数学是严谨的艺术
关于数学的严谨性.doc
关于数学的严谨性.doc严谨性是数学的独持之美。
它表现在数学定义准确地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。
数学的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。
数学是最为严谨、最严格的科学。
数学的论证中使用非常严格的演绎推理。
古代的欧几里德几何学以公理、公设为出发点，以演绎的方式构成了几何学。
由HILBERT的几何基础列举了一些基本对象（点、直线）、基本关系（衔接、合同、介于），所谓公理是基本对象和基本关系的属性。
一切几何定理，就是这些属性的演绎推理。
建立起几何学的理论架构，形成了现代基础数学严谨的体系。
数学因为严谨而被信任，因为严谨而被尊重，失去了严谨，数学也就失去了支撑的骨架，空有一堆形式的符号。
爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切科学受到特殊尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某中程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。
”著名数学教育家弗赖登塔尔就把严谨性原则作为数学教学的基本原则之一，而很多数学教学论的著作则提出了严谨性与量力性相结合的原则。
这里的量力量的不是教师的力，而是指“严谨性的要求应受学生可接受性的制约”。
也就是说，在学生可接受范围内，我们的教学必须遵循严谨的原则。
总而言之，数学是严谨的，数学教育也应该是严谨的教育。
作为教师，自己要有一个系统的能满足教学需要的数学体系，同时，在发展学生的多样思维建设开放课堂时，应该把学生的新异思维按其内在规律区别对待，纳入整个数学体系，维护数学的严谨性，让学生数学大厦的基础更为坚实。
数学学科三大特点
数学学科三大特点数学学科是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，具有以下三大特点。
数学学科具有严谨性。
数学学科以逻辑推理和严密的证明为基础，它要求每一个结论都必须经过推理和证明的过程，确保其准确性和可靠性。
数学学科中的每个概念、定理和公式都必须经过严格的定义和证明，这使得数学学科具有了严密性和严谨性。
例如，在几何学中，欧几里得几何的基础是五条公理，这些公理被视为几何学的基本原理，其他的定理都是基于这些公理进行推导和证明的。
数学学科具有普适性。
数学学科是一门普遍适用于各个领域的学科，它的理论和方法可以应用到自然科学、工程技术、经济管理等各个领域中。
无论是物理学、化学、生物学还是计算机科学、经济学等领域，都需要使用到数学的理论和方法。
例如，在物理学中，运动的描述和分析离不开数学中的微积分和方程求解；在经济学中，利润最大化和成本最小化的问题需要使用到数学中的优化方法和线性规划等。
数学学科具有抽象性。
数学学科研究的对象是抽象的概念和结构，它不依赖于具体的实际对象，而是研究对象的本质特征和规律。
数学学科的抽象性使得它可以研究一些复杂的问题，不受具体对象的限制。
例如，集合论是数学学科的一个分支，它研究的是集合这一抽象的概念，而不是具体的集合。
集合论的概念和方法可以应用到各个领域，如概率论、数论等。
在数学学科的发展过程中，这三个特点相互作用、相互促进。
严谨性保证了数学学科的准确性和可靠性，普适性使得数学学科能够应用到各个领域，抽象性使得数学学科能够研究一些复杂的问题。
这三个特点共同构成了数学学科的基础和核心。
通过不断地发展和创新，数学学科在人类认识世界和解决问题的过程中发挥着重要的作用。
无论是科学研究、工程技术还是社会经济，都离不开数学学科的支持和应用。
因此，数学学科的严谨性、普适性和抽象性是其重要的特点，也是其持续发展和进步的基石。
数学名言 短句
数学名言短句数学是丰富多彩的，它滋养着各种科学领域，是一种独特的创造性思维。
数学界出现了很多伟人，他们提出了许多精彩的数学名言短句。
以下是一些最经典的数学名言短句：1.学家卡洛斯哥德尔说：“数学是最严谨的艺术，也是最自由的科学。
”这句话概括了数学的特点：坚定的原则和开放的世界，体现了数学的精髓。
2.廉休斯说：“数学就像大海一样宽广无边，是一种探索世界的精神活动。
”数学之所以受到人们的喜爱，也就在于它有无限可能性，极具探索精神。
3.名数学家乔治华罗庚说：“要获得更深层次的知识，就必须从数学的应用出发。
”数学的本质是概括性的，而它的应用又具体化，将可以让不同领域中的人们理解数学思想，进一步发展科学技术。
4.德斯鸠曾说：“数学是一种极不折衷的抽象艺术，它不接受它不认可的东西。
”这句话反映了数学的独特魅力，即数学世界中不存在违背基本原则的情况，在抽象中构建秩序，这是数学所独有的。
5.名数学家克劳德贝塞尔说：“数学是真理的殿堂，美的宫殿，健全的记忆，活跃的思想，无限的乐趣。
”克劳德的这句话在充分体现了数学的魅力，它既显示了数学的厚重，又表达了数学极富乐趣的一面。
以上就是五位数学家的精彩名言短句，它们言简意赅地提出了数学的严谨与创造性，也将我们带入一个极其完美的数学世界。
数学无处不在，它不仅仅是一门科学，更是一种文化和一种乐趣。
在中国，数学教育有着较早的历史。
自宋朝至今，数学在中国文化中一直都占有着重要的地位，经典数学著作也由此而得以留存。
当今，数学仍然是诸多专业的重要基础，它不断潜心发展，为社会带来更多的变革和创新。
在时代的进步中，数学的意义也被深刻地体现了出来，它每一次有新的发现都会让世界变得更加精彩纷呈。
然而，数学不是一门可以用简单的方法学习的科目，它需要积极思考，并努力研究，方可开启数学奥秘大门。
数学也包含着若干定理，它们可能看起来有些抽象，但它们将会成为我们探索世界的起点。
最后，我们应该知道，数学的重要性不仅仅在于它的功能，更在于它能够给我们带来的乐趣和智慧。
严谨性1
浅谈小学数学教学的严谨性数学是一门严谨的科学。
培根说:“数学使人周密。
”的确如此,不论是初等数学,还是高等数学无不体现着逻辑的严密性, 数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、严密周详的推理以及对完美境界的追求。
数学有着严密的逻辑性和系统性。
遗憾的是有人认为:我们培养的是小学生,是以传授知识为主要任务,又不是培养数学家,刻意追求数学语言的严谨性那不是钻牛角尖吗?笔者认为作为一名数学教师，认为在教学过程中要时时刻刻注意教学的严谨，时刻体现数学这一门学科独有的特点。
数学的教学，我认为其最重要的不是数学知识的教学，而是数学思维，数学思想方法的教学。
数学思想贯穿整个数学体系的始终。
所以，从小就给学生渗透一些数学思想是非常必要而且非常重要的。
而其中重要的一环就是学生数学思维的严谨性的培养。
严谨性是数学学科的基本特征之一。
而教师为人师表，更应从自己做起，对一切问题都不能马虎对待。
