积为多少？2、要锻造一个直径为12㎝，高为10㎝的圆柱形零件，需要直径为16㎝的圆柱形钢条多少 ㎝．3、一个长方形的周长是26cm ，如果将它的长减少1cm ，宽增加2cm ，就成为一个正方形，则这个正方形的面积是多少？4、有一间长20米、宽15米的会议室．在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的21，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为多少米？5、三、调配问题从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量．这类问题要搞清人数的变化，常见题型有： ①既有调入又有调出；②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变．例1、在甲处劳动的有27人，在乙处劳动有19人，现另外调20人去支援，使在甲处工作的人数是乙处的2倍，问往甲、乙处各调多少人？例2、某工厂第一车间比第二车间人数的54少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间去，则第一车间人数是第二车间人数的43，这两个车间原来各有多少人？例3、某车间有２８名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时能生产螺栓１２个或螺帽１８个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产出的螺栓与螺帽刚好配套（每个螺栓要配两个螺帽）？思考与训练：1、某车间有两个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲、乙两组人数？2、甲厂有工人57名，乙厂有工人75名，现需从二个厂中抽调42名去支援别的工厂，且要使抽调后甲厂人数是乙厂人数的二分之一，问从甲、乙两厂中各调多少人？3、某工厂有甲、乙、丙三个车间，分别有工人55人、45人、30人，现各车间按相同比例裁减工人，最后留下104人，求裁减后乙车间还有多少工人？4、两个水池共存水40吨，甲池注进水4吨，乙池放出水8吨，甲池中水吨数与乙池中水吨数相等，两个水池原来各有水多少吨？5、某车间有５２名工人生产甲、乙两种零件，每人每小时平均能生产甲种零件１５个，或乙种零件１８个．问：分配多少人加工甲种零件，其余人加工乙种零件，正好每小时加工的甲、乙两种零件配套（一个甲种零件配四个乙种零件）？6、四、行程问题要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间．相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系．甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系．①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程－乙走的路程=原来甲、乙相距的路程②同地不同时；甲的时间=乙的时间－时间差甲的路程=乙的路程环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程．船（飞机）航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度．车上（离）桥问题：①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长．②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程．所走的路程为一个成长③车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长④车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点．如图甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，相遇时那么他们走到时间的关系是_______________________，到路程的关系是___________．2 如果甲从A 、乙从B 同时出发同向而行，甲追乙，在C 点追击，那么他们走的路程关系是_____________，时间关系是_________________相遇和追及是行程问题中两个最基本的问题，下面我们就来研究行程问题应用题． （一） 相遇问题 例１．电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？解：设电气机车速度为x 千米/时，则磁悬浮列车速度为千米/时，依题意得：从题中可知本题蕴含了以下条件①电气机车和磁悬浮列车两地相距的路程②两车是同时出发③两车是相对而行④相遇⑤是直线型的行程问题．例2．小明与小兵的家分别在相距20千米的甲、乙两地，星期天小明从家出发骑自行车去小兵家，小明骑车的速度为每小时13千米．两人商定到时候小兵从家里出发骑自行车去接小明，小兵骑车速度是每小时12千米．⑴如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇?⑵如果小明先走30分钟，那么小兵骑车要走多少小时才能与小明想遇？变式练习： 在上面的问题中，如果小斌和小强决定上午9点45分到达纪念馆，但出发的时间不变，那么他俩每小时应骑多少千米?例3．A 、B 两地相距360千米，甲车从A 地出发，开往B 地，每小时行72千米，甲车出发25分钟后乙车从B 地出发开往A 地，每小时行48千米，两车相遇后，各自按原速度原方向继续行驶，那么相遇以后两车相距100千米时，甲车从出发开始共行了多少小时？ 例4例5．甲、乙两站相距480 km ，一列慢车从甲站开出，每小时行80 km ，一列快车从乙站开相遇乙走的路程甲走的路程甲B A 乙走的路程甲走的路程C B 乙甲A出，每小时行120 km ．试问两车同时开出，经过多少小时后两车相距600 km ？解析：分两种情形讨论：情形一：两车同时开出，相背而行，如图1．设x 小时后两车相距600 km ．则根据题意，得(120+80)x+480＝600．解这个方程，得x ＝35． 