校本(数学中的严谨性)
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数学中的严谨性
数学是一门严谨的学科,关于数学中的严谨性问题有很多切入点可供我们进行
研究,而概率就是一种很好的研究该问题方式。
随机事件出现的可能性的量度。概率论最基本的概念之一。人们常说某人有百
分之多少的把握能通过这次考试,某件事发生的可能性是多少,这都是概率的
实例。在一个特定的随机试验中,称每一可能出现的结果为一个基本事件,全体基本事件的集合称为基本空间。随机事件(简称事件)是由某些基本事件组
成的,例如,在连续掷两次骰子的随机试验中,用Z,Y分别表示第一次和第
二次出现的点数,Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6,每一点(Z,Y)表示一个基本事件,因而基本空间包含36个元素。“点数之和为2”是一事件,它是由
一个基本事件(1,1)组成,可用集合{(1,1)}表示“点数之和为4”也是
一事件,它由(1,3),(2,2),(3,1)3个基本事件组成,可用集合{(1,3),(3,1),(2,2)}表示。如果把“点数之和为1”也看成事件,则它是一个
不包含任何基本事件的事件,称为不可能事件。在试验中此事件不可能发生。
如果把“点数之和小于40”看成一事件,它包含所有基本事件,在试验中此事件一定发生,所以称为必然事件。若A是一事件,则“事件A不发生”也是一个事件,称为事件A的对立事件。实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系、基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究。古典概率古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空
间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性
是相同的。若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为p(A)
=m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基
本空间的基本事件的总个数,这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义,或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引
起的。计算古典概率,可以用穷举法列出所有基本事件,再数清一个事件所含
的基本事件个数相除,即借助组合计算可以简化计算过程。几何概率若随机试验中的基本事件有无穷多个,且每个基本事件发生是等可能的,这时就不能使
用古典概率,于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域
对应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率,布丰投针问题是应用几何
概率的一个典型例子。概率的频率定义随着人们遇到问题的复杂程度的增加,等可能性逐渐暴露出它的弱点,特别是对于同一事件,可以从不同的等可能性
角度算出不同的概率,从而产生了种种悖论。另一方面,随着经验的积累,人
们逐渐认识到,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的
频率,总在一个固定数的附近摆动,显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义。从理论上讲,概率的频率定义是不够严谨的。
由此可见,种种悖论和定义的产生发展到最后被证明为成立或不成立,都离不开严谨的思维和期而不舍的精神。不论最后是否得以证明,这其中都流露出学习数学不可或缺的严谨性思想。
高二.13