要体现数学学科严谨性的特征，我认为教师在教学中要做到以下几个方面：一、教学语言的严谨性语言是人类交际的重要工具,课堂教学,主要运用语言的形式向学生传道、授业、解惑。
因此,教师的语言表达能力直接影响着教学效果。
教师在课堂上要注意语言的准确性和科学性，数学具有高度的科学性,每个概念都有确切的含义,每个定律、公式都有确定的条件。
因此在教学语言中务必清楚、准确、符合科学性。
只有这样才能使学生正确地掌握概念,运用定理,并逐步养成严谨、慎密的思维习惯;否则,可能使学生产生误解,甚至造成错误。
例如教师在教学“单位转化”时，在表述5千米=5000米这个式子，就要注意自己语言的停顿；在教学《正数、负数》以后，在练习中有一题是这样的：某蓄水池的标准水位记为0米，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么0.18米和－0.23米各表示什么？二、解答过程的严谨性但是，现在好多学校都倡导人性化教学，刻意的让老师发现学生们在学习或作业中的闪光点，且很多老师一味追求出成绩，追求学生的合格率，所以在教学中，他们自己本身就忽视了数学的严谨性。
对数学学科的认识和理解
对数学学科的认识和理解数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科，它广泛应用于自然科学、工程技术、社会科学等领域。
数学作为一门学科，具有独特的特点和价值，对人类社会的发展和进步起着不可替代的作用。
数学是一门严谨和精确的学科。
数学的基本概念和原理都是经过严密推导和证明的，它要求学习者具备良好的逻辑思维和抽象能力。
通过数学的学习，人们可以培养自己的思维能力和逻辑推理能力，提高解决问题的能力。
数学是一门普遍适用的学科。
数学不仅仅是一种学术研究的工具，更是一种实践中应用的工具。
数学的方法和原理可以应用于自然科学、工程技术、金融经济等各个领域，为解决实际问题提供了强有力的工具和方法。
数学是一门富有创造性的学科。
数学的发展离不开数学家们的创新和发现。
数学家们通过不断地思考和探索，提出了许多重要的数学理论和定理。
这些理论和定理不仅解决了许多实际问题，而且推动了数学学科的发展。
数学的学习也对个人的发展和成长有着重要的意义。
首先，数学的学习可以培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
数学中的问题和方法都要求学生进行逻辑推理和抽象建模，这种思维方式可以帮助学生提高解决问题的能力。
其次，数学的学习可以培养学生的数学思维和创新能力。
数学中的问题和方法往往需要学生进行思维的跳跃和创造性的思考，这种思维方式可以培养学生的创新意识和发散思维能力。
最后，数学的学习可以培养学生的数学素养和科学精神。
数学学科注重逻辑性和严谨性，培养学生的数学素养可以提高学生的科学素养和科学精神。
数学是一门独特的学科，它具有严谨性、普遍适用性和创造性。
数学的学习不仅可以提高个人的思维能力和解决问题的能力，还对人们的创新能力和科学素养有着重要的影响。
因此，我们应该重视数学的学习，认识和理解数学的价值和意义，努力提高自己的数学素养。
数学学科的魅力
数学的魅力可以归结为以下几点：1. 数学是一种严谨的语言。
与其他的自然语言不同，数学语言具有高度的严谨性和精确性，能够清晰地表达想法和概念，避免了由于语义模糊而产生的误解和歧义。
2. 数学是一种优美的艺术。
数学中的公式与定理不仅具有实用价值，还具有美学价值。
人们被数学的优美形式和规律所吸引，这种审美感受和喜爱程度愈发深入人心。
3. 数学是一种实用的工具。
数学的应用范围很广，从自然科学到社会科学，从物理学到金融学，从医学到计算机科学等领域都可以看到数学的应用。
数学为现代社会的技术和科学进步提供了强有力的支撑。
数学的逻辑与严谨性
数学的逻辑与严谨性数学作为一门学科，其独特之处在于其严谨性和逻辑性。
数学家们通过精确的符号语言和推理方法，建立了一个统一且严密的数学体系，使数学成为一门具有高度准确性和可靠性的学科。
本文将从逻辑与严谨性两个方面来探讨数学的特点。
逻辑性是数学的一个重要特征。
数学家们通过推理和证明来阐述数学思想和结论，确保数学建议和推理过程的正确性。
逻辑推理的过程中遵循着一系列严谨的规则，由此可以得到准确的结论。
例如，在数学证明中常常使用归谬法、反证法、数学归纳法等推理方法，以确保得出的结论是正确的。
数学逻辑性的特征使得数学家们可以通过推理和证明来验证新的数学理论和发现。
严谨性是数学的另一个重要特征。
数学家们在进行数学研究和证明过程中，必须确保每一步的论证都是正确的，每一条定理都经过了精确的证明。
在数学推理中，任何符号、符号排列和运算都必须符合逻辑规律和事实要求。
数学的严谨性要求每个符号和推理步骤都能够被清晰地定义和理解，而不会出现歧义或二义性。
通过这种严谨的要求，数学家们可以确保数学中的结论和定理是可靠的。
在数学理论中，公理系统和定义是建立数学严谨性的基石。
公理系统是一组被认为是真实的、无需证明的命题。
通过这些公理，数学家们能够从最基本的命题出发，通过严密的逻辑推理，逐步建立起一套完整的数学理论体系。
同时，数学中的定义也是确保数学严谨性的重要因素。
定义在数学中起到了精确定义概念的作用，以便能够准确地描述和推导数学对象之间的关系。
除了逻辑和严谨性，数学还有许多其他的特点。
数学是一门抽象的学科，它研究的是抽象的结构和关系，而不仅限于实际世界中的对象和现象。
这种抽象性使数学具有了广泛的适用性和普遍性，它可以应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，为其他学科的发展提供了理论和方法的支持。
总结起来，数学的逻辑性和严谨性是使其成为一门独特学科的重要特征。
通过逻辑推理和证明，数学家们确保了数学的准确性和可靠性。
公理系统和定义则是建立数学严谨性的基石。
艺术与数学之美 精选作文2篇
艺术与数学之美精选作文2篇作文1：《数字之美-数学在艺术中的应用》数学是一门抽象而又严谨的学科，而艺术则是富有想象力和创造力的表现形式，二者看似截然不同，却在许多方面相互交融，产生了令人叹为观止的“数字之美”。
首先，在建筑艺术领域，数学起着至关重要的作用。
比如，古希腊建筑师就运用黄金分割理论设计出了很多充满美感的建筑作品，如巴特农神庙。
黄金分割、等比例关系等数学概念被巧妙地运用在建筑的布局、结构和装饰中，赋予建筑以和谐、美感和稳定。
而在绘画领域，透视法、比例关系等数学原理也为绘画带来了更加准确与逼真的表现形式。
其次，音乐艺术与数学之间也存在着密切的联系。
音乐中的节奏、音调、和声等元素都可以通过数学原理进行解释。
例如，音符之间的音高关系可以用频率、波长等数学概念来描述；音乐中的节奏感也常常依托于数学规律，如拍子的分割、速度的变化等都可以借助数学知识进行研究和表达。
最后，舞蹈艺术也离不开数学。
舞蹈中的动作设计、舞台布景等都需要考虑到空间布局、身体比例、节奏长度等数学因素，使得舞蹈作品能有更加完美的表现。