情形二：两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，如图2．设x 小时后快车与慢车相距 600 km ．则根据题意，得(120－80)x+480＝600，解这个方程，得x ＝3．情形三：两车同向而行，如图3，设x 小时后快车与慢车相距600 km ． 则根据题意，得(120－80)x ＝600+480，解这个方程，得x ＝28． 情形四：两车同背而行，如图4，设x 小时后快车与慢车相距600 km ． 则根据题意，得(120+80)x ＝600+480，解这个方程，得x ＝285．答：两车同时开出，35小时、或3小时、或28．小时、或285小时后两车相距600 km ． 说明：此题只说两车相距600 km ，并没有交待车的位置，所以可能会出现四种情形，综上所言，同学们在做有关行程类的应用题时，一定要认真推敲题意，挖掘其中的隐含条件，及时地画出合符题意的线形图，以防漏解． （二）、追及问题例1．甲乙两人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米．两人同时出发，同向而行，几秒后乙能追上甲？变式1 、甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6．5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？变式2 、甲乙两人相距40千米，甲先出发1．5小时乙再出发，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小时8千米，乙的速度是每小时6千米，甲出发几小时后追上乙？变式3、跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？变式4、敌军在离我军8千米的驻地逃跑，时间是早晨4点，我军于5点出发以每小时10图4慢车→图2乙 甲 慢车→图1千米的速度追击，结果在7点追上．求敌军逃跑时的速度是多少？（三）、环形跑道问题学校运动场跑道周长400米，小华跑步的速度是小红的35倍，他两从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5分钟后小华第一次追上了小红，求他二人的跑步速度．变式1 ：学校运动场跑道周长400米，小华跑步的速度是小红的35倍，他们从同一起点沿跑道方向背向同时出发，45分钟后小华第一次与小红相遇，求他二人的跑步速度．变式2：学校运动场跑道周长400米，已知小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度是小红的35倍，若小红在小华的前方100米，他们同时同向出发，试问几分钟后小华第一次与小红相遇？变式3：学校运动场跑道周长400米，已知小红跑步的速度为120米∕分，小华跑步的速度是小红的35倍，若小华在小红的前方100米，他们同时同向出发，试问几分钟后小华第一次与小红相遇？（四）、航行问题例1．一艘轮船从甲地逆水航行到乙地，然后顺水航行返回甲地．已知水流速度是2千米/时，回来时所需的时间是去时的时间的4/5，求轮船在静水中的速度．变式1、某船从A 码头顺流航行到B 码头，然后逆流返航到C 码头，共行9小时，•已知船在静水中的速度为7．5千米/时，水流速度为2．5千米/时，若A 与C 两码头相距15千米，•求A 与B 间的距离．变式2、一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．变式3、有甲、乙两艘船，现同时由A 地顺流而下，乙船到B 地时接到通知，须立即返回C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7．5km，水流速度为每小时2．5km，A、B两地间的距离为10km，如果乙船由A地经B地再到达C 地共用了4h，问：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地多远？五、工程问题其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和．当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意．（1）一件工作，10天完成，工作效率是_____________．（2）一本书，25天看完，每天看全书的_____________．（3）一件工作，甲独做20小时完成，m小时完成的工作量是_____________．（4）一件工作，甲独作5天完成，乙独作7天完成，二人合作_____________天完成．例1、整理一批图书，由一个人单独做40小时完成，现计划由一部分人先做4小时，再增加2人，他们一起做8小时，完成这项工作假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？变式1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲独4小时，剩下的部分由甲、乙合做，剩下的部分要几小时完成？变式2、一项工程，甲独做20小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做10小时完成，三队合做若干天后，丙另有任务剩下的由甲、乙完成，这样，完成全部工程共用6小时，丙实际工作了几小时？变式3、一个蓄水池装有甲、乙、丙三个进水管．单独开放甲管，45分可注满全池；单独开放乙管，60分可注满全池；单独开放丙管，90分可注满全池．现将三管一齐开放，多少分可注满全池？思考与训练：1、某中学开展校外植树活动，让初一学生单独种植，需要7．5小时完成；让初二学生单独种植，需要5小时完成．现让初一、初二学生先一起种植1小时，再由初二学生单独完成剩余部分，共需多少小时完成？2、要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工4小时，完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件．3、一个水池设有注水管和排水管．单独开注水管2小时可注满水池，单独开排水管3小时可将一池水排完．现将注水管与排水管同时开放若干小时后，关上注水管，排水管排掉水池之水所用时间比两管同时开放的时间少10分钟．