全等三角形辅助线之截长补短和倍长中线(原题+解析)

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D 到AB的距离为6，则BC的长是．

二．解答题（共10小题）

2．（2010秋?涵江区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．3．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．

4．（2013秋?藁城市校级期末）在△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E．

（1

（2

（3

5的数量关

6．（2012BF交AC 于点E

7．（2010内的一点，且AD=AC

8．已知点N．（1

（2）若点

9．（2015

证：

10

11．（2010

全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．（2015秋?宿迁校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D 到AB的距离为6，则BC的长是15 ．

【考点】角平分线的性质．

【专题】计算题．

【分析】作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，根据角平分线定理得到DC=DE=6，再由BD：DC=3：2可计算出BD=9，然后利用BC=BD+DC进行计算即可．

【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，则DE=6，

∵AD

∵BD：

∴BD=

故答案为

【点评】

2．（2010AB=AC+CD．【考点】

【专题】

【分析】

∴

【解答】

（180°﹣∠ACB）=45°，∠E=∠CDE=45°，

∵AD

∴∠1=∠2

在△ABD

∴△ABD≌△AED（AAS）．

∴AE=AB．

∵AE=AC+CE=AC+CD，

∴AB=AC+CD．

证法二：如答图所示，在AB上

截取AE=AC，连接DE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2．

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（SAS）．

∴∠AED=∠C=90，CD=ED，

又∵AC=BC，

∴∠B=45°．

∴∠EDB=∠B=45°．

∴DE=BE，

∴CD=BE．

∵AB=AE+BE，

【点评】

3．如图，（

【考点】

【专题】

【分析】

之．

【解答】

在△ACD

在△ABE

可得AE＜

∴AD＜

【点评】

4．（2013D，BE⊥MN 于点E．

（1

（2

（3

【考点】

【专题】证明题．

【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；（2）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD﹣CE=BE﹣AD．

【解答】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）证明：与（1）一样可证明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE；

（3）解：

【点评】“AAS”；5的数量关

【考点】

【分析】

BE+CD=BC

【解答】

∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，

∵在△COD

∵在△BOE

，

∴BE=BG，

∴BE+CD=BG+CG=BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE=BG是解题的关键．

6．（2012秋?西城区校级期中）已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，F是CD中点，连BF交AC 于点E，∠ABE+∠CEB=180°，判断BD与CE的数量关系，并证明你的结论．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】探究型．

【分析】延长BF至点G，使FG=BF，连CG，证△GFC≌△BFD，∠CGF=∠FBD，CG=DB，求出∠CGF=∠CEG，推出CG=CE，即可得出答案．

【解答】结论：BD=CE

证明：延长BF至点G，使FG=BF，连CG，

∵F为CD中点，

∴CF=DF，

在△GFC和△BFD中

∴△GFC≌△BFD（SAS），

∴∠CGF=∠FBD，CG=DB，

又∵∠ABE+∠CEB=180°，∠CEG+∠CEB=180°，

∴∠CGF=∠C EG，

∴CG=CE，

∴BD=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．

7．（2010内的一点，且AD=AC

【考点】

【专题】

【分析】由AD=AC，得AD=AE

【解答】

证明：作

∵△ABC

∴四边形

∵AD=AC，

∴AD=AE，

∴△AED

在△ADC中，

SAS），

∴BD=CD．

【点评】

8．已知点M是等边△ABD中边AB上任意一点（不与A、B重合），作∠DMN=60°，交∠DBA外角平分线于点N．（1）求证：DM=MN；

（2）若点M在AB的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）在AD上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可；

（2）在AD的延长线上截取AF=AM，证明△DFM≌△MBN即可．

【解答】证明：（1）如图1，在AD上截取AF=AM，

∵△ABD是等边三角形，

∴△AMF是等边三角形，

∴DF=MB，∠DFM=120°，