综上所述，数学与艺术之间的联系是无处不在的，数学为艺术提供了丰富的表现手段和内在逻辑，而艺术也将数学的枯燥变得生动美好。
二者相辅相成，共同构建了数字之美。
作文2：《画中世界-艺术创作中的数学意义》在艺术创作中，数学并非只是一个冷冰冰的概念，而是对创作过程有着深刻影响的灵感源泉。
通过对几何学、比例关系、对称性等数学原理的运用，艺术家们创造出了许多令人叹为观止的作品。
首先，数学中的几何学对绘画艺术有着重要的启发作用。
绘画中的透视原理、立体几何等概念，都直接来源于数学中的空间几何理论。
通过这些原理，艺术家们能够更准确地捕捉物体的形态、深度和距离感，为作品增添更多立体感和逼真感。
其次，数学中的比例关系也是艺术创作中不可或缺的因素。
黄金分割、等比例放大缩小等数学概念被广泛应用于绘画、雕塑、建筑等各种艺术形式中，使得作品呈现出更加和谐、美感和平衡的视觉效果。
数学在艺术中的应用
数学在艺术中的应用艺术和数学是两个看似截然不同的领域，但实际上它们有着密不可分的联系。
数学作为一门严谨的学科，既可用于解决实际生活中的问题，也能够在艺术创作中发挥独特作用。
本文将探讨数学在艺术中的应用，从几何到对称性、黄金分割等方面进行阐述。
1. 几何美几何学是数学的一个分支，研究几何形状和空间结构。
在艺术中，几何形状常常被广泛应用。
例如，在绘画中，艺术家可以利用几何形状来创造视觉上的平衡和美感。
矩形、圆形、三角形等常见的几何形状在构图中可以起到积极的作用，使画面更加稳定和谐。
另外，几何形状的对称性也是艺术中常见的元素。
对称图案能够给人以安定感和美感。
例如，许多建筑物的设计中都运用了对称的原则，使得建筑物更加美观、庄重。
在绘画和雕塑中，对称性也是一种常见的构图手法，能够吸引观者的眼球并产生美的享受。
2. 黄金分割黄金分割是数学中的一个重要概念，它指的是将一条线段分割为两部分，其中较长部分与整条线段的比例等于整条线段与较短部分的比例。
黄金分割在艺术中被广泛运用，被认为是一种视觉上的美学原则。
黄金分割经常被用于艺术品的构图和设计中。
例如，一些画家在绘画中将主题的位置放在画面的黄金分割点上，这样能够营造出一种和谐的视觉效果，使观者更容易被吸引和留意到画面的重点。
同样地，黄金分割也被应用在建筑物和雕塑的设计中，以达到更加平衡和美观的效果。
3. 透视和解析几何透视是一种数学原理，用于创造在二维平面上看起来具有三维感的效果。
在绘画和摄影中，透视是一种常见的技巧，可以使画面更具深度和立体感。
解析几何是数学分析和几何学的结合，通过代数的方法来研究几何形状和空间结构。
在艺术中，解析几何的原理也被广泛应用。
例如，艺术家可以利用解析几何的知识来绘制出更加精准的曲线和图形，从而增强作品的真实感和表现力。
4. 数学模型和艺术创作在当代艺术中，数学模型也被一些艺术家用于创作。
数学模型可以帮助艺术家更好地理解和表现一些复杂的艺术概念。
数学数学之美
数学数学之美数学，是一门研究数量、结构、空间以及变化的学科，被誉为“科学之王”。
它的美不仅体现在它的创新性和深度上，更体现在它对现实世界的解释和应用中。
本文将讨论数学之美的几个方面，包括数学的逻辑美、形式美以及实用美。
1. 数学的逻辑美数学是一门严谨的学科，它追求准确性和逻辑性。
数学中的每个定理和推理都经过严格的证明和推导，不容忽视任何细节。
这种严谨性使得数学具有独特的美感，让人感受到逻辑的严密和真理的美妙。
数学的逻辑美可以通过各种公式、定理和证明来展示。
例如，费马定理的证明以及勾股定理的几何证明都展现出了数学中的逻辑美。
2. 数学的形式美数学具有独特的形式美，其美感来自于数学中的符号、图形和模式。
数学中的符号和公式可以简洁地表达复杂的概念和关系，让人们可以通过简单的方式处理复杂的问题。
数学中的图形可以展示出数学中的对称性和几何结构，例如，圆的完美形状以及分形图形的奇特之美。
数学中的模式则是一种重复出现的规律，让人们感受到宇宙中数学的普遍性。
所有这些形式美共同构成了数学的美妙之处。
3. 数学的实用美数学不仅有理论上的美，还有实际应用上的美。
数学通过建立模型和推导规律，为解决现实问题提供了有力的工具。
无论是物理学中的数学模型，经济学中的数学预测，还是工程学中的数值计算，数学都发挥着不可替代的作用。
数学的实用美体现在它能够解决实际问题、优化决策，并推动科技的发展。
没有数学的支持，现代社会的许多成就将无法实现。
综上所述，数学之美体现在它的逻辑美、形式美和实用美上。
数学追求严谨的逻辑性，让人们感受到真理的美妙；数学的符号、图形和模式展示了独特的形式美；数学的应用使得它在实际问题的解决中发挥出实用美。
正是数学的美妙之处，让人们对这门学科充满了无尽的探索与热爱。
严谨性是数学的独持之美
论数学的严谨性内容摘要：严谨性是数学的独持之美。
它表现在数学定义准确地揭示了概念的本质属性；数学结论存在且唯一，对错分明，不模棱两可；数学的逻辑推理严密，从它的公理开始到演绎的最后一个环节不允许有一句假话，即使错一个符号也不行。
数学的这种严谨性，要求数学工作者具有实事求是，谦虚谨慎，孜孜不倦地追求真理的美德，这正是数学美的伦理价值所在。
关键词：严谨性数学教育正文：数学是最为严谨、最严格的科学。
数学的论证中使用非常严格的演绎推理。
古代的欧几里德几何学以公理、公设为出发点，以演绎的方式构成了几何学。
由HILBERT的几何基础列举了一些基本对象（点、直线）、基本关系（衔接、合同、介于），所谓公理是基本对象和基本关系的属性。
一切几何定理，就是这些属性的演绎推理。
建立起几何学的理论架构，形成了现代基础数学严谨的体系。
一、数学严谨的必要性在教学过程中对一些数学发展过程中经典事实的介绍可以启发学生学习数学的兴趣。
学生对新奇的事物往往感到有趣，肯主动地去学，去钻研。
气象学家Lorenz提出一篇论文，名叫「一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？」论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定，他把这种现象戏称做「蝴蝶效应」。
就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。
Lorenz为何要写这篇论文呢？这故事发生在1961年的某个冬天，他如往常一般在办公室操作气象电脑。
平时，他只需要将温度、湿度、压力等气象数据输入，电脑就会依据三个内建的微分方程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。
这一天，Lorenz想更进一步了解某段纪录的後续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑，让电脑计算出更多的後续结果。
当时，电脑处理数据资料的数度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。