问两管同时开了多少时间？某工作甲独做需10小时完成，乙独做需15小时完成，现在由甲、乙合作几小时后，再由甲独做2小时后完成全部工作，求甲、乙合作了几小时？4、一项工程，甲单独完成要9天，乙单独完成要12天，丙单独完成要15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还要多少天能完成这项工程的5/6？5、某单位开展植树活动，由一人植树要80小时完成，现由一部分人先植树5小时，由于单位有紧急事情，再增加2人，且必须在4小时之内完成植树任务，这些人的工作效率相同，应先安排多少人植树？六、利润率问题其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售．商品售价=商品标价×折扣率 商品利润 = 商品售价 — 商品进价商品售价=商品标价×折扣数 商品进价商品利润×100%=商品利润率 商品售价=商品进价×（1+利润率）（1）求商品进价例1、 商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，结果每件仍盈利0．2元．问该文具每件的进价是多少元？（2）求商品标价例2、商场出售某种文具，每件的进价是4元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，结果每件仍盈利5﹪．问该文具每件的标价是多少元？基本关系式：标价×折数=进价（1＋利润率)（3）求折扣例3、商场出售某种文具，每件的进价是4元，原标价是6元．为了支援山区，把文具出售给一个山区学校．现在商场要求以利润率不低于5﹪的售价打折，售货员最低可以打几折出售？思考与训练：1、为了搞活经济，商场一种商品A 按标价的9折出售，仍可获利10%，若商品标价为33元，那么该商品进价为_______．2、某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%的售价打折出售，售货员最低可以打________折出售此商品．3、某种商品的进货价每件为x 元，零售价为每件900元，为了适应市场竞争、商品按零售价的九折销售并让利40元，仍可获利10%，则______x 元．4、某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个赢利60％，另一个亏本20％，则在这次买卖中，这家商店___________元（填赚或亏的数目）．5、（1）某种衬衣进价为每件100元，售价为每件120元，那么这种衬衣每件利润是_____元，利润率是_______，如果商家期望获得50％的利润，他应该定价______元．（2）一种足球进价为80元，标价为x元，打八折出售，利润是_______元，利润率是_____6、某种商品降价20％后，欲恢复原价，则应提价的百分数为（）A 35％B 25％C 20％D 30％6、7、丽丽的妈妈到商场给她买了一件漂亮毛衣，售货员说：“这毛衣前两天打八折，今天又在八折的基础上降价10%，只卖144元．”丽丽很快算出了这件毛衣的原标价，你知道是多少元吗？8、一家商店将某种型号彩电先按原价提高40%，然后在广告写上“大酬宾、八折优惠”，经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．9、某商场购进甲、乙两种商品共50件，甲种商品进价每件35元，利润率是20﹪，乙种商品进价每件20元，利润率是15 ﹪，共获利278元，问甲、乙两种商品各购进多少件？列表分析法七、银行储蓄问题其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率．注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365．例1、从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率是20%（•即储蓄利息的20%，由各银行储蓄点代为扣收），已知某储户有一笔一年定期储蓄（一年定期年利率为2．25%），到期纳税后得利息450元，那么储户存入的本金是多少元？变式1、某种储蓄的月利率为0．2%，•若存入100•元本金，则1•年后可得本息和共______元．变式2、某公司存入银行甲、乙两种方式的存款共20000元，甲种存款的年利率为1．4％，乙种存款的年利率为1．98％，该公司一年后共得税前利息367元．求甲、乙两种存款各多少元?变式3、某居民小区按照分期付款的方式售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价120000元的房子，购买时首期(第一年)付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，若剩余欠款年利率为0．4％，已知小明家第x年时(x≥2)共付房款5200元，求x的值．八、数字数位问题要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系．列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和．1、一个两位数，十位上的数为6．个位上的数为2，这个两位数为．2、一个两位数，十位上的数为6．个位上的数为X，这个两位数为．3、一个两位数，十位上的数为X，个位上的数为5，这个两位数为．4、一个两位数，十位上的数为X，个位上的数是十位上的数的2倍，这个两位数为．5、一个两位数，十位上的数比个位上的数小2，个位上的数为X，这个两位数是例1：两个相邻的自然数的平方和比这两个数中较小的数的两倍大51，试求这两个自然数．变式1、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？变式2、一个两位数，两个数位上的数字之和等于8，如果这个数加上18，正好是原来两位数的十位上的数、个位上的数对换所得到的两位数，那么，原来的两位数是( )．A．35 B．53 C．30 D．50变式3、一个两位数，个位上的数与十位上的数的和为7，如果把十位与个位的数对调．那么所得的两位数比原两位数大9．求原来的两位数．变式4、一个两位数的十位上的数比个位上的数小1，如十位上的数扩大4倍，个位上的数减2，那么所得的两位数比原数大58，求原来的两位数。