在一小时後，结果出来了，不过令他目瞪口呆。
结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到後期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。
赞美数学的句子
赞美数学的句子赞美数学的句子：1. 数学是一门理性而美丽的学科，它通过逻辑推理和严谨的证明方法，揭示了世界的奥秘。
2. 数学是一种语言，它能够精确地描述和表达事物之间的关系，使我们能够更好地理解和解释世界。
3. 数学是一种思维方式，它培养了我们的逻辑思维能力和问题解决能力，让我们能够更好地应对各种挑战。
4. 数学是一种艺术，它充满了美感和创造力，让我们能够在推理和证明的过程中享受思考的乐趣。
5. 数学是一种工具，它在现代科学和技术的发展中起着重要的作用，使我们能够更好地探索和改变世界。
6. 数学是一种智慧，它教会我们如何理性思考、分析问题和做出决策，使我们成为更加理性和成熟的人。
7. 数学是一种学科，它包含了许多有趣的概念和定理，让我们在学习过程中不断发现新奇和惊喜。
8. 数学是一种学科，它培养了我们的抽象思维能力和空间想象力，让我们能够更好地理解和应用数学概念。
9. 数学是一种学科，它教会了我们如何用逻辑和推理来解决问题，让我们变得更加理性和严谨。
10. 数学是一种学科，它培养了我们的数学思维能力和数学直觉，让我们能够更好地理解和应用数学知识。
总结：数学作为一门理性而美丽的学科，通过逻辑推理和严谨的证明方法，揭示了世界的奥秘。
它是一种语言，能够精确地描述和表达事物之间的关系。
同时，数学还是一种思维方式，培养了我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
它是一种艺术，充满了美感和创造力。
数学作为一种工具，在科学和技术的发展中发挥着重要作用。
它还是一种智慧，教会我们如何理性思考和做出决策。
同时，数学还是一门学科，包含了许多有趣的概念和定理，让我们在学习过程中不断发现新奇和惊喜。
数学培养了我们的抽象思维能力和空间想象力，并教会了我们如何用逻辑和推理来解决问题。
它还培养了我们的数学思维能力和数学直觉，使我们能够更好地理解和应用数学知识。
数学的定义和特点
数学的定义和特点数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和属性的学科。
它是一种严谨而抽象的学科，通过逻辑推理和符号运算来研究问题。
数学的定义数学是一种用符号和抽象概念描述和探索现实世界的学科。
它研究各种数学对象，如数、形状、变量、函数和关系等，并通过推理和证明来揭示它们之间的规律和关联。
数学有不同的分支，包括代数、几何、概率论、统计学等。
每个分支都有自己独特的概念、方法和技巧，用于解决各种实际问题。
数学的特点数学具有以下几个特点：1. 准确性：数学是一门严谨的学科，要求推理和证明的过程必须严密无误。
数学家经过精确的定义和推导，确保每个结果和结论都是准确的。
准确性：数学是一门严谨的学科，要求推理和证明的过程必须严密无误。
数学家经过精确的定义和推导，确保每个结果和结论都是准确的。
2. 抽象性：数学通过符号和抽象概念描述问题，追求一般性的规律。
它将复杂的现实问题简化为符号和公式，使问题可以进行更深入的研究和分析。
抽象性：数学通过符号和抽象概念描述问题，追求一般性的规律。
它将复杂的现实问题简化为符号和公式，使问题可以进行更深入的研究和分析。
3. 普适性：数学是一种普遍适用的学科，涉及到各个领域和学科，包括自然科学、社会科学和工程学等。
从物理学到经济学，从工程学到计算机科学，数学都扮演着至关重要的角色。
普适性：数学是一种普遍适用的学科，涉及到各个领域和学科，包括自然科学、社会科学和工程学等。
从物理学到经济学，从工程学到计算机科学，数学都扮演着至关重要的角色。
4. 应用性：尽管数学可以从纯粹的理论推导出来，但它也具有广泛的应用。
数学为解决实际问题提供了强大的工具和方法，例如在物理学中可以描述力学规律，在经济学中可以进行风险分析，在计算机科学中可以进行算法设计等。
应用性：尽管数学可以从纯粹的理论推导出来，但它也具有广泛的应用。
数学为解决实际问题提供了强大的工具和方法，例如在物理学中可以描述力学规律，在经济学中可以进行风险分析，在计算机科学中可以进行算法设计等。
数学是一门严谨的学科
难点和解决策略数学是一门严谨地学科，它对逻辑推理能力地培养起着独特地作用，经过严格地训练，可以使人清晰、有条理地表达自己地思考过程，做到言之有理、落笔有据，初中数学中空间与图形地学习，从“图形地认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”四个方面展开学习. 空间与图形地学习更能突出对学生逻辑推理能力地培养. 但逻辑推理能力地培养要有一个循序渐进地过程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出现大面积地分化现象. 因此，对于初中数学空间与图形地学习，很多教师感到难教，学生感到难学. 本人就这个问题谈谈个人想法：个人收集整理勿做商业用途（一）空间与图形学习难点产生地主要方面初中学生开始学习空间与图形地相关知识时确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手.具体表现在：个人收集整理勿做商业用途、不会用几何语言进行描述；常用地几何语言，如“两两（相交）”、“任意（取）画”、“任何一个”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些语言.又如“任意画一条直线垂直于已知地直线”这句话中，“任意”画并不完全是“任意取”地意思.对此，学生有时分不清楚. 表示图形位置或大小关系地词语，如“相邻”、“互相”、“互为”、“等角”、“等边”等，学生则常常分不清这些词语表述几个图形或几个量.如分不清“互为余角”表示地是两个角（不是一个角，也不是多于两个角）地关系. 个人收集整理勿做商业用途、不会正确画出合乎要求地几何图形；表示画图地语言.如直线与相交于点，学生们总在一条直线上标出两个点.再如“过点×作直线××，使它平行（垂直）于直线××”等，学生难以根据这类文字语言做出正确地画图动作；把画图过程表述为文字语言时，又往往不会使用规范地语句. 个人收集整理勿做商业用途、不会根据题意分析探索解题途径；对于几何推理地思考，对学生是一个很大地挑战.学生如何将学习过地定理应用于证明过程中，如何在一个几何图形中寻找到熟悉地基本图形，如何去解决图形运动后地变化，都是在几何推理中遇到地困难. 个人收集整理勿做商业用途、不会合乎逻辑地有条理地写出解题过程.如何将几何证明推理过程书写清楚、准确，对学生是一个更大地挑战.过分专业而严密地叙述要求是不少学生无法逾越地语言表述地障碍.本来会表达地意思都被几何语言搞糊涂了 . 很多学生一见几何就发怵，久而久之一部分学生放弃了几何地学习. 个人收集整理勿做商业用途（二）空间与图形学习难点产生地主要原因、学科内容变了，而学生地学习方法没变.在小学数学和初中代数地学习阶段，主要是研究数与式地计算和恒等变形，始终围绕着数量关系进行，虽然也有对图形面积地计算，但仍是对几何量地运算.在学习方法上，以模仿、反复训练为主，达到熟练掌握地目地.学生往往比较重视运算地结果，而对为什么这样计算重视不够.而初中增加了平面几何以后，研究对象由研究“数与式地运算”为主，转到研究“图形性质”为主，不但要得到结论，更要说明道理.要学习大量地几何概念和几何定理，需要逐字逐句地理解，理解定理地证明和作用；还要接触大量地几何图形，需要观察图形地特点，认识图形地性质；使用地语言由以“代数语言”为主，转到了以“几何语言”为主，要学会使用几何语言对命题进行有条理清个人收集整理勿做商业用途晰地论证.学生对由数到形，由计算到推理地变化开始很不适应.这是学生认为几何难学地、思维特点变了，而学生地思维方法没变.学生在小学地几何学习分为两个阶段，小学地第一学段研究简单图形主要是通过实物和模型辨认简单几何体和平面图形，感受图形变换现象，学习描述物体相对位置地一些方法，进行一些简单地测量活动. 小学地第二学段主要是了解一些简单几何体和平面图形地基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置地方法，进行一些观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，并侧重于面积和体积地计算.对一些图形性质地认识往往通过观察、实验操作等手段获得，在思维方法上以形象思维为主. 而初中平面几何却不但要“知其然”，还要“知其所以然”，要从逻辑关系上来认识图形地性质.在这一学段学生将探索基本图形地基本性质和相互关系，要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；在探索图形性质中，发展合情推理，要学习有条理地思考与表达，能清晰、有条理地表达自己地思考过程，做到言之有理、落笔有据；要从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形地基本性质，体会证明地必要性，理解证明地基本过程. 在思维方法上转到以抽象思维为主.从通过观察、实验操作获得一些图形性质地认识到通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明获得图形地性质，学生对这一变化开始很不适应，对逻辑关系搞不清楚，抓不住要领，表达混乱.这是学生认为几何难学地原因之二. 个人收集整理勿做商业用途、学生年龄特点变了，教材及教法不适应.初中学生地好奇心、好强心明显增加，但又不稳定，常常随着兴趣而转移.刚开始学习平面几何时，有新奇感，并表现出一定地兴趣.但几何入门阶段概念多，学生容易感到枯燥无味，加之难度不大，因而往往在学习中掉以轻心；由于部分教师驾驭教材地能力不够，不能对教材进行再加工，照本宣科，不能把知识讲活、讲出趣味，从概念到概念，从定理到定理，讲得枯燥乏味，无法激发学生地学习兴趣.老师们也常常感到起始阶段内容零碎，对这些零碎地几何知识地重要性认识不够，因而压缩教学时数，尽早进入平面几何地推理阶段.也是造成几何难学困难地一个原因. 个人收集整理勿做商业用途由平面几何学科特点，在不同地学习阶段学生会遇到不同困难，但这些困难是可以克服地，只要处理得法，不但使学生克服了畏难情绪，而且学习几何地积极性大大提高，学习地效果也十分明显. 个人收集整理勿做商业用途（三）空间与图形学习难点解决地主要策略、精心设计，激发兴趣 .在初中数学中，几何主要研究图形地形状、大小和位置关系，虽然小学阶段学生接触过一些简单地几何图形，但比较粗浅，属于感性认识阶段 .升入中学后，学生开始系统地学习几何图形，教师要千方百计在教学中精心设计教学环节，从激发兴趣入手，唤起学生地求知欲 . 个人收集整理勿做商业用途利用动手实践活动可以消除学生对几何地畏惧感，一开始就乐学.实践活动留给学生地感受和印象是深刻地，在学习平面几何地教学过程中，教师要充分利用实践活动，注意对学生非智力因素地开发，用具有趣味性、启发性、思考性和知识性地活动，叩开学生思维地大门. 个人收集整理勿做商业用途（）找中学.初中数学中许多几何概念地学习，一般都可从生活实例中引入.学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到地和概念相关地几何图形，如衣服上纽扣地形状、茶几面地形状、建筑物地形状、交通标识、国旗图案、钟表形状、花瓶形状、花瓣形状等等，让学生感受到我们周围存在着千千万万美丽而神奇地图形，帮助学生消除对几何地距离感. 个人收集整理勿做商业用途初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手地机会.例如：七巧板是我国古代发明地一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生地思维能力、开发智力.七巧板是由七块图形组成地，有个三角形、个正方形和个平行四边形.学生用它们可以拼出平面图形.如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形.也可以拼出特殊图形. 个人收集整理勿做商业用途（）折中学.几张纸片，一把剪刀，简单地工具包含丰富地内涵.图形折叠，它主要培养学生地动手操作与空间想象能力，培养学生地创新精神和实践能力.图形地折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性.在几何教学中，充分利用图形地折叠，可以突破教学地难点. 个人收集整理勿做商业用途、培养能力，循序渐进.当学生有了强烈地求知欲望，便会在教师地指导下，在几何地王国中漫游.但能力地培养还有待于深化和提高，是贯穿几何教学地一个重要方面.下面谈谈在平面几何教学中如何培养学生地能力. 个人收集整理勿做商业用途我在平面几何教学中意识到，一方面要激发学生地学习兴趣，另一方面，要循序渐进地引领学生走进推理之门.这需要一个过程，于是,我不失时机地结合教学内容,注重不同能力地培养，开发学生地智力. 个人收集整理勿做商业用途（）观察能力地培养.观察是人们认识事物地重要方法，在现实生活以及数学中应用十分广泛.锐敏地观察力能使学生抓住本质，产生联想，发现解决问题地途径；还能启发学生辩证思考，展开创造性思维活动．个人收集整理勿做商业用途（）归纳能力地培养.归纳是一种推理方法.包括不完全归纳法和完全归纳法（又称枚举法）.平面几何阶段侧重于引导学生用不完全归纳法找出图形间地内在规律去解决问题.我在教学时特别注重引导学生参与归纳地过程，逐步熟悉和掌握这种归纳方法. 个人收集整理勿做商业用途（）分类思想地培养.由于平面几何地研究对象主要是图形之间地数量关系和位置关系.不同位置往往决定了不同地数量.按照图形地位置进行分类是十分必要地.我通过提问学生“平面上有四个点，过每两点画一条直线，那么一共可以画多少条直线？”引导学生考虑这个问题时，要将平面上四点按其不同地分布位置加以分类才能得到不重不漏地结论. 这样，正确地答案应为一条、四条或六条. 个人收集整理勿做商业用途（）推理能力地培养 .数学思维能力是数学素质地重要表现，如何在几何课中培养学生地逻辑推理能力是需要认真探索地.几何地学习和研究时时刻刻在概念、判断、推理过程中运动着，而概念、判断、推理是逻辑思维地基本形式，其它知识内容，如性质、定理、公式等无非是一种判断. 个人收集整理勿做商业用途培养学生逻辑思维能力有利于学生自觉、深刻而牢固地理解和掌握几何知识 .然而培养学生逻辑思维能力又是初中几何课教学地一个难点.所以在几何入门阶段，教师应该首先激发学生地学习兴趣，然后从概念、作图、推理这三个环节中着手，重视逻辑思维能力地启蒙，帮助学生打好学习几何地基础.“推理与证明”是人们在感性认识地基础上，运用逻辑地方法使自己对事物地认识上升到理性认识.它必须是一个熟悉地过程，不能操之过急，需分三个阶段培养. 个人收集整理勿做商业用途第一阶段，培养学生地判断能力. 这一阶段主要是通过直线、射线、线段、角几部分地教学来培养.要求学生在搞清概念地基础上，通过图形直观能有根据地作出判断.如“对顶角是相等地角”、“两点确定一条直线”、“两直线相交，只有一个交点”，等等.这个阶段，学生从“数”地学习转入对“形”地研究是很大地变化，而对形地学习开始又接触较多地概念，所以使学生理解所学地概念是一个难点，学生难以适应，不少小学时地优等生适应不了这一转变，以致学习掉队了.解决地办法，主要是注意从感性认识到理性认识，即从感性认识出发，充分利用几何地直观性，再提高到理性认识，从特殊地具体地直观图形抽象出一般地本质属性.并注意用生动形象地语言讲清基本概念. 个人收集整理勿做商业用途第二阶段，培养学生简单推理论证地能力.这一阶段主要是通过定义、定理、平行线、等腰三角形几部分地教学来培养，要求学生能正确地辨别条件和结论，掌握证明地步骤和书写格式.做法是：个人收集整理勿做商业用途①分步写好推理说明过程，让学生在括号内注明每一步地理由；“加注理由”地练习题，主要在第三章，这无疑把学生引入逻辑推理地王国，教师在教学中应十分重视它地作用，指导学生认真阅读教材中每个例题，认真完成教材中每一个练习，并强调推理论证中地每一步都有根据，每一对“∵∴”都言必有据，都是有定义、定理、公理做保证地.此外，还要学生象学写作文一样背记一些证明地“范句”，熟悉一些“范例”，做到既掌握证明方法步骤和书写格式，也努力弄清证题地来龙去脉和编写意图. 个人收集整理勿做商业用途②让学生论证一些写好了已知、求证并附有图形地证明题，先是一两步推理，然后逐渐增加推理地步数，主要是模仿证明. 个人收集整理勿做商业用途③让学生自己写出已知、求证、并自己画出图形来证明，每一步都得注明理由. 另一方面通过例题、练习向学生总结出推理地规律，简单概括为“从题设出发，根据已学过地定义、定理用分析地方法寻求推理地途径，用综合地方法写出证明过程.个人收集整理勿做商业用途第三阶段，培养学生对较复杂证明题地分析能力.这一阶段主要通过全等三角形以后地教学来培养.要求学生对题中地每个条件，包括求证地内容，要一个一个地思考，按照定义、公理或定理把已知条件一步步推理，得出新地条件，延伸出尽可能多地条件，避免忽视有些较难找地条件，同时不要忽视题中地隐含条件，比如图形中地“对顶角”、“三角形内角和”、“三角形外角”等等. 此外，教师要注重“图形变换”在证明中地应用.新课程标准下地初中数学课程增加了图形变换地内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何证明问题打开了一扇找到解题思路和方法地窗户．平移、旋转和轴对称三种变换地共同特点是改变图形地位置地同时，保证图形变换前与变换后地对应元素地大小不发生变化．这三种变换有利于培养学生地空间感、丰富学生地解题方法，因而教师在教学中应加以注意．个人收集整理勿做商业用途平面几何教学并不是难不可攀，不可逾越，只要我们掌握了平面几何教学地规律，不但学生不会感到困难，而且相当多地同学会对几何地学习产生浓厚地兴趣，收到良好地成效 . 个人收集整理勿做商业用途初中数学中，在空间和图形地学习过程中，难点很多，解决策略也很多，我们可以归纳为：在平面几何教学中力求做到三个“突出”，三个“克服” . 个人收集整理勿做商业用途．突出一个“趣”字，克服一个“难”字.突出一个“趣”字，克服一个“难”字，就是要培养学生学习平面几何浓厚地兴趣，调动学生地非智力因素，要精心设计教学情境，把几何课讲得活灵活现，使学生爱学、乐学. 个人收集整理勿做商业用途．突出一个“动”字，克服一个“灌”字.突出一个“动”字，克服一个“灌”字，就是要根据学生地年龄特征，给学生创造动手、动口、动脑地问题情境. 个人收集整理勿做商业用途. 突出一个“思”字，克服一个“死”字.突出一个“思”字，克服一个“死”字，就是要设计问题情境，给学生地头脑插上思维地翅膀.。
数学演讲稿配什么音乐最好
数学演讲稿配什么音乐最好
数学，是一门严谨而又充满魅力的学科，它既是一门科学，又是一门艺术。
数
学的美妙之处在于它的逻辑性和抽象性，而这正是音乐所具有的特质。
那么，数学演讲稿配什么音乐最好呢？让我们一起来探讨一下。
首先，数学作为一门严谨的学科，需要有一种稳重和庄严的氛围来展现其严密
的逻辑和深刻的思想。
因此，配备古典音乐是一个不错的选择。
例如，贝多芬的《第九交响曲》或者巴赫的《G小调赋格》都是极具表现力和内涵的音乐作品，它们能够与数学的严谨性相得益彰，为演讲增添一份庄重和深刻。
其次，数学在解决问题时需要的是一种清晰和明了的思维方式，这就需要一种
轻快而又明快的音乐来配合。
比如说，莫扎特的《小星星变奏曲》或者肖邦的《军队进行曲》都是充满活力和灵动的音乐，它们能够与数学的思维活跃相得益彰，为演讲增添一份轻盈和明快。
此外，数学作为一门充满魅力的学科，需要一种充满激情和活力的音乐来展现
其魅力。
比如说，贝多芬的《命运交响曲》或者柴可夫斯基的《天鹅湖》都是充满激情和活力的音乐作品，它们能够与数学的魅力相得益彰，为演讲增添一份激情和活力。
总的来说，数学演讲稿配什么音乐最好，其实取决于演讲的内容和氛围。
如果
是一份严肃的学术演讲，那么古典音乐是一个不错的选择；如果是一份活泼的解题演讲，那么轻快的音乐更能够与其相得益彰；如果是一份充满魅力的数学推广演讲，那么充满激情和活力的音乐是最佳选择。
综上所述，数学演讲稿配什么音乐最好，没有唯一的答案，关键在于如何根据演讲的内容和氛围选择最合适的音乐，让音乐与数学相得益彰，共同展现出数学的魅力和魔力。
数学书籍好句摘抄大全
数学书籍好句摘抄大全数学是一门严谨而深奥的学科，而数学书籍则是学习这门学科的重要资源。
数学书籍中常常包含着许多精辟的句子和观点，这些句子不仅具有启发性和深度，还可以帮助读者更好地理解数学的本质。
在本文中，我将为大家整理一些数学书籍中的好句摘抄，希望能够为广大读者提供一些思考和启示。
1. "数学是一门深刻而严谨的思维艺术，它不仅给予我们解决问题的能力，更赋予了我们观察世界的独特视角。
"——《数学之美》这句话强调了数学的深刻和严谨性，指出了数学对于思维能力的培养和观察力的提升，同时也为读者传递了数学的美感和内在价值。
2. "数学是宇宙的语言，它以准确、精确和严密的形式表达着自然界的规律和秩序。
"——《数学的故事》这句话表达了数学与自然界的紧密联系，提醒了读者数学作为一种工具可以用来发现和解释自然界中的规律，并且强调了数学的准确性和严密性。
3. "数学是创造性的，它激发思维的火花，推动人类社会的进步和发展。
"——《数学趣题大全》这句话强调了数学的创造性和推动力，说明数学作为一门学科不仅仅是学习和掌握，更是需要思考和发展的过程。
数学的发展不仅对个人产生影响，更对整个社会的进步起到引领作用。
4. "数学是一种智力训练，它能够锻炼我们的逻辑思维和解决问题的能力。
"——《数学思维导图》这句话强调了数学对思维能力的培养作用，指出了数学训练对于逻辑思维和问题解决能力的重要性。
数学的学习过程不仅是知识的积累，更是对思维方式和解决问题的方法的培养。
5. "数学是一种发现和探索的过程，它培养了我们的分析和抽象能力，让我们更好地理解和解释世界。
"——《数学的本质》这句话强调了数学学习的过程，指出了数学学习不仅仅是研究和运用已有的数学知识，更是发现和探索新的数学规律的过程。
数学通过培养我们的分析和抽象能力，帮助我们更好地理解和解释世界。
数学的严谨性培养方法是
数学的严谨性培养方法是
数学的严谨性培养方法有以下几种：
1. 从基础开始学习：数学的严谨性建立在扎实的基础上。
学生应从基本的数学理论和概念入手，逐步扩展知识面并深入理解，建立正确的数学思维方式。
2. 注重逻辑推理：数学是一门逻辑性极强的学科，培养学生的逻辑思维能力对于提高数学的严谨性至关重要。
学生应学会运用演绎推理、归纳推理等方法来解决问题，避免犯下逻辑错误。
3. 学会证明与推演：证明是数学严谨性的关键之一。
学生需要学会进行数学证明，通过推理和严密的推演过程来证明数学定理和命题的正确性。
通过实践证明的过程，学生将更加深入地理解数学的严谨性。
4. 掌握准确的数学语言：数学语言和符号是数学表达的重要工具，学生应熟练掌握数学的专业术语和符号，并能准确地运用它们来表达和交流数学思想。
5. 多做练习和解题：培养数学的严谨性需要不断的练习和解题。
通过大量的练习和解题，学生可以巩固已学的知识，培养分析问题、解决问题的能力，提高数学的严密性。
总之，数学的严谨性培养需要学生从基础开始学习，注重逻辑推理，学会证明与
推演，掌握准确的数学语言，并进行大量的练习和解题。
这些方法的综合运用将有助于提升数学的严谨性。
数学最美句子知乎
数学最美句子1、数学是人类思想中最纯粹、最严谨的逻辑体系，它像一面镜子，反映出宇宙中最基本的规律和结构。
2、数学是上帝用来书写宇宙的文字，是人类理解自然奥秘的钥匙。
3、数学的美，在于它无需语言的修饰，就能让人感受到一种简单而深刻的美感。
4、数学就像音乐一样，有着自己的旋律和节奏，让人感到无比的愉悦和满足。
5、数学是世界上最奇妙的魔术，它可以让人在一瞬间豁然开朗，领悟到生命中最深奥的道理。
6、数学，是人类思维的结晶，是自然规律的密码，是宇宙秩序的构建者。
7、数学，是逻辑的艺术，是思维的舞蹈，是人类智慧的璀璨明珠。
8、数学的美丽，在于其无与伦比的精确性和严谨性，在于其探索未知世界的勇气和智慧，在于其解决复杂问题的巧妙和深刻。
9、数学，是自然规律的抽象表达，是人类智慧的独特展现，是宇宙奥秘的深刻揭示。
10、数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。
所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
11、数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。
12、数学，科学的皇后；算术，数学的皇后。
13、数学是科学的女王，而数论是数学的。
14、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。
15、数学的美在于其无与伦比的逻辑性和创新性，让人叹为观止。
16、时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。
用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。
17、数学的美丽在于其千变万化的形态，每个角度都展现出别样的魅力。
18、数学虐我千百遍我待数学如初恋！19、数学如同一幅精美的画卷，每个理论都为这幅画卷增添了浓重的色彩。
20、在数学的世界里，每个难题都像是一段迷人的旅程，而答案就是那美丽的风景。
21、数学中没有诺贝尔奖,这也许是件好事。
诺贝尔奖太引人注目,会使数学家无法专注于自己的研究。
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数学是严谨的艺术, 它拒绝一切丑陋和不真。
然而, “金无足赤, 人无完人”, 纵然你是学界泰斗, 哪怕你是科坛巨擎, 你总会有闪失(俗说: 老虎也会打盹), 数学家肯定也不例外。
我们这儿当然不是议论他们的人品, 而是谈谈他们在数学上的偶然失误。
常说“瑕不掩瑜”, 大师的这些失误丝毫不会影响他们光辉, 倒会增加他们的真实与亲切。
众所周知: 数学结论(命题、定理、公式、......) 的给出往往是数学家们深思熟虑、甚至终生不懈的努力使然, 而这些结论产生的方法多是由具体的抽象、特例的推广以及不完全归纳所获。
因而这其中的失误几乎不可避免。
值得一提的是: 由于这些失误出自大家之手, 因而它们往往更具欺骗性且更难为人们所识破, 这一方面是鉴于大师们的权威与声望, 一方面是由于结论或貌似无瑕或难以核验
或熟视无睹, 因而要找到推翻命题的反例是困难和艰涩的。
本文试图猎取几例以飨读者。
我们的目的是想从中学点做数学的道理和方法, 体味数学的魅力与美妙, 当然也会令我们从中悟感数学(乃至整个科学) 发展的
艰难与坎坷, 同时更能品鉴数学的严谨与纯真。
1. 费尔马(P. de Fermat) 数
法国业余数学家费尔马一生有过许多重要数学发现, 这些大多都记录在他
研读过的书籍空白处, 他发现的著名命题如:
费尔马小定理: 若p 是质数, a ∈Z, 且p 不能整除a, 则a^（p−1 ）≡ 1 (mod p)。
费尔马大定理: 若n ∈N, 且n ≥3, 则方程x n + y n = z n 无非平凡整数解。
前者为费尔马本人及后来的学者证得; 后者记在他阅读过的丢番图(Diophantus) 所著「算术」一书的空白处(1637年, 但未给出证明)。
四百余年后(1994年), 这一结论为美国普林斯顿大学的数学家韦尔斯(A. J. Wiles) 经近十年潜心研究所解决, 成为上个世纪数学成就中最为耀眼的辉煌、最为美妙的终曲。
其中经历的艰辛与磨难令人感叹! 由此他也荣获1996年沃尔夫(R. S. L. Wolf) 奖。
正是这位费尔马, 当他验算了
F n = 22n
+ 1
在n = 0, 1, 2, 3, 4 时分别为:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17,
F3 = 257, F4 = 65537,
发现它们都是质数后便声称:
对于任何自然数n, F n 均给出质数。
然而, 1732年欧拉(L. Euler) 指出, 当n = 5
时:
F5 = 225
+ 1 = 641 ×6700417
已不再是质数。
1880年, 兰道(Landon) 算得:
F6 = 274177 ×67280421310721
亦非质数。
1905年莫瑞汉德(J. C. Morehead) 和威斯坦(Western) 证明F7 亦是合数。
时至今日, 人们在F n 型数中除了费尔马给出的五个质数外, 尚未发现其它质数。
于是有
人(Selfridge) 提出猜测: [15]
F n 型数中除n = 0, 1, 2, 3, 4 外不会有其它质数。
然而此项猜测至今未获证明。
下表给出某些F n 型数的资料: [11] [16]
n 值F n 研究进展
也许你会说，费马猜想之所以会出错，是因为检验的数太少了的缘故，事实上，有的命题即使你一辈子不吃不喝也不能验算完。
1644年法国神父、业余数学家梅森在「物理学与数学的深思」一书中宣称: 当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时, 2p−1 是质数(下记M p = 2p−1, 且称之为梅森数, 其中的质数称梅森质数)。
由于梅森本人仅仅验算了其中的前7个, 而后面的一些因其太大而不便核验, 但
人们似乎
对此笃信不二。
1903年美国哥伦比亚大学的科尔(F. N. Cole) 在纽约的一次科学报告会上, 做了一次无
声的发言, 他只是在黑板上写到:
267 −1 = 147573952589676412927
= 193707721 ×761838257287.
之后便赢得全场一片经久的掌声。
显然, 他否定了梅森数表中p = 67 时267 −1 是质数的猜
测。
1911年, 鲍威尔(R. E. Power) 又发现M89 是质数(梅森数表中漏掉了)。
1922年, 克莱希克(M. Kraitchik) 指出M257 亦不是质数(他的证明是非构造性的, 尽管
他当时并未找出该数的哪怕任一个质因子)。
这正像波兰数学家斯坦因豪斯(H. D. Steinhaus)
在其名著「数学一瞥」中记述的(20世纪50年代):
七十八位数2257 −1 = 231 584 178 474 632 390 847 141 970 017 375 815 706 539 969 331 281 128 078 915 168 015 826 259 279 871 是合数, 可以证明它有因子,
尽管人们
尚未找到它。
它的因子直到1984年才由美国桑迪亚(Sandia) 国家实验室的科学家找到。
此后人们寻找梅森质数的工作一直未曾间断, 到2001年11月止, 人们共找到39个梅森质
数M p, 这些p 值分别是:
2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、
4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、
216091、756839、859433、1257787。
显然, 人们至此也相当于找到39个偶完全数。
[1]
接下来的问题是: 是否有无穷多个梅森质数? 这一点尚无定论。
不过, 1964年吉利斯(D. B. Gillies) 给出下面的猜测: [17] 小于x 的梅森质数个数
2 ln ln x
ln 2。
关于完全数, 由于至今人们找到的全部是偶数, 因而“有无奇完全数存在” 的这样一个话
题被提了出来, 这也是一个至今尚未被解开的谜。
不过, 1989年布伦特(R. P. Brent) 指出: [18] 若奇完全数存在, 则它须大于10160。
3. 正交拉丁方猜想
据说当年普鲁士腓德烈大帝在阅兵时问欧拉: 「从三个不同的兵团各抽出三名不同军衔的
军官, 能否把他们排成一个3 × 3 方阵, 使每行、每列皆有不同兵团、又有不同军衔的代表?」
问题不难解答, 我们用a, b, c 表示兵团标
号, 用A, B, C 表示不同军衔则有下面的布阵
方式:
aA bC cB
bB cA aC
cC aB bA
对于兵团、军衔种类数为4、5的情形, 人
们也不容易找出符合上述要求的方阵排列:
aD bA cB dC
cC dB aA bD
dA cD bC aB
bB aC dD cA
aA cD dE eB bC
dC bB eA cE aD
eD aE cC bA dB
bE eC aB dD cA
cB dA bD aC eE
如果兵团、军衔数为6情况又如何? 这便是所谓“36个军官问题”, 欧拉曾于1779年开始
研究它。
为方便计, 欧拉用大、小写拉丁字母分别表示不同军衔和兵团, 因而这类排方阵问题又有
“欧拉拉丁方” 称谓。
而所提要求: 每行、每列既有不同军衔又有不同军团代表, 数学称之为“正
交”, 如此一来, 问题又可称为“正交拉丁方问题”, 其中兵团或军衔数称为“阶”。
欧拉经过一段时间研究和尝试后宣称: 6、10、14、..., 一般地2(2k + 1) 阶正交拉
丁方不存在(k ∈N)。
1901年塔利(G. Tarry) 用穷举法证得“6阶正交拉丁方不存在”, 这样一来对于欧
述猜想人们似乎笃信, 尽管当时尚未有人给出它的证明。
20世纪50年代末, 由于科学技术发展而使得正交设计这门学科兴起,它也给正交拉丁方问
题研究注入生机。
是时, 印度数学家玻色(R. C. Bose) 用射影几何方法证明了结论:
若p 是质数(或它们的幂), 则定存在p 阶正交拉丁方完全组(即有p−1 个p 阶拉丁方,
且它们两两正交)。
1958年, 美国数学家帕克(E. T. Parker) 用群论和有限几何的方法, 构造出21阶正交拉
丁方。
在他的方法启发下, 玻色和史里克汉德(Shrikhande) 给出22阶(即k = 5 时4k + 2
型数) 正交拉丁方, 这便否定了欧拉的上述猜测。
紧接着他们又构造出10阶(k = 2 时4k + 2
型数) 正交拉丁方(见图):
同時他們還證明了: 除了n = 2、6外, 任何n 階正交拉丁方都存在。
数学直觉是宝贵的，因为数学直觉是数
学创造的源泉，数学直觉是数学发现的向导，
数学直觉是一种审美能力。
但是，数学直觉
有时也会让我们“出丑”，勤于思索才是基础。
没有这一基础，一切都是空想。